정답 및 풀이

정답 및 풀이

`Ⅰ .

01 다항식의 연산 ... 2

02 항등식과 나머지정리 ... 9

03 인수분해 ... 15

`Ⅱ .

05 이차방정식 ... 28

06 이차방정식과 이차함수 ... 38

07 삼차방정식과 사차방정식 ... 45

08 연립방정식 ... 55

`Ⅲ .

10 여러 가지 부등식 ⑵ ... 73

`Ⅳ .

12 직선의 방정식 ... 90

13 원의 방정식 ...101

14 도형의 이동 ... 113

15 부등식의 영역 ...120

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Ⅰ. 다항식

01 다항식의 연산

01

본책 7쪽 확 인

1 ⑴ (주어진 식) =xÜ`y-2xÛ`yÛ`+4xy-xyÛ`+5y+3

=xÜ`y-2xÛ`yÛ`+(4y-yÛ`)x+5y+3

⑵ (주어진 식) =3+xÜ`y+4xy+5y-2xÛ`yÛ`-xyÛ`

=3+(xÜ`+4x+5)y+(-2xÛ`-x)yÛ`

 풀이 참조 2 ⑴ A+B =(2xÛ`-xy+yÛ`)+(xÛ`+3xy-4yÛ`)

=3xÛ`+2xy-3yÛ`

⑵ A-B =(2xÛ`-xy+yÛ`)-(xÛ`+3xy-4yÛ`)

=2xÛ`-xy+yÛ`-xÛ`-3xy+4yÛ`

=xÛ`-4xy+5yÛ`

⑶ -2A+B =-2(2xÛ`-xy+yÛ`)+(xÛ`+3xy-4yÛ`)

=-4xÛ`+2xy-2yÛ`+xÛ`+3xy-4yÛ`

=-3xÛ`+5xy-6yÛ`

 풀이 참조 3  ㈎ 결합 ㈏ 교환 ㈐ 결합

본책 8쪽 유 제

1 (A-2B)-(2A+B)=A-2B-2A-B

=-A-3B

=-(2xÛ`+xy-yÛ`)-3(xÛ`+2yÛ`)

=-2xÛ`-xy+yÛ`-3xÛ`-6yÛ` 

=-5xÛ`-xy-5yÛ`

 -5xÛ`-xy-5yÛ 2 2X-B=2A+3B에서 2X=2A+4B

∴ X=A+2B

=(xÛ`+xy+2yÛ`)+2(4xÛ`-2xy+3yÛ`) =xÛ`+xy+2yÛ`+8xÛ`-4xy+6yÛ`

=9xÛ`-3xy+8yÛ`  9xÛ`-3xy+8yÛ`

3 A+2B=2xÜ`-xÛ`+3x+1 …… ㉠

A+B=xÜ`+x-1 …… ㉡

㉠-㉡을 하면 B=xÜ`-xÛ`+2x+2 …… ㉢

㉢을 ㉡에 대입하면

A+(xÜ`-xÛ`+2x+2)=xÜ`+x-1 ∴ A =xÜ`+x-1-(xÜ`-xÛ`+2x+2)

=xÜ`+x-1-xÜ`+xÛ`-2x-2

=xÛ`-x-3

 A=xÛ`-x-3, B=xÜ`-xÛ`+2x+2

02

본책 9~11쪽 확 인

1 ⑴ (x-2)(2xÛ`-x+3) =2xÜ`-xÛ`+3x-4xÛ`+2x-6

=2xÜ`-5xÛ`+5x-6

⑵ (x-6y+1)(3x+y) =3xÛ`+xy-18xy-6yÛ`+3x+y

=3xÛ`-17xy-6yÛ`+3x+y

 풀이 참조 2  ㈎ 분배 ㈏ 분배 ㈐ 결합 ㈑ 교환 ㈒ 분배`

3 ⑴ (x+2)(x+1)(x-3)

= xÜ`+(2+1-3)xÛ`+{2´1+1´(-3)+(-3)´2}x +2´1´(-3)

=xÜ`-7x-6

⑵ (2a-b+c)Û`

=(2a)Û`+(-b)Û`+cÛ`+2´2a´(-b)+2´(-b)´c+2´c´2a

=4aÛ`+bÛ`+cÛ`-4ab-2bc+4ca

⑶ (x+3)Ü` =xÜ`+3´xÛ`´3+3´x´3Û`+3Ü`

=xÜ`+9xÛ`+27x+27

⑷ (2x-1)Ü` =(2x)Ü`-3´(2x)Û`´1+3´2x´1Û`-1Ü`

=8xÜ`-12xÛ`+6x-1

⑸ (x+2)(xÛ`-2x+4) =(x+2)(xÛ`-x´2+2Û`)

=xÜ`+2Ü`=xÜ`+8

⑹ (2x-3)(4xÛ`+6x+9) =(2x-3){(2x)Û`+2x´3+3Û`}

=(2x)Ü`-3Ü`=8xÜ`-27

⑺ (xÛ`+x+1)(xÛ`-x+1) =(xÛ`+x´1+1Û`)(xÛ`-x´1+1Û`)

=xÝ`+xÛ`´1Û`+1Ý`=xÝ`+xÛ`+1

 풀이 참조 4 ⑴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=3Û`-2´1=7

⑵ aÜ`+bÜ`=(a+b)Ü`-3ab(a+b)=4Ü`-3´(-2)´4=88

⑶ aÜ`-bÜ`=(a-b)Ü`+3ab(a-b)=2Ü`+3´5´2=38

⑷ aÛ`+bÛ`+cÛ`=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)=3Û`-2´2=5

 ⑴ 7 ⑵ 88 ⑶ 38 ⑷ 5

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01

본책



본책 12~16쪽 유 제

1 ⑴ (xÛ`+2xy-2y)(2x+y)

=xÛ`(2x+y)+2xy(2x+y)-2y(2x+y)

=2xÜ`+xÛ`y+4xÛ`y+2xyÛ`-4xy-2yÛ`

=2xÜ`+5xÛ`y+2xyÛ`-4xy-2yÛ`

⑵ (x-y+1)(2x+y-1)

=x(2x+y-1)-y(2x+y-1)+(2x+y-1) =2xÛ`+xy-x-2xy-yÛ`+y+2x+y-1

=2xÛ`-xy-yÛ`+x+2y-1  풀이 참조

2 A+B=xÛ`+3x+1 …… ㉠

A-B=xÛ`-x+3 …… ㉡

㉠+㉡을 하면 2A=2xÛ`+2x+4 ∴ A=xÛ`+x+2

㉠-㉡을 하면 2B=4x-2 ∴ B=2x-1

∴ AB =(xÛ`+x+2)(2x-1) 

=2xÜ`-xÛ`+2xÛ`-x+4x-2

=2xÜ`+xÛ`+3x-2  2xÜ`+xÛ`+3x-2 3 x ^◯ y=(x+y)(x-y)=xÛ`-yÛ`이므로

  (a ^◯ b)-(b ^◯ c)+(c ^◯ a) =(aÛ`-bÛ`)-(bÛ`-cÛ`)+(cÛ`-aÛ`)

=aÛ`-bÛ`-bÛ`+cÛ`+cÛ`-aÛ` 

=-2bÛ`+2cÛ`  -2bÛ`+2cÛ`

4 A=(xÜ`+x+2)(xÛ`-3x-2)의 전개식에서 xÜ` 항은 xÜ`´(-2)+x´xÛ`=-2xÜ`+xÜ`=-xÜ`

B=(xÜ`-xÛ`+2x)(xÛ`-2x+4)의 전개식에서 xÜ` 항은 xÜ`´4-xÛ`´(-2x)+2x´xÛ`=4xÜ`+2xÜ`+2xÜ`=8xÜ`

따라서 a=-1, b=8이므로

a+b=7  7

5 (xÛ`+ax+2)(2xÛ`-3x+2)의 전개식에서 xÛ` 항은 xÛ`´2+ax´(-3x)+2´2xÛ` =2xÛ`-3axÛ`+4xÛ`=(6-3a)xÛ`

이때 xÛ`의 계수가 12이므로

6-3a=12 ∴ a=-2  -2

6 (xß`+2xÞ`+3xÝ`+4xÜ`+3xÛ`+2x+1)Û`의 전개식에서 xÜ`의 계 수는 (4xÜ`+3xÛ`+2x+1)Û`의 전개식에서 xÜ`의 계수와 같다.

(4xÜ`+3xÛ`+2x+1)(4xÜ`+3xÛ`+2x+1)의 전개식에서 xÜ` 항은 4xÜ`´1+3xÛ`´2x+2x´3xÛ`+1´4xÜ` =4xÜ`+6xÜ`+6xÜ`+4xÜ`

=20xÜ`

따라서 xÜ`의 계수는 20이다.  20

7 ⑴ (x+1)(x+2)(x-4)

= xÜ`+(1+2-4)xÛ`+{1´2+2´(-4)+(-4)´1}x +1´2´(-4)

=xÜ`-xÛ`-10x-8

⑵ (x+2y-3z)Û` =xÛ`+(2y)Û`+(-3z)Û`+2´x´2y +2´2y´(-3z)+2´(-3z)´x

=xÛ`+4yÛ`+9zÛ`+4xy-12yz-6zx

⑶ (2x-3y)Ü` =(2x)Ü`-3´(2x)Û`´3y+3´2x´(3y)Û`-(3y)Ü`

=8xÜ`-36xÛ`y+54xyÛ`-27yÜ`

⑷ (5x-y)(25xÛ`+5xy+yÛ`)=(5x-y){(5x)Û`+5x´y+yÛ`}

=(5x)Ü`-yÜ`=125xÜ`-yÜ`

⑸ (x+2y-z)(xÛ`+4yÛ`+zÛ`-2xy+2yz+zx)

= {x+2y+(-z)}

_{xÛ`+(2y)Û`+(-z)Û`-x´2y-2y´(-z)-(-z)´x}

=xÜ`+(2y)Ü`+(-z)Ü`-3´x´2y´(-z)

=xÜ`+8yÜ`-zÜ`+6xyz

⑹ (xÛ`+4xy+16yÛ`)(xÛ`-4xy+16yÛ`) ={xÛ`+x´4y+(4y)Û`}{xÛ`-x´4y+(4y)Û`}

=xÝ`+xÛ`´(4y)Û`+(4y)Ý`

=xÝ`+16xÛ`yÛ`+256yÝ`  풀이 참조

8 ⑴ (x-y)(x+y)(xÛ`+yÛ`)=(xÛ`-yÛ`)(xÛ`+yÛ`) 

=xÝ`-yÝ`

⑵ (2x-y)Û`(4xÛ`+2xy+yÛ`)Û` ={(2x-y)(4xÛ`+2xy+yÛ`)}Û`

=(8xÜ`-yÜ`)Û`=64xß`-16xÜ`yÜ`+yß`

 풀이 참조

9 (x+2)(x-2)(xÛ`+2x+4)(xÛ`-2x+4) ={(x+2)(xÛ`-2x+4)}{(x-2)(xÛ`+2x+4)}

=(xÜ`+8)(xÜ`-8)=xß`-64  xß`-64

10 ⑴ xÛ`-x=X로 놓으면

(xÛ`-x+2)(xÛ`-x-1)=(X+2)(X-1)=XÛ`+X-2

=(xÛ`-x)Û`+(xÛ`-x)-2

=xÝ`-2xÜ`+xÛ`+xÛ`-x-2

=xÝ`-2xÜ`+2xÛ`-x-2

⑵ y-z=X로 놓으면

(x+y-z)(x-y+z) ={x+(y-z)}{x-(y-z)}

=(x+X)(x-X)=xÛ`-XÛ`

=xÛ`-(y-z)Û`

=xÛ`-(yÛ`-2yz+zÛ`)

=xÛ`-yÛ`-zÛ`+2yz

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⑶ (x+3)(x+2)(x-1)(x-2)

={(x+3)(x-2)}{(x+2)(x-1)}

=(xÛ`+x-6)(xÛ`+x-2)  xÛ`+x=X로 놓으면

  (주어진 식) =(X-6)(X-2)=XÛ`-8X+12

=(xÛ`+x)Û`-8(xÛ`+x)+12 

=xÝ`+2xÜ`+xÛ`-8xÛ`-8x+12 

=xÝ`+2xÜ`-7xÛ`-8x+12

 풀이 참조

11 (x+4)(x+2)(x-1)(x-3)

={(x+4)(x-3)}{(x+2)(x-1)}

=(xÛ`+x-12)(xÛ`+x-2) xÛ`+x=X로 놓으면

(주어진 식) =(X-12)(X-2)=XÛ`-14X+24

=(xÛ`+x)Û`-14(xÛ`+x)+24

=xÝ`+2xÜ`+xÛ`-14xÛ`-14x+24

=xÝ`+2xÜ`-13xÛ`-14x+24 따라서 a=-13, b=-14이므로

a-b=1  1

12 (4+3)(4Û`+3Û`)(4Ý`+3Ý`)(4¡`+3¡`)

=(4-3)(4+3)(4Û`+3Û`)(4Ý`+3Ý`)(4¡`+3¡`)

=(4Û`-3Û`)(4Û`+3Û`)(4Ý`+3Ý`)(4¡`+3¡`)

=(4Ý`-3Ý`)(4Ý`+3Ý`)(4¡`+3¡`)

=(4¡`-3¡`)(4¡`+3¡`)

=4Ú`ß`-3Ú`ß`  ④

13 ⑴ (x-y)Û`=(x+y)Û`-4xy=4Û`-4´2=8이므로 x-y=2'2 (∵ x>y)

∴ xÜ`-yÜ` =(x-y)Ü`+3xy(x-y)

=(2'2`)Ü`+3´2´2'2=28'2

⑵ xÜ`-1

xÜ`={x-;[!;}3`+3{x-;[!;}=4Ü`+3´4=76

 ⑴ 28'2 ⑵ 76 14 ⑴ xÛ`+yÛ`+zÛ` =(x+y+z)Û`-2(xy+yz+zx)

=1Û`-2´(-2)=5

⑵ xÜ`+yÜ`+zÜ` =(x+y+z)(xÛ`+yÛ`+zÛ`-xy-yz-zx)+3xyz

=1´{5-(-2)}+3´(-2)=1

⑶ (xy+yz+zx)Û` =xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`+2(xyÛ`z+yzÛ`x+zxÛ`y) 

=xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`+2xyz(x+y+z) 에서 (-2)Û`=xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`+2´(-2)´1

∴ xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`=8  ⑴ 5 ⑵ 1 ⑶ 8

15 x-y=3, y-z=2를 변끼리 더하면

  x-z=5 ∴ z-x=-5

  ∴ xÛ`+yÛ`+zÛ`-xy-yz-zx

  =;2!;{(x-y)Û`+(y-z)Û`+(z-x)Û`}

  =;2!;{3Û`+2Û`+(-5)Û`}=19  19

03

본책 17~18쪽 확 인

1 ^{⑴ x-3}<2xÛ`+11 x-3<2xÛ`+ 5x- 7

2xÛ`- 6x 11x- 7 11x-33 26 ∴ 몫: 2x+11, 나머지: 26

⑵ 2xÛ`+x-3<2x +2`

2xÛ`+x-3<4xÜ`+6xÛ` -1 4xÜ`+2xÛ`-6x

4xÛ`+6x-1 4xÛ`+2x-6 4x+5 ∴ 몫: 2x+2, 나머지: 4x+5

 풀이 참조 2 f(x) =(3x-1)(xÛ`+2x-1)+2

=3xÜ`+6xÛ`-3x-xÛ`-2x+1+2

=3xÜ`+5xÛ`-5x+3

 3xÜ`+5xÛ`-5x+3

3 ⑴ -1 4 0 2 -5

-4 4 -6

4 -4 6 -11 ∴ 몫: 4xÛ`-4x+6, 나머지: -11

⑵ 3 5 13 -4

1 2 5

3 6 15 1

;3!;

3xÜ`+5xÛ`+13x-4 ={x-;3!;}(3xÛ`+6x+15)+1 =(3x-1)(xÛ`+2x+5)+1 ∴ 몫: xÛ`+2x+5, 나머지: 1

 풀이 참조

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01

본책



본책 19~20쪽 유 제

1 다항식 xÜ`-2xÛ`+7x+1을 다항식 A로 나누었을 때의 몫이 x-1이고 나머지가 4x+3이므로

xÜ`-2xÛ`+7x+1=A(x-1)+4x+3

A(x-1)=xÜ`-2xÛ`+7x+1-(4x+3) 

=xÜ`-2xÛ`+3x-2 ∴ A=(xÜ`-2xÛ`+3x-2)Ö(x-1) 다항식 xÜ`-2xÛ`+3x-2를 x-1로 나누면 x-1<xÛ`-2xÛ`+2x-2

x-1<xÜ`-2xÛ`+3x-2 xÜ`- xÛ`

- xÛ`+3x-2 - xÛ`+ x-2 2x-2 2x-2 0

∴ A=xÛ`-x+2  xÛ`-x+2

2 xÛ`+x+1<2xÛ`-3xÛ`+4xÛ`+2x-1 xÛ`+x+1<2xÝ`- xÜ`+3xÛ`+2x-1

2xÝ`+2xÜ`+2xÛ`

-3xÜ`+ xÛ`+2x -3xÜ`-3xÛ`-3x

4xÛ`+5x-1 4xÛ`+4x+4 x-5

따라서 Q(x)=2xÛ`-3x+4, R(x)=x-5이므로

Q(2)+R(1)=(2´2Û`-3´2+4)+(1-5)=2  2 3 다항식 f(x)를 xÛ`-x-1로 나누었을 때의 몫이 2x+1이고 나머지가 2x+3이므로

f(x) =(xÛ`-x-1)(2x+1)+2x+3

=2xÜ`+xÛ`-2xÛ`-x-2x-1+2x+3

=2xÜ`-xÛ`-x+2 다항식 f(x)를 xÛ`+2x+2로 나누면 xÛ`+2x+22xÛ`-5xÛ`-44x+42

xÛ`+2x+2<2xÜ`- xÛ`- x+ 2 2xÜ`+4xÛ`+ 4x

-5xÛ`- 5x+ 2 -5xÛ`-10x-10 5x+12

따라서 구하는 나머지는 5x+12이다.  5x+12

4 ⑴ -;2!; 2 5 -2 3

-1 -2 2

2 4 -4 5

∴ 몫: 2xÛ`+4x-4, 나머지: 5

⑵` 2 1 -2 -4 1 2 0 -8 1 0 -4 -7

xÜ`-2xÛ`-4x+1 =(x-2)(xÛ`-4)-7 =(2x-4){;2!;xÛ`-2}-7

∴ 몫: ;2!;xÛ`-2, 나머지: -7

 풀이 참조 5 _{;2!; 4 2 0 3}

2 2 1

4 4 2 4

4xÜ`+2xÛ`+3={x-;2!;}(4xÛ`+4x+2)+4 =(2x-1)(2xÛ`+2x+1)+4 따라서 a=;2!;, b=2, c=4, d=4이므로

a+b+c+d=:ª2Á:

또 몫은 2xÛ`+2x+1이다.  :ª2Á:,2xÛ`+2x+1

6 오른쪽 조립제법에 의하여 다 3 1 -6 1 25 3 -9 -24 -2 1 -3 -8 1

-2 10 1 -5 2 항식 xÜ`-6xÛ`+x+25를 x-3으

로 나누었을 때의 몫 Q(x)는 Q(x)=xÛ`-3x-8

따라서 Q(x)를 x+2로 나누었을 때의 몫은

x-5  x-5

01

풀이 (A+B)-2(B-C)

 =A+B-2B+2C=A-B+2C

 =(xÜ`+2xÛ`-x+1)-(-xÜ`+xÛ`+2)+2(3xÜ`+2x-5)  =xÜ`+2xÛ`-x+1+xÜ`-xÛ`-2+6xÜ`+4x-10

 =8xÜ`+xÛ`+3x-11  8xÜ`+xÛ`+3x-11 018xÜ`+xÛ`+3x-11 02③ 03-3xÛ`-3xy

04③ 0524 06152 07① 0852 09② 108 11⑤ 12xÛ`-x-5 13④ 14④ 156xÛ`y+4xÛ`-6y-4 16① 175'5 1828 19③ 20⑴ a=1, b=0, c=-1, d=-1 ⑵ -1.099

중단원 연습 문제

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02

풀이 A-2X=B에서 2X =A-B

=(2xÜ`+xÛ`-4x+1)-(xÛ`-4x+3) 

=2xÜ`+xÛ`-4x+1-xÛ`+4x-3 

=2xÜ`-2

∴ X=xÜ`-1  ③

03

풀이 P+(xÛ`+xy-yÛ`)=4xÛ`+3xy+yÛ`에서 P =4xÛ`+3xy+yÛ`-(xÛ`+xy-yÛ`)

=4xÛ`+3xy+yÛ`-xÛ`-xy+yÛ`

=3xÛ`+2xy+2yÛ`

P+Q=-2xÛ`-yÛ`에서 Q =-2xÛ`-yÛ`-P

=-2xÛ`-yÛ`-(3xÛ`+2xy+2yÛ`) 

=-2xÛ`-yÛ`-3xÛ`-2xy-2yÛ` 

=-5xÛ`-2xy-3yÛ`

∴ R =(2xÛ`-xy+3yÛ`)+Q 

=(2xÛ`-xy+3yÛ`)+(-5xÛ`-2xy-3yÛ`) 

=-3xÛ`-3xy  -3xÛ`-3xy

04

풀이 (x-1)(x+1)(x+2)(x+4)

={(x-1)(x+4)}{(x+1)(x+2)}

=(xÛ`+3x-4)(xÛ`+3x+2) xÛ`+3x=X로 놓으면

(주어진 식) =(X-4)(X+2)=XÛ`-2X-8

=(xÛ`+3x)Û`-2(xÛ`+3x)-8

=xÝ`+6xÜ`+9xÛ`-2xÛ`-6x-8

=xÝ`+6xÜ`+7xÛ`-6x-8 따라서 a=6, b=7, c=-6이므로

a+b-c=19  ③

05

풀이 (x-1)(x+1)(xÛ`+1)(xÝ`+1) =(xÛ`-1)(xÛ`+1)(xÝ`+1) =(xÝ`-1)(xÝ`+1)

=x¡`-1=25-1=24  24

06

풀이 xÛ`-xy+yÛ`=(x-y)Û`+xy이므로

49=8Û`+xy ∴ xy=-15 y ❶

∴ xÜ`-yÜ` =(x-y)Ü`+3xy(x-y)

=8Ü`+3´(-15)´8=152 y ❷

 152

채점기준 비율

❶ xy의 값을 구할 수 있다. 50%

❷ xÜ`-yÜ`의 값을 구할 수 있다. 50%

07

풀이 x+y=(1+'3`)+(1-'3`)=2 xy=(1+'3`)(1-'3`)=1-3=-2

∴ xÛ`y +yÛ`

x =xÜ`+yÜ`

xy =(x+y)Ü`-3xy(x+y) xy

=2Ü`-3´(-2)´2

-2 =-10  ①

08

풀이 x+0이므로 xÛ`-4x+1=0의 양변을 x로 나누면 x-4+;[!;=0 ∴ x+;[!;=4

∴ xÜ`+1

xÜ`={x+;[!;}3`-3{x+;[!;}

=4Ü`-3´4=52  52

09

풀이 (2x+y-1)Û`=3의 좌변을 전개하면 4xÛ`+yÛ`+1+4xy-2y-4x=3

∴ 4xÛ`+yÛ`+4xy-4x-2y=2  ②

다른 풀이 2x+y-1=Ñ'3이므로 2x+y=1Ñ'3 양변을 제곱하면

4xÛ`+4xy+yÛ`=4Ñ2'3 ∴ 4xÛ`+yÛ`+4xy-4x-2y

=(4xÛ`+4xy+yÛ`)-2(2x+y)

=(4Ñ2'3`)-2(1Ñ'3`) (복호동순)

=2

10

풀이 (x+y+z)Û`=xÛ`+yÛ`+zÛ`+2(xy+yz+zx)에서 2Û`=6+2(xy+yz+zx)

∴ xy+yz+zx=-1 y ❶

∴ xÜ`+yÜ`+zÜ`

=(x+y+z)(xÛ`+yÛ`+zÛ`-xy-yz-zx)+3xyz

=2´{6-(-1)}+3´(-2)=8 y ❷

 8

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01

본책



채점기준 비율

❶ xy+yz+zx의 값을 구할 수 있다. 50%

❷ xÜ`+yÜ`+zÜ`의 값을 구할 수 있다. 50%

11

풀이 (a+b+c)(a+b-c)+(a-b+c)(a-b-c) ={(a+b)+c}{(a+b)-c}+{(a-b)+c}{(a-b)-c}

=(a+b)Û`-cÛ`+(a-b)Û`-cÛ`

=aÛ`+2ab+bÛ`-cÛ`+aÛ`-2ab+bÛ`-cÛ`

=2aÛ`+2bÛ`-2cÛ`=0

∴ cÛ`=aÛ`+bÛ`

따라서 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다.

 ⑤

12

풀이 다항식 xÝ`-3xÛ`-6x-5를 다항식 P로 나누었을 때의 몫이 xÛ`+x+3이고 나머지가 2x+10이므로

xÝ`-3xÛ`-6x-5=P(xÛ`+x+3)+2x+10 y <sup>❶</sup> P(xÛ`+x+3)=xÝ`-3xÛ`-6x-5-(2x+10)

=xÝ`-3xÛ`-8x-15

∴ P=(xÝ`-3xÛ`-8x-15)Ö(xÛ`+x+3) y <sup>❷</sup> xÛ`-xÜ`-5

xÛÛ`+x+3<xÝ` -3xÛ`-8x-15 xÝ`+xÜ`+3xÛ`

-xÜ`-6xÛ`-8x -xÜ`- xÛ`-3x

-5xÛ`-5x-15 -5xÛ`-5x-15 0

∴ P=xÛ`-x-5 y ❸

 xÛ`-x-5

채점기준 비율

❶ 주어진 나눗셈을 A=BQ+R 꼴로 나타낼 수 있다. 30%

❷ P=(xÝ`-3xÛ`-8x-15)Ö(xÛ`+x+3)임을 알 수 있다. 30%

❸ P를 구할 수 있다. 40%

13

풀이 P(x)를 2x+1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R 이므로

P(x)=(2x+1)Q(x)+R=2{x+;2!;}Q(x)+R

={x+;2!;}´2Q(x)+R

따라서 P(x)를 x+;2!;로 나누었을 때의 몫은 2Q(x), 나머지는

R이다.  ④

14

풀이 주어진 조립제법의 빈칸을 1 a b c d 1 2 -2

1 2 -2 9

채우면 오른쪽과 같으므로 a=1, b+1=2, c+2=-2, d-2=9

∴ a=1, b=1, c=-4, d=11

즉 f(x)=xÜ`+xÛ`-4x+11이므 -2 1 1 -4 11

-2 2 4

1 -1 -2 15 로 오른쪽 조립제법에 의하여

`f(x)를 x+2로 나누었을 때의

나머지는 15이다.  ④

15

풀이 ABÓ=X, BMÓ=Y라 하면 조건 ㈎ 에 의하여

X+Y=xÛ`+3y+1 …… ㉠

조건 ㈏ 에 의하여

2(X+2Y)=4xÛ`+6y

∴ X+2Y=2xÛ`+3y …… ㉡ y ^❶

㉡-㉠ 을 하면 Y=xÛ`-1 …… ㉢

㉢ 을 ㉠ 에 대입하면 X+(xÛ`-1 )=xÛ`+3y+1

∴ X=xÛ`+3y+1-(xÛ`-1)=3y+2 y ^❷ 따라서 직사각형 ABCD의 넓이는

2XY=2(3y+2)(xÛ`-1) 

=2(3xÛ`y-3y+2xÛ`-2) 

=6xÛ`y+4xÛ`-6y-4 y ^❸

 6xÛ`y+4xÛ`-6y-4

채점기준 비율

❶ 주어진 조건을 X, Y에 대한 식으로 나타낼 수 있다. 30%

❷ X, Y를 구할 수 있다. 40%

❸ 직사각형 ABCD의 넓이를 x, y에 대한 식으로 나타낼 수 있다. 30%

16

풀이 < xÛ`+x+1, xÛ`+x>

   =(xÛ`+x+1)Û`+(xÛ`+x+1)(xÛ`+x)+(xÛ`+x)Û`

   =(xÛ`+x+1)(xÛ`+x+1)+(xÛ`+x+1)(xÛ`+x)     +(xÛ`+x)(xÛ`+x)

에서 x항은

x´1+1´x+1´x=3x

따라서 x의 계수는 3이다.  ①

다른 풀이 < xÛ`+x+1, xÛ`+x>의 전개식에서 x의 계수를 구할 때, 이차항인 xÛ`은 의미를 갖지 않는다.

즉 < xÛ`+x+1, xÛ`+x>의 전개식에서 x의 계수는 < x+1, x>의 전개식에서 x의 계수와 같으므로

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< x+1, x> =(x+1)Û`+(x+1)x+xÛ``

=xÛ`+2x+1+xÛ`+x+xÛ`

=3xÛ`+3x+1 따라서 x의 계수는 3이다.

17

xÜ` }-{x+;[!;}임을 이용한다.

풀이 {x+;[!;}2`={x-;[!;}2`+4=1Û`+4=5이므로

x+;[!;='5 (∵ x>0) y ^❶

∴ xÛ`+1

xÛ`={x+;[!;}2`-2=('5)Û`-2=3, xÜ`+1

xÜ`={x+;[!;}3`-3{x+;[!;}

=('5`)Ü`-3´'5=2'5 y ❷

{xÛ`+1

xÛ`}{xÜ`+1

xÜ`}=xÞ`+;[!;+x+1 xÞ` 에서 xÞ`+1

xÞ`={xÛ`+1

xÛ`}{xÜ`+1

xÜ`}-{x+;[!;}

=3´2'5-'5=5'5 y ❸

 5'5

채점기준 비율

❶ x+;[!;의 값을 구할 수 있다. 20%

❷ xÛ`+ 1 xÛ`, xÜ`+ 1

xÜ`의 값을 구할 수 있다.` 30%

❸ xÞ`+ 1

xÞ`의 값을 구할 수 있다. 50%

18

풀이 직육면체의 세 모서리의 길이를 a, b, c라 하면 모든 모서리 의 길이의 합이 28이므로

4(a+b+c)=28

∴ a+b+c=7 대각선의 길이가 '2Œ1이므로 "ÃaÛ`+bÛ`+cÛ`='2Œ1

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=21

이때 직육면체의 겉넓이는 2(ab+bc+ca)이므로 (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서

2(ab+bc+ca)=(a+b+c)Û`-(aÛ`+bÛ`+cÛ`)

=7Û`-21=28  28

19

풀이 `f(x)를 xÛ`-x+1로 나누었을 때의 몫을 ax+b (a, b는 상수) 라 하면

f(x)=(xÛ`-x+1)(ax+b) 

=axÜ`+bxÛ`-axÛ`-bx+ax+b 

=axÜ`-(a-b)xÛ`+(a-b)x+b 이때 f(0)=-1이므로 b=-1

∴ f(x)=axÜ`-(a+1)xÛ`+(a+1)x-1

즉`f(x)-3=axÜ`-(a+1)xÛ`+(a+1)x-4를 xÛ`+2로 나누면 xÛ`+2 axÜ`-(a+1)

xÛ`+2<axÜ`-(a+1)xÛ`+(a+1)x- 4

axÜ` + 2ax

-(a+1)xÛ`+(1-a)x- 4`

         -(a+1)xÛ` -2(a+1)`

(1-a)x+ 2a-2`

이때 나머지가 0이어야 하므로 1-a=0, 2a-2=0 ∴ a=1 따라서 f(x)=xÜ`-2xÛ`+2x-1이므로

f(1)=1-2+2-1=0  ③

20

풀이 ⑴ f(x) =a(x-1)Ü`+b(x-1)Û`+c(x-1)+d

=(x-1){a(x-1)Û`+b(x-1)+c}+d y ㉠ㅇ

=(x-1)[(x-1){a(x-1)+b}+c]+d y ㉡ㅇ

=(x-1)[(x-1){(x-1)a+b}+c]+d y ㉢ㅇ ㉠에서 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 d임을 알 수 있다.

㉡에서 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫을 다시 x-1로 나누 었을 때의 나머지는 c임을 알 수 있다.

㉢에서 또다시 몫을 x-1로 나누었을 때의 몫은 a, 나머지는 b임을 알 수 있다.

따라서 오른쪽과 같이 조립제 법을 반복하여 이용하면 마지 막에 구한 몫이 a이고, 나머 지에 해당하는 값이 차례대로 d, c, b가 되므로

a=1, b=0, c=-1, d=-1        ` `y ^❶

⑵ f(x)=(x-1)Ü`-(x-1)-1 이므로

`f(1.1)=(1.1-1)Ü`-(1.1-1)-1

=0.1Ü`-0.1-1

=-1.099 y ^❷

 ⑴ a=1, b=0, c=-1, d=-1 ⑵ -1.099

채점기준 비율

❶ a, b, c, d의 값을 구할 수 있다. 60%

❷ f(1.1)의 값을 구할 수 있다. 40%

1 1 -3 2 -1 1 -2 0 1 1 -2 0 -1

1 -1 1 1 -1 -1

1

1 0

=d

=c

a=

=b

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02

본책



Ⅰ. 다항식

02 항등식과 나머지정리

01

확 인 ^{본책 27쪽}

1 ⑴ (a+3)xÛ`+(b-4)x+1-c=0이 x에 대한 항등식이므로 a+3=0, b-4=0, 1-c=0

∴ a=-3, b=4, c=1

⑵ ax+3y+c=2x+by-7이 x, y에 대한 항등식이므로 a=2, b=3, c=-7

 ⑴ a=-3, b=4, c=1 ⑵ a=2, b=3, c=-7 2 Ú 계수 비교법

주어진 등식의 좌변을 전개하여 x에 대하여 정리하면 (a+b)x-a+2b=2x+1

양변의 동류항의 계수를 비교하면 a+b=2, -a+2b=1

두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=1 Û 수치 대입법

양변에 x=1을 대입하면 3b=3 ∴ b=1 양변에 x=-2를 대입하면

-3a=-3 ∴ a=1  풀이 참조

본책 28~30쪽 유 제

1 주어진 등식의 좌변을 x에 대하여 정리하면 (a+b)x-3a+2b=2x-1

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a+b=2, -3a+2b=-1

두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=1  a=1, b=1 2 주어진 등식을 k에 대하여 정리하면

(3x+y+2)k-x+y-6=0 이 등식이 k에 대한 항등식이므로 3x+y+2=0, -x+y-6=0

두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=4  x=-2, y=4 3 주어진 등식의 좌변을 x, y, z에 대하여 정리하면

(a+b+c)x+(a-b)y+(c-2)z=4x-7y-z 이 등식이 x, y, z에 대한 항등식이므로

a+b+c=4, a-b=-7, c-2=-1

세 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=5, c=1

 a=-2, b=5, c=1

4 주어진 등식의 좌변을 전개하여 x에 대하여 내림차순으로 정 리하면

2axÜ`+(2b-a)xÛ`+(6-b)x-3=4xÜ`+4xÛ`+cx-3 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교 하면

2a=4, 2b-a=4, 6-b=c ∴ a=2, b=3, c=3

∴ abc=18  18

5 양변에 x=-1을 대입하면

0=1-a-5-b+2 ∴ a+b=-2 …… ㉠ 양변에 x=2를 대입하면

0=16+8a-20+2b+2 ∴ 4a+b=1 …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-3  a=1, b=-3

6 xÜ`+axÛ`+bx+3을 (x+1)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면

xÜ`+axÛ`+bx+3=(x+1)(x-2)Q(x)+2x-1 양변에 x=-1을 대입하면

-1+a-b+3=-3

∴ a-b=-5 …… ㉠

양변에 x=2를 대입하면 8+4a+2b+3=3

∴ 2a+b=-4 …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=2  a=-3, b=2

7 xÜ`+axÛ`+3x+4를 xÛ`+1로 나누었을 때의 나머지를 bx+c (b, c는 상수)라 하면

xÜ`+axÛ`+3x+4=(xÛ`+1)(x+1)+bx+c 우변을 전개한 후 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 xÜ`+axÛ`+3x+4=xÜ`+xÛ`+(b+1)x+c+1

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교 하면

a=1, 3=b+1, 4=c+1 ∴ a=1, b=2, c=3

따라서 구하는 나머지는 2x+3이다.  a=1, 나머지: 2x+3

다항식의 나눗셈에서의 나머지

다항식의 나눗셈에서 나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 항상 작다.

따라서 나누는 식이 이차식이면 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓는다.

알짜 PLUS

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8 xÜ`의 계수가 1이므로 xÜ`+axÛ`-5x+6을 xÛ`-4x+b로 나누 었을 때의 몫을 x+c (c는 상수)라 하면

xÜ`+axÛ`-5x+6=(xÛ`-4x+b)(x+c) 우변을 전개한 후 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 xÜ`+axÛ`-5x+6=xÜ`+(c-4)xÛ`+(b-4c)x+bc 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교 하면

a=c-4, -5=b-4c, 6=bc

-5=b-4c에서 b=4c-5이므로 이것을 6=bc에 대입하면 6=(4c-5)c, 4cÛ`-5c-6=0

(4c+3)(c-2)=0 ∴ c=-;4#; 또는 c=2 Ú c=-;4#;일 때, a=-:Á4»:, b=-8

Û c=2일 때, a=-2, b=3 Ú, Û에서 a=-2, b=3이므로

ab=-6  -6

02

확 인 ^{본책 31~32쪽}

1 f(x)=3xÜ`-2xÛ`+x-1이라 하면 나머지정리에 의하여 구하 는 나머지는

⑴  f(1)=3-2+1-1=1

⑵  f(-2)=-24-8-2-1=-35

⑶  f{-;2!;}=-;8#;-;2!;-;2!;-1=-:Á8»:

⑷  f{;3@;}=;9*;-;9*;+;3@;-1=-;3!;

 ⑴ 1 ⑵ -35 ⑶ -:Á8»: ⑷ -;3!;

2 ⑴ f(x)=xÜ`-kxÛ`+5x+2라 하면 f(x)가 x-2로 나누어떨 어지므로 인수정리에 의하여

f(2)=0

8-4k+10+2=0, 4k=20

∴ k=5

⑵ f(x)=6xÜ`+5xÛ`-kx-1이라 하면 f(x)가 3x+1을 인수로 가지므로 인수정리에 의하여

f{-;3!;}=0

-;9@;+;9%;+;3K;-1=0, ;3K;=;3@;

∴ k=2

 ⑴ 5 ⑵ 2

본책 33~36쪽 유 제

1 f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 19이므로 나머지정 리에 의하여

f(2)=19

16+8a-8+4a-1=19 12a=12 ∴ a=1

따라서 f(x)=xÝ`+xÜ`-2xÛ`+2x-1이므로 f(x)를 x+3으로 나 누었을 때의 나머지는

f(-3)=81-27-18-6-1=29  29 2 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지와 x-4로 나누었을 때 의 나머지가 서로 같으므로 나머지정리에 의하여

f(-2)=f(4)

-8+4-2a-7=64+16+4a-7

6a=-84 ∴ a=-14  -14 3 f(x), g(x)를 x+5로 나누었을 때의 나머지가 각각 6, -1 이므로 나머지정리에 의하여

f(-5)=6, g(-5)=-1

따라서 2f(x)+3g(x)를 x+5로 나누었을 때의 나머지는 2f(-5)+3g(-5)=2´6+3´(-1)=9  9 4 f(x)를 (x+4)(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머 지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x+4)(x-3)Q(x)+ax+b

f(x)를 x+4로 나누었을 때의 나머지가 -4이고, x-3으로 나 누었을 때의 나머지가 10이므로 나머지정리에 의하여

f(-4)=-4, f(3)=10 ∴ -4a+b=-4, 3a+b=10 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=4

따라서 구하는 나머지는 2x+4이다.  2x+4 5 f(x)를 x(x+1)로 나누었을 때의 몫을 QÁ(x)라 하면 f(x)=x(x+1)QÁ(x)

이 식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=0, x=-1을 각각 대 입하면

f(0)=0, f(-1)=0 yy ㉠

f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 18이므로 나머지정리에 의하여

f(2)=18 yy ㉡

f(x)를 x(x+1)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Qª(x), 나머지를 axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면

f(x)=x(x+1)(x-2)Qª(x)+axÛ`+bx+c

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02

본책



㉠, ㉡에 의하여

c=0, a-b+c=0, 4a+2b+c=18 세 식을 연립하여 풀면 a=3, b=3, c=0

따라서 구하는 나머지는 3xÛ`+3x이다.  3xÛ`+3x 6 f(x)를 (xÛ`+1)(x+2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머 지를 axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면

f(x)=(xÛ`+1)(x+2)Q(x)+axÛ`+bx+c …… ㉠ (xÛ`+1)(x+2)Q(x)는 xÛ`+1로 나누어떨어지므로 f(x)를 xÛ`+1로 나누었을 때의 나머지는 axÛ`+bx+c를 xÛ`+1로 나누었 을 때의 나머지와 같다.

즉 axÛ`+bx+c를 xÛ`+1로 나누었을 때의 나머지가 x-1이므로 axÛ`+bx+c=a(xÛ`+1)+x-1

이것을 ㉠에 대입하면

f(x)=(xÛ`+1)(x+2)Q(x)+a(xÛ`+1)+x-1

한편 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지가 12이므로 나머지정 리에 의하여

f(-2)=12, 5a-3=12 ∴ a=3 따라서 구하는 나머지는

3(xÛ`+1)+x-1=3xÛ`+x+2  3xÛ`+x+2

다른 풀이  f(x)를 xÛ`+1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 f(x)=(xÛ`+1)Q(x)+x-1

또 Q(x)를 x+2로 나누었을 때의 몫을 Q'(x), 나머지를 r라 하 면 Q(x)=(x+2)Q'(x)+r이므로

f(x) =(xÛ`+1){(x+2)Q'(x)+r}+x-1

=(xÛ`+1)(x+2)Q'(x)+r(xÛ`+1)+x-1

한편 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지가 12이므로 나머지정 리에 의하여

f(-2)=12, 5r-3=12 ∴ r=3

따라서 f(x)=(xÛ`+1)(x+2)Q'(x)+3(xÛ`+1)+x-1이므로 구하는 나머지는

3(xÛ`+1)+x-1=3xÛ`+x+2

7 f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 -2이므로 나머지 정리에 의하여

f(3)=-2

따라서 xf(x+4)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는

-1´f(-1+4)=-f(3)=2  2

8 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 R이므로 나머지정 리에 의하여

f(1)=R

따라서 (x+1)f(2x+5)-1을 x+2로 나누었을 때의 나머지는 (-2+1)f(-4+5)-1=-f(1)-1=-R-1  ①

9 f(x)를 xÛ`-x-2로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 f(x) =(xÛ`-x-2)Q(x)+2x+3

=(x+1)(x-2)Q(x)+2x+3

따라서 f(3x+2)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는

f(-3+2)=f(-1)=-2+3=1  1 10 f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+6이라 하면 f(x)는 x-1, x-3으로 각각 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여

f(1)=0, f(3)=0

1+a+b+6=0, 27+9a+3b+6=0 ∴ a+b=-7, 3a+b=-11 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=-5

∴ ab=10  10

11 f(x)=xÞ`â`+axÛ`+bx-3이라 하면 f(x)는 (x+1)(x-1) 을 인수로 갖는다.

따라서 f(x)는 x+1, x-1로 각각 나누어떨어지므로 인수정리 에 의하여

f(-1)=0,  f(1)=0

1+a-b-3=0, 1+a+b-3=0 ∴ a-b=2, a+b=2

두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=0  a=2, b=0 12 f(x-1)이 x+1로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여 f(-1-1)=0, 즉 f(-2)=0

-8-8-2+a=0 ∴ a=18  18

01

풀이 주어진 등식의 좌변을 k에 대하여 정리하면 (x-2)k+xÛ`+1-y=0

이 등식이 k에 대한 항등식이므로 x-2=0, xÛ`+1-y=0 ∴ x=2, y=5

∴ y-x=3  ②

01② 02① 034 04-1 0552 06⑤ 07-30 08-3 09② 10④ 11x+1 12-10x-18 13④ 14④ 15a=-4, b=3 161 17② 18-17 19① 20⑤ 21⑴ -512 ⑵ 94

중단원 연습 문제

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02

풀이 주어진 등식의 좌변을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 (a+2)xÛ`-(aÛ`+b)x+2(aÛ`+b)=0

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a+2=0, aÛ`+b=0 ∴ a=-2, b=-4

∴ a+b=-6  ①

다른 풀이 양변에 x=2를 대입하면 4(a+2)=0 ∴ a=-2 양변에 x=0을 대입하면

2aÛ`+2b=0 ∴ b=-aÛ`=-4

03

풀이 x-y=1에서 y=x-1이므로 이것을 axÛ`+bxy+cyÛ`=1에 대입하면

axÛ`+bx(x-1)+c(x-1)Û`=1

모든 항을 좌변으로 이항하여 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 (a+b+c)xÛ`-(b+2c)x+c-1=0 y ^❶ 이 등식이 x에 대한 항등식이므로

a+b+c=0, b+2c=0, c-1=0

∴ a=1, b=-2, c=1 y ^❷

∴ a-b+c=4 y ^❸

 4

채점기준 비율

❶ y를 소거하여 x에 대한 항등식을 구할 수 있다. 40%

❷ a, b, c의 값을 구할 수 있다. 40%

❸ a-b+c의 값을 구할 수 있다. 20%

04

풀이 xÜ`+axÛ`-x+b를 xÛ`-2x+1로 나누었을 때의 몫을 x+c (c는 상수)라 하면

xÜ`+axÛ`-x+b=(xÛ`-2x+1)(x+c) 우변을 전개한 후 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 xÜ`+axÛ`-x+b=xÜ`+(c-2)xÛ`+(1-2c)x+c 이 등식이 x에 대한 항등식이므로

a=c-2, -1=1-2c, b=c ∴ a=-1, b=1, c=1

∴ ab=-1  -1

05

풀이 f(x)+g(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 8이고, f(x)g(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 6이므로 나머지 정리에 의하여

f(3)+g(3)=8, f(3)g(3)=6

따라서 { f(x)}Û`+{g(x)}Û`을 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 { f(3)}Û`+{g(3)}Û` ={ f(3)+g(3)}Û`-2f(3)g(3)

=8Û`-2´6=52  52

06

풀이 f(x)=xÜ`-2xÛ`+ax+3이라 하면 f(x)를 x-1로 나누었 을 때의 나머지가 RÁ, x+2로 나누었을 때의 나머지가 Rª이므로 나머지정리에 의하여

f(1)=RÁ, f(-2)=Rª ∴ RÁ=1-2+a+3=a+2,

Rª=-8-8-2a+3=-2a-13 이때 RÁ-Rª=12이므로

(a+2)-(-2a-13)=12

3a+15=12 ∴ a=-1  ⑤

07

풀이  f(x)를 x+3으로 나누었을 때의 나머지가 1이고, x-2로 나누었을 때의 나머지가 6이므로 나머지정리에 의하여

f(-3)=1, f(2)=6 y ❶

-27-3a+b=1, 8+2a+b=6 ∴ 3a-b=-28, 2a+b=-2

두 식을 연립하여 풀면 a=-6, b=10 y ❷

따라서 f(x)=xÜ`-6x+10이므로 f(x)를 x+4로 나누었을 때의 나머지는

f(-4)=-64+24+10=-30 y ❸  -30

채점기준 비율

❶ 나머지정리를 이용할 수 있다. 30%

❷ a, b의 값을 구할 수 있다. 50%

❸ f(x)를 x+4로 나누었을 때의 나머지를 구할 수 있다. 20%

08

풀이  f(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 -11 이므로

f(x)=(x-2)Q(x)-11 …… ㉠ y ^❶ f(x)를 x+3으로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 나머지정리 에 의하여

f(-3)=4 y ^❷

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02

본책



이때 Q(x)를 x+3으로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의하여 Q(-3)이므로 ㉠의 양변에 x=-3을 대입하면

f(-3)=(-3-2)Q(-3)-11

4=-5Q(-3)-11 ∴ Q(-3)=-3 y ❸

 -3

채점기준 비율

❶ 나눗셈에 대한 등식을 세울 수 있다. 30%

❷ 나머지정리를 이용할 수 있다. 30%

❸ Q(x)를 x+3으로 나누었을 때의 나머지를 구할 수 있다. 40%

09

풀이  f(x)+1, xf(x)+1을 x-k로 나누었을 때의 나머지가 모 두 -1이므로 나머지정리에 의하여

f(k)+1=-1, kf(k)+1=-1

f(k)+1=-1에서 f(k)=-2이므로 kf(k)+1=-1에서 -2k+1=-1 ∴ k=1

따라서 f(1)=-2이므로 1+a+b+c=-2

∴ a+b+c=-3  ②

10

풀이  f(x)를 xÛ`+2x-15로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지 를 R(x)=ax+b (a, b는 상수)라 하면

f(x) =(xÛ`+2x-15)Q(x)+ax+b

=(x+5)(x-3)Q(x)+ax+b

f(x)를 x+5로 나누었을 때의 나머지가 3이고, x-3으로 나누었 을 때의 나머지가 -5이므로 나머지정리에 의하여

f(-5)=3, f(3)=-5 ∴-5a+b=3, 3a+b=-5

두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-2 따라서 R(x)=-x-2이므로

R(1)=-3  ④

11

풀이 xÚ`â`Ú`+1을 xÛ`-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

xÚ`â`Ú`+1 =(xÛ`-1)Q(x)+ax+b

=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1을 대입하면

0=-a+b …… ㉠

양변에 x=1을 대입하면

2=a+b …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=1

따라서 구하는 나머지는 x+1이다.  x+1

12

풀이  f(x)를 xÛ`+3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

f(x) =(xÛ`+3x+2)Q(x)+ax+b

=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b …… ㉠ y ❶

f(x)를 xÛ`-x-2로 나누었을 때의 몫을 QÁ(x)라 하면 f(x) =(xÛ`-x-2)QÁ(x)+2x-6

=(x+1)(x-2)QÁ(x)+2x-6

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1을 대입하면

f(-1)=-8 y ❷

f(x)를 xÛ`-4로 나누었을 때의 몫을 Qª(x)라 하면 f(x) =(xÛ`-4)Qª(x)-x

=(x+2)(x-2)Qª(x)-x

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-2를 대입하면

f(-2)=2 y ❸

㉠의 양변에 x=-1, x=-2를 각각 대입하면 -a+b=-8, -2a+b=2

두 식을 연립하여 풀면 a=-10, b=-18

따라서 구하는 나머지는 -10x-18이다. y ❹  -10x-18

채점기준 비율

❶ 나눗셈에 대한 등식을 세울 수 있다. 30%

❷ f(-1)의 값을 구할 수 있다. 20%

❸ f(-2)의 값을 구할 수 있다. 20%

❹ f(x)를 xÛ`+3x+2로 나누었을 때의 나머지를 구할 수 있다. 30%

13

풀이 f(x)가 xÜ`의 계수가 1인 삼차식이고 f(x)-2x가 x-1, x-3으로 각각 나누어떨어지므로

f(x)-2x=(x-1)(x-3)(x+k) (k는 상수) 라 하면

f(x)=(x-1)(x-3)(x+k)+2x 이때 f(2)=-2이므로

1´(-1)´(2+k)+4=-2, -k+2=-2 ∴ k=4 따라서 f(x)=(x-1)(x-3)(x+4)+2x이므로

f(-2) =-3´(-5)´2+2´(-2)=26  ④

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14

풀이 f(x)=axÛ`+bx+c (a+0)라 하면 f(1-x)를 x-1로 나 누었을 때의 나머지가 5이므로 나머지정리에 의하여

f(1-1)=5, 즉 f(0)=5 ∴ c=5

xf(x)+x가 xÛ`-1, 즉 (x+1)(x-1)로 나누어떨어지므로 xf(x)+x는 x+1, x-1로 각각 나누어떨어진다.

즉 인수정리에 의하여

-f(-1)-1=0, f(1)+1=0 f(-1)=-1, f(1)=-1 ∴ a-b+5=-1, a+b+5=-1 두 식을 연립하여 풀면 a=-6, b=0 따라서 f(x)=-6xÛ`+5이므로

f(2)=-24+5=-19  ④

15

풀이 양변에 x=-1을 대입하면

0=1+a+b ∴ a+b=-1 …… ㉠ 양변에 xÛ`=3을 대입하면

0=9+3a+b ∴ 3a+b=-9 …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=3  a=-4, b=3

16

풀이 양변에 x=1을 대입하면

1=a¼+aÁ+aª+a£+y+aª¼ …… ㉠ y ^❶ 양변에 x=-1을 대입하면

1=a¼-aÁ+aª-a£+y+aª¼ …… ㉡ y ^❷

㉠+㉡을 하면

2=2(a¼+aª+a¢+y+aª¼)

∴ a¼+aª+a¢+y+aª¼=1 y ^❸

 1

채점기준 비율

❶ a¼+aÁ+aª+a£+y+aª¼의 값을 구할 수 있다. 40%

❷ a¼-aÁ+aª-a£+y+aª¼의 값을 구할 수 있다. 40%

❸ a¼+aª+a¢+y+aª¼의 값을 구할 수 있다. 20%

17

풀이 xÛ`+ax+3b2xÛ`-x+4=k (k는 상수)라 하면 xÛ`+ax+3b=k(2xÛ`-x+4) ∴ xÛ`+ax+3b=2kxÛ`-kx+4k

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 1=2k, a=-k, 3b=4k ∴ k=;2!;, a=-;2!;, b=;3@;

∴ ab=-;3!;  ②

18

풀이  f(x)를 (x-1)(xÛ`+x+1)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면 f(x) =(x-1)(xÛ`+x+1)Q(x)+axÛ`+bx+c

…… ㉠ y ❶

(x-1)(xÛ`+x+1)Q(x)는 xÛ`+x+1로 나누어떨어지므로 f(x) 를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 나머지는 axÛ`+bx+c를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 나머지와 같다.

즉 axÛ`+bx+c를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 나머지가 -3x+5 이므로

axÛ`+bx+c=a(xÛ`+x+1)-3x+5 y ❷

이것을 ㉠에 대입하면

f(x)=(x-1)(xÛ`+x+1)Q(x)+a(xÛ`+x+1)-3x+5 이때 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 -1이므로 나머지 정리에 의하여

f(1)=-1, 3a+2=-1

∴ a=-1 y ❸

따라서 R(x)=-(xÛ`+x+1)-3x+5=-xÛ`-4x+4이므로

R(3)=-9-12+4=-17 y ❹

 -17

채점기준 비율

❶ 나눗셈에 대한 등식을 세울 수 있다. 20%

❷ axÛ`+bx+c=a(xÛ`+x+1)-3x+5임을 알 수 있다. 30%

❸ a의 값을 구할 수 있다. 30%

❹ R(3)의 값을 구할 수 있다. 20%

19

풀이 조건 ㈎의 등식의 양변에 x=1을 대입하면 (1-1)P(1-2)=(1-7)P(1)

-6P(1)=0 ∴ P(1)=0 또 양변에 x=7을 대입하면 (7-1)P(7-2)=(7-7)P(7) 6P(5)=0 ∴ P(5)=0

이때 P(x)는 삼차다항식이므로 P(x)를 xÛ`-4x+2로 나누었을 때의 몫을 ax+b (a, b는 상수)라 하면 조건 ㈏에 의하여 P(x)=(xÛ`-4x+2)(ax+b)+2x-10

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03

본책



Ⅰ. 다항식

03 인수분해

01

확 인 ^{본책 43쪽}

1 ⑴ 4xÛ`-4x+1=(2x)Û`-2´2x´1+1Û`=(2x-1)Û`

⑵ 16xÛ`-yÛ`=(4x)Û`-yÛ`=(4x+y)(4x-y)

⑶ xÛ`+4x-12=(x+6)(x-2)

⑷ 6xÛ`-xy-2yÛ`=(2x+y)(3x-2y)

⑸ aÛ`+4bÛ`+4cÛ`-4ab+8bc-4ca

`= aÛ`+(-2b)Û`+(-2c)Û`+2´a´(-2b)+2´(-2b)´(-2c) +2´(-2c)´a

`=(a-2b-2c)Û`

⑹ xÜ`-9xÛ`y+27xyÛ`-27yÜ`

`=xÜ`-3´xÛ`´3y+3´x´(3y)Û`-(3y)Ü`

`=(x-3y)Ü`

⑺ xÜ`-1 =xÜ`-1Ü``=(x-1)(xÛ`+x+1)

⑻ xÜ`+8yÜ`+6xy-1

` =xÜ`+(2y)Ü`+(-1)Ü`-3´x´2y´(-1)

=(x+2y-1)

_{xÛ`+(2y)Û`+(-1)Û`-x´2y-2y´(-1)-(-1)´x}

=(x+2y-1)(xÛ`-2xy+4yÛ`+x+2y+1)

⑼ xÝ`+4xÛ`yÛ`+16yÝ` =xÝ`+xÛ`´(2y)Û`+(2y)Ý`

=(xÛ`+2xy+4yÛ`)(xÛ`-2xy+4yÛ`)  풀이 참조

본책 44쪽 유 제

1 ⑴ (3a+b)Û`+6a+2b =(3a+b)Û`+2(3a+b)

=(3a+b)(3a+b+2)

⑵ 8xÜ`-36xÛ`y+54xyÛ`-27yÜ`

` =(2x)Ü`-3´(2x)Û`´3y+3´2x´(3y)Û`-(3y)Ü`

=(2x-3y)Ü`

⑶ 27xÜ`-64yÜ`=(3x)Ü`-(4y)Ü`

=(3x-4y){(3x)Û`+3x´4y+(4y)Û`}

=(3x-4y)(9xÛ`+12xy+16yÛ`)

⑷ (x+y)Ü`+(x-y)Ü`

={(x+y)+(x-y)}{(x+y)Û`-(x+y)(x-y)+(x-y)Û`}

`=2x(xÛ`+3yÛ`)

 풀이 참조 P(1)=0에서 (1-4+2)(a+b)+2-10=0

∴ a+b=-8 …… ㉠

P(5)=0에서 (25-20+2)(5a+b)+10-10=0

∴ 5a+b=0 …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-10

따라서 P(x)=(xÛ`-4x+2)(2x-10)+2x-10이므로 P(4)=(16-16+2)(8-10)+8-10=-6  ①

20 ^전략  f(a)=0이면 f(x)는 x-a로 나누어떨어진다.

풀이  f(x)+g(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 -1이므로 나머지정리에 의하여

f(1)+g(1)=-1 …… ㉠

f(-x)-2g(x+2)를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 5이므로 나머지정리에 의하여

f(1)-2g(1)=5 …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 f(1)=1, g(1)=-2

ㄱ. f(x-1)+2g(x-1)을 x-2로 나누었을 때의 나머지는 f(2-1)+2g(2-1) =f(1)+2g(1)

=1+2´(-2)=-3

ㄴ. f(3-x)g(x-1)+2를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 f(3-2)g(2-1)+2 =f(1)g(1)+2

=1´(-2)+2=0

ㄷ. 2f(3-x)+g(2x-3)을 x-2로 나누었을 때의 나머지는 2f(3-2)+g(2´2-3) =2f(1)+g(1)

=2´1-2=0

이상에서 x-2로 나누어떨어지는 다항식은 ㄴ, ㄷ이다.  ⑤

21 ^전략 xá`을 x+2로 나누었을 때의 나머지를 이용하여 99á`을 101로 나누었을 때의 나머지를 구한다.

풀이 ⑴ xá`을 x+2로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 하면

xá`=(x+2)Q(x)+R …… ㉠ 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-2를 대입하면 R=(-2)á`=-512

⑵ ㉠의 양변에 x=99를 대입하면 99á` =101Q(99)-512

=101Q(99)-101´6+94

=101{Q(99)-6}+94 따라서 구하는 나머지는 94이다.

 ⑴ -512 ⑵ 94

참고 다항식의 나눗셈에서는 나머지가 음수일 수 있지만 자연수의 나 눗셈에서는 나머지가 0 또는 양수이어야 한다.

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(주어진 식) =(X-6)(X-2)-60

=XÛ`-8X-48

=(X+4)(X-12)

=(xÛ`-x+4)(xÛ`-x-12)

=(x+3)(x-4)(xÛ`-x+4)

 풀이 참조 2 xÛ`+4x=X로 놓으면

(주어진 식) =(X+5)(X+2)+2

=XÛ`+7X+12

=(X+4)(X+3)

=(xÛ`+4x+4)(xÛ`+4x+3)

=(x+2)Û`(x+1)(x+3)

∴ a+b+c=2+1+3=6  6

3 (xÛ`+3x+2)(xÛ`+7x+12)-120 =(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120 ={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}-120 =(xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)-120 xÛ`+5x=X로 놓으면

(주어진 식) =(X+4)(X+6)-120

=XÛ`+10X-96

=(X+16)(X-6)

=(xÛ`+5x+16)(xÛ`+5x-6)

=(x+6)(x-1)(xÛ`+5x+16)

 (x+6)(x-1)(xÛ`+5x+16) 4 ⑴ xÛ`=X로 놓으면

xÝ`-xÛ`-12 =XÛ`-X-12

=(X+3)(X-4)

=(xÛ`+3)(xÛ`-4)

=(x+2)(x-2)(xÛ`+3)

⑵ xÛ`=X로 놓으면

4xÝ`-17xÛ`+4 =4XÛ`-17X+4

=(4X-1)(X-4)

=(4xÛ`-1)(xÛ`-4)

=(2x+1)(2x-1)(x+2)(x-2)

⑶ xÝ`+64 =(xÝ`+16xÛ`+64)-16xÛ`

=(xÛ`+8)Û`-(4x)Û`

=(xÛ`+4x+8)(xÛ`-4x+8)

⑷ xÝ`+6xÛ`yÛ`+25yÝ` =(xÝ`+10xÛ`yÛ`+25yÝ`)-4xÛ`yÛ`

=(xÛ`+5yÛ`)Û`-(2xy)Û`

=(xÛ`+2xy+5yÛ`)(xÛ`-2xy+5yÛ`)  풀이 참조 2 ⑴ xÛ`y+xyÛ`+x+y =xy(x+y)+(x+y)

=(xy+1)(x+y)

⑵ xß`-yß` =(xÜ`)Û`-(yÜ`)Û`

=(xÜ`+yÜ`)(xÜ`-yÜ`)

=(x+y)(xÛ`-xy+yÛ`)(x-y)(xÛ`+xy+yÛ`)

⑶ 2(3x-1)Ü`-54

` =2{(3x-1)Ü`-27}

=2{(3x-1)Ü`-3Ü`}

=2{(3x-1)-3}{(3x-1)Û`+(3x-1)´3+3Û`}

=2(3x-4)(9xÛ`+3x+7)

⑷ xÛ`-4yÛ`+2x+1 =(xÛ`+2x+1)-4yÛ`

=(x+1)Û`-(2y)Û`

=(x+2y+1)(x-2y+1)

 풀이 참조

다른 풀이 ⑵ xß`-yß`=(xÛ`)Ü`-(yÛ`)Ü`

=(xÛ`-yÛ`){(xÛ`)Û`+xÛ`yÛ`+(yÛ`)Û`}

=(x+y)(x-y)(xÝ`+xÛ`yÛ`+yÝ`)

=(x+y)(xÛ`-xy+yÛ`)(x-y)(xÛ`+xy+yÛ`)

02

확 인 ^{본책 45쪽}

1 xÛ`+3x=X로 놓으면 (주어진 식) =X(X-2)-8

=XÛ`-2X-8

=(X+2)(X-4)

=(xÛ`+3x+2)(xÛ`+3x-4)

=(x+1)(x+2)(x+4)(x-1)

 (x+1)(x+2)(x+4)(x-1)

본책 47~51쪽 유 제

1 ⑴ xÛ`+3x=X로 놓으면 (주어진 식) =XÛ`-3X-4

=(X+1)(X-4)

=(xÛ`+3x+1)(xÛ`+3x-4)

=(x+4)(x-1)(xÛ`+3x+1)

⑵ (x+2)(x+1)(x-2)(x-3)-60

`={(x+2)(x-3)}{(x+1)(x-2)}-60

`=(xÛ`-x-6)(xÛ`-x-2)-60 xÛ`-x=X로 놓으면

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03

본책



2xÜ`-3xÛ`-3x+2 =(x+1)(2xÛ`-5x+2)

=(x+1)(2x-1)(x-2)

⑵   f(x)=3xÜ`+5xÛ`-16x-12라 하면 f(2)=24+20-32-12=0 이므로 x-2는 f(x)의 인수이다.

따라서 조립제법을 이용하여 2 3 5 -16 -12 6 22 12 3 11 6 0  f(x)를 x-2로 나누었을 때의

몫을 구하면 3xÛ`+11x+6이므로

3xÜ`+5xÛ`-16x-12 =(x-2)(3xÛ`+11x+6)

=(x-2)(x+3)(3x+2)

⑶  f(x)=xÝ`+xÜ`-4xÛ`-x+3이라 하면 f(1)=1+1-4-1+3=0, f(-1)=1-1-4+1+3=0 이므로 x-1, x+1은 f(x)의 인수이다.

따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 (x-1)(x+1)로 나누 었을 때의 몫을 구하면 xÛ`+x-3이므로

1 1 1 -4 -1 3 1 2 -2 -3 -1 1 2 -2 -3 0

-1 -1 3

1 1 -3 0

xÝ`+xÜ`-4xÛ`-x+3=(x-1)(x+1)(xÛ`+x-3)

⑷  f(x)=6xÝ`-13xÜ`-3xÛ`+12x-4라 하면 f(-1)=6+13-3-12-4=0, f(2)=96-104-12+24-4=0 이므로 x+1, x-2는 f(x)의 인수이다.

따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 (x+1)(x-2)로 나누 었을 때의 몫을 구하면 6xÛ`-7x+2이므로

-1 6 -13 -3 12 -4 -6 19 -16 4 2 6 -19 16 -4 0

12 -14 4 6 -7 2 0 6xÝ`-13xÜ`-3xÛ`+12x-4 =(x+1)(x-2)(6xÛ`-7x+2) =(x+1)(x-2)(2x-1)(3x-2)

 풀이 참조 9 f(x)=xÜ`-(a+2)xÛ`+(3a-1)x-2a+2라 하면

f(1)=1-(a+2)+(3a-1)-2a+2=0 이므로 x-1은 f(x)의 인수이다.

따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫을 구하면 xÛ`+(-a-1)x+2a-2이므로

5 xÝ`+5xÛ`+9 =(xÝ`+6xÛ`+9)-xÛ`

=(xÛ`+3)Û`-xÛ`

=(xÛ`+x+3)(xÛ`-x+3)

∴ ac+b+d=1´(-1)+3+3=5  5 6 ⑴ 주어진 다항식을 z에 대하여 내림차순으로 정리하면

-xÜ`+xyÛ`+xzÛ`-xyz-yÛ`z+yzÛ`

=(x+y)zÛ`-(xy+yÛ`)z-xÜ`+xyÛ`

=(x+y)zÛ`-y(x+y)z-x(x+y)(x-y)

=(x+y){zÛ`-yz-x(x-y)}

=(x+y)(z-x){z+(x-y)}

=(x+y)(z-x)(x-y+z)

⑵ 주어진 다항식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 2xÛ`+xy-3yÛ`+5x+5y+2

=2xÛ`+(y+5)x-(3yÛ`-5y-2)

=2xÛ`+(y+5)x-(3y+1)(y-2)

={2x+(3y+1)}{x-(y-2)}

=(2x+3y+1)(x-y+2)

⑶ 주어진 다항식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 -xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z-x)

=-xÛ`y-xyÛ`+yÛ`z+yzÛ`+zÛ`x-zxÛ`

=-(y+z)xÛ`-(yÛ`-zÛ`)x+yÛ`z+yzÛ`

=-(y+z)xÛ`-(y+z)(y-z)x+yz(y+z)

=-(y+z){xÛ`+(y-z)x-yz}

=-(y+z)(x+y)(x-z)

=(x+y)(y+z)(z-x)

 풀이 참조 7 주어진 다항식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면

  2xÛ`+xy-6yÛ`+3x-y+1

=2xÛ`+(y+3)x-(6yÛ`+y-1)

=2xÛ`+(y+3)x-(2y+1)(3y-1)

={x+(2y+1)}{2x-(3y-1)}

=(x+2y+1)(2x-3y+1) 따라서 a=2, b=-3, c=1이므로

a+b+c=0  0

8 ⑴  f(x)=2xÜ`-3xÛ`-3x+2라 하면 f(-1)=-2-3+3+2=0 이므로 x+1은 f(x)의 인수이다.

따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 x+1로 나누었을 때의 몫을 구하면 2xÛ`-5x+2이므로

-1 2 -3 -3 2

-2 5 -2

2 -5 2 0

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1 1 -(a+2) 3a-1 -2a+2 1 -a-1 2a-2

1 -a-1 2a-2 0

xÜ`-(a+2)xÛ`+(3a-1)x-2a+2

=(x-1){xÛ`+(-a-1)x+2a-2}

=(x-1)(x-2)(x-a+1)

 (x-1)(x-2)(x-a+1)

10 ⑴ 주어진 식을 인수분해하면

xÛ`y+xyÛ`+xÛ`+2xy+yÛ` =xy(x+y)+(x+y)Û`

=(x+y)(xy+x+y) 이때

x+y= 2+'22 + 2-'22 =2,

xy= 2+'22 ´ 2-'22 = 4-24 =;2!;

이므로

(주어진 식)=2´{;2!;+2}=5

⑵ 15=x로 놓으면 15Ý`+4

15´13+2 = xÝ`+4 x(x-2)+2

=(xÝ`+4xÛ`+4)-4xÛ`

xÛ`-2x+2

=(xÛ`+2)Û`-(2x)Û`

xÛ`-2x+2

=(xÛ`+2x+2)(xÛ`-2x+2) xÛ`-2x+2

=xÛ`+2x+2=(x+1)Û`+1

=(15+1)Û`+1=257

 ⑴ 5 ⑵ 257

11 1Û`-2Û`+3Û`-4Û`+5Û`-6Û`+7Û`-8Û`

=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+(5+6)(5-6) +(7+8)(7-8)

=-3-7-11-15=-36  -36

12 주어진 식의 좌변을 c에 대하여 내림차순으로 정리하면 aÜ`+aÛ`b+abÛ`+bÜ`-acÛ`-bcÛ`

=-(a+b)cÛ`+aÜ`+aÛ`b+abÛ`+bÜ`

=-(a+b)cÛ`+aÛ`(a+b)+bÛ`(a+b)

=(a+b)(aÛ`+bÛ`-cÛ`)

즉 (a+b)(aÛ`+bÛ`-cÛ`)=0이고, a+b+0이므로 aÛ`+bÛ`-cÛ`=0 ∴ aÛ`+bÛ`=cÛ`

따라서 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다.

 빗변의 길이가 c인 직각삼각형

01 ^전략 분배법칙을 이용하여 공통인수를 찾아 인수분해한다.

풀이 xÜ`-xzÛ`+xÛ`y-yzÛ` =x(xÛ`-zÛ`)+y(xÛ`-zÛ`)

=(x+y)(xÛ`-zÛ`)

=(x+y)(x+z)(x-z)  ④

02 ^전략 공통부분이 있으면 치환하여 인수분해한다.

풀이 ㄱ. 27xÜ`-27xÛ`y+9xyÛ`-yÜ`

=(3x)Ü`-3´(3x)Û`´y+3´3x´yÛ`-yÜ`

=(3x-y)Ü`

ㄴ. xÜ`+8 =xÜ`+2Ü`=(x+2)(xÛ`-2x+4) ㄷ. x+y=X로 놓으면

(x+y)Û`-2(x+y)-3 =XÛ`-2X-3

=(X+1)(X-3)

=(x+y+1)(x+y-3) ㄹ. xÛ`=X로 놓으면

xÝ`-8xÛ`+16 =XÛ`-8X+16=(X-4)Û`

=(xÛ`-4)Û`=(x+2)Û`(x-2)Û`

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.  ㄴ, ㄹ

03 ^전략 xÛ`+2x=X로 치환하여 인수분해한다.

풀이 xÛ`+2x=X로 놓으면

(xÛ`+2x)(xÛ`+2x-3)+2 =X(X-3)+2

=XÛ`-3X+2

=(X-1)(X-2)

=(xÛ`+2x-1)(xÛ`+2x-2) 따라서 a=2, b=-1이므로

a+b=1  ③

04 ^전략 공통부분이 생기도록 2개씩 묶어 전개한 후 공통부분을 치환하 여 인수분해한다.

풀이 (x-1)(x+1)(x+2)(x+4)-7 ={(x-1)(x+4)}{(x+1)(x+2)}-7

=(xÛ`+3x-4)(xÛ`+3x+2)-7 y ❶

xÛ`+3x=X로 놓으면

01④ 02ㄴ, ㄹ 03③ 04-15 05② 06⑤ 07-1 08(a+b)(b+c)(a-c) 09② 10풀이 참조 11④

12a=1, (x-1)(x+2)(x-4) 13120 14999 15-3 16② 17-5 18④ 1916'3 20⑤ 210.0651

중단원 연습 문제

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