1. 순 열 Ⅰ 순열과 조합
2 순열
순열의 수 01
1.1.<그림>과 같이 사각형 모양의 판에 개의 원이 삼각형 모양으로 그려져 있다. 각 원 안에 부터 까지의 자연수를 각각 하나씩 적어 삼각형의 각 변에 있는 세 원 안에 적힌 수의 합이 모두 같게 하려고 한다. 예를 들어 <그림>와 같이 적으면 삼각형의 각 변에 있는 수의 합이 모두 같다.
<그림> <그림>
이와 같이 <그림>의 원 안에 수를 적는 방법의 수를 구하시오.
[4점][2009(가) 3월/교육청 21]
2.2.서로 다른 네 종류의 모자 A , B , C , D 가 각각 개씩 모두 개 있다. 개의 모자를 <그림>과 같이 일정한 간격으로 배열된 개의 모자걸이에 각각 걸려고 한다. 이때, 모든 가로 방향과 모든 세로 방향 에 서로 다른 종류의 모자가 걸리도록 하려고 한다. <그림>는 이와 같 은 방법으로 모자를 건 예이다.
3 여러 가지 순열
두 집단을 배열하는 순열 03
3.3.A B C D E 명이 인용 소파에 명, 인용 소파에 명으로 나누어 앉으려고 한다. 이때 A 와 B 가 같은 소파에 이웃하여 앉는 방법 의 수를 구하시오.
[4점][2008(가) 3월/교육청 30]
4.4.남학생
명과 여학생
명이 함께 놀이 공원에 가서 어느 놀이기구를 타려고 한다. 이 놀이기구는 그림과 같이 한 줄에
개의 의자가 있고 모두
줄로 되어 있다. 남학생
명과 여학생
명이 짝을 지어
명씩 같은 줄에 앉을 때,
명이 모두 놀이기구의 의자에 앉는 방법의 수를 구하시오.[4점][2006(나) 6월/평가원 30]
확률과 통계 1. 순 열 원탁에 둘러앉는 방법의 수
04
5.5.A B C D 가지 색의 일부 또는 전부를 사용하여 그림과 같 은 프로펠러의 중앙 부분과 개의 날개 부분을 모두 칠하려고 한다. 인 접한 중앙 부분과 날개 부분은 서로 다른 색으로 칠하기로 할 때, 칠할 수 있는 방법의 수는? (단, 개의 날개는 모두 합동이고, 회전하여 같 은 경우에는 한 가지 방법으로 한다.)
[4점][2007(가) 3월/교육청 15]
① ② ③
④ ⑤
같은 것이 있는 순열의 활용 08
6.6.그림과 같이 이웃한 두 교차로 사 이의 거리가 모두 인 바둑판 모양 의 도로망이 있다. 로봇이 한 번 움 직일 때마다 길을 따라 거리 만큼 씩 이동한다. 로봇은 길을 따라 어느 방향으로도 움직일 수 있지만, 한 번 통과한 지점을 다시 지나지는 않는 다. 이 로봇이 지점 O 에서 출발하여
번 움직일 때, 가능한 모든 경로의 수는? (단, 출발점과 도착점은 일치 하지 않는다.)
[4점][2008(나) 9월/평가원 11]
① ② ③
④ ⑤
7.7.‘’은 개 이하, ‘’은 개를 사용하여 이진법의 수로 나타낼 수 있 는 자연수들을 원소로 하는 집합을 라 할 때,
집합 , 는 정수, ∈ , ∈ 의 원소의 개수 는?
[4점][2008(가) 4월/교육청 14]
① ② ③
④ ⑤
1. 순 열 Ⅰ 순열과 조합 최단 경로의 수
09
8.8.좌표평면 위의 점들의 집합 ∣와 는 정수 가 있다.
집합 에 속하는 한 점에서 에 속하는 다른 점으로 이동하는 ‘점프’
는 다음 규칙을 만족시킨다.
점 P 에서 한 번의 ‘점프’로 점 Q 로 이동할 때, 선분 P Q 의 길이는 또는
이다.* 배포 *
he lpmemath
* 작성자 *
점 A 에서 점 B 까지 번만 ‘점프’하여 이동하는 경우의 수를 구하시오. (단, 이동하는 과정에서 지나는 점이 다르면 다른 경우 이다.)
[4점][2009(가) 6월/평가원 25]
9.9.직사각형 모양의 잔디밭에 산책로가 만들어져 있다. 이 산책로는 그 림과 같이 반지름의 길이가 같은 원 개가 서로 외접하고 있는 형태이 다.
A 지점에서 출발하여 산책로를 따라 최단 거리로 B 지점에 도착하는 경우의 수를 구하시오. (단, 원 위에 표시된 점은 원과 직사각형 또는 원과 원의 접점을 나타낸다.)
[4점][2009(나) /수능 25]
10.10.그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리가 모두 같은 도로망이 있다.
집 서점
도서관
철수가 집에서 도로를 따라 최단거리로 약속장소인 도서관으로 가다가 어떤 교차로에서 약속장소가 서점으로 바뀌었다는 연락을 받고 곧바로 도로를 따라 최단거리로 서점으로 갔다. 집에서 서점까지 지나 온 길이 같은 경우 하나의 경로로 간주한다.
예를 들어, [그림1]과 [그림2]는 연락받은 위치는 다르나, 같은 경로이 다.
도서관
집 서점
✆
집 서점
도서관
✆
[그림1] [그림2]
철수가 집에서 서점까지 갈 수 있는 모든 경로의 수를 구하시오. (단, 철수가 도서관에 도착한 후에 서점으로 가는 경우도 포함한다.)
[4점][2012(가) 7월/교육청 30]
확률과 통계 2. 조 합
1 조합
조합의 수 01
11.11.집합 에서 원소가 개인 모든 부분집합을 각각 … 이라고 하자.
집합 ⋯ 의 모든 원소들의 합을 라고 할 때, … 의 값을 구하시오.
[4점][2006(나) 10월/교육청 24]
분류를 통한 조합의 계산 02
12.12.다음 조건을 만족시키도록 서로 다른 개의 바구니에 빨간색 공 개와 파란색 공 개를 모두 넣는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.)
[4점][2016(나) 10월/교육청 28]
(가) 각 바구니에 공은 개 이상, 개 이하로 넣는다.
(나) 빨간색 공은 한 바구니에 개 이상 넣을 수 없다.
뽑아서 나열하기 04
13.13.교내 수학경시대회에 A 학급 학생 명, B 학급 학생 명, C 학 급 학생 명이 참가 신청하였다. 그림과 같이 두 분단, 네 줄의 좌석에 다음 조건을 만족시키도록 이 학생 명을 배정하는 방법의 수를 구하시 오.
[4점][2016(나) 10월/교육청 30]
(가) 같은 줄의 바로 옆에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배정한 다.
(나) 같은 분단의 바로 앞뒤에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배정한다.
(다) 같은 학급 학생을 같은 분단에 배정 할 경우 학급 번호 가 작을수록 교탁에 가까운 자리에 배정한다.
교탁
분단
분단
첫째 줄 ➜
둘째 줄 ➜
셋째 줄 ➜
넷째 줄 ➜
2. 조 함 Ⅰ 순열과 조합
2 중복조합
01 중복조합
14.14. 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시 오.
[4점][2012예비(A) 5월/평가원 27]
정수해의 개수 02
15.15.다음 조건을 만족시키는 자연수 의 개수를 구하시오.
[4점][2016(가) 3월/교육청 27]
(가) 은 이상 이하의 홀수이다.
(나) 의 각 자리 수의 합은 이다.
3 분할
분할 및 분배의 수 02
16.16.좌우 대칭인 모양과 모양의 철사가 각각 두 개씩 있다.
그림과 같이 각 철사의 가운데를 서로 연결한 후, 여섯 군데의 고리에 서로 다른 개의 인형 A B C D E F 를 매달아 회전모빌을 만들려 고 한다. 이때 만들 수 있는 서로 다른 회전모빌의 개수를 구하시오.
(단, 그림의 ● 부분은 회전 가능하고, 모양의 두 철사는 합동이 다.)
[4점][2007(가) 3월/교육청 30]
자연수의 분할 03
17.17.자연수 의 분할 중에서, 이하의 자연수의 합으로 나타내어지는 서로 다른 분할의 수는?
[3점][2011(가) /수능 36]
① ② ③
④ ⑤
확률과 통계 2. 조 합
4 이항정리
다항식끼리의 곱에서 항의 개수 03
18.18.다항식 의 전개식에서 의 계수와 다항식
의 전개식에서 의 계수가 같게 되는 모든 순서쌍
에 대하여 의 최댓값을 구하시오. (단, 는 자연수이고, 은
≥ 인 자연수이다.)
[4점][2006(나) 수능(홀) 30]
이항계수의 성질 04
19.19. 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 공을 한 개씩 모두 꺼낼 때, 번째 ( , ,
⋯ , ) 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 라 하자. 인 두 자 연수 , 에 대하여 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) ≤ 이면 이다.
(나) ≤ 이면 이다.
(다) ≤ 이면 이다.
, 인 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣 지 않는다.)
[4점][2016(가) 10월/교육청 30]
등비수열의 합을 이용한 이항계수 06
20.20.다음은 두 자연수 과 ＜ 에 대하여
⋯ 의 값을 이항정리를 이용하여 구하는 과정이다.
는 이 아닌 실수라 하자.
은 다항식 에서 의 계수이다.
은 다항식 에서 의 계수이다.
⋮
은 다항식 에서 의 계수이다.
따라서
⋯ 은 다항식 (가) 에서 의 계수이다.
그러므로
⋯ (나) 이다.
위의 과정에서 (가)와 (나)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?
[4점][2004(나) 6월/평가원 17]
(가) (나)
①
②
③
④
⑤
1. 확률의 뜻과 활용 Ⅱ 확률
1 확률의 뜻
수학적 확률 01
21.21.주사위를 두 번 던질 때, 나오는 눈의 수를 차례로 이라 하자.
⋅ 의 값이 이 될 확률이
일 때, 의 값을 구하시오.
(단,
이고 는 서로소인 자연수이다.)[4점][2009(나) /수능 22]
22.22.두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 한 주사위 눈의 수가 다른 주사 위 눈의 수의 배수가 될 확률은?
[4점][2005(나) 수능(홀) 29]
①
②
③
④
⑤
순열을 이용한 확률 02
23.23. 명씩 탑승한 두 대의 자동차 A , B 가 어느 휴게소에서 만났다.
이들 명은 연료절약을 위해 좌석수가 개인 자동차 B 에 모두 승차하 려고 한다.
자동차 B 의 운전자는 자리를 바꾸지 않고 나머지 명은 임의로 앉을 때, 처음부터 자동차 B 에 탔던 명이 모두 처음 좌석이 아닌 다른 좌석 에 앉게 될 확률은
( , 는 서로소인 자연수)이다. 이 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2005(나) 10월/교육청 30]
24.24.오른쪽 그림은 어떤 오락기를 단순화하 여 그린 것이다. 이 오락기는 입구에 공을 넣 으면 A B C D 중 어느 한 곳을 지나면 서 그 위치의 꺼져 있는 전등은 켜지고, 켜져 있는 전등은 꺼지도록 되어 있다.
예를 들어, 전구가 모두 꺼진 상태에서 공을 두 번 넣어 두 번 모두 A 를 지나면 A 위치 의 전등은 켜졌다 꺼지고, 각각 A B 를 지 나면 A B 두 위치에 있는 전등은 모두 켜 지게 된다. 이와 같이 공이 지날 때마다 전등
이 켜지거나 꺼지기를 반복하다가
A B C D 네 곳 모두 전등이 켜지면 게임은 끝난다.
여섯 번째 공을 넣었을 때 이 게임이 끝나게 될 확률을
( 는 서
로소인 자연수)라고 하자. 이때, 의 값을 구하시오. (단, 처음 상태 는 전등이 모두 꺼져 있으며, 갈림길에서 양쪽 방향으로 공이 지나갈 확 률은 서로 같다.)
[4점][2006(가) 10월/교육청 25]
확률과 통계 1. 확률의 뜻과 활용 수형도를 이용한 확률
03
25.25.주머니 안에 스티커가 개, 개, 개 붙어 있는 카드가 각각 장 씩 들어 있다. 주머니에서 임의로 카드 장을 꺼내어 스티커 개를 더 붙인 후 다시 주머니에 넣는 시행을 반복한다. 주머니 안의 각 카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 으로 나눈 나머지가 모두 같아지는 사건을
라 하자. 시행을 번 하였을 때, 회부터 회까지는 사건 가 일어 나지 않고, 회에서 사건 가 일어날 확률을
라 하자. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2010(가) 9월/평가원 24]
2 확률의 덧셈정리
확률의 덧셈정리 01
26.26.A B C D 개의 축구팀이 있다. 이들은 각각 다른 모든 팀과
경기씩을 치르게 되고, 각각의 팀이 경기에서 이길 확률은
이다.
경기에서 모두 이기거나, 경기에서 모두 진 팀이 생길 확률을
( 은 서로소인 자연수)이라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 비기는 경기는 없다.)
[4점][2006(가) 3월/교육청 20]
여사건을 이용한 확률 03
27.27.다음 과정을 차례로 시행한다.
[과정 1] 한 모서리의 길이가 인 정육면체 개를 그림과 같 이 빈틈없이 쌓아 한 변의 길이가 인 정육면체 한 개 를 만든다.
[과정 2] 한 모서리의 길이가 인 정육면체의 한 밑면을 제외한 다섯 개의 면 전체에 색칠을 한다.
[과정 3] 모두 흩뜨린 후, 한 모서리의 길이가 인 개의 정 육면체 중에서 한 개를 임의로 선택한다.
위의 [과정 3]에서 적어도 한 면이 색칠 되어져 있는 정육면체를 선택 할 확률은
이다. 이때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로 소인 자연수이다.)
[3점][2010 3월/교육청(고1) 29]
1. 확률의 뜻과 활용 Ⅱ 확률
28.28.1부터 9까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 9개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적 혀 있는 수 가 다음 조건을 만족시킬 확률은?
[3점][2009(나) 9월/평가원 12]
(가) 는 홀수이다.
(나) × × 는 3의 배수이다.
①
②
③
④
⑤
29.29.그림과 같이 개의 전구와 전광판으 로 이루어진 신호기가 있다. 열의 전구 가 개 켜져 있는 경우 ․ 으로 계산 되고, 네 개의 열이 계산된 수의 합이 전광 판에 나타난다. 예를 들어 열에서 개, 열에서 개의 전구가 켜진 경우, 전광판에
이 나타난다. 개의 전구 중 임의로 개를 켤 때, 전광판에 짝수가 나타날 확률 을
( 는 서로소)라 하자. 의 값 을 구하시오.
[4점][2009(가) 7월/교육청 25]
30.30.집합 Y Z 에 대하여 조건 (가)를 만족시키는 모든 함수 → 중에서 임의로 하나를 선택하고, 조건 (나)를 만족시키는 모든 함수 → 중에서 임의 로 하나를 선택하여 합성함수 ∘ → 를 만들 때, 이 합성함 수의 치역이 일 확률은
이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는
서로소인 자연수이다.)
[4점][2008(가) 6월/평가원 24]
(가) 의 임의의 두 원소 에 대하여 ≠ 이면 ≠ 이다.
(나) 의 치역은 이다.
확률과 통계 2. 조건부확률
1 조건부확률
주머니에서 공을 꺼내는 곱셈정리 03
31.31.상자 A 에는 흰 공 개, 상자 B 에는 검은 공 개가 들어 있다.
다음과 같이 [실행 ]부터 [실행 ]까지 할 때, 상자 B 의 흰 공의 개수 가 홀수일 확률이
이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소 인 자연수이다.)
[4점][2014(A) 7월/교육청 28]
[실행 ] 상자 A 에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내어 상자 B 에 넣는다.
[실행 ] 상자 B 에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내어 상자 A 에 넣는다.
[실행 ] 상자 A 에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내어 상자 B 에 넣는다.
곱셈정리를 이용한 조건부확률(2) 07
32.32.주머니 에는 검은 구슬 개가 들어 있고, 주머니 에는 검은 구슬 개와 흰 구슬 개가 들어 있다. 두 주머니 , 중 임의로 선 택한 하나의 주머니에서 동시에 꺼낸 개의 구슬이 모두 검은 색일 때, 선택된 주머니가 이었을 확률은?
[3점][2012예비(B) 5월/평가원 10]
①
②
③
④
⑤
33.33.한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.
(가) 한 번 던져 나온 눈의 수가 이상이면 나온 눈의 수를 점 수로 한다.
(나) 한 번 던져 나온 눈의 수가 보다 작으면 한 번 더 던져 나온 눈의 수를 점수로 한다.
시행의 결과로 얻은 점수가 점 이상일 때, 주사위를 한 번만 던졌을 확률을
라 하자. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2012예비(A) 5월/평가원 29]
2. 조건부확률 Ⅱ 확률
2 사건의 독립과 종속
독립사건의 계산 03
34.34.두 사건 , 가 서로 독립이고
∩
, ∩
일 때, 의 값은? (단, 은 의 여사건이다.)
[3점][2012예비(A) 5월/평가원 5]
①
②
③
④
⑤
35.35.두 사건 , 가 서로 독립이고
, ∪
일 때, 의 값은? (단, 은 의 여사건이다.)
[3점][2012예비(B) 5월/평가원 4]
①
②
③
④
⑤
3 독립시행의 확률
독립시행의 확률의 확률 03
36.36.어느 회사에서 만든 휴대전화 배터리의 지속 시간은 평균 시간 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 만든 개의 배터리 중에서 지속 시간이 시간 이상인 배터리가 개 이상일 확률은?
[4점][2004(나) 9월/평가원 29]
①
②
③
④
⑤
다항정리의 독립시행 04
37.37.여섯 면에 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 정육면 체 모양의 주사위가 있다. 이 주사위를 번 반복하여 던질 때, 의 배수가 번 나올 확률을 P 라 하자.
P P 의 값은?
[4점][2010(가) 3월/교육청 28]
①
②
③
④
⑤
확률과 통계 1. 확률분포
3 연속확률변수와 확률밀도함수
확률밀도함수의 성질 01
38.38.두 양수 에 대하여 연속확률변수 가 갖는 값의 범위는
≤ ≤ 이고, 확률밀도함수의 그래프는 다음과 같다.
P
≤ ≤
일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2007(나) 수능(홀) 24]
39.39.연속확률변수 의 확률밀도함수 가 다음과 같다.
≤ ≤
매회의 시행에서 사건 가 일어날 확률이 P ≤ ≤ 로 일정할 때, 회의 독립시행에서 사건 가 회 이상 일어날 확률을
라 하
자. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점][2008(나) 9월/평가원 30]
40.40.연속확률변수 가 갖는 값의 범위는 ≤ ≤ 이고, 의 확 률밀도함수의 그래프는 그림과 같다.
P ≤ ≤
일 때, 두 상수 , 의 합 의 값은?
[3점][2012예비(A) 5월/평가원 8]
①
②
③
④
⑤
2. 통계적 추정 Ⅲ 통계
1 모집단과 표본
표본평균의 평균과 분산 01
41.41.다음은 어떤 모집단의 확률분포표이다.
계
P
이 모집단에서 크기가 인 표본을 복원추출하여 구한 표본평균을 라 하자. 의 평균이 일 때, P 의 값은?
[4점][2009(나) /수능 29]
①
②
③
④
⑤
표본평균의 분포와 확률 구하기 03
42.42.어느 고등학교 학생들의 일주일 독 서 시간은 평균 시간, 표준편차 시간 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 고등학 교 학생 중 임의추출한 명의 일주일 독서 시간의 평균이 시간 분 이상
시간 분 이하일 확률을 아래 표준 정규분포표를 이용하여 구한 것은?
[4점][2012예비(A) 5월/평가원 14]
① ② ③
④ ⑤
3 모비율의 추정
표본비율의 분포 01
43.43.어느 지역 학생 중에서 일주일 동안 시간 이상 독서를 한 학생의 비율이 라고 한다. 이 지역에서 학생 명을 임 의추출할 때, 일주일 동안 시간 이상 독 서를 한 학생이 명 이하일 확률을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?
[4점][2012예비(B) 5월/평가원 19]
① ② ③
④ ⑤
모비율의 추정 02
44.44.우리나라 성인을 대상으로 특정 질병에 대한 항체 보유 비율을 조 사하려고 한다. 모집단의 항체 보유 비율을 , 모집단에서 임의로 추출 한 명을 대상으로 조사한 표본의 항체 보유 비율을 이라고 할 때,
≤
일 확률이 이상이 되도록 하는 의 최솟값을 구하시오. (단, 가 표준정규분포가 따르는 확률변수일 때, P ≤ ≤ 이다.)[4점][2011(가) /수능 35]
≤ ≤
≤ ≤
정답과 해설 교육청/평가원
빠른 정답 정답과 해설
1. [정답]
[풀이]
[출제의도] 주어진 상황에서 일어날 수 있는 경우의 수를 구할 수 있 는가를 묻는 문제이다.
꼭짓점의 위치에 있는 원에 들어가는 수를 각각 라 할 때, 각 변에 있는 세 수의 합이 모두 같으므로 의 값이 의 배수가 되어야 한다.
따라서 의 값도 의 배수가 되어야 한다.
이 중에서 가능한 집합 는
, , , 이고,
이 네 개의 집합에 대하여 숫자를 배열하는 경우의 수는 각각
가지이므로 구하는 방법의 수는 × (가지)이다.
2. [정답]
[풀이]
[출제의도] 순열의 뜻을 이해하여 조건에 맞는 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
맨 위 가로줄에 모자를 거는 방법의 수는 이다.
맨 위에 A B C D 의 순서로 배열할 때 A 의 아래에 B 가 오는 경우는 다음과 같이 가지 경우가 있다.
맨 위 A B C D
가운데
B A D C
B C D A
B D A C
위의 경우 중에서
맨 위 A B C D
가운데 B A D C
인 경우 맨 아래 줄에 배열하는 방법이 가지이고, 나머지 경우는 각각
가지씩 있으므로 구하는 방법의 수는 × × 이다.
3. [정답]
[풀이]
[출제의도] 순열과 조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
(i) A, B 가 인용 소파에 앉는 경우의 수는
× × (가지)
(ii) A, B 가 인용 소파에 앉는 경우의 수는
× × (가지) (i), (ii)에서 구하는 경우의 수는
(가지)
4. [정답] 160 [풀이]
[출제의도] 순열과 조합
놀이 기구의 좌석을 다음과 같이 나타내면 A
B
(ⅰ) A행의 좌석에서 개를 택하여 남학생 두 명을 앉히는 방법의 수는
1 2 3 4 160 5 ④
6 ③ 7 ③ 8 9 10
11 105 12 13 14 15
16 45 17 ③ 18 19 20 ①
21 22 ③ 23 33 24 35 25
26 13 27 214 28 ① 29 30 13
31 32 ④ 33 34 ③ 35 ⑤
36 ⑤ 37 ② 38 39 37 40 ①
41 ④ 42 ② 43 ③ 44
수학Ⅱ 정답과 해설
[풀이]
[출제의도] 순열을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문 제이다.
주어진 프로펠러를 칠하는데 사용된 색의 수로 구분한다.
(ⅰ) 2가지 색이 사용된 경우
에 사용될 색을 택하여 칠하는 방법의 수는 P
(ⅱ) 3가지 색이 사용된 경우
에 사용될 색을 택하여 칠하는 방법의 수는
PP× P×
(iii) 4가지 색이 모두 사용된 경우
에 사용될 색을 택하여 칠하는 방법의 수는
PP×
따라서 구하는 방법의 수는
(가지)
6. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 같은 문자가 들어있는 수열
•
•
•
•
•
•
•
• • •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
로봇이 원점 O에서 출발하여 번 움직일 때 가능한 모든 경로의 수는 오른쪽 그림과 같이 나타내는 점들이다.
오른쪽으로 칸 움직이는 것을 왼쪽으로 칸 움직이는 것을 ′
위쪽으로 칸 움직이는 것을
아래쪽으로 칸 움직이는 것을 ′라 하면
(ⅰ) 원점 O에서 점 A로 움직이는 경우의 수는 를 개 나열하는 경우의 수
가지
(ⅱ) 원점 O에서 점 B F로 움직이는 경우의 수는 한 개 를 개 또는 를 개 를 한 개 나열하는 경우의 수이므로
가지
(ⅲ) 원점 O에서 점 C 로 움직이는 경우의 수는 가 개 ′ 각각
개씩 나열하는 경우의 수이고 단 와 ′는 한번 통과 한 지점은
ⅰ) , 의 자리의 수가 , 인 수(‘’을 개 배열하는 방법)를 순서쌍으로 정하는 경우 : × 가지
ⅱ) , 의 자리의 수가 , 또는 , 인 수(‘’을 개, ‘’을 개 배열하는 방법)를 순서쌍으로 정하는 경우
×
×
가지ⅲ) , 의 자리의 수가 , 인 수(‘’을 개, ‘’을 개 배열하는 방법)를 순서쌍으로 정하는 경우
⋅
× ⋅
가지
ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여
8. [정답]
[풀이]
점프 방법은 → ↗ ↘ 의 세 가지 경우가 있다.
→ : ↗ : ↘ : 로 나타내면 4번을 점프하여 에서 로 이동하는 경우는
를 배열하는 경우의 수로 나타낼 수 있다.
ⅰ) : 1가지
ⅱ) :
가지 iii) :
∴ 가지
9. [정답]
[풀이]
• •
•
•
• •
•
•
• •
•
•
• •
•
•
• •
•
•
• •
•
•
• •
•
•
• •
•
•
B 지점 A 지점
[그림 1]
•
• A
Q
정답과 해설 교육청/평가원
10. [정답]
[풀이]
[출제의도] 경우의 수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
집 서점
도서관
ⅰ) 연락 받은 교차로가 에 있는 경우:
ⅱ) 연락 받은 교차로가 에 있는 경우:
ⅲ) 연락 받은 교차로가 에 있는 경우:
ⅳ) 연락 받은 교차로가 에 있는 경우:
∴
11. [정답] 105 [풀이]
[출제의도] 경우의 수를 이용하여 집합의 원소의 합을 구할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
를 포함하는 원소가 세 개인 부분집합의 개수는 C 이므로
는 번 더해진다. 다른 개의 원소에 대해서도 같은 방법으로 생각하면 모두 번 더해지므로 구하는 합은
…
12. [정답]
[풀이]
[출제의도] 조합을 활용하여 주어진 조건을 만족하는 문제를 해결한 다.
우선 빨간색 공을 넣는 방법의 수는 C
모든 바구니에 공이 적어도 하나씩 들어가야 하므로 빨간색 공을 넣지 않은 빈 바구니에 파란색 공을 각각 개씩 넣는다.
남은 개의 파란색 공을 서로 다른 개의 바구니에 각각 개 이하로 넣는 경우의 수는 다음과 같다.
ⅰ) 인 경우
파란색 공을 넣는 경우의 수는 C
C A C
A A
()
C A C A A
()
C A
A A C ()
ⅱ) 둘째 줄에 A 학급 학생이 앉지 않는 경우 A
C A C A
()
A C C
A A
() A
C C A A
()
ⅲ) 셋째 줄에 A 학급 학생이 앉지 않는 경우 A
C A C A
() A
A C A C
()
C A A
C A
()
ⅳ) 넷째 줄에 A 학급 학생이 앉지 않는 경우 A
C A A
C ()
A A A C C
()
A C A A
C ()
( )과 ( )의 경우 C 학급 학생이 같은 분단에 배정되어 학급 번호가 작은 학생이 항상 앞줄에 앉기 때문에 C 학급 학생이 배정되는 방법의 수는 이다.
( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( )의 경우 C 학급 학생이 서로 다른 분단에 배정되는 방법의 수는 이다.
그러므로 C 학급 학생이 배정되는 모든 방법의 수는
× ×
A학급 학생이 배정되는 방법의 수는 B학급 학생이 배정되는 방법의 수는
분단에 A 학급 학생 명이 배정되는 경우 학생이 배정되는 방법의 수는 × ×
분단에 A 학급 학생이 명 배정되는 경우는
분단에 A 학급 학생이 명 배정되는 경우와 같으므로 위에서 구한
분단에 A 학급 학생이 명 배정되는 방법의 수와 같다.
따라서 구하는 방법의 수는 × × ×
14. [정답]
[풀이]
에서 개의 문자에서 중복을 허용하여 개를 선택하는 경우의 수만큼 서로 다른 항이 존재하므로
마찬가지로 에서
∴ ×
15. [정답]
[풀이]
[출제의도] 중복조합을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 자연수의 개수를 구한다.
조건 (가)와 (나)를 만족시키는 자연수 을
로 놓으면
수학Ⅱ 정답과 해설
[출제의도] 분할과 분배에 관한 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문 제이다.
와 의 위치에 개의 인형 중 개를 매다는 방법의 수는
C
×
(가지) 나머지 개의 인형을 개씩 두 묶음으로 나누어 와
에 매다는 방법의 수는
C×C×
×
×
(가지) 따라서 구하는 모든 경우의 수는
× (가지)
17. [정답] ③ [풀이]
ⅰ) 이 하나도 없는 경우
의 합으로 을 만들려면, 의 개수는 네 가지이다.
∴ 가지
ⅱ) 이 개가 있는 경우
의 합으로 를 만들려면, 개의 개수는 세 가지이다.
∴ 가지
ⅲ) 이 개가 있는 경우
의 합으로 을 만들려면, 가능한 방법은 가지뿐이다.
∴ 가지
ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 분할의 수는 (가지)
18. [정답]
[풀이]
의 전개식에서 의 계수는
C
의 전개식에서
의 계수는 C
이 때,
즉,
이어야 하므로
∴
㉠을 만족하는 모든 경우는 다음과 같다.
따라서 구하는 의 최댓값은 이다.
19. [정답]
[풀이]
[출제의도] 이항정리를 이용하여 경우의 수를 구하는 문제를 해결한 다.
부터 까지의 개의 수 중에서 최솟값은 , 즉 , 는
보다 큰 수이므로 최댓값은 이다.
의 값은 부터 까지 취할 수 있다.
그러므로 구하는 값은 ⅰ)에 의해
C 따라서 로 놓으면
일 때 이고, 일 때 이므로
C
C
[다른풀이]
구하는 경우의 수는 , , , 가 적힌 개의 공을 제외한 개의 공을 첫 번째와 번째 사이, 번째와 번째 사이,
번째와 번째 사이로 나누는 경우의 수와 같다. 그러므로
C× C⋅CC⋅CC⋅C
C⋅CC⋅CC⋅ C× C⋅CC⋅CC⋅C
C⋅CC⋅ C× C⋅CC⋅CC⋅CC⋅
C× C⋅CC⋅CC⋅
C× C⋅CC⋅
C× ⋅
[다른풀이]
부터 까지의 개의 수 중에서 최솟값은 , 즉 , 는
보다 큰 수이므로 최댓값은 이다. 이 적힌 공을 꺼내는 경우는 첫 번째와 번째 사이, 번째와 번째 사이, 번째와 번째 사이 중 하나이므로 그 경우의 수는 이다. 이 적힌 공을 꺼내는 경우의 수도 같은 방법으로 생각하면 각각 이다. 따라서 구하는 경우의 수는 이다.
20. [정답] ① [풀이]
⋯
의 전개식에서 의 계수이다.
∴ Cmm Cm ⋯ nCmn Cm
∵
이므로
은 차식이므로 의 계수는 존재하지 않고
은 의 전개식의의 계수가 의 계수이다.
21. [정답]
[풀이]
⋅ ⋅ 이므로
⋅ 의 값이 1이 되는 경우는
이 짝수이고
또는 이 홀수이고 이다.
(1) 이 짝수이고 인 경우는
의 가지
정답과 해설 교육청/평가원
따라서 구하는 확률은
23. [정답] 33 [풀이]
명이 개의 좌석에 앉는 경우의 수는
(ⅰ) 자동차 에 탔던 명끼리 자리를 바꾸어 앉고 나머지 개의 좌석에 자동차 에서 온 명이 자리에 앉는 경우의 수
(가지)
(ⅱ) 자동차 에 탔던 명이 자신들이 앉지 않았던 개의 좌석에 앉는 경우의 수 P, 그 각각의 경우에 대하여 자동차 에서 온 사람이 앉는 경우의 수는 (가지)이므로, P×
(ⅲ) 자동차 에 탔던 명 중 명은 다른 명 자리로 가고 나머지
명은 비었던 자리에 앉는 경우의 수 ×
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는
이므로 구하는 확률 P는 P
∴
24. [정답] 35 [풀이]
[출제의도] 확률을 적용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
투입된 공이 A B C D에 도달할 확률은 각각
이다.
네 곳 모두 켜지려면 한 곳은 세 번, 세 곳은 각각 한 번씩 공이 도달해 야 한다. 여섯 개의 공이 A 에 세 개 B C D 에 각각 한 개씩 도달하는 경우의 수는 A A A B C D를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므 로
이고 이 중 네 개의 공이 A B C D에 각각 한 개씩 도달하여 네 번째 공 만에 게임이 끝나는 경우인 가지가 제외되어야 한다.
B C D에 세 개의 공이 도달하는 경우도 마찬가지이므로 구하는 확률은
×
25. [정답]
[풀이]
카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지를 로 나타내기로 하자.
카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지가 각각 (0, 1, 2) 이면 두 번의 시행으로는 (0, 0, 0) 또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)를 만들 수가 없다.
또한, 세 번의 시행으로 나올 수 있는 모든 경우의 수는 × ×
이고 세 번의 시행에서 (0, 0, 0)이 되는 경우는 (0,1,2)→(0,2,2)→(0,2,3)→(0,3,3)
(0,1,2)→(0,2,2)→(0,3,2)→(0,3,3) (0,1,2)→(0,1,3)→(0,2,3)→(0,3,3)
의 3가지이고 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)가 될 수 있는 경우도 각각 3가지씩이다.
따라서 3번째 시행에서 사건 A가 일어나지 않을 확률은
C
A가 전승팀이 될 확률은
×
×
× × ×
이고, 네 팀이므로 전승팀이 존재할 확률은
×
(ⅱ) 전패팀이 존재할 확률 :
(ⅲ) (전승, 전패)가 동시에 존재할 확률 :
A B 가 (전승, 전패)일 확률은
×
×
×
×
×
이므로 (전승, 전패)가 동시에 존재할 확률은
×C×
따라서 구하는 확률은
∴
27. [정답] 214 [풀이]
[출제의도] 여사건의 확률을 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
적어도 한 면이 색칠되어져 있는 정육면체를 선택할 확률은 어떤 면도 색칠되지 않은 것을 선택할 사건의 여사건의 확률이다.
어떤 면도 색칠되지 않은 정육면체의 개수는 × × 이다. 따라서 적어도 한 면이 색칠 되어져 있는 정육면체를 선택할 확률
이다.
와 는 서로소이므로 이다.
[다른풀이]
적어도 한 면이 색칠된 정육면체의 개수는 × × × 이므로 구하는 확률
이다.
와 는 서로소이므로 이다.
28. [정답] ① [풀이]
로 순서가 정해져 있기 때문에, 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼내는 가짓수는 이다.
(가) 가 홀수이려면, {짝,짝,홀} 또는 {홀,홀,홀}
(나) × × 가 3의 배수이려면, 적어도 하나는 3의 배수이어야 한다.
이 두 조건을 모두 만족시키기 위해 다음과 같이 생각한다.
i) {짝,짝,홀}의 경우
- 6이 포함된 경우 홀수는 아무 수나 가능 - 6이 포함되지 않은 경우 홀수는 3이나 9만 가능
∴ (2,6),(4,6),(6,8)에 들어갈 홀수는 5가지
→ ×
(2,4),(2,8),(4,8)에 들어갈 홀수는 2가지
→ × ii) {홀,홀,홀}의 경우
- 3이 포함되는 경우 나머지 두 개의 공을 꺼내는 가짓수는 - 9가 포함되는 경우 나머지 두 개의 공을 꺼내는 가짓수는 - 3, 9가 동시에 포함되는 경우 나머지 한 개의 공을 꺼내는 가짓수는
수학Ⅱ 정답과 해설
따라서 구하는 확률은
30. [정답] 13 [풀이]
[출제의도] 확률
조건 (가)를 선택하는 경우의 수는 이 문제에서 생각할 필요가 없다.
따라서 일어날 수 있는 경우의 수는 조건 (나)를 만족시키는 함수 를 선택하는 경우의 수와 같다.
조건 (나)를 만족시키는 함수 를 선택하는 경우의 수는 의 각 원소가
의 각 원소에 대응하는 함수 중에서 의 모든 원소가 또는 에 모두 대응하는 경우를 제외해야 하므로 × × × 이다.
또한, 합성함수의 치역이 가 되는 경우는 함수 에 의해 에 대응된 원소가 3개이므로 함수 에 의해 에 대응하는 함수의 개수는
× × 이지만 치역이 이어야 하므로 조건에 맞는 경우는
이다. 여기에 의 나머지 원소 1개가 의 원소 또는 에 각각 대응하는 경우를 생각해야 하므로 배의 경우의 수가 나온다.
그러므로 일어날 수 있는 경우의 수는 × 이다.
따라서 구하는 확률은
이다.
∴
∴
31. [정답]
[풀이]
[출제의도] 확률의 덧셈정리를 이용하여 수학외적 문제해결하기 [실행]까지 할 때, 상자 B 의 흰 공의 개수가 홀수가 되려면 (ⅰ) [실행]에서 상자 B 에서 검은 공 개를 상자 A 로 넣고
[실행]에서는 상자 A 에서 검은 공 개, 흰 공 개를 상자 B 로 넣는 경우
C
C
× C
C×C
(ⅱ) [실행]에서 상자 B 에서 검은 공 개, 흰 공 개를 상자 A 로 넣고 [실행]에서는 상자 A 에서 흰 공 개를 상자 B 로 넣는 경우
C
C×C
× C
C
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여
따라서
32. [정답] ④ [풀이]
임의로 선택한 하나의 주머니에서 동시에 꺼낸 개의 구슬이 모두 검은 색일 확률
×
×
C
C
,
주머니에서 꺼낸 개의 구슬이 모두 검은 색일 확률
×
C
C
이므로 구하는 조건부 확률은
이다.
33. [정답]
[풀이]
⋅ , ⋅ 에서
∴
35. [정답] ⑤ [풀이]
, 와 은 서로 독립이므로
∪ ,
∴
36. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 확률
휴대전화 배터리의 지속 시간이 평균 60인 정규분포를 따르므로 지속 시간이 60시간 이상일 확률은
이고, 60시간 미만일 확률은
이다.
이 때, 8개의 배터리 중에서 지속 시간이 60시간 이상인 배터리가 2개 이상일 확률은 60시간 이상인 배터리가 하나도 없거나 1개가 나오는 사건의 여사건이므로
C
C
37. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 독립시행의 확률과 이항정리를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
P C
⋯
P P
P P P P ⋯ P P
C
C
C
⋯ C
C
38. [정답]
[풀이]
P ≤≤
∴ ⋯⋯ ㉠ (i) ＜ ≤ 일 때 P
≤≤
⋅
⋅
⋅
정답과 해설 교육청/평가원
O
P ≤≤ 은 삼각형 S의 넓이와 같으므로
× ×
∴ 사건 A가 회 이상 일어날 확률은 P P C
⋅
C
×
×
×
∴
40. [정답] ① [풀이]
,
, ∴
41. [정답] ④ [풀이]
이므로
⋅
∴
크기가 인 표본을 복원추출할 때, 인 경우는
과 , 과 , 과 을 추출하는 경우이므로 P
P ⋅P P ⋅P
P ⋅P
⋅
⋅
⋅
42. [정답] ② [풀이]
∼ 이고 이므로 ∼
≤ ≤
≤≤
43. [정답] ③ [풀이]
×××
따라서 은 이상이어야 한다.
