3. 평면에서의 정정보 및 라멘의 해석
3.1. 개설
■ 단면력이란 부재의 변형으로부터 야기되는 단면의 응력을 단면적에 대하여 적분함 으로 부재의 중심축에 작용하는 단순화된 크기로 표현된 힘: 전단력(), 휨(곡)모 멘트(), 축력(), 비틀림 모멘트()
■ 구조물의 기하형상과 작용하는 하중이 한 평면에서 정의된 경우 평면구조물(2차원 구조물)로서 부재의 단면에 나타나는 단면력은 전단력, 모멘트 및 축력
■ 공간 구조물(3차원 구조물)에는 비틀림(Torsion) 변형 및 비틀림 모멘트(Torsional moment)가 추가적으로 발생
■ 보(Beam)는 부재 축에 대하여 수직으로 작용하는 하중을 받는 부재로, 휨 변형이 발생하고 이로 인해 부재단면에 전단력과 모멘트가 발생, 흔히 실무에서는 기둥과 기둥을 연결하는 큰 보를 ‘거더(Girder)’라 하고 거더와 거더 사이에 연결되는 작 은 보는 ‘보’라 구분하여 부르기도 함.
■ 보에 축의 수직방향 하중 외에 축 방향 하중이 작용할 경우 보는 휨부재 뿐만 아니 라 인장 또는 압축부재로 거동하므로 단면에 전단력 및 모멘트 외에 축력이 발생
■ 라멘은 휨 부재인 보 와 압축부재인 기둥이 조합된 구조물로 각각의 부재에 휨 및 축 변형이 발생하므로 전단력, 모멘트 및 축력이 나타남.
3.2. 휨부재의 단면력 해석
■ 단면력의 (+) 부호 정의: 부재의 축방향을 기준으로 한 국부좌표에 대하여 양단면 에서의 + 축방향의 힘 (축력, 전단력)을 양의 값으로 정의, 모멘트의 경우 +Z측에 +응력이 작용하고 있는 단면 응력 상태를 적분한 모멘트 방향을 양의 값으로 정의
양단면 (Positive Cross Section) 음단면(Negative Cross Section)
■ 단면력의 계산
(1) 부재의 국부 좌표계를 설정 (2) 반력 산정
(3) 단면력을 구하고자하는 위치에서 절단하여 미지 단면력을 양의 값으로 표현하고 반력 및 하중을 포함한 자유물체도 작성
(4) 3개의 평형조건식을 이용하여 3개의 미지 단면력을 계산
예제 3.1
지점 D와 지점 E의 좌, 우측에서의 축력 및 전단력과 모멘트를 구하시오.
q=5kN/m A
P =10kN
D E
H P =20kN·m
B C F G
1m
60°
1m 2m 6m 2m 1m 1m
1
2
1. 정정판별
2. 반력산정
3. 단면력 산정
(1) 지점 D 좌측에서의 단면력: 자유물체도
A B C D
1m 1m 2m
L
(2) 지점 D 우측에서의 단면력: 자유물체도
A B C D
1m 1m 2m
R
(3) 지점 E 좌측에서의 단면력: 자유물체도
E H
F G
1m 1m 2m
L
(4) 지점 E 우측에서의 단면력: 자유물체도
E H
F G
1m 1m 2m
R
위의 결과로부터
§ 지점 전후에서 전단력은 반력 크기만큼 변화 (Jump)하고, 휨모멘트는 변화하지 않음
§ 즉, 전단력은 집중하중 전후에서 하중의 크기만큼 Jump한다.
·
·
예제 3.2
지점 A의 상부 및 우측, 지점 B, 지점 C의 좌, 우측에서의 전단력과 모멘트를 구하시오.
C D
E G
A B F
q =10kN/m
q =30kN/m
q =20kN/m
3m 3m 3m 3m 3m 3m
1.5m
H
1.5m
P =50kN
q =10kN/m
I
1
1
2,L
2,R
3
1. 정정판별
2. 반력산정
(1) 전체 자유물체도
→
∴
(←)
(2) 자유물체도
E G
A
3m 1.5m
H
1.5m P =50kN
q =10kN/m
1
1
(3) 자유물체도
F D
q =20kN/m
33m
→
∴
× × ×
∴
↑
∴
→
∴
× × ∴
↑
× ∴
(4) 자유물체도
E B C F
q =10kN/m
q =30kN/m
3m 3m 3m 3m
I
2,L
2,R
2. 단면력 산정
(1) 지점 A 상부에서의 단면력: 자유물체도
G
1.5m
H
1.5m
P =50kN
q =10kN/m
1
1
A
3m
U
(2) 지점 A 우측에서의 단면력: 자유물체도
G
A
3m 1.5m
1.5m
P =50kN
q =10kN/m
1
1
R
(3) 지점 B 좌측에서의 단면력: 자유물체도
E G
A B
3m 3m
1.5m
H
1.5m
P =50kN
q =10kN/m
1
1
L
× × × × × ×
× × ∴
↑
× × × ∴
(4) 지점 B 우측에서의 단면력 : 자유물체도
E G
A B
3m 3m
1.5m
H
1.5m P =50kN
q =10kN/m
1
1
R
(5) 지점 C 좌측에서의 단면력 : 자유물체도
C F D
q =20kN/m3
3m 3m
L
(6) 지점 C 우측에서의 단면력 : 자유물체도
C F D
q =20kN/m3
3m 3m
R
- 반력
- ≤ ≤
- ≤ ≤
■ 단면력식 및 단면력도
￭ 앞에서는 부재내의 한 단면에 대한 단면력을 계산
￭ 부재의 모든 점에서의 단면력이 요구 될 경우 부재축에 대한 함수
로 표현하고, 그래프로 도식화; 전단력도(Shear Force Diagram), 모멘트도(Bending Moment Diagram), 축력도(Normal Force Diagram)
￭ 아래와 같은 하중을 받는 단순보의 단면력식 및 단면력도
- ≤ ≤
- 단면력도
위의 결과로부터
§ 집중하중 작용 점에서 전단력은 Jump하고 휨모멘트도는 꺽인다.
§ 하중이 없는 구간에서 전단력도는 상수함수, 휨모멘트도는 1차식
§ 하중이 상수함수(등분포)구간에서, 전단력도는 1차식, 휨모멘트도는 2차식
§ 전단력과 휨모멘트도는 하중함수의 차수보다 각각 1차, 2차 높은 함수로 나타난다.
3.3. 보의 단면력도 (전단력도(SFD), 휨모멘트도(BMD))
■ 하중, 전단력 및 모멘트 관계
∆
임의의 부재축 수직방향 하중 를 받는 위의 보 시스템의 미분요소에 대하여
∆
∆
∆
■ 수직력
￭ 수직력에 대한 평형조건식으로 부터
↓
∆ ·∆ (3-1) ∆·∆ (3-2)
lim
→
,
(3-3a,b)
⇒ 전단력의 기울기 함수는 하중함수 × (-1)과 같고, 한 점 에서 전단력 함 수의 기울기 값은 그 점에 작용하는 분포하중의 크기 × (-1)
￭ 식(3-3a)의 양변을 적분하면
(3-4)
,
(3-5a,b)
⇒ 구간 에서 전단력크기의 변화( )는 그 구간에 작용하는 분포 하중의 합 × (-1), 점 b의 전단력 는 a점의 전단력에서 그 구간
에 작용하는 분포하중의 합을 감소시키므로 구할 수 있다.
■ 휨모멘트
￭ 휨모멘트에 대한 평형조건식으로 부터
↷
∆·
∆
(3-6)
∆·
∆
(3-7)
lim
→
,
(3-8a,b)
⇒ 휨모멘트의 기울기 함수는 전단력함수와 같고, 한 점 에서 모멘트 함수 의 기울기 값은 그 점에 작용하는 전단력의 크기
￭ 식(3-8a)로부터
,
(3-9a,b)⇒ 구간에서 모멘트크기의 변화( )는 그 구간에 작용하는 전단력 의 합
예)
￭ 집중하중(), 휨모멘트하중()을 받는 미분요소에 대하여
∆
∆
↓
(3-10)
(3-11)
⇒ 집중하중 (모멘트 하중 )가 작용하는 점에서는 전단력(모멘트)은 불연속 이고, 작용하중의 반대방향으로 만큼 jump한다.
예)
n 집중하중은 등분포하중의 폭이 무한소일 경우이며 모멘트도는 집중하중 작용 점에서 꺽인다.
∆
m ax
m ax
·
m ax
∆·
∆·
∆
·∆, lim
∆ → m axm ax
￭ 전단력도 및 휨모멘트도의 예
예1)
예2)
예3)
··
m ax
m ax
··
예4)
m ax
m ax
■ 하중, 축력 관계
∆
■ 임의의 부재 축방향 분포하중 을 받는 위의 봉 시스템의 미분요소에 대하여
∆
∆
￭ 수평력에 대한 평형조건식으로 부터
→
∆ (3-12)
∆ (3-13)
lim
∆ → ∆
∆
,
(3-14a,b)
⇒ 축력의 기울기 함수는 하중함수 × (-1)과 같고, 한 점 에서 축력 함수의 기울기 값은 그 점에 작용하는 분포하중의 크기 × (-1): 전단력과 하중의 관계 와 동일
￭ 식(3-14a)으로부터
(3-15)
,
(3-16a,b)⇒ 구간 에서 축력크기의 변화( )는 그 구간에 작용하는 분포하 중의 합 × (-1), 점 b의 축력 는 a점의 축력에서 그 구간 에 작 용하는 분포하중의 합을 감소시키므로 구할 수 있다.: 전단력과 하중의 관계와 동일
예)
■ 집중하중()를 받는 미분요소에 대하여
→
⇒ 집중하중 가 작용하는 점에서는 축력은 불연속이고, 작용하중의 반대방향 으로 만큼 Jump한다.
예)
■ 연직 투영면에 등분포하중(예, 적설하중, 강우하중)을 받는 경사진 단순보
A
B
′
′
′
′
→∑ ↷∑
·
↑∑
·
′·cos
··cos
′
′·sin
··sin
′
·sin
·sin
·cos
·cos
m ax
m ax ·
·
·
·
→ 부재의 경사에 무관하고 연직투영길이에만 관계
■ 위의 경사진 단순보에 대하여
′
′
′
′
′ ′
′ cos
′
′
′
m ax
￭ m ax
￭ 경사진 보에 수직으로 작용하는 하중 ′에 대한 양 지점 반력은 ′성분의 힘을 포함하므로 축력은 ′ 외에도 ′에 의해 발생함.
■ 아래 경사진 단순보의 전단력도 및 모멘트도에서 동일한 방법이 적용될 수 있다.
￭ 경사진 단순보의 부재 축에 대하여 등분포된 연직하중(예, 자중)
A
′
′
B
cos
·
′ ′
·
·tan
′′
·
·tan
·tan
·
·
m ax cos
·
￭ 경사진 단순보의 부재 축 수직방향에 등분포된 하중(예, 풍하중)
A
′
′
B
′
′··tan ,
′·
tan ,
cos
′·
′′
cos
′·sin
′′
cos
·
cos
′·sin
cos
′· cos
′·
m ax
cos
′·
3.4. 겹침법에 의한 해석(Superposition)
■ 한 구조물에 여러 종류의 하중이 작용할 경우 구조물의 응력(반력응력, 단면력, 처 짐 등)은 각각의 하중에 대한 응답을 중첩하여 구할 수 있다.
예)
·
=
+
·
system system1 system2
=
+
m ax
m ax
= +
예제 3.3
A B
1.반력
↷∑ ··
· · ,
↓∑ ··
,
또는 ··
·
2. 전단력도
3. 모멘트도
· ··
· ·
m ax ·
예제 3.4
예제 3.1의 아래 연속보의 단면력도를 작성하시오.
60°
A
B C
D E
F G H
·
예제 2.4와 3.1로부터 계산된 반력과 단면력은
, , , ,
, , , , ,
·, ·
위의 계산 결과와 B점과 G점의 단면력을 계산하여 아래와 같이 단면력도를 작성
·
·
·
·
·
예제 3.5
예제 3.2의 아래 연속보의 단면력도를 작성하시오.
예제 2.5와 3.2로부터 계산된 반력 및 단면력은
, , , , (←)
,
, , , , ,
, ,
·, ·, ·, ·
위의 결과와 절점G 와 I 및 집중하중 작용점의 단면력을 고려하여 단면력도 작성
-
-
-
+
+ -
+ + -
·
·
·
·
+ -
- -
- - - -
·
3.5. 라멘의 단면력(부재력)도
■ 정정 라멘과 국부좌표계
′
′
′
■ 라멘 모서리 절점 단면력
′
′
a b
c d
▪ 절점b ▪ 절점c
■ 라멘의 경사부재에서의 전단력과 모멘트
￭ Case 1
m ax
-
+
m ax
￭ Case 2
m ax
-
+
m ax
￭ Case 3
m ax
-
+
m ax
예제 3.5
아래 라멘의 단면력도를 작성하시오.
m ax
m ax
m ax ·
·
·
예제 3.6
다음 라멘의 단면력도를 작성하시오.
￭ 수직하중만 고려한 경우의 반력
￭ 수평하중만 고려한 경우의 반력
절점평형 검토
￭ 절점 평형 검토
·절점 D
·절점 G
·절점 E
예제 3.7
다음 라멘의 단면력도를 작성하시오.
·
1. 반력산정
(1) 자유물체도
× ∴ →
∴ ↑
(1)(2) 자유물체도
(3) 자유물체도
·
→
∴
× × × × ×
∴
↑
∴
2. 단면력 산정
(1) 절점 좌측에서의 단면력 : 자유물체도
↑
∴ →
∴
× ∴ ·
(2) 절점 우측에서의 단면력
·
·
′
′
(3) 절점 좌측에서의 단면력 : 자유물체도
·
′
′
(4) 절점 아래측에서의 단면력 : 자유물체도
↑
∴ →
∴
× ∴ ·
(5) 절점 우측에서의 단면력 : 자유물체도
↑
∴ →
∴
× × × ∴ ·
(6) 절점 평형 검토
·
·
·
3. 단면력도
⊖
⊕
⊖
⊕
m ax
⊕
⊖
⊕
⊖
⊖
·
·
·
⊖
·
⊖
m ax
·
⊖
⊖
