전력시스템 해석 및 설계

(1)

전력시스템 해석 및 설계

제 6 장

– Power Flows -

성균관대학교 김 철 환

CENTER FOR POWER IT

(2)

CONTENTS

6.1 선형 대수 방정식에 대한 직접 해(법)

: 가우스 소거법(GAUSS ELIMINATION)

6.2 선형 대수 방정식에 대한 반복 해(법)

: 자코비 및 가우스 자이델(JACOBI and GAUSS-SEIDEL)

6.3 비선형 대수 방정식에 대한 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨(NEWTON-RAPHSON)

6.4 조류(POWER-FLOW) 문제

(3)

Center for Power ITCENTER FOR POWER IT

전력IT인력양성센터

CONTENTS

6.6 뉴튼-랩슨(NEWTON-RAPHSON) 에 의한 조류 해 6.7 조류의 제어(CONTROL; 전력조류 제어 방법)

6.8 조류의 성김(SPARSITY; 성김 행렬 처리 방법)

6.9 고속 조류(FAST DECOUPLED POWER FLOW; 고속 조류 분할 해석법) 6.10 직류 조류(“DC” 조류; 직류 조류 해석)

3

(4)

6.4 전력 조류 문제

▣ 전력 조류(Power-flow) 계산

문제 평형 3상 정상상태

각 모선의 전압의 크기 및 위상각

전력 조류계산을 위해 필요한 데이터

① 단선도( single-line diagram) 필요

② 입력 데이터

(1) 모선 데이터

(2) 송전선로 데이터

(5)

6.4 THE POWER-FLOW PROBLEM

(1) Voltage magnitude V_k

» (2) Phase angle

» (3) net real power P_k

» (4) reactive power Q_k

5 dk

Lk Gk

k P P

P = -

Lk Gk

k

Q Q

Q = -

• 2개 : 기지 값(입력 데이터)

• 2개 : 미지 값 (미지수)

(6)

▣ 3가지

모선 형태(Three bus types)

① Swing bus(or slack bus)-

: only one swing bus : reference bus.

Input data(기지 값) : 미지 값:

② 부하 모선(Load bus , PQ 모선)

: 대부분의 모선은 부하 모선

Input data (기지 값): 미지 값:

③ 전압제어 모선(Voltage controlled bus, PV 모선)

1 1Ðd

V P1, Q1

k

k Q

P , V^k,

d

^k

6.4 전력 조류 문제

(7)

모선의 종류 기지 량

(운전조건으로 주어지는 값)

미지 량

(조류계산을 통해 계산되는 값) 발전기(PV) 모

선(=전압제어)

유효전력 P_G 모선 전압의 크기

무효전력 Q_G 모선 전압의 위상각

부하(PQ) 모선 유효전력 P_L

무효전력 Q_L

모선 전압의 크기 모선 전압의 위상각

슬랙(스윙) 모 선

모선 전압의 크기 모선 전압의 위상각

(기준 모선으로서 )

유효전력 P_S 무효전력 Q_S

전력 조류계산(보충)

• 운전 조건의 설정

– 모선 구분

(8)

▣ 모선 어드미턴스

bus admittance

: 선로

및

변압기

데이터로 부터 구성 가능

대각

요소 = 모선 k 에 연결된 어드미턴스의 합

비 대각

요소 = - ( 모선 k 와 n 사이에 연결된 어드미턴스의 합)

▣ 예제 6.9

Figure 6.2 shows a single-line diagram of a five-bus power system. Input data are given in Tables 6.1, 6.2, and 6.3. As shown in Table 6.1, bus1, to which a generator is connected, is the swing bus. Bus 3, to which a generator and a load are connected, is a voltage-controlled bus. Buses 2, 4, and5 are load buses. Note that the loads at buses 2 and3 are inductive since and

Ybus

Ykk

Ykn

n k ¹

6.4 전력 조류 문제

(9)

▣ For each bus k, determine which of the variables and are input data and which are unknowns. Also, compute the elements of the second row of

9

, , , _k _k

k P

V

d

Q_k

Ybus

6.4 전력 조류 문제

(10)

sol) Table 6.1 bus input data

Table 6.2

Line input data

6.4 전력 조류 문제

(11)

11

Table 6.4

Input data andunknowns Table 6.3

Transformer input data

6.4 전력 조류 문제

(12)

(13)

13/60

6.4 전력 조류 문제

(14)

▣ 식(6.4.2)를 이용하면,

unit per unit

per j j

jX

Y R 0.89276 9.91964 0.95972 95.143^o

1 . 0 009 . 0

1 1

'24 '24

24 = - + = Ð

+

= - +

= -

unit per unit

per j j

jX

Y R 1.78552 19.83932 19.9195 95.143^o

05 . 0 0045 . 0

1 1

'25 '25

25 =- + = Ð

+

= - +

= -

unit per j

j j

j

j B j B

jX R

jX Y R

624o

. 84 5847

. 28 459 . 28 67828

. 2

2 88 . 0 2

72 . ) 1

83932 .

19 78552

. 1 ( ) 91964 .

9 89276 .

0 (

2 2

1

1 '25

'24 '25

'25 '24

'24 22

- Ð

= -

=

+ +

- +

-

=

+ + +

+ +

=

6.4 전력 조류 문제

(15)

’2012 전력시스템 공학

Admittance 보충자료

Power System Innovation Lab.

(16)

Admittance란?

§ 임피던스(Impedance)의 역수를 어드미턴스(Admittance)라 함

§ Z가 복소수 이므로 Y도 복소수로 표현가능

G=Re{Y}를컨덕턴스(Conductance), B=Im{Y}를 서셉턴스(Susceptance)라 함

Y는 전류와 전압 페이저의 비이므로 단위는 지멘스(Siemens)이고 G, B의 단위도 동일함

§ 임피던스 성분과 어드미턴스 성분과의 관계

(17)

Admittance란?

SungKyunKwanUniv. Power System Innovation Lab.

§ 임피던스 성분과 어드미턴스 성분과의 관계를 유리화 하면

Y, Z의 성분 사이의 관계식을 얻을 수 있음

실수부와 허수부를 각각 같다고 놓으면

※ 저항회로(X=0)인 경우를 제외하고는 R과 G가 직접 역수관계가 아니라는 사실에 주의!!

X와 B도 R=0 인 경우에만 음의 역수관계가 성립!!

(18)

Shunt Admittance

(Series) Admittance

≠ Shunt Admittance

Admittance

Shunt Admittance Transmission Line

(19)

Example 6.9

SungKyunKwanUniv. Power System Innovation Lab.

Admittance

Ground

Shunt Admittance

Admittance

Bus4 Bus2 Bus5

(20)

Example 6.9

Admittance

Ground

Admittance

Bus4 Bus2 Bus5

(21)

21

6.4 전력 조류 문제

(22)

6.4 전력 조류 문제

(23)

23/60

6.4 전력 조류 문제

(24)

6.5 가우스-자이델 법에 의한 전력조류 계산 해법

A. 각 부하모선에서, 는

식 (6.2.9)(Gauss-Seidel method)를 노드 방정식에 적용하면,

식 (6.5.2) : 부하모선에 대해 각 반복계산 중 2번 적용,

▣ 먼저, 계산, 식(6.5.2)의 우변에 대신에 를 대입계산 B. 전압제어 모선에 대해서는, 가 미지 값, 식(6.4.11)을 이용 계산

I

(6.5.1)

* k

k k

k V

jQ I P

-

=

Qk

)

*( i

V_k V_k^*(i) V_k^*(i +1)

(25)

25/60

6.5 가우스-자이델 법에 의한 전력조류 계산 해법

(26)

▣ EX 6.10)

For the power system of Example 6.9, use Gauss-Seidel to calculate , the phasor voltage at bus 2 after the first iteration. Use zero

initial phase angles and 1.0 per unit initial voltage magnitudes (except at bus 3, where )to start the iteration procedures.

Sol) Bus 2 is a load bus.

) 1

2( V

05 .

3 =1 V

( )

(1) j19.83932) ((-1.78552

0 - 1

j(-2.8) -

8 [- 84.624 -

28.5847 1

) 0 ( )

0 ( )

1 ) (

0 ( ) 1

1

( _* ₂₁ ₁ ₂₃ ₃ ₂₄ ₄ ₂₅ ₅

2

2 2

22 2

+

° + Ð

°

= Ð

úû ù êë

é - - + + +

= Y V Y V Y V Y V

V

jQ P

V Y

6.5 가우스-자이델 법에 의한 전력조류 계산 해법

(27)

▣ EX 6.10) Sol)

Next the above value is used in (6.5.2) to recalculate

27

15.675 -

87460 .

84.624 0 -

28.5847

j24.5973 -

4.4698 -

] j29.75829) (-2.67828

543 - . 16 0.96132

j2.8 8

[ - 84.624 -

28.5847 ) 1

1

2(

° Ð

° =

= Ð

° + Ð

+

°

= Ð V

6.5 가우스-자이델 법에 의한 전력조류 계산 해법

(28)

▣ EX 6.10)

6.5 가우스-자이델 법에 의한 전력조류 계산 해법

(29)

6.6 뉴튼-랩슨 법에 의한 전력 조류계산 해법

29 y

x f

x f x

f

N

= ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

=

) (

) ( )

( ²

1

M

^(6.3.1)

(30)

6.6 POWER-FLOW SOLUTION BY NEWTON-RAPHSON

▣ 조류계산 문제에서

x, y

및

f 벡터를 다음과 같이

정의

식

(6.4.10) 과 (6.4.11) 은 다음과 같은 형태

(6.6.1)

N

(31)

31

6.6 뉴튼-랩슨 법에 의한 전력 조류계산 해법

(32)

6.6 뉴튼-랩슨 법에 의한 전력 조류계산 해법

(33)

33/60

6.3절에서 설명한 4단계의 뉴튼-랩슨 법을 조류계산에 적용, i 번째 반복계산에서,

에서 시작

6.6 뉴튼-랩슨 법에 의한 전력 조류계산 해법

(34)

Step 1: 식 (6.6.2) 와 (6.6.3)을 이용하여 다음을 계산

Step 2: 표 6.5의 식을 이용, 쟈코비안 행렬 계산

Step 3: 가우스 소거법 및 back substitution 을 이용, 다음을 계산

6.6 뉴튼-랩슨 법에 의한 전력 조류계산 해법

(35)

35/60

6.6 뉴튼-랩슨 법에 의한 전력 조류계산 해법

(36)

▣ Ex 6.11)

Determine the dimension of the Jacobian matrix for the power system in Example 6.9.

Also calculate in step 1 and in Step 2 of the fist Newton-Raphson iteration. Assume zero initial phase angles and 1.0 per-unit initial voltage

magnitudes(except V

₃

=1.05)

Sol)

There are N=5 buses. (6.6.2) and (6.6.3) constitute 2(N-1)=8 equations, for which J(i) has dimension 8x8. However there is one voltage-controlled bus, bus3. Therefore, V₃and the equation for Q₃(x) could be eliminated, with J(i) reduced to a 7X7 matrix.

Step 1

) 0

2( P

D J1₂₄(0)

] -

(0) -

(0) cos[

V ){

0 ( )

( )

0

( ₂ ₂ ₂ ₂ ₂₁ ₁ ₂ ₁ ₂₁

2 P P x P V Y

d d q

P = - = -

D

6.6 뉴튼-랩슨 법에 의한 전력 조류계산 해법

(37)

▣ Ex 6.11)

Step 2

37

unit

per -7.99972

) 10 89

. 2 ( 0 . 8

)}

43 0)cos(95.1 19.9159(1.

) 143 0)cos(-95.

9.95972(1.

) 624 . 84 cos(

) 0 . 1 ( 5847 .

28 { 0 . 1 0 . 8 )

0 (

4 2

=

´ -

- -

= +

+ -

-

= D

-

o

P o

unit

per -9.91964

] n[-95.143 72)(1.0)si

1.0)(9.959 (

]}

- (0) -

(0) (0)sin[

V )

0 ( )

0 (

1₂₄ ₂ ₂₄ ₄ ₂ ₄ ₂₄

=

o

q d

d

Y

V J

6.6 뉴튼-랩슨 법에 의한 전력 조류계산 해법

(38)

6.6 뉴튼-랩슨 법에 의한 전력 조류계산 해법

(39)

▣ Ex 6.12)

Using the power-flow system given in Example 6_9, determine the acceptable

generation range at bus 3, keeping each line and transformer loaded at or below 100%

of its MVA limit.

39

6.6 뉴튼-랩슨 법에 의한 전력 조류계산 해법

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▣ Ex 6.13)

6.6 뉴튼-랩슨 법에 의한 전력 조류계산 해법

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