전력시스템 해석 및 설계

(1)

전력시스템 해석 및 설계

제 3 장

– Power Transformer - 성균관대학교

김 철 환

(2)

Center for Power IT CENTER FOR POWER IT

전력IT인력양성센터

2/106

(3)

[ 보 충 ]

4/106

a

t

N a N Z

Z I

I E

E = = = = =

2 1 2

1 1

2 2

1

(5)

[ 보 충 ] a a

t

N N Z

Z I

I E

E = = = = =

2 1 2

1 1

2 2

1

(6)

[ 보 충 ]

6/106

(7)

[ 보 충 ]

(8)

3.1 이상 변압기(IDEAL TRANSFORMER)

▣ 그림 3.1 : 단상 2권선 변압기(single-phase two-winding transformer)

- 변압기 : 정현 정상 상태로 여기(

sinusoidal-steady-state excitation)되어 운전

- , : 권선에 걸리는 페이저

전압

- : 권선 1로 흘러 들어오는 페이저 전류, 권선수(turns)를 가짐 - : 권선 2로 흘러 들어오는 페이저 전류, 권선수(turns)를 가짐

E1 E₂ I1

I2

N1

N2

8/106

(9)

▣ 이상 변압기에 대해, 다음을 가정

(

1) 권선의 저항은 0,  권선에서의 손실(losses) 은 없다

(2) 철심의 투자율(core permeability) 는 무한대  철심의 자기 저항(core reluctance) 이 0

(3) 누설 자속(leakage flux) 은 없다. 즉, 전체 자속 는 철심(core) 내에만 존재 하고, 양 권선과 쇄교(link)

(4) 철심의 손실(core losses)은 없다

R I

²

µc

Φc

3.1 이상 변압기

) 6 . 1 . 3 (

c c

c

A

R l

= µ

(10)

▣ 그림 3.2 : 2권선 변압기의 개략도(schematic representation)

▣ dot : 점이 있는 단자(the dotted terminals) 에 정극성(+ polarities)을 갖는 동상(in

phase) 전류 , 표시.

▣ 만일, 에 대한 방향이 반대로 선택된다면, 은 와 위상차이(out of phase ) 가 남

I1 I₂

E1 ^E² 180° I2

10/106

3.1 이상 변압기

(11)

▣ 이상 변압기 관계 유도 : Ampere’s and Faraday’s Law

▣ 암페어의 법칙 : 폐로(closed path)를 따라 적분한(선적분) 자계세기 벡터(magnetic field

intensity vector)의 접선 성분(tangential component) == 경로에 둘러싸인 총 전류(net current)

- 그림 3.1의 철심의 중앙을 잇는 선(core center line)을 폐로로 선정하면, 그리고, 가 폐로를 따라 접선성분 일 분만 아니라 그 값도 일정(constant)하다면, 식 (3.1.1)은,

Hc

) 2 . 1 . 3

2

(

2 1

1

I N I

N l

H

_c _c

= −

) 1 . 1 . 3

tan

(

∫ ^H ^dl ⁼ ^I

^enclosed

3.1 이상 변압기

(12)

▣ 전류 은 번 쇄교, 전류 는 번 쇄교

▣ 암페어의 오른손 법칙에 의하면, 전류 은 시계방향의 자속(clockwise flux)을 만들고, 전류 는 반 시계 방향의 자속(counter clockwise flux )을 만든다

▣ 그러므로, 식 (3.1.2)에서 폐로의 총 전류(the net current enclosed) :

▣ 상수 값을 갖는 철심 투자율(constant core permeability) 에 대해, 철심내의 자속 밀도( , the magnetic flux density) 도 또한 상수이며, 다음과 같다.

그리고, 철심 자속(core flux) 는,

I1 N₁ I₂ N₂

I1

I2

2 2 1

1

I N I

N −

µc

Bc

) 3 . 1 . 3 ( / m

²

Wb H

B

_c

= µ

_c _c

Φ

c

) 4 . 1 . 3 ( Wb

A B

_c _c

c

= Φ

12/106

3.1 이상 변압기

) 2 . 1 . 3

2

(

2 1

1

I N I

N l

H

_c _c

= −

(13)

Center for Power IT 전력IT인력양성센터 식 (3.1.3) 과 (3.1.4) 를 식 (3.1.2)에 대입하면,

철심의 자기저항(core reluctance) 는 다음 식과 같이 정의

따라서, 식 (3.1.5) 는,

Rc

) 5 . 1 . 3 (

2

/

2 1

1 c

c c

c

A

B l l I N I

N  Φ



 



= 

=

− µ µ

) 6 . 1 . 3 (

c c

c

A

R l

= µ

) 7 . 1 . 3

2

(

2 1

1

I N I R

c c

N − = Φ

13/106

3.1 이상 변압기

) 3 . 1 . 3 ( / m

²

Wb H

B

_c

= µ

_c _c

) 4 . 1 . 3 ( Wb

A B

_c _c

c

= Φ

) 2 . 1 . 3

2

(

2 1

1

I N I

N l

H

_c _c

= −

자기회로의 옴의 법칙(“Ohm’s law” for the magnetic circuit)

(14)

▣ 식 (3.1.7) : 총 기자력(net magnetomotive force), mmf = = x

▣ 자기 저항 = 전기회로의 저항

▣ 이상 변압기에서는 는 무한대(infinite)로 가정하기 때문에, 식 (3.1.6)에서 는 0이 되고, 식 (3.1.7) 은,

▣ 실제, 전력용 변압기(power transformer)의 권선(winding)과 철심은 외함에 싸여져 있기 때문에, 권선의 감겨진 방향(the winding direction)은 볼 수 없음(not visible)

2 2 1

1I N I

N − R_c Φ_c

Rc

µc R_c

) 8 . 1 . 3

2

(

2 1

1

I N I

N =

14/106

3.1 이상 변압기

R

) 6 . 1 . 3 (

c c

c

A

R l

= µ

) 7 . 1 . 3

2

(

2 1

1

I N I R

c c

N − = Φ

(15)

▣ 외함 내부를 보는 한가지 방법(= 권선의 정보) 

점 표시법(a dot convention)

: 전류가 권선의 점(dot)이 있는 곳으로 흘러 들어갈때, 동일한 방향으로 작용하는 기자력 (mmf)을 발생시킨다고 정함.

▣ dot convention  그림 3.2

▣ The dots : 극성 표시(polarity marks)

▣ 식 (3.1.8) : 전류 이 점이 찍힌 단자로 흘러 들어가고, 전류 는 점이 찍힌 단자로 흘러 나오는 경우를 정 방향으로 하여 나타낸 것

▣ 이때, , 는 동상(in phase) 이라고 함

I1 I₂

2 1 2

1

( N / N ) I I =

3.1 이상 변압기

) 8 . 1 . 3

2

(

2 1

1

I N I

N =

(16)

▣ 의 방향이 반대가 되면(양 전류가 점이 있는 단자로 흘러 들어가면), 은 와 의 위상차를 가짐(out of phase).

▣ Faraday’s law :

- 일정 주파수(constant frequency) 를 갖는 정현 정상상태 자속(sinusoidal-steady-state flux) 을 가정하면, 페이저 와 로 , 를 표현하면, 식 (3.1.9)는,

I2

I1 I₂ 180°

) 9 . 1 . 3 ) (

) (

( dt

t N d

t

e ₌ φ

ω

) (t

e φ (t)

E Φ

) 10 . 1 . 3 ( )

( Φ

= N jω E

16/106

3.1 이상 변압기

(17)

15.1 Mutual Inductance [ 보충 ]

[ ] ( )

자 자 (flux) :

자 자 (turns :

,

1 . 15

Φ Φ

=

N wb N

여기서 λ

( )

[ ]

H

, :

L ,

2 . 15

인덕턴스 인덕터의

비례상수 여기서

= Li λ

( ) (15.3) dt

L di dt

Li d dt

v = d λ = =

· flux linkage

· linear inductor에서

· linear inductor : 쇄교자속은 device를 통과하는 전류에 직접 비례한다.

· Faraday's law : 코일 단자에

유기되는 전압

은

쇄교자속

의

시간적인 변화율

과

같다.

그림5.9(p.185)

(18)

▣ 이 상 변압기 : 전체 자속이 양 권선과 쇄교 하며 철심에 한정

▣ Faraday’s law 에 의해, 그림 3.1의 권선에 걸리는 유기 전압(induced voltage)은

- 식

(3.1.12)로 식 (3.1.11)를 나누면,

or

- 권수비(권선비; turns ratio) 는,

) 11 . 1 . 3 ( )

1(

1 N j c

E = ω Φ

2 1 2

1

N N EE =

) 12 . 1 . 3 ( )

2(

2 N j c

E = ω Φ

) 14 . 1 . 3 ( , ) 13 . 1 . 3 (

2 2 1

1

N E NE =

) 15 . 1 . 3 (

2 1

N a_t = N

at

18/106

3.1 이상 변압기

a

t

N a N Z

Z I

I E

E = = = = =

2 1 2

1 1

2 2

1

(19)

- 이상 단상 2권선 변압기(ideal single-phase two-winding transformer)에 대한 관계식은,

- 그림 3.2의 권선 1로 들어가는 복소 전력(complex power),

and

- 이상 변압기는 유효전력 및 무효전력 손실이 없음.

- 이상 변압기의 권선 2에 연결된 임피던스가 다음과 같다면, - 권선 1로 부터 측정했을 때, 이 임피던스는,

) 16 . 1 . 3

2 (

2 2 1

1 E a E

N

E N  = _t

 



=

) 17 . 1 . 3

2 (

2 1 2 1

at

I I N

I N  =



 



=

* 1 1

1 E I

S = ( ) ₂ ₂^* ₂ (3.1.18),(3.1.19)

* 2 2

* 1 1

1 E I S

a E I a I

E S

t

t  = =

 



= 

=

2 2

2 I

Z = E

3.1 이상 변압기 a a

t

N N Z

Z I

I E

E = = = = =

2 1 2

1 1

2 2

1

(20)

▣ EX 3.1)

A single-phase two-winding transformer is rated 20kVA, 480/120V, 60Hz. A source connected to the 120-V winding. The load absorbs 15kVA at 0.8 p.f. lagging when the load voltage is 118V. Assume that the transformer is ideal and calculate the following:

a. The voltage across the 480-V winding

b. The load impedance

c. The load impedance referred to the 480-V winding

d. The real and reactive power supplied to the 480-V winding

20/106

3.1 이상 변압기

(21)

Sol)

a. The voltage across the 480-V winding

The load voltage is

The turns ratio is

The voltage across winding 1:

[V]

0

2 =118∠ °

E

120 4 480

2 1 2

1 = = =

=

rated rated

t E

E N

a N

[V]

0 472 )

0 118 (

2

4

1

= E a = ∠ ° = ∠ °

E

_t

3.1 이상 변압기

(22)

전력IT인력양성센터 b. The load impedance

The complex power is

The load current is

The load impedance is

[VA]

7 . 36 000 , 15 ) 8 . 0 ( cos 000

, 15

118 ₂^* ¹

* 2 2

2 = E I = I = ∠ ⁻ = ∠ °

S

[A]

87 . 36 12

.

2 =127 ∠− °

I

22/106

3.1 이상 변압기

(23)

c. The load impedance referred to the 480-V winding The load impedance referred to the 480-V winding is

d. The real and reactive power supplied to the 480-V winding

thus, the real and reactive power supplied to the 480-V winding are

9000 000

, 12 87

. 36 000 ,

2 15

1 S j

S = = ∠ °= +

kW 12 000

, 12 Re ₁

1 = S = W =

P

kvar 9 var 000 , 9 Im ₁

1 = S = =

Q

] [ 87 . 36 85

. 14 )

87 . 36 9283

. 0 ( ) 4 (

²

2 2

2

′ = a Z = ∠ ° = ∠ ° Ω

Z

_t

3.1 이상 변압기

(24)

▣ 그림 3.4 : 단상 위상 변위(상 이동) 변압기(phase- shifting transformer) 의 개념도

- T

his transformer is not an idealization of an actual transformer since it is physically impossible to obtain a complex turns ratio

- complex turns ratio :

-

some transformer relations

φ φ

j j

t

e e

a = =

1

2 2

1

a E e E

E =

_t

=

^j^φ

2 2 2

* 2 2 1

1

2 1 a Z Z

a I E a I

Z E _t

t

t = =

=

′ =

2

* 2 2

*

* 2 2

* 1 1

1 ( ) E I S

a E I a I

E S

t

t  = =



 



= 

=

* 2 2

1 e I

a

I I ^j

t

= φ

=

24/106

3.1 이상 변압기

(25)

(26)

(27)

3.2 실제 변압기의 등가회로(EQUIVALENT CIRCUIT FOR PRACTICAL TRANSFORMERS)

▣ 그림 3.5 : 실제적인 단상 2권선 변압기의

등가회로

 이상 변압기와의 차이점:

(1) 권선(winding)의 저항 존재

(2) 철심의 투자율(permeability ) 유한한 값

(3) 자속이 모두 철심 안에만 존재하는 것 아님

(4) 철심에는 유효전력 및 무효전력 손실 발생

µc

(28)

▣ 이상 변압기에 대해, 다음을 가정

(

1) 권선의 저항은 0,  권선에서의 손실(losses) 은 없다

(2) 철심의 투자율(core permeability) 는 무한대  철심의 자기 저항(core reluctance) 이 0

(3) 누설 자속(leakage flux) 은 없다. 즉, 전체 자속 는 철심(core) 내에만 존재 하고, 양 권선과 쇄교(link)

(4) 철심의 손실(core losses)은 없다

R I

²

µc

Φc

28/106

3.1 이상 변압기 [보 충}

) 6 . 1 . 3 (

c c

c

A

R l

= µ

(29)

3.2 실제 변압기의 등가회로

(1) 저항 은 권선 1과 직렬 연결 : (권선에서의 손실)

(2) 리액턴스 은 권선 1의 누설 리액턴스(leakage reactance) : 권선 1과 직렬 연결 (권선에서의 누설 자속)

▣ 이 누설 자속 :

a. 권선 1과만 쇄교, 권선 2와는 쇄교하지 않음 b. 에 비례

c. 위상 만큼 앞서는 전압강하 발생

(3) 누설 리액턴스에 의해 무효전력 손실(reactive power loss) 발생 (4) 유사하게 저항 및 누설 리액턴스 는 권선 2와 직렬 연결

R1

R2

R I²

X1

) ( ₁

1 jX

I

I1

° 90

1 2 1 X I

X2

) ( ₁

1 jX

I

(30)

(31)

3.2 실제 변압기의 등가회로

▣ 식 (3.1.7) : 유한한 철심의 투자율 , 전체 기자력(mmf) 0이 아님

▣ 식 (3.1.7) 을 로 나누고, 식(3.1.11)을 이용하면,

▣ 식 (3.2.1)의 우변의 항 :  자화 전류(magnetizing current) (1) 은 보다 뒤짐

(2) 과 의 관계 : 서셉턴스(susceptance) mho 을 갖는 병렬 인덕터

▣ 실제, 추가적인 병렬 지로(shunt branch) 존재 :

병렬 저항기 : 컨덕턴스 [mho], 철손 전류(core loss current)

µc

N1

) 1 . 2 . 3

1 (

2 1 1

1 1

1 2

1 E

N j R N

j E N

R N

I R N

I N ^c _c ^c ^c 

 



− 

 =



 



=  Φ

 =



 



−

ω ω

Im

Im E₁ 90°



 



= ₂

N1

B_m R^c ω

Gc I_c

) 8 . 1 . 3

2 (

2 1

1I N I

N =

) 11 . 1 . 3 ( )

1(

1 N j c

E =

ω

Φ

Im E₁

는 과 동상(in phase) _I_c _E₁

(32)

32

8.6 Impedance and Admittance (보충)

(33)

8.6 Impedance and Admittance (보충)

(34)

3.2 실제 변압기의 등가회로

▣ 철손 전류 가 포함될 때, 식 (3.2.1) 은,

▣ 그림 3.5의 등가회로(어드미턴스 ohm 의 병렬분기가 포함된) : 식 (3.2.2) 의 KCL 방정식 만족

▣ 권선 2를 개방한 상태 에서, 권선 1에 정현파 전압 을 인가하면,

 식 (3.2.2) 의 전류 :

: [W] 유효전력 손실(real power loss) : [Var]  무효전력 손실(real power loss) 여자 전류(exciting current) :

Ic

) 2 . 2 . 3 ( )

( ₁

2 1 2

1 I I I G jB E

N

I N  = _c + _m = _c − _m

 



−

) (G_c − jB_m

) 0 (I₂ =

V1

Im

Ic

34/106 ) 1 . 2 . 3

1(

2 1 1

1 1

1 2

1 E

N j R N

j E N

R N

I R N

I N ^c _c ^c ^c 

 



− 

 =



 



=  Φ

 =



 



−

ω ω

m

c I

I I₁ = +

m c

e I I

I = +

(35)

▣ 그림 3.6 : 3가지 alternative 등가회

로 (실제적인 단상 2권선 변압기)

(1) 그림 3.6(a) : 권선 2의 저항 와 누설 리액턴스 를 식(3.1.21) 에 의해 권선 1로 환산

(권선 1에서 본 임피던스)

(2) 그림 3.6(b) : 병렬 분기 제거(여자 전류 무시)  여자전류는 정격전 류의 5% 이하(일반적인 전력계통 해석시 무시, 변압기 효율 및 여자 전류 현상 해석시 고려함)

(3) 그림 3.6(c) : 권선 저항 무시

: 정격용량 500KVA 초과 대형 전력 용 변압기의 경우

 저항은 누설 리액턴스에 비해 상 대적으로 작음

R2

X2

(36)

* 이상 변압기와 실제 변압기의 등가회로 비교

36/106

(37)

3.2 실제 변압기의 등가회로

▣ 그림 3.6 : 정현파 정상상태에서 운전되는 실제 변압기의 등가회로

(외부 분기 임피던스와 어드미턴스를 갖는)

▣ 외부 분기 임피던스와 어드미턴스의 값

 단락 시험(short-circuit test) 개방 시험(open-circuit test)

 예제 3.2

(38)

3.2 실제 변압기의 등가회로

▣ EX 3.2)

A single-phase two-winding transformer is rated 20kVA, 480/120V, 60Hz.

During a short-circuit test, where rated current at rated frequency is applied to the 480-volt winding (denoted winding 1) , with the 120-volt winding (winding 2) shorted, the following readings are obtained: , During an open-circuit test, where rated voltage is applied to winding 2, with winding1 open, the following readings are obtained: ,

a. From the short-circuit test, determine the equivalent series impedance referred to winding 1. Neglect the shunt admittance

b. From the open-circuit test, determine the shunt admittance referred to winding 1. Neglect the series impedance

V

V₁ =35 P₁ = 300W W P₂ = 200 A

I₂ =12

1 1

1 eq eq

eq R jX

Z = +

m c

m G jB

Y = −

38/106

(39)

3.2 실제 변압기의 등가회로

Sol)

a. Determine the equivalent series impedance

[A]

667 . 480 41

10 20 ³

1

1 = = × =

rated rated rated

V I S

] [ 1728 . ) 0 667 . 41 (

300

2 2

1 1

1 = = = Ω

rated

eq I

R P

1 1

1 eq eq

eq R jX

Z = +

] [ 8400 . ) 0 667 . 41 (

35

1 1

1 = = = Ω

rated

eq I

Z V

] [ 8220 .

2 0

1 2

1

1 = _eq − _eq = Ω

eq Z R

X

] [ 13 . 78 8400 . 0 8220 . 0 1728 .

1 0

1

1 = R + jX = + j = ∠ ° Ω

Z_eq _eq _eq

(40)

3.2 실제 변압기의 등가회로

b. Determine the shunt admittance

m c

m G jB

Y = −

[V]

480 )

120 120 (

480

2 2 1 2

1

1 = = _t = V _rated = =

N E N a E V

] [ 000868 .

) 0 480 (

200

2 2

1

2 S

V

G_c = P = =

] [ 00625 .

480 0 ) 12 480 ( 120

1 2 1 2

V S N I N

Y_m =



 





 =



 





=

] [ 00619 .

0 ) 000868 .

0 ( ) 00625 .

0

( ² ²

2

2 G S

Y

B_m = _m − _c = − =

] [ 02 . 82 00625

. 0 0300619 000868

.

0 j S

jB G

Y_m = _c− _m = − = ∠− °

40/106

(41)

3.2 실제 변압기의 등가회로

▣ 그림 3.5 의 변압기 등가회로에서 표현될 수 없는 것

(1) 포화(Saturation) 현상 (2) 돌입 전류(Inrush current)

(3) 비 정현파 여자 전류(Non-sinusoidal exciting current)

(4) 서지 현상(Surge phenomena)

(42)

3.2 실제 변압기의 등가회로

(1) 포화(Saturation) 현상

- 등가회로 유도

a. 철심 투자율 : 상수 값 b. 선형 관계

- 강자성 재료(ferromagnetic materials)

와 의 관계 : 비 선형(nonlinear)이며, 다중의 값(multivalued)

- 그림 3.8 : 변압기에 사용되는 곡선

µ

c c c

c H

B =

µ

H B

H B−

42/106

(43)

3.2 실제 변압기의 등가회로

- 히스테리시스(hysteresis)

- 가 증가함에 따라, 철심 포화

 가 1 이상으로 증가할 경우

곡선은 평평해 짐

- 만일 변압기에 인가되는 전압이 너무 높은

경우,

 철심 포화되어, 대단히 큰 자화 전류가 흐르게 됨

H

B Wb/ m²

(44)

3.2 실제 변압기의 등가회로

(2) 돌입 전류(Inrush current)

a. 변압기 최초 가압시, 변압기의 정격전류 보다 큰 과도전류가 수 사이클 흐름

b. 비 정현파 이고 , 큰 직류(dc) 성분 보유

c. 구분 필요

(a) 정상 돌입전류(normal inrush currents)

(b) 비 정상 단락고장 전류(abnormal short-circuit current)

 변압기 보호 방식(transformer protection schemes) : 이러한 2가지 형태의 전류를 구분

44/106

(45)

3.2 실제 변압기의 등가회로

(3) 비 정현파 여자 전류(Non-sinusoidal exciting current)

- 여자전류 : 기본파 성분 + 홀수 고조파(odd harmonics)

- 여자전류의 비 정현파 특성은 고조파가 관심사 아닌 이상 무시 (정격전류의 5% 이하)

(4) 서지 현상(Surge phenomena)

- 변압기가 뇌(lightning) 또는 개폐 서지(switching surges)에 기인한 과도 과전압을 경험할 경우,

 변압기 권선간의 커패시턴스에 의해 변압기의 과도응답(transient response)에 중요한 영향

 13장

(46)

3.3 단위 법(THE PER-UNIT SYSTEM)

▣ 전력 시스템의 물리적인 량 : 전압, 전류, 전력, 임피이던스

보통 단위 법(per-unit) 또는

기준 값(base value)에 대한 percent로 표시

(예) 기준 전압 : 20kV 인 경우, 실제 전압 18kV의 전압은

(1) 단위 법 : (18/20) = 0.9 p.u.

(2) 퍼센트 법 : 90%

▣ 단위 법(per-unit system)의 장점 : 적절하게 기준량(base quantities) 지정 시 (1) 변압기의 등가회로 간단화

A. 시스템 해석시 상당한 이점(수 백대의 변압기) B. 심각한 계산상의 오차를 회피 가능

(2) 기기정격을 기준 값으로 사용시 단위 임피이던스를 비교 용이 (3) 제조업체 기기 명판(nameplate)에 단위 법 또는 퍼센트로 표기

46/106

(47)

3.3 단위 법

▣ 단위 값

(량)(Per-unit quantities) :

(1) 단위 값은 차원이 없는(dimensionless) 물리 량 (2) 기준 값은 항상 실수 값을 사용함

▣ 단위 법을 적용하는 방법 : 계통상의 특정한 점을 기준으로 2개의 독립된 기준 값

(기준 상 전압 과 기준 단상 복소 전력 ) 선정

) 1 . 3 . 3 ) (

(

) (

base value of quantity

quantity actual

quantity unit

per 기준 량

량 량 실제

단위 − =

) 2 . 3 . 3

1 (

1

1φ base φ base φ

base Q S

P = =

) 3 . 3 . 3

1 (

1

baseLN base

base V

I _φ = S ^φ

) 4 . 3 . 3 (

1 2

φ base baseLN base

baseLN base

base

base S

V I

X V R

Z = = = =

) 5 . 3 . 3 1 (

base base

base

base G B Z

Y = = =

φ 1

Sbase baseLN

V

(48)

48/106

(49)

3.3 단위 법

▣ EX 3.3)

- 단상 2권선 변압기의 정격:

20kVA, 480/120V, 60Hz

- 120 V 측 권선(권선 2)에서 바라 본 변압기의 등가 누설 임피던스(equivalent leakage impedance) : .

- 변압기의 정격용량(transformer rating)을 기준값으로 하여, 권선 2와 1에서 각각 바라 본 단위 누설 임피던스(per-unit leakage impedance)를 구하라

Sol) 변압기의 정격으로부터, , 의 값은,

식(3.3.4)를 이용하여, 변압기의 권선 2(120 V 측)의 기준 임피던스(base impedance) 를 구하면,

] [ 13 . 78 0525 .

2 = 0 ∠ ° Ω

Zeq

, _base1 base V

S V_base₂

volts V

kVA

S

_base

= 20 ,

_base₁

= 480 ,

_base₂

= 120

] [ 72 . 000 0 , 20

) 120

( ²

2 2

2 = = = Ω

base base

base S

Z V

) 4 . 3 . 3 (

1 2

baseLN base

base

base S

V I

X V R

Z = = = =

(50)

3.3 단위 법

(1) 식(3.3.1)을 이용하여, 권선 2에서 바라 본 단위 누설 임피던스(per-unit leakage impedance)를 구하면,

(2) 만일, 를 권선 1에서 바라 본 값으로 변환하면,

변압기의 480V 측(권선 1)의 기준 임피던스(base impedance)를 구하면,

unit Z per

Z Z

base eq u

p

eq ∠ ° = ∠ °

=

= 0.0729 78.13

72 . 0

13 . 78 0525 .

0

2 2 .

. 2

2

Zeq

] [ 13 . 78 84 . 0 ) 13 . 78 0525 .

0 120 (

480 ²

2 2

2 1 2

2

1  ∠ ° = ∠ ° Ω



 



= 



 



=

= _t _eq _eq

eq Z

N Z N

a Z

] [ 52 . 000 11

, 20

) 480

( ²

2 1

1 = = = Ω

base base

base S

Z V

50/106

) 1 . 3 . 3 (

량 기준

량 량 실제

단위 =

) 4 . 3 . 3 (

1 2

baseLN base

base

base S

V I

X V R

Z = = = =

(51)

권선비의 환산 [보충]

▣ 1차측에서 본 등가회로로 변압기를 표시하기 위해, 변압기의 특성을 바 꾸지 않고 2차권선의 권수를 1차권선의 권수와 같이 할 필요가 있음

 이것을 2차측을 1차측으로 환산한다고 함

▣ 길이를,

2차 권선의 권수 즉 (1) 도체의 길이를 a배로 하고 (2) 그 단면적을 1/a배 로 하면, 동량에는 변함 없이 2차권선의 권수가 1차권선의 권수와 같이 됨. 이 경우 양자의 기전력이 같으므로 

▣ 변경한 후의 도체의 저항은 변경하기 전의 배가 됨 

▣ 자기 인덕턴스는 권수의 제곱에 비례되므로, 변경한 후의 누설 리액턴

스는 변경하기 전의 경우의 배가 됨 

2 1

'

2

E aE

E = =

a

2 2

' 2

2

a R

R =

a

2

2 ' 2

2

a X

X =

a

t

N a N Z

Z I

I E

E = = = = =

2 1 2

1 1

2 2

1

(52)

변압기의 등가회로 [보충]

▣ 2차  1차로 변환

2 '

2 2 '

2 '

2 2

' 2 2 2

2

/

aE E

R R

a X

X a

a I

I R

R a X

X a

=

< 2차를 1차로 변환한 등가회로 >

(53)

3.3 단위 법

권선 1에서 바라 본 단위 누설 임피던스(per-unit leakage reactance)를 구하면,

* 단위 누설 임피던스는 권선 1과 권선 2 어느 쪽에서 계산하여도 그 값에는 불변

 그 이유는, 다음과 같이 기준전압의 비를 변압기 정격전압의 비로 사용했기 때문에 얻어진 결과임

. . 2 1

1 .

.

1 0.0729 78.13

52 . 11

13 . 78 84 . 0

u p eq base

eq u

p

eq per unit Z

Z

Z = Z = ∠ ° = ∠ ° =

 

 



= 

= 120

480

2 1 2

1

rated rated base

base

V V V

V

) 1 . 3 . 3 (

량 기준

량 량 실제

단위 =

(54)

Per Unit Calculations [ 보충 ]

 A key problem in analyzing power systems is the large number of transformers.

– It would be very difficult to continually have to refer impedances to the different sides of the transformers

 This problem is avoided by a normalization of all variables.

 This normalization is known as per unit analysis.

actual quantity quantity in per unit

base value of quantity

=

(55)

A. Per Unit Conversion Procedure, 1φ

1. Pick a 1φ VA base for the entire system, S

_B

2. Pick a voltage base for each different voltage level, V

_B

. Voltage bases are related by transformer turns ratios. Voltages are line to neutral.

3. Calculate the impedance base, Z

_B

= (V

_B

)

²

/S

_B

4. Calculate the current base, I

_B

= V

_B

/Z

_B

5. Convert actual values to per unit

Note, per unit conversion on affects magnitudes, not

the angles. Also, per unit quantities no longer have

units (i.e., a voltage is 1.0 p.u., not 1 p.u. volts)

(56)

Per Unit Solution Procedure

1. Convert to per unit (p.u.) (many problems are already in per unit)

2. Solve

3. Convert back to actual as necessary

) 4 . 3 . 3 (

1 2

φ base baseLN

base S

Z = V )

4 . 3 . 3 (

1 2

baseLN base

base

base S

V I

X V R

Z = = = =

(57)

Per Unit Example

Solve for the current, load voltage and load power in the circuit shown below using per unit analysis with an S

_B

of 100 MVA, and voltage bases of 8 kV, 80 kV and 16 kV.

Original

Circuit

(58)

Per Unit Example, cont’d

per unit 값을 갖는 동일 회로

) 3 . 3 . 3

1 (

1

baseLN base

base V

I _φ = S ^φ

) 4 . 3 . 3 (

1 2

φ base baseLN

base S

Z = V

(59)

Per Unit Example, cont’d

L

2 *

1.0 0

0.22 30.8 p.u. (not amps) 3.91 2.327

V 1.0 0 0.22 30.8 p.u.

0.189 p.u.

1.0 0 0.22 30.8 30.8 p.u.

L

L L L

G

I j

S V I V

Z S

= ∠ ° = ∠ − °

+

= ∠ ° − ∠ − °× 2.327∠90°

= 0.859∠ − 30.8°

= = =

= ∠ °× ∠ ° = 0.22∠ °

) 4 . 3 . 3 (

1 2

baseLN base

base

base S

V I

X V R

Z = = = =

(60)

Per Unit Example, cont’d

실제 값(actual value) 으로 역 변환 하려면, 단지 실제 값 = per unit 값 X 그들의 per unit base

L

Actual Actual L

Actual G

Middle B

Actual Middle

0.859 30.8 16 kV 13.7 30.8 kV 0.189 0 100 MVA 18.9 0 MVA

0.22 30.8 100 MVA 22.0 30.8 MVA 100 MVA

I 1250 Amps

80 kV

I 0.22 30.8 Amps 275 30.8 V

S S

= ∠ − °× = ∠ − °

= ∠ °× = ∠ °

= =

= ∠ − °×1250 = ∠ − ° Α

(61)

B. Three Phase Per Unit, 3φ [ 보충 ]

1. Pick a 3φ VA base for the entire system,

2. Pick a voltage base for each different * 단상 voltage level, V

_B

. Voltages are line to line.

3. Calculate the impedance base

(1) 3φ VA base 사용, (2) 선간 전압(line to line voltage bases) 사용, 이외는 단상(1 φ)과 매우 유사,

3 S B ^φ

2 2 2

, , ,

3 1 1

( 3 )

3 B LL B LN B LN

B

B B B

V V V

Z = S ^φ = S ^φ = S ^φ

Exactly the same impedance bases as with single phase!

1. 1φ VA base, S

_B

2. V

_B,

Voltages are line to neutral.

3. impedance base, Z

_B

= (V

_B

)

²

/S

_B

4. current base, I

_B

= V

_B

/Z

_B

5. Convert actual values to per unit

(62)

Three Phase Per Unit, cont'd 4. Calculate the current base, I

_B

5. Convert actual values to per unit

3 1 1

3 1

B B

, , ,

I 3 I

3 3 3

B B B

B LL B LN B LN

S S S

V V V

φ φ φ

φ = = = = φ

Exactly the same current bases as with single phase!

1. 1φ VA base, S

_B

2. V

_B,

Voltages are line to neutral.

3. impedance base, Z

_B

= (V

_B

)

²

/S

_B

4. current base, I

_B

= V

_B

/Z

_B

5. Convert actual values to per unit B. Three Phase Per Unit, 3 φ [ 보충 ] - 계속

) 3 . 3 . 3

1 (

1

baseLN base

base V

I _φ = S ^φ

전력시스템 해석 및 설계