전력시스템 해석 및 설계

전력시스템 해석 및 설계

제 6 장

– Power Flows - 성균관대학교

김 철 환

CONTENTS

6.1 선형 대수 방정식에 대한 직접 해(법)

: 가우스 소거법(GAUSS ELIMINATION)

6.2 선형 대수 방정식에 대한 반복 해(법)

: 자코비 및 가우스 자이델(JACOBI and GAUSS-SEIDEL)

6.3 비선형 대수 방정식에 대한 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨(NEWTON-RAPHSON)

6.4 전력 조류(POWER-FLOW) 문제

6.5 가우스 자이델(GAUSS-SEIDEL)에 의한 조류 해

CONTENTS

6.6 뉴튼-랩슨(NEWTON-RAPHSON) 에 의한 조류 해 6.7 조류의 제어(CONTROL; 전력조류 제어 방법)

6.8 조류의 성김(SPARSITY; 성김 행렬 처리 방법)

6.9 고속 조류(FAST DECOUPLED POWER FLOW; 고속 조류 분할 해석법)

6.10 직류 조류(“DC” 조류; 직류 조류 해석)

6.1 선형 대수 방정식의 직접 해(법) : 가우스 소거법

선형 대수 방정식(linear algebraic equation)

(6.1.1)

또는 Ax = y (6.1.2)

여기서, x 및 y : N 개 벡터 A : N x N 정방 행렬

x, y 및 A 의 각 성분 : 실수 또는 복소수

가정 : det(A) : A의 행렬식은 nonzero, 그러므로 식(6.1.1)의 유일 해(unique solution)는 존재

ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

= ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

N N

NN N

N

N

y y

y

x x

x

A A

A

A A

A

A A

A

M M

K

M O

M M

L L

2 1 2

1

2 1

21 22

21

1 12

11

ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

= ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

N N

NN N

N

N

y y y

x x

x

A A

A

A A

A

A A

A

M M

K

M O

M M

L L

2 1 2

1

2 1

21 22

21

1 12

11

(6.1.1)

6.1 선형 대수 방정식의 직접 해(법) : 가우스 소거법

행렬 A의 대각요소가 영(zero)이 아닌 상삼각 행렬(upper triangular matrix)일때, 해 x는 쉽게 구할 수 있다

6.1 DIRECT SOLUTIONS TO LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS :GAUSS ELIMINATION

식 (6.1.1) 이 다음과 같은 형태를 가지는 경우(행렬 A 가 상삼각행렬인 경우)

(6.1.3) (6.1.4)

Xn 을 구하고 나서, 아래에서 두 번째 식을 풀면(next-to-last equation):

(6.1.5)

일반적으로, 이미 구한 상태에서, k 번째 방정식은:

ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê

ë é

= ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê

ë é

ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê

ë é

- - -

- -

N N

N N

NN N N N

N

N

y y y

y

x x

x x

A A A

A A

A A

A

1 2 1

1 2 1

, 1 1

, 1

21 22

1 12

11

0 0

0 0 0

M M M

L M M

L L

NN N

N A

x = y

\

kk N

k n

n kn k

k A

x A y

x

å

+

=

-

=

\ ¹

마지막 식의 변수는 Xn 이므로 ,

식(6.1.3)을 푸는 과정 : 후진 대입법 (back substitution; 역 치환 법)

가우스 소거법(Gauss elimination) [보충]

▣ 가우스 소거법(Gauss elimination)

만일 행렬 A 가 상삼각행렬이

아닌

경우 : 식 (6.1.1) 을 상 삼각행렬 형태를 갖는

등가 방정식으로 변환

첫 번째 단계에서는 식(6.1.1)의 첫번째 식을 이용하여 나머지 식의 을 소거한다. 즉, 첫 번째 식에 을 곱하고, n번째 식(n = 2,3,….,N)으로부터 뺀다.

첫 번째 단계 이후에 다음의 결과를 얻게 된다

(6.1.7) ú

ú ú ú ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê ê ê ê ê

ë é

- - -

= ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê

ë é

ú ú ú ú ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê ê ê ê ê

ë é

- -

- -

- -

1 11

1 1 11 31 3

1 11 21 2

1

3 2 1

1 11

1 12

11 1 2

1 11 31 3

12 11 31 32

12 11 21 2

12 11 21 22

1 12

11

) (

) (

0

) (

) (

0

) (

) (

0

A y y A

A y y A

A y y A

y

x x x x

A A A A

A A A A

A A A A

A A A A

A A A A

A A A A

A A

A

N N

N N

N NN

N N

N N

N

N

M M L

M L

M M

L L L

6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법

식 (6.1.7) 은 다음과 형태가 된다:

(6.1.8)

위 첨자(1) : 가우스 소거법의 첫 번째 단계

2 단계에서는 식(6.1.8)의 두 번째 식을 이용하여, 나머지 방정식(3,4,…, N번째)으로

부터 를 소거한다

즉, 2번째 방정식에 를 곱하고, n번째 방정식( n=3,4,…,N)에서 빼면, 가 소거된다

ú ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê ê

ë é

= ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê

ë é

ú ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê ê

ë é

) 1 (

) 1 ( 3

) 1 ( 2

) 1 ( 1

3 2 1

) 1 ( )

1 ( 2

) 1 ( 3 )

1 ( 32

) 1 ( 2 )

1 ( 22

) 1 ( 1 )

1 ( 12 )

1 ( 11

0 0 0

N N NN

N

N N N

y y y y

x x x x

A A

A A

A A

A A

A

M M L

M L

M M

L L L

x2

) 1 ( 22

) 1 ( 2

A A_n

x

6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법

2번째 단계 이후에 다음과 같은 결과를 얻는다

(6.1.9)

이 방정식의 첫 번째 k는 이미 삼각화되었으므로 그대로 둔다. 또한 k번째 방정식에 를 곱하여, n번째 방정식(n=k+1, k+2, …..,N)에서 빼면 된다.

(N-1) 단계 이후, 등가 방정식 을 얻으며, 여기서 은

상삼각 행렬이다.

ú ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê ê

ë é

= ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê

ë é

ú ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê ê

ë é

) 2 (

) 2 ( 3

) 2 ( 2

) 2 ( 1

3 2 1

) 2 ( )

2 ( 3

) 2 ( 3 )

2 ( 33

) 2 ( 2 )

2 ( 23 )

2 ( 21

) 2 ( 1 )

2 ( 13 )

2 ( 12 )

2 ( 11

0 0

0 0

0

N N NN

N

N N N

y y y y

x x x x

A A

A A

A A

A

A A

A A

M M L

M M

M M

L L

L L

) 1 ( )

1

( - -

= ^k

k x y

A

) 1 (N-

A

k번째 단계 에서는 에서 시작한다.

) 1 (

) 1 (

- - k kk

k nk

A A

) 1 ( )

1

(

x y

A

^N-

=

^N-

6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법

▣ Ex 6.1) Solve

using Gauss elimination and back substitution.

Sol)

N=2 이므로, (N-1)=1 Gauss elimination step. Multiplying the first equation by A₂₁ /A₁₁=2/10 and then subtracting from the second,

or

úû ù êë

= é úû ù êë é úû ù êë

é

3 6 9

2 5 10

2 1

x x

ú ú û ù ê

ê ë é

= - úû ù êë é ú ú û ù ê

ê ë é

- (6)

10 3 2

6 )

5 10 ( 9 2

0

5 10

2 1

x

x

ú

û ù ê ë

= é ú û ù ê ë é ú û ù ê ë

é

8 . 1

6 8

0

5 10

2 1

x x

6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법

▣ Ex 6.1)

Now using back substitution, (6.1.6) gives, for k=2

and for k=1,

225 . 8 0

8 . 1

) 1 ( 22

) 1 ( 2

2 = = =

A x y

4875 .

10 0

) 225 . 0 )(

5 ( 6

) 1 ( 11

2 ) 1 ( 12 )

1 ( 1

2 - =

- =

= A

x A x y

6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법

▣ Ex 6.2)

Use Gauss elimination to triangularize

Sol) There are (N-1)=2 Gauss elimination steps. During step 1 we subtract A₂₁/A₁₁=-2 times equation 1 from equation 2, and we subtract A₃₁/A₁₁=5 times equation 1 from equation 3,

ú ú ú û ù ê ê ê ë é

= ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

-

-

9 7 5 14

12 10

8 6

4

1 3

2

3 2 1

x x x

ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

-

= ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

- - -

= ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

- -

-

- -

- -

-

-

16 17

5 )

5 )(

5 ( 9

) 5 )(

2 ( 7

5 )

1 )(

5 ( 14 )

3 )(

5 ( 12 0

) 1 )(

2 ( 8 ) 3 )(

2 ( 6 0

1 3

2

3 2 1

x x x

6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법

▣ Ex 6.2)

During step 2, we subtract times equation 2 from equation 3

ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

-

= ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

- - -

= ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

- -

-

75 . 11

17 5 )

17 )(

25 . 0 ( 16

17 5 6

) 25 . 0 ( 19 0

0

6 12

0

1 3

2

3 2 1

x x x

25 . 0 / (1)22

)32 1

( A = -

A

6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법

• 컴퓨터 저장 requirements(가우스 소거법 및 후진 대입법) : N² 메모리 장소

• 컴퓨터 시간 requirements : 가우스 소거법 및 후진 대입법을 위해 요구되는 대수 연산 수를 결정함에 의해 평가

• 가우스 소거법은,

(N³-N)/3 의 곱셈, (N)(N-1)/2 의 나눗셈, 그리고 (N³-N)/3 의 뺄셈 필요

• 후진 대입법은,

(N)(N-1)/2 의 곱셈, (N) 의 나눗셈, 그리고 (N)(N-1)/2 의 뺄셈 필요

매우 큰 N에 대해, 가우스 소거법 및 후진 대입법에 의해 식(6.1.1)을 푸는 데, 필요한 근 사적인 컴퓨터 계산시간은, (N³/3) 의 곱셈과 (N³/3) 의 뺄셈 필요

\

6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법

6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 자코비 및 가우스-자이델 법

▣ 식 (6.1.1)의 일반적인 반복 해(법)은 다음과 같은 절차

① x의 초기치 x(0) 를 임의로 선정

②

여기서, x(i) : i 번째 추정값(guess) , g : 반복법을 결정하는 함수의 N 벡터

③ 다음과 같은 종료 조건(stopping condition) 을 만족할 때까지 반복

여기서, : x(i) 의 k 번째 성분, : 설정 허용오차(tolerance level)

)]

( [ )

1

(i g x i

x + =

e - <

+ ) (

) ( )

1 (

i x

i x i

x

k

k k

) (i

x_k ^e

6.2 ITERATIVE SOLUTIONS TO LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS :JACOBI AND GAUSS-SEIDEL

▣ 자코비(Jacobi) 방법

자코비 방법은 식(6.1.1)의 k 번째 방정식을 고려하여 얻을 수 있다

x_k 에 대해서 풀면,

ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

= ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

N N

NN N

N

N

y y

y

x x

x

A A

A

A A

A

A A

A

M M

K

M O

M M

L L

2 1 2

1

2 1

21 22

21

1 12

11

N kN k

kk k

k

k

A x A x A x A x

y =

_{1 1}

+

_{2 2}

+ L + + L

자코비 방법은, 식(6.2.4)의 좌변상에 새로운 값(“new value) x_k (i+1) 을 만들기 위해, 식(6.2.4)의 우변상에 i 번째 반복단계에서, x(i) 의 이전 값(“old” value)을 사용한다.

식(6.2.5)로 주어진 자코비 법은 다음과 같은 행렬 형식으로 다시 표현 가능

여기서,

D : 행렬 A의 대각 요소(diagonal elements)로 구성됨

] ) ( )

( 1 [

) 1 (

1 1

1

å

å

+

= -

=

- -

= +

N

k n

n kn k

n

n kn k

kk

k

y A x i A x i

i A x

y D i

Mx i

x ( + 1 ) = ( ) +

^-1

)

1

(

A D

D

M =

^-

- ú

ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

=

A

NN

A A

D

K

M O

M M

L L

0 0

0 0

0 0

22 11

(6.2.5)

6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 자코비 법

▣ 예제 6.3: 자코비 방법을 이용하여 예제 6.1의 해를 구하라, 초기치 :

, 식(6.2.2)가 를 만족할 때 까지 반복

Sol)

식(6.2.5)에서, N=2 k=1

k=2

식(6.2.6)~(6.2.8)의 행렬 형식을 이용하면,

0 ) 0 ( )

0

(

₂

1

= x =

x e

=10^-4

)]

( 5 6 10 [ )] 1

( 1 [

) 1

(

_{1 12 2 2}

11

1

y A x i x i

i A

x + = - = -

)]

( 2 3 9 [ )] 1

( 1 [

) 1

(

_{2 21 1 1}

22

2

y A x i x i

i A

x + = - = -

ú ú ù ê

ê é ú =

û ù ê ë

= é

- -

1 10 0

1 9

0

0

10

¹

D

1

ú

ú ù ê

ê

é -

ú = û ù ê ë

é -

- ú

ú ù ê

ê é

= 2

10 0 5

0 2

5 0

1 10 0

1 M

] ) ( )

( 1 [

) 1 (

1 1

1

å

å

+

= -

=

- -

= +

N

k n

n kn k

n

n kn k

kk

k

y A x i A x i

i A

x

^(6.2.5)

úû ù êë

= é úû ù êë é úû ù êë

é

3 6 9

2 5 10

2 1

x x

)

1

(

A D

D

M =

^-

-

6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 자코비 법

초기치 x₁(0)= x₂(0)=0 에서 시작하면 , 해는 다음 표와 같이 주어진다.

수렴 판정 조건(convergence criterion)은 10번째 반복계산(iteration)에서 만족

ú û ù ê ë é ú ú ú û ù ê

ê ê ë é ú + û ù ê ë

é ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

-

- ú =

û ù ê ë

é

+ +

3 6 9 0 1

10 0 1 )

( ) ( 9 0

2

10 0 5

) 1 (

) 1 (

2 1 2

1

i x

i x i

x i

x x ( i + 1 ) = Mx ( i ) + D

^-1

y

6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 자코비 법

▣ 가우스-자이델 법

식(6.2.9)와 (6.2.5)를 비교하면, 가우스-자이델 법은 자코비 법과 유사하지만,

각 반복계산 중, 좌변의 새로운 값 를 계산하기 위하여,

식(6.2.9)의 우변에 새로운 값 ( n< k 인 경우에 대해)를 이용한다는 점을 제외하고는 유사하다.

à 식(6.2.9)의 가우스-자이델 법은 식 (6.2.6), (6.2.7)의 행렬 형식으로 다시 표현 가능.

가우스-자이델 법에서, 식(6.2.10)의 행렬 D 는

] ) ( )

1 (

1 [ )

1 (

1 1

1

å

å

+

= -

=

- +

-

= +

N

k n

n kn k

n

n kn k

kk

k

y A x i A x i

i A x

) 1 ( +i x_k ) 1 ( +i x_n

ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

=

NN N

N

A A

A

A A

A D

K

M O

M M

L L

2 2

22 21

11

0 0 0

(6.2.9)

] ) ( )

( 1 [

) 1 (

1 1

1

å

å

+

= -

=

- -

= +

N

k n

n kn k

n

n kn k

kk

k

y A x i A x i

i A

x

^(6.2.5)

6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 가우스-자이델 법

▣ 예제 6.4 : 가우스-자이델 법을 이용하여 에제 6.3을 다시 푸시오.

Sol)

식(6.2.9)로 부터, N=2 k=1

k=2

에 대한 식을 이용하여, 는 다음과 같이 계산될 수 있다

)]

( 5 6 10 [ )] 1

( 1 [

) 1

(

_{1 12 2 2}

11

1

y A x i x i

i A

x + = - = -

)]

1 (

2 3 9 [ )] 1

1 (

1 [ )

1

(

_{2 21 1 1}

22

2

+ = y - A x i + = - x i +

i A x

) 1

1(i+

x x₂(i +1)

)]]

( 5 6 10 [ 3 2

9 [ ) 1 1

(

₂

2

i x i

x + = - -

] ) ( )

1 (

1 [ )

1 (

1 1

1

å

å

+

= -

=

- +

-

= +

N

k n

n kn k

n

n kn k

kk

k

y A x i A x i

i A

x

^(6.2.9)

6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 가우스-자이델 법

행렬 형식으로, 식(6.2.10) , (6.2.6) 및 (6.2.7)을 이용하여:

,

해는 다음 표로 주어진다.

ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

- ú =

û ù êë

= é

- -

9 1 90

2 10 0

1 9

2 0 10 ¹ D 1

ú ú ú

û ù

ê ê ê

ë

é -

ú = û ù êë

é -

ú ú ú

û ù

ê ê ê

ë é

-

=

9 0 1

10 0 5

0 0

5 0

9 1 90

2 10 0

1 M

úû ù êë é ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

- ú +

û ù êë

é ú ú ú û ù ê

ê ê ë

é -

ú = û ù êë

é

+

\ +

3 6 9

1 90

2 10 0

1 )

( ) ( 9

0 1

2 0 1

) 1 (

) 1 (

2 1 2

1

i x

i x i

x i x

6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 가우스 자이델 법

▣ 예제 6.5 : 를 가지고, 가우스-자이델 법으로 다음 해를 구하라.

Sol) x₁ , x₂ 가 교환된 것을 제외하고는, 이 식은 예제 6.1과 동일함

k=1

k=2

à Gauss-Seidel does not converge to the unique solution; instead it diverges.

ú û ù ê ë

= é ú û ù ê ë é ú û ù ê ë

é

3 6 2

9

10 5

2 1

x x

0 ) 0 ( )

0

( ₂

1 = x =

x

)]

( 10 6

5[ )] 1 ( 1 [

) 1

( _{1 12 2 2}

11

1 y A x i x i

i A

x + = - = -

)]

1 ( 9 3 2[ )] 1 1 ( 1 [

) 1

( _{2 21 1 1}

22

2 + = y - A x i + = - x i +

i A x

6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 가우스 자이델 법

• 임의의 대각 요소 가 0이라면, 자코비 및 가우스-자이델 법은 사용 불가( undefined)

• 또한, 임의의 대각 요소가 너무 작은(too small) 크기를 갖는 다면, 이들 방법은 발산(diverge)

• In general, convergence of Jacobi or Gauss-Seidel can be evaluated by recognizing that (6.2.6) represents a digital filter with input y and output x(i).

• Rate of convergence is also established by the filter poles.

• Fast convergence is obtained when the magnitudes of all the poles are small.

Akk

6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 가우스-자이델 법

6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법

▣ 비선형 대수 방정식(nonlinear algebraic equation)

(6.3.1)

y , x : N 벡터 , f(x) : 함수의 N 벡터

식(6.3.1)을 다시 나타내면, (6.3.2) 식 (6.3.2) 의 양변에 Dx 를 더하면, (6.3.3)

를 양변의 앞에 곱하면(Premultiplying), (6.3.4)

식 (6.3.4) 우변의 이전 값 x(i) è 좌변의 새로운 값 x(i+1) 을 구하는 데 사용 y

x f

x f

x f x

f

N

= ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

=

) (

) (

) ( )

( ²

1

M

) ( 0 = y - f x

)]

(

1[

x f y D x

x = + ^- -

) (x f y Dx

Dx = + -

1

D

-

6.3 ITERATIVE SOLUTIONS TO NONLINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS : NEWTON-RAPHSON

선형 방정식에서, f(x) = Ax 이므로 식 (6.3.5) 는

è 위 식은 식(6.2.6)과 동일

à 식(6.3.5)의 행렬 D 결정하는 1가지 방법 è 뉴튼-랩슨 방법

è 운전 점 x₀ 에 대해, f(x) 의 테일러 급수 전개(Taylor series expansion)에 기초

고차항을 무시하고, x에 대해 풀면,

f[x(i)]}

{y D x(i) 1)

x(i+ = + ^-1 -

y D A)x(i) (D

D A[x(i)]}

{y D x(i) 1)

x(i+ = + ^-1 - = ^-1 - + ^-1

L ) x dx (x

) df f(x

y ₀

x x 0

0

- +

=

=

)]

f(x df [y

x x

1

ú - ù ê

+ é

=

-

f(x)]

[y D x

x = + ^-1 - (6.3.4)

뉴튼-랩슨 법

: 식(6.3.8)에서, x₀ è 이전 값 x(i) , x è 새로운 값 x(i+1) 로 대치

(6.3.10)

NxN 행렬 J(i) : the Jacobian matrix.

))]

f(x(

)[y ( J ) x(

1)

x(i + = i + ^-1 i - i

) 2 (

1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

x(i)

dx x

J(i) df

i x N x

N N

N

N N

x f x

f x

f

x f x

f x

f

x f x

f x

f

=

=

ú ú ú ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê ê ê ê

ë é

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

=

=

L

M M

M

L

6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법

▣ 예제 6.6 :

Solve the scalar equation f(x)=y , where y=9 and . Starting

with x(0)=1, use (a) Newton-Raphson and (b) extended Gauss-Seidel with D=3 until (6.2.2) is satisfied for . Compare the Two method.

Sol)

(a) 를 가지고, 식(6.3.10)을 이용하면,

식(6.3.9)에 J(i) 를 이용하면,

초기 값 x(0)=1 로 시작하여, N-R 법을 이용하여 반복계산 하면,

) 2

(x x

f =

10^-4

e =

) 2

(x x

f =

) ( 2 2

) ( )

(

J ( )

) (

2 x x i

dx x i d

i x x i

x x

=

=

= =

=

)]

( 9

)[ ( 2 ) 1 ( )

1

( x² i

i i x

x i

x + = + -

6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법

) 2 (

1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

x(i)

dx x

J(i) df

i x N x

N N

N

N N

x f x

f x

f

x f x

f x

f

x f x

f x

f

=

=

ú ú ú ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê ê ê ê

ë é

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

=

=

L

M M

M

L

(b) D=3로 두고 식(6.3.5)을 이용하면, 가우스-자이델 법은,

▣ 예제 6.7

Solve

,

Use the Newton-Raphson method starting with the above x(0) and continue until (6.2.2) is satisfied with .

)]

( 9

3[ ) 1 ( )

1

(i x i x² i

x + = + -

ú û ù ê ë

= é ú û ù ê ë

é +

50 15

2 1

2 1

x x

x x

ú û ù ê ë

= é 9 4 x

0

10^-4

e =

6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법

, 를 가지고, 식(6.3.10) 을 이용하면, , .

식(6.3.9)에 를 이용하면,

2개의 분리된 식으로 나타내면,

) ( _{1 2}

1 x x

f = + f =₂ x₁x₂

) ( )

(

1 )

(

1 )

( )

( )

(

1 ) 1

( J

2 1

2 1 1

1 2

1

2 2 1

2

2 1 1

1 1

i x i

x i x

i x

i x i

x x

f x

f

x f x

f

i -

úû ù êë

é -

- ú =

û ù êë

= é ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

=

- -

-

) 1

(i ^- J

ú û ù ê ë

é

-

- -

-

ú û ù ê ë

é -

- ú +

û ù ê ë

= é ú û ù ê ë

é

+ +

) ( ) ( 50

) ( )

( 15

) ( )

(

1 )

(

1 )

( )

( ) ( )

1 (

) 1 (

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1 2

1

i x i x

i x i

x i

x i

x

i x

i x

i x

i x i

x i x

6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법

6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법

▣ 식(6.3.9)는 역 행렬 를 포함한다. 를 계산하는 대신에, 식(6.3.9)를 다음 과 같이 다시 표현할 수 있다.

여기서, 그리고,

▣ 각 반복 동안, 다음의 4가지 단계를 수행한다:

1) 1 단계: 로부터, 계산 2) 2 단계: 식 (6.3.10)으로부터, 계산

3) 3 단계: 가우스 소거법과 후진 대입법을 이용하여 에 대해 계산

) (i y D )]

( [ )

(i y f x i

y = -

D

) ( J i )

( y )

( ) (

J i Dx i = D i

) (i x D

6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법

▣ Ex 6.8)

Complete the above four steps for the first iteration of Example 6.7 Sol)

step 1:

step 2:

úû ù êë

= é úû ù êë

é + ú -

û ù êë

= é -

=

D 14

2 )

9 )(

4 (

9 4 50

)] 15 0 ( [ )

0

( y f x

y

úû ù êë

= é úû ù êë

= é

4 9

1 1 )

0 ( )

0 (

1 ) 1

0 (

1

2 x

J x

6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법

step 3 :

solving by back substitution

step 4:

úû ù êë

= é úû ù êë

é D D úû ù êë

é

14 2 )

0 (

) 0 ( 4

9 1 1

2 1

x x

úû ù êë é

= - úû ù êë

é D D úû ù êë

é

- 4

2 )

0 (

) 0 ( 5

0

1 1

2 1

x x

8 . 5 0 ) 4

0

2( =

-

= -

Dx Dx₁(0) = 2-0.8=1.2 úû ù êë

= é úû ù êë +é úû ù êë

= é D

+

= 9.8

2 . 5 8

. 0

2 . 1 9

) 4 0 ( )

0 ( ) 1

( x x₁ x

6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법

Questions