전력시스템 해석 및 설계
제 6 장
– Power Flows - 성균관대학교
김 철 환
CONTENTS
6.1 선형 대수 방정식에 대한 직접 해(법)
: 가우스 소거법(GAUSS ELIMINATION)
6.2 선형 대수 방정식에 대한 반복 해(법)
: 자코비 및 가우스 자이델(JACOBI and GAUSS-SEIDEL)
6.3 비선형 대수 방정식에 대한 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨(NEWTON-RAPHSON)
6.4 전력 조류(POWER-FLOW) 문제
6.5 가우스 자이델(GAUSS-SEIDEL)에 의한 조류 해
CONTENTS
6.6 뉴튼-랩슨(NEWTON-RAPHSON) 에 의한 조류 해 6.7 조류의 제어(CONTROL; 전력조류 제어 방법)
6.8 조류의 성김(SPARSITY; 성김 행렬 처리 방법)
6.9 고속 조류(FAST DECOUPLED POWER FLOW; 고속 조류 분할 해석법)
6.10 직류 조류(“DC” 조류; 직류 조류 해석)
6.1 선형 대수 방정식의 직접 해(법) : 가우스 소거법
선형 대수 방정식(linear algebraic equation)
(6.1.1)
또는 Ax = y (6.1.2)
여기서, x 및 y : N 개 벡터 A : N x N 정방 행렬
x, y 및 A 의 각 성분 : 실수 또는 복소수
가정 : det(A) : A의 행렬식은 nonzero, 그러므로 식(6.1.1)의 유일 해(unique solution)는 존재
ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê
ë é
= ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê
ë é
ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê
ë é
N N
NN N
N
N
y y
y
x x
x
A A
A
A A
A
A A
A
M M
K
M O
M M
L L
2 1 2
1
2 1
21 22
21
1 12
11
ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê
ë é
= ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê
ë é
ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê
ë é
N N
NN N
N
N
y y y
x x
x
A A
A
A A
A
A A
A
M M
K
M O
M M
L L
2 1 2
1
2 1
21 22
21
1 12
11
(6.1.1)
6.1 선형 대수 방정식의 직접 해(법) : 가우스 소거법
행렬 A의 대각요소가 영(zero)이 아닌 상삼각 행렬(upper triangular matrix)일때, 해 x는 쉽게 구할 수 있다
6.1 DIRECT SOLUTIONS TO LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS :GAUSS ELIMINATION
식 (6.1.1) 이 다음과 같은 형태를 가지는 경우(행렬 A 가 상삼각행렬인 경우)
(6.1.3) (6.1.4)
Xn 을 구하고 나서, 아래에서 두 번째 식을 풀면(next-to-last equation):
(6.1.5)
일반적으로, 이미 구한 상태에서, k 번째 방정식은:
ú ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê ê
ë é
= ú ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê ê
ë é
ú ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê ê
ë é
- - -
- -
N N
N N
NN N N N
N
N
y y y
y
x x
x x
A A A
A A
A A
A
1 2 1
1 2 1
, 1 1
, 1
21 22
1 12
11
0 0
0 0 0
M M M
L M M
L L
NN N
N A
x = y
\
kk N
k n
n kn k
k A
x A y
x
å
+
=
-
=
\ 1
마지막 식의 변수는 Xn 이므로 ,
식(6.1.3)을 푸는 과정 : 후진 대입법 (back substitution; 역 치환 법)
가우스 소거법(Gauss elimination) [보충]
▣ 가우스 소거법(Gauss elimination)
만일 행렬 A 가 상삼각행렬이
아닌
경우 : 식 (6.1.1) 을 상 삼각행렬 형태를 갖는등가 방정식으로 변환
첫 번째 단계에서는 식(6.1.1)의 첫번째 식을 이용하여 나머지 식의 을 소거한다. 즉, 첫 번째 식에 을 곱하고, n번째 식(n = 2,3,….,N)으로부터 뺀다.
첫 번째 단계 이후에 다음의 결과를 얻게 된다
(6.1.7) ú
ú ú ú ú ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê ê ê ê ê ê
ë é
- - -
= ú ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê ê
ë é
ú ú ú ú ú ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê ê ê ê ê ê
ë é
- -
- -
- -
1 11
1 1 11 31 3
1 11 21 2
1
3 2 1
1 11
1 12
11 1 2
1 11 31 3
12 11 31 32
12 11 21 2
12 11 21 22
1 12
11
) (
) (
0
) (
) (
0
) (
) (
0
A y y A
A y y A
A y y A
y
x x x x
A A A A
A A A A
A A A A
A A A A
A A A A
A A A A
A A
A
N N
N N
N NN
N N
N N
N
N
M M L
M L
M M
L L L
6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법
식 (6.1.7) 은 다음과 형태가 된다:
(6.1.8)
위 첨자(1) : 가우스 소거법의 첫 번째 단계
2 단계에서는 식(6.1.8)의 두 번째 식을 이용하여, 나머지 방정식(3,4,…, N번째)으로
부터 를 소거한다
즉, 2번째 방정식에 를 곱하고, n번째 방정식( n=3,4,…,N)에서 빼면, 가 소거된다
ú ú ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê ê ê
ë é
= ú ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê ê
ë é
ú ú ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê ê ê
ë é
) 1 (
) 1 ( 3
) 1 ( 2
) 1 ( 1
3 2 1
) 1 ( )
1 ( 2
) 1 ( 3 )
1 ( 32
) 1 ( 2 )
1 ( 22
) 1 ( 1 )
1 ( 12 )
1 ( 11
0 0 0
N N NN
N
N N N
y y y y
x x x x
A A
A A
A A
A A
A
M M L
M L
M M
L L L
x2
) 1 ( 22
) 1 ( 2
A An
x
6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법
2번째 단계 이후에 다음과 같은 결과를 얻는다
(6.1.9)
이 방정식의 첫 번째 k는 이미 삼각화되었으므로 그대로 둔다. 또한 k번째 방정식에 를 곱하여, n번째 방정식(n=k+1, k+2, …..,N)에서 빼면 된다.
(N-1) 단계 이후, 등가 방정식 을 얻으며, 여기서 은
상삼각 행렬이다.
ú ú ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê ê ê
ë é
= ú ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê ê
ë é
ú ú ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê ê ê
ë é
) 2 (
) 2 ( 3
) 2 ( 2
) 2 ( 1
3 2 1
) 2 ( )
2 ( 3
) 2 ( 3 )
2 ( 33
) 2 ( 2 )
2 ( 23 )
2 ( 21
) 2 ( 1 )
2 ( 13 )
2 ( 12 )
2 ( 11
0 0
0 0
0
N N NN
N
N N N
y y y y
x x x x
A A
A A
A A
A
A A
A A
M M L
M M
M M
L L
L L
) 1 ( )
1
( - -
= k
k x y
A
) 1 (N-
A
k번째 단계 에서는 에서 시작한다.
) 1 (
) 1 (
- - k kk
k nk
A A
) 1 ( )
1
(
x y
A
N-=
N-6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법
▣ Ex 6.1) Solve
using Gauss elimination and back substitution.
Sol)
N=2 이므로, (N-1)=1 Gauss elimination step. Multiplying the first equation by A21 /A11=2/10 and then subtracting from the second,
or
úû ù êë
= é úû ù êë é úû ù êë
é
3 6 9
2 5 10
2 1
x x
ú ú û ù ê
ê ë é
= - úû ù êë é ú ú û ù ê
ê ë é
- (6)
10 3 2
6 )
5 10 ( 9 2
0
5 10
2 1
x
x
ú
û ù ê ë
= é ú û ù ê ë é ú û ù ê ë
é
8 . 1
6 8
0
5 10
2 1
x x
6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법
▣ Ex 6.1)
Now using back substitution, (6.1.6) gives, for k=2
and for k=1,
225 . 8 0
8 . 1
) 1 ( 22
) 1 ( 2
2 = = =
A x y
4875 .
10 0
) 225 . 0 )(
5 ( 6
) 1 ( 11
2 ) 1 ( 12 )
1 ( 1
2 - =
- =
= A
x A x y
6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법
▣ Ex 6.2)
Use Gauss elimination to triangularize
Sol) There are (N-1)=2 Gauss elimination steps. During step 1 we subtract A21/A11=-2 times equation 1 from equation 2, and we subtract A31/A11=5 times equation 1 from equation 3,
ú ú ú û ù ê ê ê ë é
= ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê
ê ê ë é
-
-
9 7 5 14
12 10
8 6
4
1 3
2
3 2 1
x x x
ú ú ú û ù ê
ê ê ë é
-
= ú ú ú û ù ê
ê ê ë é
- - -
= ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê
ê ê ë é
- -
-
- -
- -
-
-
16 17
5 )
5 )(
5 ( 9
) 5 )(
2 ( 7
5 )
1 )(
5 ( 14 )
3 )(
5 ( 12 0
) 1 )(
2 ( 8 ) 3 )(
2 ( 6 0
1 3
2
3 2 1
x x x
6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법
▣ Ex 6.2)
During step 2, we subtract times equation 2 from equation 3
ú ú ú û ù ê
ê ê ë é
-
= ú ú ú û ù ê
ê ê ë é
- - -
= ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê
ê ê ë é
- -
-
75 . 11
17 5 )
17 )(
25 . 0 ( 16
17 5 6
) 25 . 0 ( 19 0
0
6 12
0
1 3
2
3 2 1
x x x
25 . 0 / (1)22
)32 1
( A = -
A
6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법
• 컴퓨터 저장 requirements(가우스 소거법 및 후진 대입법) : N2 메모리 장소
• 컴퓨터 시간 requirements : 가우스 소거법 및 후진 대입법을 위해 요구되는 대수 연산 수를 결정함에 의해 평가
• 가우스 소거법은,
(N3-N)/3 의 곱셈, (N)(N-1)/2 의 나눗셈, 그리고 (N3-N)/3 의 뺄셈 필요
• 후진 대입법은,
(N)(N-1)/2 의 곱셈, (N) 의 나눗셈, 그리고 (N)(N-1)/2 의 뺄셈 필요
매우 큰 N에 대해, 가우스 소거법 및 후진 대입법에 의해 식(6.1.1)을 푸는 데, 필요한 근 사적인 컴퓨터 계산시간은, (N3/3) 의 곱셈과 (N3/3) 의 뺄셈 필요
\
6.1 선형 대수 방정식의 직접 해 : 가우스 소거법
6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 자코비 및 가우스-자이델 법
▣ 식 (6.1.1)의 일반적인 반복 해(법)은 다음과 같은 절차
① x의 초기치 x(0) 를 임의로 선정
②
여기서, x(i) : i 번째 추정값(guess) , g : 반복법을 결정하는 함수의 N 벡터
③ 다음과 같은 종료 조건(stopping condition) 을 만족할 때까지 반복
여기서, : x(i) 의 k 번째 성분, : 설정 허용오차(tolerance level)
)]
( [ )
1
(i g x i
x + =
e - <
+ ) (
) ( )
1 (
i x
i x i
x
k
k k
) (i
xk e
6.2 ITERATIVE SOLUTIONS TO LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS :JACOBI AND GAUSS-SEIDEL
▣ 자코비(Jacobi) 방법
자코비 방법은 식(6.1.1)의 k 번째 방정식을 고려하여 얻을 수 있다
xk 에 대해서 풀면,
ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê
ë é
= ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê
ë é
ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê
ë é
N N
NN N
N
N
y y
y
x x
x
A A
A
A A
A
A A
A
M M
K
M O
M M
L L
2 1 2
1
2 1
21 22
21
1 12
11
N kN k
kk k
k
k
A x A x A x A x
y =
1 1+
2 2+ L + + L
자코비 방법은, 식(6.2.4)의 좌변상에 새로운 값(“new value) xk (i+1) 을 만들기 위해, 식(6.2.4)의 우변상에 i 번째 반복단계에서, x(i) 의 이전 값(“old” value)을 사용한다.
식(6.2.5)로 주어진 자코비 법은 다음과 같은 행렬 형식으로 다시 표현 가능
여기서,
D : 행렬 A의 대각 요소(diagonal elements)로 구성됨
] ) ( )
( 1 [
) 1 (
1 1
1
å
å
+
= -
=
- -
= +
N
k n
n kn k
n
n kn k
kk
k
y A x i A x i
i A x
y D i
Mx i
x ( + 1 ) = ( ) +
-1)
1
(
A D
D
M =
-- ú
ú ú ú
û ù
ê ê ê ê
ë é
=
A
NNA A
D
K
M O
M M
L L
0 0
0 0
0 0
22 11
(6.2.5)
6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 자코비 법
▣ 예제 6.3: 자코비 방법을 이용하여 예제 6.1의 해를 구하라, 초기치 :
, 식(6.2.2)가 를 만족할 때 까지 반복
Sol)
식(6.2.5)에서, N=2 k=1
k=2
식(6.2.6)~(6.2.8)의 행렬 형식을 이용하면,
0 ) 0 ( )
0
(
21
= x =
x e
=10-4)]
( 5 6 10 [ )] 1
( 1 [
) 1
(
1 12 2 211
1
y A x i x i
i A
x + = - = -
)]
( 2 3 9 [ )] 1
( 1 [
) 1
(
2 21 1 122
2
y A x i x i
i A
x + = - = -
ú ú ù ê
ê é ú =
û ù ê ë
= é
- -
1 10 0
1 9
0
0
10
1D
1ú
ú ù ê
ê
é -
ú = û ù ê ë
é -
- ú
ú ù ê
ê é
= 2
10 0 5
0 2
5 0
1 10 0
1 M
] ) ( )
( 1 [
) 1 (
1 1
1
å
å
+
= -
=
- -
= +
N
k n
n kn k
n
n kn k
kk
k
y A x i A x i
i A
x
(6.2.5)úû ù êë
= é úû ù êë é úû ù êë
é
3 6 9
2 5 10
2 1
x x
)
1
(
A D
D
M =
--
6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 자코비 법
초기치 x1(0)= x2(0)=0 에서 시작하면 , 해는 다음 표와 같이 주어진다.
수렴 판정 조건(convergence criterion)은 10번째 반복계산(iteration)에서 만족
ú û ù ê ë é ú ú ú û ù ê
ê ê ë é ú + û ù ê ë
é ú ú ú û ù ê
ê ê ë é
-
- ú =
û ù ê ë
é
+ +
3 6 9 0 1
10 0 1 )
( ) ( 9 0
2
10 0 5
) 1 (
) 1 (
2 1 2
1
i x
i x i
x i
x x ( i + 1 ) = Mx ( i ) + D
-1y
6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 자코비 법
▣ 가우스-자이델 법
식(6.2.9)와 (6.2.5)를 비교하면, 가우스-자이델 법은 자코비 법과 유사하지만,
각 반복계산 중, 좌변의 새로운 값 를 계산하기 위하여,
식(6.2.9)의 우변에 새로운 값 ( n< k 인 경우에 대해)를 이용한다는 점을 제외하고는 유사하다.
à 식(6.2.9)의 가우스-자이델 법은 식 (6.2.6), (6.2.7)의 행렬 형식으로 다시 표현 가능.
가우스-자이델 법에서, 식(6.2.10)의 행렬 D 는
] ) ( )
1 (
1 [ )
1 (
1 1
1
å
å
+
= -
=
- +
-
= +
N
k n
n kn k
n
n kn k
kk
k
y A x i A x i
i A x
) 1 ( +i xk ) 1 ( +i xn
ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê
ë é
=
NN N
N
A A
A
A A
A D
K
M O
M M
L L
2 2
22 21
11
0 0 0
(6.2.9)
] ) ( )
( 1 [
) 1 (
1 1
1
å
å
+
= -
=
- -
= +
N
k n
n kn k
n
n kn k
kk
k
y A x i A x i
i A
x
(6.2.5)6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 가우스-자이델 법
▣ 예제 6.4 : 가우스-자이델 법을 이용하여 에제 6.3을 다시 푸시오.
Sol)
식(6.2.9)로 부터, N=2 k=1
k=2
에 대한 식을 이용하여, 는 다음과 같이 계산될 수 있다
)]
( 5 6 10 [ )] 1
( 1 [
) 1
(
1 12 2 211
1
y A x i x i
i A
x + = - = -
)]
1 (
2 3 9 [ )] 1
1 (
1 [ )
1
(
2 21 1 122
2
+ = y - A x i + = - x i +
i A x
) 1
1(i+
x x2(i +1)
)]]
( 5 6 10 [ 3 2
9 [ ) 1 1
(
22
i x i
x + = - -
] ) ( )
1 (
1 [ )
1 (
1 1
1
å
å
+
= -
=
- +
-
= +
N
k n
n kn k
n
n kn k
kk
k
y A x i A x i
i A
x
(6.2.9)6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 가우스-자이델 법
행렬 형식으로, 식(6.2.10) , (6.2.6) 및 (6.2.7)을 이용하여:
,
해는 다음 표로 주어진다.
ú ú ú û ù ê
ê ê ë é
- ú =
û ù êë
= é
- -
9 1 90
2 10 0
1 9
2 0 10 1 D 1
ú ú ú
û ù
ê ê ê
ë
é -
ú = û ù êë
é -
ú ú ú
û ù
ê ê ê
ë é
-
=
9 0 1
10 0 5
0 0
5 0
9 1 90
2 10 0
1 M
úû ù êë é ú ú ú û ù ê
ê ê ë é
- ú +
û ù êë
é ú ú ú û ù ê
ê ê ë
é -
ú = û ù êë
é
+
\ +
3 6 9
1 90
2 10 0
1 )
( ) ( 9
0 1
2 0 1
) 1 (
) 1 (
2 1 2
1
i x
i x i
x i x
6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 가우스 자이델 법
▣ 예제 6.5 : 를 가지고, 가우스-자이델 법으로 다음 해를 구하라.
Sol) x1 , x2 가 교환된 것을 제외하고는, 이 식은 예제 6.1과 동일함
k=1
k=2
à Gauss-Seidel does not converge to the unique solution; instead it diverges.
ú û ù ê ë
= é ú û ù ê ë é ú û ù ê ë
é
3 6 2
9
10 5
2 1
x x
0 ) 0 ( )
0
( 2
1 = x =
x
)]
( 10 6
5[ )] 1 ( 1 [
) 1
( 1 12 2 2
11
1 y A x i x i
i A
x + = - = -
)]
1 ( 9 3 2[ )] 1 1 ( 1 [
) 1
( 2 21 1 1
22
2 + = y - A x i + = - x i +
i A x
6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 가우스 자이델 법
• 임의의 대각 요소 가 0이라면, 자코비 및 가우스-자이델 법은 사용 불가( undefined)
• 또한, 임의의 대각 요소가 너무 작은(too small) 크기를 갖는 다면, 이들 방법은 발산(diverge)
• In general, convergence of Jacobi or Gauss-Seidel can be evaluated by recognizing that (6.2.6) represents a digital filter with input y and output x(i).
• Rate of convergence is also established by the filter poles.
• Fast convergence is obtained when the magnitudes of all the poles are small.
Akk
6.2 선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 가우스-자이델 법
6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법
▣ 비선형 대수 방정식(nonlinear algebraic equation)
(6.3.1)
y , x : N 벡터 , f(x) : 함수의 N 벡터
식(6.3.1)을 다시 나타내면, (6.3.2) 식 (6.3.2) 의 양변에 Dx 를 더하면, (6.3.3)
를 양변의 앞에 곱하면(Premultiplying), (6.3.4)
식 (6.3.4) 우변의 이전 값 x(i) è 좌변의 새로운 값 x(i+1) 을 구하는 데 사용 y
x f
x f
x f x
f
N
= ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê
ë é
=
) (
) (
) ( )
( 2
1
M
) ( 0 = y - f x
)]
(
1[
x f y D x
x = + - -
) (x f y Dx
Dx = + -
1
D
-6.3 ITERATIVE SOLUTIONS TO NONLINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS : NEWTON-RAPHSON
선형 방정식에서, f(x) = Ax 이므로 식 (6.3.5) 는
è 위 식은 식(6.2.6)과 동일
à 식(6.3.5)의 행렬 D 결정하는 1가지 방법 è 뉴튼-랩슨 방법
è 운전 점 x0 에 대해, f(x) 의 테일러 급수 전개(Taylor series expansion)에 기초
고차항을 무시하고, x에 대해 풀면,
f[x(i)]}
{y D x(i) 1)
x(i+ = + -1 -
y D A)x(i) (D
D A[x(i)]}
{y D x(i) 1)
x(i+ = + -1 - = -1 - + -1
L ) x dx (x
) df f(x
y 0
x x 0
0
- +
=
=
)]
f(x df [y
x x
1
ú - ù ê
+ é
=
-
f(x)]
[y D x
x = + -1 - (6.3.4)
뉴튼-랩슨 법
: 식(6.3.8)에서, x0 è 이전 값 x(i) , x è 새로운 값 x(i+1) 로 대치(6.3.10)
NxN 행렬 J(i) : the Jacobian matrix.
))]
f(x(
)[y ( J ) x(
1)
x(i + = i + -1 i - i
) 2 (
1
2 2
2 1
2
1 2
1 1
1
x(i)
dx x
J(i) df
i x N x
N N
N
N N
x f x
f x
f
x f x
f x
f
x f x
f x
f
=
=
ú ú ú ú ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê ê ê ê ê
ë é
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
=
L
M M
M
L
6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법
▣ 예제 6.6 :
Solve the scalar equation f(x)=y , where y=9 and . Starting
with x(0)=1, use (a) Newton-Raphson and (b) extended Gauss-Seidel with D=3 until (6.2.2) is satisfied for . Compare the Two method.
Sol)
(a) 를 가지고, 식(6.3.10)을 이용하면,
식(6.3.9)에 J(i) 를 이용하면,
초기 값 x(0)=1 로 시작하여, N-R 법을 이용하여 반복계산 하면,
) 2
(x x
f =
10-4
e =
) 2
(x x
f =
) ( 2 2
) ( )
(
J ( )
) (
2 x x i
dx x i d
i x x i
x x
=
=
= =
=
)]
( 9
)[ ( 2 ) 1 ( )
1
( x2 i
i i x
x i
x + = + -
6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법
) 2 (
1
2 2
2 1
2
1 2
1 1
1
x(i)
dx x
J(i) df
i x N x
N N
N
N N
x f x
f x
f
x f x
f x
f
x f x
f x
f
=
=
ú ú ú ú ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê ê ê ê ê
ë é
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
=
L
M M
M
L
(b) D=3로 두고 식(6.3.5)을 이용하면, 가우스-자이델 법은,
▣ 예제 6.7
Solve
,
Use the Newton-Raphson method starting with the above x(0) and continue until (6.2.2) is satisfied with .
)]
( 9
3[ ) 1 ( )
1
(i x i x2 i
x + = + -
ú û ù ê ë
= é ú û ù ê ë
é +
50 15
2 1
2 1
x x
x x
ú û ù ê ë
= é 9 4 x
010-4
e =
6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법
, 를 가지고, 식(6.3.10) 을 이용하면, , .
식(6.3.9)에 를 이용하면,
2개의 분리된 식으로 나타내면,
) ( 1 2
1 x x
f = + f =2 x1x2
) ( )
(
1 )
(
1 )
( )
( )
(
1 ) 1
( J
2 1
2 1 1
1 2
1
2 2 1
2
2 1 1
1 1
i x i
x i x
i x
i x i
x x
f x
f
x f x
f
i -
úû ù êë
é -
- ú =
û ù êë
= é ú ú ú ú
û ù
ê ê ê ê
ë é
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
- -
-
) 1
(i - J
ú û ù ê ë
é
-
- -
-
ú û ù ê ë
é -
- ú +
û ù ê ë
= é ú û ù ê ë
é
+ +
) ( ) ( 50
) ( )
( 15
) ( )
(
1 )
(
1 )
( )
( ) ( )
1 (
) 1 (
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1 2
1
i x i x
i x i
x i
x i
x
i x
i x
i x
i x i
x i x
6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법
6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법
▣ 식(6.3.9)는 역 행렬 를 포함한다. 를 계산하는 대신에, 식(6.3.9)를 다음 과 같이 다시 표현할 수 있다.
여기서, 그리고,
▣ 각 반복 동안, 다음의 4가지 단계를 수행한다:
1) 1 단계: 로부터, 계산 2) 2 단계: 식 (6.3.10)으로부터, 계산
3) 3 단계: 가우스 소거법과 후진 대입법을 이용하여 에 대해 계산
) (i y D )]
( [ )
(i y f x i
y = -
D
) ( J i )
( y )
( ) (
J i Dx i = D i
) (i x D
6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법
▣ Ex 6.8)
Complete the above four steps for the first iteration of Example 6.7 Sol)
step 1:
step 2:
úû ù êë
= é úû ù êë
é + ú -
û ù êë
= é -
=
D 14
2 )
9 )(
4 (
9 4 50
)] 15 0 ( [ )
0
( y f x
y
úû ù êë
= é úû ù êë
= é
4 9
1 1 )
0 ( )
0 (
1 ) 1
0 (
1
2 x
J x
6.3 비선형 대수 방정식의 반복 해(법) : 뉴튼-랩슨 법
step 3 :
solving by back substitution
step 4:
úû ù êë
= é úû ù êë
é D D úû ù êë
é
14 2 )
0 (
) 0 ( 4
9 1 1
2 1
x x
úû ù êë é
= - úû ù êë
é D D úû ù êë
é
- 4
2 )
0 (
) 0 ( 5
0
1 1
2 1
x x
8 . 5 0 ) 4
0
2( =
-
= -
Dx Dx1(0) = 2-0.8=1.2 úû ù êë
= é úû ù êë +é úû ù êë
= é D
+
= 9.8
2 . 5 8
. 0
2 . 1 9
) 4 0 ( )
0 ( ) 1
( x x1 x