(2) t = 2인 점에서 이 곡선의 접선의 방정식을 구하시오

2012년 2학기 미분적분학2: 덕성여자대학교 수학과 최성우 1

미분적분학2 기말고사 문제풀이

1. 매개변수로 표현된 곡선 x = t²− 2t − 2, y = 3t³− 9t에 대하여 다음에 답하시오. (각 4점) (1) 이 곡선 위의 점들 중 수평접선을 가지는 점들의 좌표를 모두 구하시오.

dx

dt = 2t − 2, dy

dt = 9t²− 9.

→ dy dx =

dy dt dx dt

= 9(t²− 1)

2(t − 1) =9(t + 1)(t − 1) 2(t − 1) .

→ dy dx    _t=−1

= 0, dy dx    _t=1

= lim

t→1

9(t + 1)(t − 1) 2(t − 1) = 9.

따라서 수평접선을가지는 점은 t = −1일 때의 점, 즉 (x(−1), y(−1)) = (1, 6).

(2) t = 2인 점에서 이 곡선의 접선의 방정식을 구하시오. 이때 주어진 곡선은 접점에서 위로 볼록 인가 오목인가?

dy dx    _t=2

= 27

2 , x(2) = −2, y(2) = 6 이므로, 구하는 직선의 방정식은

y − 6 = 27

2 (x − (−2)) , 즉 y = 27 2 x + 33.

d²y dx² = d

dx

 dy dx



= d dx

 9 2(t + 1)



(← t 6= 1)

= dt dx · d

dt

 9 2(t + 1)



=

d dt

₉

2(t + 1)

dx dt

=

9 2

2t − 2.

→ d²y dx²    _t=2

=

9 2

2 · 2 − 2 =9 4 > 0.

따라서 위로오목하다.

2. 매개변수로 표현된 곡선 x = cos²θ, y = sin²θ, 0 ≤ θ ≤ ^π₂에 대하여 다음에 답하시오. (각 5점) (1) 이 곡선의 길이를 구하시오.

구하는길이를 L이라고 하면,

L = Z ^π₂

0

s

 dx dθ

² + dy

dθ

² dθ =

Z ^π₂

0

q

(−2 cos θ sin θ)²+ (2 sin θ cos θ)²dθ

= 2√ 2

Z ^π₂

0

sin θ cos θ dθ 

← 0 ≤ θ ≤ π 2



= 2√ 2

Z 1 0

t dt (← t = sin θ, dt = cos θ dθ)

= 2√ 2 ·1

2 =√ 2.

2 2012년 2학기 미분적분학2: 덕성여자대학교 수학과 최성우

(2) 이 곡선을 x축을 중심으로 회전하여 얻어지는 회전면의 넓이를 구하시오.

구하는 면적을 S라고 하면, S =

Z ^π₂

0

2πy s

 dx dθ

² + dy

dθ

² dθ =

Z ^π₂

0

2π sin²θ · 2√

2 sin θ cos θ dθ

= 4√ 2π

Z ^π₂

0

sin³θ cos θ dθ = 4√ 2π

Z 1 0

t³dt (← t = sin θ, dt = cos θ dθ)

= 4√ 2π ·1

4 =√ 2π.

3. 극좌표로 표현된 곡선들에 대하여 다음에 답하시오. (각 5점)

(1) 두 곡선 r = sin θ와 r = |cos θ|의 교점들의 직교좌표를 모두 구하시오.

sin θ = ± cos θ, 0 < θ < π → θ = π 4,3π

4 → r = 1

√ 2.

→ 교점들의 극좌표:

→ (0, 0),

 1

√2,π 4

 ,

 1

√2,3π 4

 .

→ 교점들의 직교좌표:

(0, 0),  1 2,1

2

 ,



−1 2,1

2

 . (2) 곡선 r = |sin θ|의 길이를 구하시오.

길이를 L이라고 하면, L = 4

Z ^π₂

0

s

r²+ dr dθ

² dθ = 4

Z ^π₂

0

psin²θ + cos²θ dθ = 4 Z ^π₂

0

1 dθ = 4 · π 2 = 2π.

(3) 곡선 r = sin (3θ)로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

영역의 넓이를 A라고 하면, A = 6

Z ^π₆

0

1

2r²dθ = 6 Z ^π₆

0

1

2sin²(3θ) dθ = 3 Z ^π₆

0

1 − cos (6θ)

2 dθ

= 3 2

 θ −1

6sin (6θ)

^π₆

0

= 3 2·π

6 = π 4. 4. 다음 급수들의 수렴, 발산을 각각 판정하시오.

(1)

∞

X

n=1

3n⁴+ 6n³− 4n²+ 1

2n⁵+ 3n³+ 8n − 1 . (4점)

lim

n→∞

3n⁴+6n³−4n²+1 2n⁵+3n³+8n−1

1 n

= lim

n→∞

3n⁵+ 6n⁴− 4n³+ n 2n⁵+ 3n³+ 8n − 1 = lim

n→∞

3 + ⁶_n−_n⁴2 +_n¹4

2 + _n³₂ +_n⁸₄ −_n¹5

=3 2 이고 급수 P∞

n=1 1

n은발산하므로(적분판정법), 극한비교판정법(limit comparison test)에 의하 여 주어진 급수는 발산한다.

(2)

∞

X

n=2

1

n (ln n)³. (4점)

2012년 2학기 미분적분학2: 덕성여자대학교 수학과 최성우 3

Z ∞ 2

1

x (ln x)³dx = Z ∞

ln 2

1

t³dt = −1 2

 1 t²

∞ ln 2

= 1

2 (ln 2)² < ∞ 이므로, 적분판정법(integral test)에 의하여 주어진 급수는 수렴한다.

(3)

∞

X

n=1

(2n)ⁿ⁺¹

n²ⁿ⁺¹ . (6점)

n→∞lim    

(2n)ⁿ⁺¹ n²ⁿ⁺¹

1 n

= lim

n→∞

 2n n · 2n

n²

ⁿn¹

= lim

n→∞

 2ⁿ¹ · 1

n



= 0 이므로, 근판정법(root test)에 의하여 주어진 급수는 수렴한다.

5. 다음 멱급수들의 수렴구간을 각각 구하시오. (각 5점)

(1)

∞

X

n=0

(x − 1)ⁿ 2ⁿ . an= ^(x−1)₂nⁿ로 놓으면,

1 > lim

n→∞

a_n+1 an

= lim

n→∞

(x−1)ⁿ⁺¹ 2ⁿ⁺¹ (x−1)ⁿ

2ⁿ

= lim

n→∞

|x − 1|

2 = |x − 1|

2 ⇔ |x − 1| < 2 이므로, 수렴반경은 2이다.

수렴구간의 양 끝 점 x = 1 ± 2 = −1, 3에서의 수렴 여부를 살펴보자:

(i) x = −1:

∞

X

n=0

(−2)ⁿ 2ⁿ =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ → lim

n→∞(−1)ⁿ 6= 0이므로 발산.

(ii) x = 3:

∞

X

n=0

2ⁿ 2ⁿ =

∞

X

n=0

1 → lim

n→∞1 6= 0이므로 발산.

따라서 수렴구간은 (−1, 3)이다.

(2)

∞

X

n=0

(x + 2)ⁿ n³ . an= ^(x+2)_n3 ⁿ로 놓으면,

1 > lim

n→∞

a_n+1 an

= lim

n→∞

(x+2)ⁿ⁺¹ (n+1)³ (x+2)ⁿ n³

= lim

n→∞

( n n + 1

3

|x + 2|

)

= |x + 2|

이므로, 수렴반경은 1이다.

수렴구간의 양 끝 점 x = −2 ± 1 = −3, −1에서의 수렴 여부를 살펴보자:

(i) x = −3:

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n³ → lim

n→∞

1

n³ = 0이므로 교대급수판정법(alternating series test)에 의하여 수렴.

(ii) x = −1:

∞

X

n=0

1

n³ → 수렴하는 p-series(적분판정법)이므로 수렴.

따라서 수렴구간은 [−3, −1]이다.

4 2012년 2학기 미분적분학2: 덕성여자대학교 수학과 최성우

6. 함수 f (x) = sinh⁻¹x에 대하여 다음에 답하시오. (참고: sinh⁻¹x
⁰

=^{√ 1}

1+x².) (1) f (x)의 0을 중심으로 하는 7차 테일러다항식을 구하시오. (6점)

이항급수의 테일러급수를 이용하면,

√ 1

1 + x² =1 + x²
−¹₂

= 1 +



−1 2



x²
+ 1 2!



−1 2

 

−3 2

 x²
2

+ 1 3!



−1 2

 

−3 2

 

−5 2

 x²
3

+ · · ·

= 1 − 1 2x²+3

8x⁴− 5

16x⁶+ · · · .

→ f (x) = sinh⁻¹(x) = x −1 6x³+ 3

40x⁵− 5

112x⁷+ · · · . ← f (0) = sinh⁻¹(0) = 0.
따라서 f (x)의 0을 중심으로 하는 7차 테일러다항식은

x −1 6x³+ 3

40x⁵− 5 112x⁷. (2) R0.25

0

sinh⁻¹x

x dx의 근사값을 소숫점 아래 세째 자리까기 정확하게 구하시오. (7점) (1)의 결과에 의하여

sinh⁻¹x x = 1

x·

 x −1

6x³+ 3

40x⁵− 5

112x⁷+ · · ·



= 1 −1 6x²+ 3

40x⁴− 5

112x⁶+ · · · .

→

Z 0.25 0

sinh⁻¹x x dx =



C + x − 1

18x³+ 3

200x⁵− 5

784x⁷+ · · ·

¹₄

0

= 1 4



− 1 18

 1 4

³ + 3

200

 1 4

⁵

− 5 784

 1 4

⁷ + · · · . 1

4 = 0.25, 1 18

 1 4

3

= 1

1152 < 1

1000 = 0.001

이므로, 교대급수추정정리(alternating series estimation theorem)에 의하여 0.2499 = 0.25 − 0.0001 <

Z 0.25 0

sinh⁻¹x

x dx < 0.25.

따라서 구하는값의 소숫점 아래 세째 자리까지 정확한 값은 0.249.