2. 곡선의 대역적 이론

⌠⌡

- Contents -

1. 곡선의 국소적 이론

2. 곡선의 대역적 이론

2.1. 평면곡선의 대역적 이론 2.2. 공간곡선의 대역적 이론

3. 곡면의 국소적 이론

4. 곡면의 대역적 이론

Ⅰ. 기출문제

1996년시행모의시험기출(Gauss-Bonnet 정리) 타원면 E : x²

a² + y² b² + z²

c² = 1의 가우스 곡률을 K라 할 때 ⌠⌡_EKdA를 구하시오.(4점)

1996년시행기출(Gauss-Bonnet 정리)

토러스(Torus) S¹×S¹위에서 정의된 가우스곡률 K가 0이 되는 점이 적 어도 하나 존재함을 증명하여라.(4점)

1998년시행추가임용(Gauss-Bonnet 정리)

3차원 유클리드공간 E³의 폐곡면 S에는 가우스곡률 K가 양수가 되는 점이 항상 존재함을 증명하시오.(5점)

1999년시행기출(법곡률)

반지름의 길이가 r인 원 α( s)가 어떤 곡면 위에서 측지선(geodesic) 일 때 이 원의 법곡률(normal curvature) κn을 구하시오.

(여기에서 s는 호의 길이이고, 법곡률 κ_n은 α''( s)의 법성분(normal component)이다.) (5점)

2000년시행기출(곡선의 곡률)

곡선 X =(4 cos t) e₁+( 4 sin t) e₂+3t e₃에 대하여 다음 물음에 답하시 오. (단, e₁, e₂, e₃는 ℝ³의 표준기저이다.) (총5점)

(1)단위 속력 벡터를 구하시오.(2점) (2)곡률을 구하시오.(2점)

(3)곡률반경을 구하시오.(1점)

2001년시행기출(열률=비꼬임(torsion), 선적분의 정의)

곡선 α : [- 1, 1] → ℝ³을 α(t) =

(

)

(1) t =0에서 곡선 α의 비꼬임(torsion)을 구하시오.(3점) (2) φ = ydx +zdy+xydz일 때, ⌠⌡_αφ를 계산하시오.(2점)

02년시행기출(곡률(curvature), 열률(torsion, 비꼬임률))

다음 곡선의 곡률(curvature)과 열률(torsion, 비꼬임률)을 구하고, 두 값을 모두 이용하여 곡선의 종류가 무엇인지 쓰시오. (5점)

x ( θ) = ( cos θ - 2, cos θ + 2, 2 sin θ) (단, 0 ≦ θ < 2π )

2003년시행기출(곡선과 평면의 사이각)

곡선 x ( t ) = (3t , 3t ², 2t³) 위의 모든 점에서 단위접선벡터(unit tan gent vector)와 평면 x + z = 0이 이루는 각을 구하시오. (5점)

2004년시행기출

개집합(open set) D ⊆R²에 대하여

미분가능한 함수 z = f ( x, y ) : D → R 의 그래프로 이루어지는 곡면 G 의 법선과 z 축과의 사이각을 θ 라 할 때 다음을 보이시오.

⌠⌡_G cos²θ

2 dS = 1

2 S( G) + 1 2 A( D)

(단, S( G ) 는 곡면의 겉넓이, A( D ) 는 영역 D 의 넓이로 둘 다 유한이고, dS = sec θ dA 이다.) (3점)

2004년시행기출

호의 길이 s 로 나타낸 매개변수 곡선 α : [ a, b] →R³가 ( s) ≠ 0 이고

α ( s) + 1

k ( s) N ( s ) 가 고정된 점이면, α 는 원의 일부임을 보이시오.

(단, k ( s ) 는 α ( s) 의 곡률(curvature)이고, N ( s ) 는 주법선벡터(principal normal vector)이다.) (3점)

Ⅱ.내용정리

※괄호안에 적당한 말을 연필로 쓰고 아래의 답을 확인하세요.

1. 곡선의 국소적 이론

정 의 1

(1) α : 정칙곡선(Regular curve)

⇔ α : (a, b) → ℝ³ s.t. (¹⁾ )이고 (²⁾ ) ( ∀t ∈ ( a, b))

(2)정칙곡선 α : (a, b) → ℝ³, α(t) = ( α₁(t) , α₂(t), α₃(t) )에 대하여

α'( t) =

(

)

: t 에서의 α의 속도벡터(velocity vector) v( t) ≡ |α'( t)|

=

(

)

(

)

(

)

: t 에서의 α의 속력(speed)

1) C¹ 2) α'( t) /= 0

김 현 웅 전공수학

http://cafe.daum.net/hwmath

2006학년도 중등교원임용시험대비 문제풀이반

핵심내용정리(미분기하학) 구평회 임용고시학원 예비교사닷컴

구평회임용고시학원․서울(노량진) 02-812-5700․대구(동성로) 053-426-0078․부산(서면) 051-808-0565

(3) β : 단위속력곡선(Unit speed curve)

⇔ β : 정칙곡선 s.t. |β'( t) | = 1( ∀t)

정 의 2 호 α에 대하여

⌠⌡

b

a|α'( t)| dt : t = a에서 t = b까지의 α의 호의 길이(arc length)

정 의 3

개구간 I, J, 정칙곡선 α : I → ℝ³에 대하여

h : J → I 는 전단사이고 C¹, h^{- 1}= g : J → I 는 C¹일 때 β = α∘h : J → ℝ³를 h에 의한 α의재매개화(reparametrization)

정 리 1

α : I → ℝ³ 정칙곡선 ⇒ ∃β : 단위속력을 갖는 α의 재매개화

NOTE

위의 증명에서 사용된 호장함수(arc length function) s( t) = ⌠⌡

t

a|α'( u) |du

에 대하여 호장함수 s를 변수로 하는 단위속력곡선 β를 호장에의한 매개화(arc length parametrization) 혹은 호장에 관한 표현(arc length representation)이라 부른다.

NOTE

f( t) = ( f₁(t) , f₂( t), f₃(t )), g( t ) = ( g₁( t), g₂( t), g₃( t))일 때 (1) d

dt < f( t), g( t) >=(³⁾ ) (2) d

dt ( f( t) × g( t)) =(⁴⁾ )

정 의 4

단위속력곡선 β : I → ℝ³에 대하여

(1) T( s)≡(⁵⁾ ) : β의 단위접벡터장(unit tangent vector field) (2) T '(s): β의 곡률벡터장(curvature vector field)

κ( s) ≡(⁶⁾ ): β의 곡률함수(curvature function)

(3) ρ(s) ≡

{

: β단위주법선벡터장(unit principal normal vector field) (5) B( s) ≡(⁸⁾ )

: β의 단위종법선벡터장(unit binormal vector field) (6) τ(s)≡(⁹⁾ )

3) < df( t)dt , g( t) >+< f( t), dg( t) dt >

4) df( t)

dt × g( t) + f( t) × dg( t) dt 5) β '( s)

6) |T '(s) | 7) T '( s) κ( s) 8) T( s)×N(s) 9) -< B '( s) ,N( s) >

: β의 열률함수(tortion function)

NOTE

{T, N, B }는 각 점에서 정규직교기저를 이루며 이를삼면체(moving trihedron) (혹은 Frenet 표구장(Frenet frameield))이라 한다.

정 의 5

정칙곡선 α( s)위의 각 점 x에서

(1)접선(tangent line) : y =(¹⁰⁾ ) ( t ∈ ℝ)

(2)주법선(principle normal line) : y =(¹¹⁾ ) ( t ∈ ℝ) (3)종법선(binormal line) : y =(¹²⁾ ) ( t ∈ ℝ)

(4)법평면(normal plane) : < y - x, (¹³⁾ ) >= 0 (즉 x를 지나고 T 에 수직인 평면)

(5)전직평면(rectifying plane) : < y - x,(¹⁴⁾ ) >= 0 (즉 x를 지나고 N 에 수직인 평면)

(6)접촉평면(osculating plane) : < y - x,(¹⁵⁾ ) >= 0 (즉 x를 지나고 B 에 수직인 평면)

정 리 2 (Frenet-Serret의 정리)

단위속력곡선 β : I → ℝ³의 곡률 κ( > 0)와 열률 τ에 대하여 다음이 성립한다.

T ' = κN N '= -κT +τB B '= -τN

ꀌ ꀘ

︳︳

︳즉 ꀌ ꀘ

︳︳

︳ ꀍ ꀙ

︳︳

︳ T ' N ' B '

=(¹⁶⁾ )ꀌ ꀘ

︳︳

︳ ꀍ ꀙ

︳︳

︳ T N B

ꀍ ꀙ

︳︳

︳

정 리 3

(1) 정칙곡선 α에 대하여

α : 직선 ⇔ (¹⁷⁾ ) ( ∀s) (2) κ > 0인 정칙곡선 β가 단위속력곡선일 때

β : 평면곡선 ⇔ (¹⁸⁾ ) ( ∀s)

(3)곡률 κ가 양의 상수이고 τ(s) = 0( ∀s)인 정칙곡선 β가 단위속력곡선 이면 β는 반지름이 1

κ 인 원의 일부이다.

정 의 6

단위속력곡선 β( s)는 호장( s)의 함수인 곡률과 열률에 의하여 오직 하나로 결정되는데(곡선의 기본정리) 이를 나타내는 방정식

κ = κ( s), τ = τ( s)

를 곡선의 자연방정식(natural equations)혹은 본질방정식(intrinsic equations)이라 한다.

10) x + t T 11) x + t N 12) x + t B 13) T 14) N 15) B 16) ꀌ

ꀘ

︳︳

︳

ꀍ ꀙ

︳︳

︳

0 κ 0

- κ 0 τ 0 - τ 0 17) κ(s) = 0 18) τ(s) = 0

정 리 4

임의의 정칙곡선 α에 대하여

T =(¹⁹⁾ ) B =(²⁰⁾ ), N =(²¹⁾ ), κ = (²²⁾ ), τ =(²³⁾ )

정 의 7

(1)단위속력곡선 β의 단위접벡터장 T = T( s)에 대하여 γ( s) ≡T( s)( ∀s)라 정의할 때

γ를 β의 구면곡선(Spherical curve)이라 한다.

(2)정칙곡선 α의 단위접선벡터장 T에 대하여 α : 주면나선(cylindrical helix)

⇔ ∃ u : 상수단위벡터, θ( ∈ℝ) : 상수 s.t < T( s) , u >= cos θ ( ∀s)) 이 때 u를 α의 축(axis), θ를 α의 경사도(pitch)라 한다.

정 리 5

(1) β : ℝ³의 원점을 중심으로 하고 반경이 a인 구면위에 놓인 단위속력 곡선

⇒ κ ≥ (²⁴⁾ ) (단 κ : β의 곡률) (2) κ > 0인 정칙곡선 α에 대하여

α : 주면나선 ⇔ (²⁵⁾ ) : 상수

2. 곡선의 대역적 이론

정 의 11

정칙곡선 β : [0 , l] → ℝ³, β의 길이가 l일 때 (1)(²⁶⁾ ) : β의 전곡률(total curvature) (2)(²⁷⁾ ) : β의 전열률(total torsion)

19) α '

|α '|

20) α '×α ''

|α '×α ''|

21) B × T 22) |α '×α ''|

|α '|³

23) < α '×α '', α ''' >

|α '×α ''|² 24) 1

a 25) τ κ 26) ⌠

⌡

l 0κ( s) ds 27) ⌠⌡

l 0τ( s) ds

3. 곡면의 국소적 이론(Local theory)

정 의 12

ℝ²의 개부분집합 D, x : D ( ⊂ ℝ²) → ℝ³에 대하여 (1) x : 좌표조각사상(coordinate patch)

⇔ x : C¹-함수 s.t.

(ⅰ)(²⁸⁾ )

(ⅱ)(²⁹⁾ ) ( ⇔ x : 정칙사상(regular mapping)) (2) x : 고유조각사상(proper patch)

⇔ x : 좌표조각사상 s.t. x^{- 1} : x( D) → D 연속 (따라서 고유조각사상은 위상동형사상이다.)

(3) M ( ⊂ ℝ³) : ℝ³의 곡면(surface)

⇔ ∀p ∈M, ∃ x : D ( ⊂ ℝ²) → M 고유조각사상 s.t. x( D) : p의 근방

⇔ ∃ {( x_i, D_i) }_i : 고유조각사상의 모임 s.t.(³⁰⁾ )

(4) M( ⊂ℝ³) : 단순곡면(simple surface)

⇔ ∃ x : D ( ⊂ ℝ²) → ℝ³ 고유조각사상 s.t. M = x ( D)

(즉, 단 하나의 고유조각사상으로 표현되어지는 곡면을 뜻한다.)

정 리 7

(1) f : D ( ⊂ ℝ²) → ℝ( D : ℝ²의 개집합)가 C¹함수일 때 x ( u ,v) = ( u , v, f( u, v)),

x ( u ,v) = ( u , f( u, v), v),

x ( u ,v) = ( f( u, v), u, v)는 x : D ( ⊂ ℝ²) → ℝ³인

고유조각사상이 되고 이러한 고유조각사상을 Monge조각사상(Monge patch)이라 한다.

(2) g : ℝ³ → ℝ미분가능일 때

M = {( x, y, z) ∈ ℝ³| g( x, y, z) = c }( c : 상수) : 곡면

⇔(³¹⁾ ) ( ∀( x, y, z) ∈M)

⇔ ( g_x, g_y, g_z) /= ( 0, 0, 0) ( ∀ ( x, y, z) ∈M)

NOTE

곡면 M에서 x( D) ⊂ M인 정칙사상 x : D(⊂ℝ²) → ℝ³를 x( D)의 매개변수표현(parametric representation)이라 한다.

정 의 14

ℝ³의 곡면 M과 p ∈ M에 대하여

(1) v( ∈ ℝ³)가 p를 지나는 어떤 곡선의 속도벡터일 때 v는 p에서 M에 접하는 접벡터(tangent vector)라 하고,

T_pM ≡ {v ∈ ℝ³| v는 p에서 M에 접하는 접벡터 } = {p + λ x_u+ μ x_v∈ℝ³| λ, μ∈ℝ }

= { x∈ℝ³| < x - p, x_u× x_v>= 0 } : p에서 M의 접평면(tangent plane of M at p)

28) 1-1

29) x_u× x_v= 0/ 30) ∪_i x_i(D_i) = M 31) dg( x, y, x) /= 0

(2)곡면 M의 고유조각사상 x = x( u, v)에 대하여 U ≡(³²⁾ )

: M의 단위법벡터장(unit normal vector field)

{ x + t U | t∈ℝ } : x 에서의 M의 법선(normal line)

NOTE

곡면 M = {( x, y, z) ∈ ℝ³| g( x, y, z) = c }( c : 상수)에 대하여

∇g =

(

∂y , ∂g

∂z

)

정 의 15

고유조각사상 x = x( u, v)와 x의 단위법벡터장 U에 대하여 (1) E≡(³³⁾ ), F≡(³⁴⁾ ),

G≡(³⁵⁾ )

: x의 제1 기본계수(first fundamental coefficients)

Ⅰ≡(³⁶⁾ ) = E du²+ 2F dudv + G dv² : x의 제1 기본형식(first fundamental form)

(2) L≡ -< x_u, U_u> =(³⁷⁾ )

M≡ - ( < x_u, U_v>+< x_v, U_u>) =(³⁸⁾ ), N≡ -< x_v, U_v> = (³⁹⁾ )

: x의 제2 기본계수(first fundamental coefficients)

Ⅱ≡(⁴⁰⁾ ) = L du²+ 2M dudv + N dv² : x의 제2 기본형식(first fundamental form)

NOTE

(1)곡선론에서의 Frenet-Serret의 방정식과 유사하게 x_u, x_v, U는 일차독립이므로 그의 도함수들은 x_u, x_v, U의 일차결합으로 유일하게 표현된다.

즉 Gauss의 방정식:

{

Weingarten의 방정식:

{

여기서 Γ^k_ij, α_ij, β^j_i, γ_i는 실수이고 Γ^k_ij를 Christoffel의 기호라 부른다.

(2) EG - F²= || x_u||²|| x_v||²- ( x_u⋅ x_v )² = || x_u× x_v||² > 0 ( ∵ x_u× x_v= 0)/

32) x_u× x_v

|| x_u× x_v||

33) < x_u, x_u>

34) < x_u, x_v>

35) < x_v, x_v>

36) < d x , d x >

37) < x_uu, U >

38) < x_uv, U >

39) < x_vv, U >

40) -< d x , dU>

정 의 16

점 p를 포함하는 고유조각사상 x = x ( u, v)에 대하여

(1) p를 지나는 정칙곡선 C : x = x ( u( t) , v( t))( ≡α(t))의 호장에 의한 매개화 β(s)에 대하여

κ_n≡(⁴¹⁾ )를 점 p에서 곡선 C의 법곡률(normal curvature), κ_n≡(⁴²⁾ )를 점 p에서 곡선 C의 법곡률벡터(normal curvature vector)라 한다.

(2) p에서의 법곡률 κn의 최대값 κ1( = max ^곡선κ_n)과 최소값 κ2

( = min 곡선κ_n)를 주곡률(principal curvature)이라 하고

κ₁, κ₂값을 가지는 접벡터의 방향을 주방향(principaldirection)이라 한다.

(3) H≡(⁴³⁾ ) : p에서의 평균곡률(mean curvature), (4) K≡(⁴⁴⁾ ) : p에서의 가우스곡률(Gaussian curvature)

정 의 17 곡면 M에 대하여

(1) M : 평탄곡면(flat surface) ⇔ ∀p ∈ M, (⁴⁵⁾ ) = 0 (2) M : 극소곡면(minimal surface) ⇔ ∀p ∈ M, (⁴⁶⁾ ) = 0

정 리 8

(1)점 p를 포함하는 고유조각사상 x = x ( u, v), p를 지나는 정칙곡선 C : x = x ( u( t) , v( t))에 대하여 법곡률은

비 du/dv( ( du, dv) /= ( 0, 0))에 대하여 일정하며 κ_n = Ⅱ

Ⅰ

=(⁴⁷⁾ ) =(⁴⁸⁾ ) =(⁴⁹⁾ ) (2)(ⅰ) κ : 주곡률

⇔(⁵⁰⁾ ) x²- (⁵¹⁾ ) x +(⁵²⁾ )

= 0의 해

(ⅱ) H = 12( κ₁+ κ₂) =(⁵³⁾ ), K = κ1κ₂= (⁵⁴⁾ )

41) < β''( s), U >

42) < β''( s), U > U 43) 1

2( κ₁+ κ₂) 44) κ₁κ₂

45) K 46) H

47) Ldu²+ 2M du dv + N dv² Edu²+ 2F du dv + G dv²

48) L ( d u/dv)²+ 2M ( du/dv) + N E ( d u/dv)²+ 2F ( du/dv) + G

49) L( d u/dt)²+ 2M ( d u/dt)( d v/dt) + N ( d v/dt)² E( du/dt)²+ 2F ( du/dt)( dv/dt)+ G ( dv/dt)² 50) ( EG - F²)

51) ( EN + GL - 2FM) 52) ( LN - M²)

53) EN + GL - 2FM 2( EG - F²) 54) LN - M²

EG - F²

NOTE

κ₁= max 곡선κ_n

= max

{

|

}

= max

{

|

}

κ₂= min 곡선κ_n

= min

{

|

}

= min

{

|

}

NOTE (1)윤환면

( x( u,v) = ( ( R+r cos u) cos v, (R+r cos u) sin v, r sin u))

E F G L M N

r² 0 (R + r cos u)² r 0 ( R + r cos u) cos u

κ₁ κ₂ H K

1 r

cos u r( R + r cos u)

R + 2r cos u 2r( R + r cos u)

cos u

r( R + r cos u) (2)구면( x( u,v) = ( r cos u cos v, r sin u cos v, r sin v)( r > 0))

E F G L M N

r²cos²v 0 r² - r cos²v 0 - r

κ_n κ₁ κ₂ H K

-1

r

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(3) 평면은 K = 0, H = 0이다.

정 의 18

LN - M²> 0인 점 :(⁵⁵⁾ )(elliptic point), LN - M²< 0인 점 : (⁵⁶⁾ )(hyperbolic point), LN - M²= 0, ( L, M, N) /= ( 0 , 0, 0)인 점 : (⁵⁷⁾ ) (parabolic point),

L = M = N = 0인 점 : (⁵⁸⁾ )(planar point)

정 리 9

타원점 ⇔ K > 0 ⇔ LN - M²> 0 쌍곡점 ⇔ K < 0 ⇔ LN - M²< 0

포물점 혹은 평탄점 ⇔ K = 0 ⇔ LN- M²= 0 ( ∵) Cauchy-Schwerz의 부등식에 의해

55) 타원점 56) 쌍곡점 57) 포물점 58) 평탄점

EG - F²= || x_u||²|| x_v||²-< x_u, x_v>²≥ 0이고 x_u, x_v는 서로 평행하지 않으므로 x_u× x_v = 0, EG - F/ ²> 0,

따라서 K = LN-M²

EG-F² 에서 LN-M²과 K의 부호는 일치한다.

타원점 쌍곡점 포물점

정 의 19

법곡률이 상수( ⇔ κ₁= κ₂)인 곡면상의 점을 (⁵⁹⁾ ) (혹은 (⁶⁰⁾ ))이라 한다.

정 리 10

고유조각사상 x = x( u, v)에 대하여

(1)정칙곡선 x = x( u( t), v(t))( a ≤ t ≤ b)의 호의 길이는 s = ⌠⌡

b

a E

(

)

(

)(

)

(

)

(2)영역 R = x( W )의 면적은 A = ⌠⌡⌠

⌡_W EG-F²dudv

정 의 20

D = {( x₁, x₂) | Lx²₁+ 2M x₁x₂+ Nx²₂= ±1 }:Dupin의지시곡선(Dupin's indicatrix)

NOTE

타원점( ⇔ LN - M²> 0) ⇔ D : 타원

쌍곡점( ⇔ LN - M²< 0) ⇔ D : 한 쌍의 공액 쌍곡선

포물점( ⇔ LN-M²= 0, ( L, M, N) /= ( 0 , 0, 0)) ⇔ 평행한 두직선

59) 제점(umbilical point) 60) 배꼽점

4. 곡면의 대역적 이론

정 의 21 곡면 M에 대하여

(1) M : 긴밀곡면(Compact surface)

⇔ M : 긴밀(즉 유계폐)

⇔ M 이 유한개의 고유조각사상들의 상에 의해 덮힌다.

(2) M : 가향곡면(orientable surface)

⇔ ∃ U : M → S²연속 s.t. U (p) ⊥M ( ∀p∈M) (즉 M 상의 연속인 단위법벡터장이 존재한다.)

정 리 11

(1)가향곡면은 위상적 성질이다

(2)임의의 긴밀곡면(구면, 토러스)은 가향곡면이고 뫼비우스의 띠, 클라인의 병은 비가향곡면이다.

정 의 22

K는 곡면 M의 가우스곡률, R은 dM에 의해 방향이 정해진 M의 영역일 때

⌠⌡⌠

⌡RK dM ≡R상에서의 가우스전곡률(Total Gaussian curvature)

NOTE

곡면 M의 매개변수표현 x : D → M에 대하여

⌠⌡⌠

⌡ _x(D)K dM = ⌠⌡⌠

⌡_DK( x( u, v)) EG- F²du dv

정 의 23

곡면 M위의 호장에 의하여 매개화된 곡선 β(s)에 대하여 (1) κg≡(⁶¹⁾ ) : 측지곡률(geodesic curvature),

κ_g≡(⁶²⁾ )

: 측지곡률벡터(geodesic curvature vector) 단 V = U×β'( s) (2) β : 측지선(geodesic)

⇔ β ''( s) ⊥M ( ∀s)

⇔ β ''( s) // U ( ∀s)

⇔(⁶³⁾ ) = 0 ( ∀s)

NOTE

평면상의 직선( =최단거리) ↓^일반화

곡면상의 측지선( =최단거리) ↓^일반화

정칙호

61) < β'', V >

62) < β'', V > V 63) κg(s)

정 리 12

곡면 M위의 호장에 의하여 매개화된 곡선 β( s)에 대하여 (1)(⁶⁴⁾ ) = κ_n+ κ_g

(⁶⁵⁾ ) = κ²_n+ κ²_g ( ∵ κn⊥ κ_g, κ = |β'' |) (2) κg =< β', β''× U >

정 의 24

(1)유한개의 정칙호(regular arc)( ⇔폐구간에서 정의된 정칙곡선) Ci

( i = 1, …, k)를 연결시킨것을 Jordan호(Jordan arc),

(2)끝점을 제외하고는 만나지 않는 Jordan호 C를 단순폐 Jordan호 (simple closed Jordan arc)(혹은 다각형곡선(polygonal curve)), (3)다각형곡선 C의 각 성분 Ci를 C의 변(edge), 두 변이 만나는 점을

C의 정점(vertex)이라 한다.

정 의 26

유향곡면 M위의 정칙호 α : [a, b] → M에 대하여 α의 전측지곡률 (total geodesic curve) ≡ ⌠⌡

s ( b ) s( a)

(⁶⁶⁾ ) 단 s : α의 호장함수, κ_g(s): α의 호장에 의한 재매개화의 측지곡률

정 리 13 (외각에 대한 Gauss-Bonnet공식 ) (1)곡면 M과 직사각형 R에 대하여

x : R → M 1 - 1, 정칙인 2-차원단편, dM : x 에 의해 결정된 면적형식일 때

⌠⌡⌠

⌡ _x(⁶⁷⁾ ) dM + ⌠⌡_{∂ x}κ_gds +(⁶⁸⁾ ) = 2π,

(

)

(2)△ : 긴밀유향곡면 M위의 삼각형(즉 E²의 삼각형의 정칙사상에 의한 상)일 때

⌠⌡⌠

⌡_△(⁶⁹⁾ ) dM + ⌠⌡_∂△κ_gds +(⁷⁰⁾ ) = 2π,

(

)

64) β''(s) 65) κ² 66) κg(s) ds 67) K

68) ( ε1+ ε₂+ ε₃+ ε₄) 69) K

70) ( ε1+ ε₂+ ε₃)

NOTE

△: 유향곡면 M위의 측지삼각형(geodesic triangle)(즉 각 변이 측지선) 일 때

(1) ⌠

⌡⌠

⌡△K dM =(⁷¹⁾ )( ∵ ∂△에서 κg≡ 0)

(2) i1+ i₂+ i₃( =△의 세 내각의 합) =

{

> π K > 0 ( ⇔ 타원면)

< π K < 0 ( ⇔ 쌍곡면)

정 의 27 곡면 M에 대하여

(1) x_i : Ri → M ( i = 1, 2, …, m), 1 - 1이고 정칙인 2차원단편 s.t. (ⅰ) x_i(R_i) ∩ x_j(R_j) = φ( i /= j)혹은 x_i(R_i) ∩ x_j(R_j)는 하나의 꼭지점 또는 하나의 공통변이 된다.

(ⅱ) ∪^m_{i = 1} x_i(R_i) = M 일 때 D = { x₁, x₂, …, x_m}를 M의 직사각형분할(rectangular decomposition)이라 한다.

(2)각 x_i(R_i)( i = 1, 2, …, m)를 면(face)이라 하고,

(3) v ≡ D에 속한 정점(vertex)의 수, e ≡ D에 속한 변(edge)의 수, f ≡ D에 속한 면(face)의 수라 할 때 M의 직사각형분할 D에 상관없이 v - e + f는 일정하며 χ( M) ≡(⁷²⁾ )를

M의Euler-Poincare지표(characteristic)(혹은 Euler의 표수 )라 한다.

정 리 14

(1)모든 긴밀곡면은 직사각형분할을 갖는다.

(2) M1≈M₂이면 χ(M1) = χ( M₂)(즉 χ는 위상적 성질이다.) (3)오일러의 볼록다면체정리

임의의 볼록다면체의 오일러표수는 2이다.

정 리 15 (Gauss-Bonnet 정리) M : 긴밀유향곡면이면

⌠

⌡⌠

⌡_MK dM =(⁷³⁾ )

NOTE

⌠⌡⌠

⌡_MK dM는 곡면 M의 가우스전곡률임을 상기하자.

71) ( i1+ i₂+ i₃) - π 72) v - e + f

73) 2π χ( M)