Chapter 8. 확률변수이론

(1)

Chapter 8. 확률변수이론

(2)

Chapter 8. 확률변수이론

8. 2 확률변수(Random Variable)



확률변수



Ex) 아이를 셋 낳는 확률적 실험

표본공간에 정의된 실수값을 갖는 함수 확률적 실험의 결과에 관심있는 수치를 대응시킴



^BBB ^BBG ^BGB ^BGG ^GGG



S  , , , ,  ,

(3)

아이를 셋 낳는 확률적 실험



관심1 : 아들수



관심2 : 아들이 있는지 여부



관심3 : 딸이 있는지 여부

즉,

, 도 모두 확률 변수임.



한 표본 공간내에 여러 개의 확률 변수 정의 가능.

8. 2 확률변수

Y Z

　  , 2 )

( ,

3 )

( BBB  X BGB  X

 

^R

D S

X :   0,1, 2, 3 

아들이 있으면 1 아들이 없으면 0

Y

딸이 있으면 1 딸이 없으면 0

Z X 는 아들수

(4)

확률적 실험



Ex) 충남대 남학생의 키를 관찰하는 확률적 실험

8. 2 확률변수

 ¹⁰⁰ ^ ^ ²⁵⁰ 

 x x

S

　　

x x

X ( )  X

는 항등함수(identity function)

175 )

175

( 

X X (160) 160 X (182) 182

(5)

확률적 실험



아이 셋 낳는 실험에서 가 가질수 있는 값과 그 확률을 보면



확률 변수 의 가능한 값과 그 가능한 값을 가질 확률이 어떻게 분포되어 있는지를 나타낸 것을

의 라 한다

8. 2 확률변수

X

x 0

) (X x P 

1 2 3 1/8 3/8 3/8 1/8

X

확률분포

단, 의 모든 원소가 등확률S (즉, 아들과 딸의 확률이 같다)

(6)

확 률 변 수



확률변수(random variable)

고정변수(fixed variable)



Ex)

이 경우 를 인

확률분포를 가지는 확률변수로 취급 가능하다

3 ,

5

2  

 X

X

x 3

) (X x

P  1

X

8. 2 확률변수

(7)

확률변수의 종류



이산확률 변수

 가 셀 수 있을만큼의 가능한 값을 가짐

 Ex) 학급당 학생수, 운전면허 시험응시 횟수



연속확률 변수

 가 어떤 범위내의 모든 값을 취할 수 있음

 Ex) 사람의 키, 공부한 시간

X

8. 2 확률변수

(8)

8. 3 이산확률 변수



가 이산형일 경우, 0이 아닌 가

존재하고 이 된다

이 때 로 나타내어지는 를

가 갖는 확률함수(probability function)라 한다

) (X x P  X

) ( )

(X x p x

P  



^ ^

x

x X

P( ) 1

) (x p X 확률함수(probability function)

(9)

확 률 실 험



Ex) 정상동전을 앞면이 나올 때까지 던지는 실험



를 시행 횟수라고 하면

 H , TH , TTH ,  

S 

X

 , 2 , 1 2 ,

) 1 (

)

(  



 



 



 P X x x

x p

x 는

와 같이 함수형태 로 혹은 표형태 로 나타낼 수

있다

) (x p

 , 2 , 1 2 ,

1  



 



 x

x

x ) (X x P 

1 

2 / 1

2 )2

2 / 1 (

3 )3

2 / 1

( 

(10)

확률분포의 특성치(평균)



확률분포의 특성을 나타내는 특성치 중 분포의 중심을 나타내주는 것이 평균 이다



어느 노동자의 하루 수입 (단위 : 원)

0×0.3 + 20,000×0.2 + 40,000×0.4 + 100,000×0.1 30,000

 이 노동자가 위의 확률 분포에 따라 계속 일한다면 평균 하루에 30,000원을 번다

x 0

) (x p

20,000 40,000 100,000 0.3 0.2 0.4 0.1









^x ^p^(x⁾





English Greek )

(ean

m 

(11)

확률분포의 특성치(평균)



확률변수 를 이 노동자의 하루 수입이라 하면,



확률변수



확률분포

X

X 의 기대값 E( X )  30,000^ ^

확률변수의 입장 확률분포의 입장

기대값(옳은 표현)

평균(정확하지 않지만 널리 인정)

기대값(틀린 표현)

평균(옳은 표현)

(12)

확률분포의 특성치(분산)



확률분포(혹은 확률변수)의 두 번째 특성치로 표준편차가 있으며 그 제곱을 분산이라 한다

 분산 :

 표준편차 :

Note. => 평균으로부터 떨어진 거리의 기대값



Ex)노동자 수입의 분산과 표준편차

= (0-30,000)×0.3 + (20,000-30,000)×0.2

+ (40,000-30,000)×0.4 + (100,000-30,000)×0.1

= 820×1000

= 28,635.6 28,636

  _











 ⁿ

i

i p x

x X

E

1

2 2

2 ( ) ( ) ( )



 2

 



 X E





 2

~~

2 2

2

(13)

확률분포의 특성치(분산)



Ex) 파출부(가사도우미)의 하루 수입(단위 : 원)

 분산을 구하는 다른 공식

y ) ( y p

20,000 40,000 0.5 0.5

(20,000-30,000)×0.5 + (40,000-30,000) ×0.5



 E(Y)

Y



2

Y

 10,000

30,000

2 2

2



_Y 10,000 ※파출부의 수입이 더 안정적이다.



^ ^





 ² ² ² ²

2 ( )  ( ) 

 E X x p x

(14)

확률분포의 특성치(왜도)



왜도(skewness)

 대칭성을 측정

 

3

)3

(  

  E X ^

 0

  ^ ⁰   0

오른쪽으로 기울어짐 왼쪽으로 기울어짐 에 대해 대칭



  

(15)

확률분포의 특성치(첨도)



첨도(kurtosis)

 뾰족한정도

 

4

)4

(  

  E X ^

급첨 완첨

정규분포

3

 ^ ^ ³



 3

) 0

(   　　임

(16)

8. 4 연속 확률 변수



Ex) 0과 2 사이의 수중 하나를 임의로 선택해 라 하자



연속 확률 변수가 특정한 값을 가질 확률은 0이고, 단지 어떤 구간에 속할 확률만 존재한다

X

앞의 예에서



⁰ ^ ^ ²



 x x

S

2

, 0

0 )

(

0 )

1 (



 



 x x

X P

 

 





S

x x S

x X

P( ) 

0 )

(X  x    P

0 2

바늘( )X

이면

12

) 1 0

(









 X P

만약

(17)

연속확률변수의 정의



가 연속형 확률 변수 일때

가 되는 를 의

확률밀도함수(probability density function)라 한다

8. 4 연속확률 변수

X







 ^b

a f x dx b

X a

P( ) ( ) f (x) ^X

바늘 예 :

) (

) 1 0

(

b X

a P

X P







2 1

2



1

 ^b

a dx

2



1

 ¹

0 dx

(18)

확 률 분 포



확률이 0과 2사이에 균등하게 퍼져있다.

혹은 0과 2 사이에서 확률밀도가 동일하다.

이와 같은 분포를 균등분포(uniform distribution)

라 한다



0² f (x) dx ^



f (x) dx ^ 1

S

2 0

2 , ) 1

(   

 f x x

0 2

1/2

(19)

확률밀도 함수



^X 가 연속형이면

0 )

( )

(

) (









b X

P a

X P

b X

a P b

X a

P



0 )

( )

(

. ^P ^X  â  ^P â  ^X  â 



^f ^x ^dx

Note ^a

a

(20)

확률밀도 함수



Ex) 어느 양궁 선수가 과녁을 향해 쏜 화살이 꽂힌 곳에서 과녁의 중심까지의 거리를

라 하자 (단위 : m)



의 확률밀도 함수

X

2

1

면적 = 1

(21)

1.82

양궁선수의 확률



정중앙부터 10cm 까지 10점이라 한다.

이 선수가 10점을 맞출 확률은?



   

 0

1 0

, 2 ) 2

( x x

x

f 그 밖

) 1 . 0 0

(  X 

P ^

_

⁰^.¹ ^ ^ ^^ ^



0

1 . 0 0

2 2

) 2 2

( x dx x x 19

. 0 2

. 0 01

.

0  





19 . 0

1 . 2 0

) 8 . 1 2 (



 

 

  

면적

(22)

양궁선수와 교수님의 확률비교

1 4

0.5 1

4

2

더 유능한 양궁선수 교수님

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