제 2강. 벡터해석 2

제 2강. 벡터해석 2

1-6 곱(vector product, 외적)



(1) 두 벡터의 벡터곱

- 벡터 A, B의 벡터곱은 식 (1-21)과 같고, A와 B를 변으로 하는 평행사변형의 면적에 해당 벡터곱의 방향은 벡터 A, B가 이루는 평면과 수직인 방향

C  A× B   A B 

C   A× B  sin ··· (1-21) - 벡터곱은 교환법칙이 성립하지 않음

×^  ≠×^  

- 사이각 의 변화를 따른 벡터곱을 살펴보면

θ= 0°일 때 ;  A× B  sin^◦  

θ= 90°일 때 ;  A× B  sin^◦   ··· (1-22)

A B

x

y z

a_n

C=AXB=a_nABsinq

q q

A

B =ABsinq

(a) (b) (c)

1-7 벡터의 위치

(2) 벡터사이의 관계

- 그림 1-7에서 각 벡터성분을 직각좌표계로 표시하면

 ^ ___

 ^ ___ ··· (1-23) - 한편 직각 좌표상에서 단위벡터 사이에는 다음과 같은 성질을 갖는다.

×   ×   ×    ×  × sin  

×    ×    ×    ×    ×    ×    ··· (1-24)

- 두 벡터의 벡터곱은

A× B  _^_^_^{ × }_^_^_^

^ __ __ __ __ __ __ __ __ __

  __ __ __   __ __ __    __^__  __^__  __^__^ - 행렬로 나타내면,

 

 

 

 





··· (1-25)



A     , B     때, A× B를 구하여라.



[풀이] 식(1-25)을 사용하여

A× B 











 













               

1.6



A     , B    , C     때,

A B × C를 구하여라.



[풀이] A B     이고 C     이므로

A B × C 





 













           

   

1.7

1-7 벡터의 곱



(1) 스칼라 3중곱

- 스칼라 3중곱: 1개의 벡터와 두 개의 다른 벡터가 만든 벡터곱과의 스칼라곱

A× B․C A․B× C B․C× A ··· (1-26) A․B× C  B․C× A  C․A× B ··· (1-27)

h

A

B C

BXC

q

S

1-8 평행 6면체

- A BXC와의 스칼라곱도 스칼라량이며, BXC는 평형 6면체의 밑면적, ^cos는 평행 6면체의 높이

 A  ․  B× C  cos ··· (1-28) A․B× C   A  B× C  cos ··· (1-29) - 벡터 A, B, C가 다음과 같이 주어지면

 ^ ___

 ^ ___

 ^ ___ ··· (1-30) B× C  __^__  __^__  __^__^

A․B× C  ___․





 _^__^__^{ }_^__^__^{ }_^__^__^{ } _

 

 

 

A․B× C 

 

··· (1-32)



A    , B      C    를 3변으로 하는 평행육면체의 체적은 얼마인가?



[풀이] 벡터의 스칼라 3중적 (ABC)=A·(B×C)는 육면체의 체적을 나타내므로 식(1-32)를 이용하면

ABC  A․B× C 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

                    m^

1.8

(2) 3중곱

- 벡터 3중곱: 한 벡터와 다은 2개의 벡터가 만든 곱과의 벡터곱

A× B× C ··· (1-33)

- 벡터의 성분이 각각

A ___ B ___ C ___

A× B× C  ___ ×

 

 _ _ _ × __^__  __^__ __^__

^





^

  

 



 

··· (1-34)

- 식 (1-34)를 x, y, z축 (i, j, k)의 성분별로 계산하여 정리하면 다음과 같다.

A× B× C  B× A․C  C× A․B ··· (1-35)



직각좌표계에서 각각의 벡터값이 A=Axi+Ayj+Azk, B=Bxi+Byj+Bzk, C=Cxi+Cyj+Czk이다.

이 때, A×(B×C)가 식(1-35)가 됨을 증명하라.



[풀이] A× B× C  _ _ _ ×

 

 _ _ _ × __^__  __^__ __ ^__

^





여기서 A×(B×C)의 x성분만을 생각하면,

A× B× C  _^__ ^__^{ }_^__^__^

 ___ ^___^___^___^___^___ ^ _^__^__^__^{ }_^__^__^__^

 _A․C _A․B

y․z성분에 대해서도 같은 방법으로 표현되므로,

A× B× C  ___A․C  ___A․B

 B ×A․C  C ×A․B

1.9

1-8 미분연산



(1) 계(Field)와 연산자

- 계 : 정전하나 자극 또는 전류가 통하는 도체 주위의 공간에는 힘이 생김

ex) 정전하에 의한 전계와 전류가 통하는 도체 주위 혹은 자석이 존재하는 공간인 자계

- 힘과 같은 벡터 값으로 표현되는 공간을 벡터계라 하며, 온도와 같은 스칼라 값으로 표현되는 공간을 스 칼라계라 함

- 전계, 자계와 같은 벡터계나 전위, 자위 같은 스칼라계는 좌표 함수로 표시 할 수 있음

- 미분연산자 : 어떤 공간의 변화율과 방향을 표시하는 벡터함수 (del)

 

  

  

  ··· (1-36)

의미 표현 미분연산자 (del) 공간의 변화율과 방향 표시 (벡터함수)  

  

  

 

기울기 (gradient) 미분연산자와 스칼라량의 곱 (벡터량) ∇ _{ }





 



 





발산 (divergence) 미분연산자와 벡터의 스칼라곱 ∇ ∙_{ }



_

 

_

 

_

회전 (curl) 미분연산자와 벡터의 벡터곱 ^{× A }





라플라시언 (laplacian) 미분연산자와 gradient의 스칼라곱 ∇․∇  ∇^ _{ }

^

^

 ^

^

 ^

^

(2) (구배 : gradient)

- (gradient) : 미분연산자와 스칼라량의 곱 (벡터량)

- 점 P(x,y,z)의 변화가 있을 때, 표시되는 모양의 벡터를 점 P에 대한 기울기로 정의

  grad _{ }





 



 



 ^



  

  

 



x

y z

i j

k P

Dz

Dx

Dy Dl

1-9 스칼라계의 기울기



V=xyz가 점(1, 2, 3)에서 ∇V=gradV를 구하라.



[풀이]   grad ^



  

  

 



_{ }



  

  

 

   

여기서 주어진 좌표 (1, 2, 3)을 대입하면

∇  grad    

1.10



r=xi+yj+zk 때, grad(r)을 구하시오.



[풀이] Hint) gradient는 미분연산자와 스칼라량의 곱 벡터 r의 크기는  



grad 



  

  

 



에서 제1항의 미분을 먼저 계산하면



 ^ ^ ^^  

 ^ ^ ^^{ }× 

_{ }



  





 ^ ^ ^^  

 , _



 ^ ^ ^^  



grad  

 

 

  

 _ (단위벡터)

1.11

(3) 발산(divergence)

- 발산 (divergence) : 벡터의 스칼라곱 - 미소체적에 유입되는 선속수와 유출되는 선속수는 같음



_

 

_

 

_





  

  

 



^

- 발산정리 : 임의의 폐곡면 내의 단위체적당에서 발산하는 유량의 체적에 대한 총합은 체적표면을 통하여 유출하는 양과 같음

x

y z

a b

c

d e

f g

O

A_x

Dx

Dy Dz

그림 1-10 벡터의 발산



A의 성분 벡터가 Ax=ax+b, Ay=bz+c, Az=cy+d일 경우 divA의 값은 얼마인가?



[풀이] 벡터 A는 A ___ 이므로 A          

․A 



  

  

 



_{ }



     

     

   

 

1.12



점 p(1, 2, 3)에 이르는 거리에서 벡터 A=x²i+y²j+z²k의 발산을 구하시오.　



[풀이] 벡터의 발산공식에서

⋅ ^



  

  

 



_{ }



^

 

^

 

^

     

       

1.13

(4) 회전

- 회전 (curl) : 벡터의 벡터곱

× ^



  

  

 



^



_

 

_





_

 

_





_

 

_



∇ × A  rotA  curlA 





··· (1-50)

A B

x

y z

a_n

C=AXB=a_nABsinq

q q

A

B =ABsinq

(a) (b) (c)

1-7 벡터의 위치

- Stokes 정리 : 임의의 폐곡면 S에 대한 벡터계 A의 회전의 면적분은 폐곡면의 주변을 따라 벡터계 A 의 선적분과 같다.







A   ^ ^ 일 때 벡터의 회전을 구하라.



[풀이] rotA가 벡터의 회전이므로 식(1-48)의 행렬식을 이용하면 간단히 계산할 수 있다.

rotA  × ^





 



^

 

^





 

^





^

 





  ^ 

1.14



A=2xi+3y²zj-7zk일 때 점(1, 2, 3)에서 ∇×A를 구하여라.



[풀이] × A 





    ^              ^

y=2인 점에서는

∇ × A   

1.15

(5) (laplacian)

- 라플라시언 : gradient의 스칼라곱

․∇  ∇^

^



  

  

 







 



 







_{ }

^

^

 ^

^

 ^

^

··· (1-53)



V=2x²+3y²+4z²일 때, ∇²V를 구하라.



[풀이] ^ _{ }

^

^

^ ^ ^  

^

^

^ ^ ^ _{ }

^

^

^ ^ ^        

1.16

1-9 및 구좌표계



(1) 원통좌표계

- x,y,z를 좌표축으로 하는 점   를  



   cos,    sin,   

 



 ,    ··· (1-55)

1-11 원통좌표



좌표계에서 점 P(3, 4, 5)를 원통 좌표계의 점 P(r, θ, z)로 표시하라.



[풀이] 이 문제에서는 x=3, y=4, z=5이므로 r, ø, z는 다음과 같이 구할 수 있다.

 



  ˚

  

따라서 P(5, 53.13˚, 5)가 된다.

1.17



좌표계에서 P(3, 60, 5)를 직각 좌표계의 점 P(x, y, z)로 표시하라.



[풀이] 이 문제는 위의 문제와 반대의 개념으로 생각하면 된다.

r=3, ø=60°, z=5이므로

   cos  

   sin  

^   

이 되어 



  

^

 



1.18

(2)

- x,y,z 좌표축으로 하는 점   를  



   sincos,    sinsin ,    cos

 





 , ^{  tan }_



 ··· (1-61)

1-12 구좌표

그림 1-13 ar, aι, aχ와 i, j, k의 내적



A=100+z²-2xy 스칼라계를 구좌표로 표시하라.



[풀이] 직각 좌표와 구좌표의 관계를 사용하면 다음과 같이 구할 수 있다.

   sincos,    sinsin ,    cos

이므로

    ^ 

   ^cos^  ^sin^cossin

1.19

※ 참고문헌

1. 최수열 외 4인 공저, “전기/전자/통신 공학도를 위한 현대전기자기학”, 복두출판사