1장. 벡터해석 (Vector Analysis)
⇒문제를 간단히 취급
1.1 스칼라, 벡터
스칼라량 ; 그 값이 하나의 실수로 표기될 수 있는 양 ex) , 온도, 압력, 밀도, 체적
벡터량; 크기와 방향
ex) 힘, 속도, 가속도, 자기장
t
z
y
x , , ,
1.2 벡터 대수
• 스칼라 대수와 유사성과 차이점이 있음
• 가법
• 결합 법칙
• 결합 및 분배법칙
B A
+
C B
A C
B
A + +
= +
+ ( ) ( )
B s A
s B
r A
r B
A S
r
+ +
+
= +
+ )( )
(
1.3 직각 좌표계
⇒ 축
⇒오른손 좌표계 (나사진행 방향; z축)
좌표 P(1,2,3,),Q(2,-2,1)
P; 인 평면들의 교차점 Q; 인 평면들의 교차점
미소체적
좌표값 미소량만큼 증가 ⇒
체적
z y x , ,
3 ,
2 ,
1 = =
= y z
x
1 ,
2 ,
2 = − =
=
y z x
) ,
,
( x + dx y + dy z + dz
dxdydz
dV =
1.4 벡터 성분, 단위벡터
직각 좌표계에서 단위벡터
z y
x
r = + +
) ( a x
,a y
,a z
z y
x a a
a y z
x
r = + +
2 1
2 2
=
=
= a y a z
a x
임의의 벡터
와 같은 방향의 단위 벡터;
<예제1.1> 원점에서 점 G(2,-2,-1)로 향하는 단위벡터를 표시하라.
z y
x a a
a y z
x B B
B
B = + +
2 2
2
z y
x B B
B
B = + +
B
a B
2 2
2
z y
x
B B
B
B B
B
+
= +
=
a
B1.5 벡터계(Vector field)
위치함수;
벡터계;
스칼라계;
r
) (r G
) (r T
위치벡터의 벡터함수
Page 11, 응용예제 1.2
정의
벡터 에서
( ; 와 사이각)
응용
1)직선 변위 에 작용한 힘 가 한 일
2)자속밀도 , 표면적 총자속
1.6 스칼라곱 (내적 ; dot product)
B A
, A B A B cos θ
=
⋅
θ A B
A B
B
A
⋅
=
⋅
L
F
∫ ⋅
= F d L B
S
∫ ⋅
=
Φ B d S
제 9 장
두 벡터
단위벡터
; 부호; 양
; 부호; 음
a
θ
θ cos
cos B B
B
=
=
⋅ a a
°
≤
≤
° 180
90 θ
°
≤
≤
° 90
0 θ
z y
x
a a
a
y zx
A A
A
A = + +
z y
x
a a
a
y zx
B B
B
B = + +
= ?
⋅ B A
= 0
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
y y x x z z x y z z yx
a a a a a a a a a a a
a
z z y
y x
x
B A B A B
A B
A ⋅ = + +
<예제1.2> Q(4,5,2)에서의 벡터장
1) Q에서
2) Q에서 방향으로 의 스칼라 성분
3) Q에서 방향으로 의 벡터성분
4) 와 사이의 각
z y
x
a a
a
G = y − 2 . 5 x + 3 G
2 3
/ ) 6 10 10
( 3 / ) 2 2
( ) 3 10
5
( − + ⋅ + − = − − = −
=
⋅ a a a a a a a
zG
N x y z x y3 / ) 2 2
(
x y zN
a a a
a = + −
z y
x
a a
a
G ( r
Q) = 5 − 10 + 3
G
a
Na
za a
a a
a a
a
G
N)
N( 2 )( 2
x y2
z) / 3 1 . 333
x0 . 667
y1 . 333
( ⋅ = − + − = − − +
) ( r
QG a
Nθ
Gacos G a
G ⋅
N=
°
− =
=
−12 θ
θ
Gacos 9 100 25
2 = + +
−
G
1.7 벡터곱 (외적; vector product, cross product)
정의 ; 표기 ( 크로스 ) 방향
( ; normal to A-B plane)
응용
1) , 벡터 사이 면적 :
2) 자속밀도 속을 통과하는 전류 의 방향에 작용하는 힘 (길이 L) (9장)
B A
× A
B
a
NB AB
A B
A sin θ a N
=
×
a
NA
B
B A
×
B
I
B L
I
F
×
=
단위 벡터로 표기
z z
y z
x z
z y
y y
x y
z x
y x
x x
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
× +
× +
× +
× +
× +
× +
× +
× +
×
z z y
z x
z
z y y
y x
y
z x y
x x
x
B A B
A B
A
B A A
A B
A
B A B
A B
= A
× B A
z y
x a a
a × =
x z
y a a
a z × a x = a y a × =
z y
x a a
a ( ) ( )
)
( A y B z A z B y A z B x A x B z A x B y A y B x B
A × = − + − + −
⇒
= 0
× x
x a
a
= 0
× y
y a
a
= 0
× z
z a
a
행렬식으로 표기
Ex)
z y
x
z y
x
B B
B
A A
A B
A
z y
x a a
a
=
×
z y
x
a a
a − +
= 2 3 A
z y
x a a
a 2 5
4 − +
− B =
= ?
× B
A
1.8 원통 좌표계 (cylindrical coordinate)
⇒극좌표계를 3차원으로 확장
로 표기
단위벡터 ;
미소체적
) , , ( ρ φ z
a
za a
ρ,
φ,
dz d
d
dV = ρ ⋅ ρ φ ⋅
좌표계 변환
z z
y x
=
=
=
φ ρ
φ ρ
sin cos
z z
x y y x
=
=
+
=
−
( ) tan
12 2
φ
ρ
z y
x
a a
a
y zx
A A
A
A = + +
z
A
zA
A a + a + a
= ρ ρ φ φ
ρ ρ = A ⋅ a A
φ φ = A ⋅ a
A a
z⋅ a ρ = a
z⋅ a φ = 0
ρ ρ
ρ
ρ = A
xa
x+ A
ya
y+ A
za
z⋅ a = A
xa
x⋅ a + A
ya
y⋅ a
A ( )
φ φ
φ
φ = A
xa
x+ A
ya
y+ A
za
z⋅ a = A
xa
x⋅ a + A
ya
y⋅ a
A ( )
φ
ρ = cos( 90 ° − φ ) = sin a ⋅a
ρ = cos φ
⋅a a
x(직각 좌표계)
φ = cos φ
⋅a a
yφ
φ = cos( 90 + φ ) = − sin
⋅
ox
a
a
벡터 좌표계 변환
⇒ 단위벡터 스칼라 곱(표 1.1)
<예제1.3>
B
=y a
x −x a
y +z a
z 인 벡터를 원통 좌표계로 변환해 보자1.9 구좌표계(spherical coordinate)
⇒3차원 좌표계
표기
단위벡터 ;
) , , ( r θ φ P
φ θ
a a a
r, ,
φ
θ
a
a
a
r× =
미소체적 증가 길이 체적
직각 좌표계와의 변환
φ φ
θ
θ d d dr
r + , + , + φ θ θ r d rd
dr , , sin
φ θ θ
φ θ
θ r d r drd d rd
dr
dV = ⋅ ⋅ sin =
2sin
θ
φ θ
φ θ
cos
sin sin
cos sin
r z
r y
r x
=
=
=
) ( tan
) (
cos
1
2 2
2 1
2 2
2
x y
z y
x
z z y
x r
−
−
=
+
= +
+ +
=
φ
θ
벡터의 좌표계 변환
θ = − sin θ
⋅a a
zθ
= cos
⋅
rz
a
a a
x⋅ a
r= a
x⋅ (sin θ a ρ ) = sin θ cos φ
= 0
⋅ a φ a
zφ θ
θ ρ
θ = ⋅ (cos ) = cos cos
⋅ a a a
a
x xφ
φ = cos( 90 + φ ) = − sin
⋅
ox
a
a
<예제1.4>지금 변환과정을 예시하기 위해서 = 인 벡터계를 구좌
1.10 벡터 연산
(1) 그래디언트(Gradient) ; 최대방향 미분 계수
s
z y x z
z y y x x ds
d
s
∆
−
∆ +
∆ +
∆
= +
→
∆
) , , ( ) ,
,
lim (
0
ϕ ϕ
ϕ
ds dz z ds dy y ds dx
x ⋅
∂ + ∂
∂ ⋅ + ∂
∂ ⋅
= ∂ ϕ ϕ ϕ
k dz j
dy i
dx s
d = ˆ + ˆ + ˆ
z dz y dy
x dx
d ∂
+ ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ ϕ ϕ ϕ ϕ
k j
i
grad ∂
∂ +
∂ +
= ϕ ϕ ϕ
ϕ ˆ ˆ ˆ
⇒ 미분, 적분
s d grad
d
ds s grad d
grad
⋅
=
⇒
⋅
=
=
) (
) ( ) (
cos ϕ ϕ
ϕ θ
ϕ
(2)다이버전스(Divergence)
; 면으로 둘러싸인 체적을 영으로 가져갈 때 단위체적에 대한 표면적분의 극한
＊직각 좌표계
z y x x o
x o
x
x
ox F z
y x F z y x x
F
, ,
) , , ( )
, ,
( ∂
∆ ∂ +
=
∆ +
z y x y o
y o
y
o
y y F z
y x F z
y y
x F
, ,
) , , ( )
, ,
( ∂
∆ ∂ +
=
∆ +
zo
y x z o
z o
z
z
z F z
y x F z z
y x F
, ,
) , , ( )
, ,
( ∂
∆ ∂ +
=
∆ +
F F
z y z y x F z
x y x F z
y z y x z F
y F x
div
x o x x ox v
∂
∂
⋅ ∆ ⋅ ∆ − ∆ ∆
∂
∆ ∂ +
∆
∆ ∆
∆
= ∆
→
∫
1
) , , ( ( )
, , ( 1 (
lim
0
F div
∫ ⋅
=
→ s
v
da n v F
F
div 1
lim
0z F y
F x
F F
div
x y z∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
,
, z
F F y div
F F
div
zz y
y
∂
= ∂
∂
= ∂
(3) 커얼(curl) : 바깥쪽 법선과 그 벡터의 벡터곱을 폐곡면에 적분, 그 체적을
“0”으로 할 때, 체적과의 비
＊직각 좌표계
j k k
j
i ˆ = ˆ × ˆ = − ˆ × ˆ
{ }
[ ∫ ∆ ∆ − + ∆ ∆ ∆
=
→
y x z z
y x F y x z y x v F
F
curl
y yv
x
1 ( , , ) ( , , )
)
( lim
0
{ F
zx y z ∆ y ∆ z − F
zx y z ∆ y ∆ z } ]
+ ( , , ) ( , , ) F F z
y F x
z y
F
yx
z z y∂
− ∂
∂
= ∂
∆
∆
∂ ∆ + ∂
∆
∆
∆
∂
− ∂
= 1
lim
da F v n
curl
sv
= lim
→1 ∫ ×
0
F
iˆ kˆ
jˆ
z y
x
F F
F
z y
x
k j
i F
curl ∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
ˆ ˆ ˆ
x F z
F F
curl
y x z∂
− ∂
∂
= ∂ )
(
y F x
F F
curl
z y x∂
− ∂
∂
= ∂ )
(
행렬식 표기
(4) 벡터 연산자 델 ;
＊Laplacian
∇
k z j y
i x
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇ ˆ ˆ ˆ
∇
=
grad k z
j y i x
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇
ϕ
ˆϕ
ˆϕ
ˆϕ
⋅
∇
=
div z
k F y
j F x
i F
F
x y z∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
⋅
∇ ˆ ˆ ˆ
×
∇
=
curl
z y
x
F F
F
z y
x
k j
i
F ∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
×
∇
ˆ ˆ ˆ
∇2
=
∇
⋅
∇
2 2 2
2 2
2 2
z y
x
∂+ ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇
ϕ ϕ ϕ ϕ
(ˆ ˆ ˆ ) (ˆ ˆ ˆ )k z j y
i x k z
j y i x
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
⋅ ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ ϕ ϕ ϕ
k j
i ∂ ∂
∂
ˆ ˆ
ˆ
(5) 벡터 적분 ⇒ 선적분, 면분적, 체적 적분
＊선적분
＊표면 적분 ; 미소면적,
＊체적 적분
∫ ∑
∞ =
→
∆
⋅
=
⋅
Ni
i i N
b
a
F d l F l
lim
1
∫ F ⋅ l d
da n
∫ F ⋅ ⋅ da n
∫
SF ⋅ n da
∫
∫
=
=
V V
dv F K
dv J
ϕ
폐곡선
폐곡면
; 단위 법선 벡터
