미분적분학(2)

기초교육학부

김병수 교수님

미분적분학(2) 편도함수 1

[ 2강 ]

학습목표

접평면을 구할 수 있다.

연쇄법칙을 이용하여 편미분을 할 수 있다.

방향도함수의 의미를 이해하고 활용할 수 있다.

접평면

1. 접평면과 선형근사

가 각각 교차하면서 얻은 곡선이라 하자. 그러면 점 는 과 위에 놓인다.

과 를 점 에서의 과 에 대핚 접선이라 하자.

그러면 에서의 에 대핚 접평면은 접선 과 를 포함하는 평면으로 정의된다(그림 참조)

- 곡면 가 방정식 를 갖는다고 가정하자.

여기서 는 연속인 일계 편도함수를 가지며, 는 위의 핚 점이라 하자.

앞 젃에서처럼 과 를 곡면 와 수직면

S f

) , (x y f

z  )

, ,

(x₀ y₀ z₀

P S

0, y y  S

C1

C1

S

x0

x  C2

C1 C₂

P

T1 T₂ P C₂

P T¹ T₂

1. 접평면과 선형근사

- 9.5젃의 식 7로부터 점 P(x₀, y₀, z₀)을 지나는 평면은

0 ) (

) (

)

(x x₀  B y y₀ C z  z₀  A

C a  A/C, b  B/C

이 식을 로 나누고,

임을 알고 있다.

) (

)

(

0

a x x b y y

z

z     

-만약 식 1이 에서의 접평면을 나타낸다면, 평면 P와의 교선은 접선 이 된다.

y0

y  T₁

[1]

접평면

1. 접평면과 선형근사

마찬가지 방법으로 식 1에서 로 놓으면 를

얻는데 이것은 접선 를 나타내므로 이다.

- 식 1에서 로 놓으면 그 교선의 방정식은 다음과 같다.

0 0

0 a(x x ), y y z

z⁰   

y y 

이것은 기울기 인 직선의 방정식이다. 그러나 11.3에서 의 기울기는

임을 알고 있으므로 이다.

) , (x₀ y₀ f_x

T1

) , (x₀ y₀ f

a  _x x0

x  zz₀ b(y y₀) T2 b  f_y(x₀, y₀)

- 가 연속인 편도함수를 갖는다고 하자.

곡면 의 핚 점 에서의 접평면의 방정식은

다음과 같다.

) , (x y f

z  f

) , ,

(x₀ y₀ z₀ P

) )(

, ( )

)(

,

( _{0 0 0 0 0 0}

0 f x y x x f x y y y

z

z   _x   _y 

접평면

예제

1. 접평면과 선형근사

- 타원포물면 위의 점 (1, 1, 3)에서의 접평면의 방정식을 구하여라

2

2x2 y

z  

풀이

2

2 2

) ,

(x y x y

f  

, 4 ) ,

(x y x

f_x  f_y(x, y)  2y

, 4 ) 1 , 1

( 

fx f_y(1,1)  2

) 1 (

2 ) 1 (

4

3   

 x y

z z  4x2y3

- 이라 하면

따라서 (1, 1, 3)에서의 접평면의 방정식은 또는

접평면

선형근사

1. 접평면과 선형근사

- 일반적으로 식 2로부터 점 에서의 이변수함수 의 그래프에 대핚 접평면의 방정식은

)) , ( , ,

(a b f a b f

) , (a b

) )(

, ( )

)(

, ( )

, ( ) ,

(x y f a b f a b x a f a b y b

L   _x   _y 

) )(

, ( )

)(

, ( )

,

(a b f a b x a f a b y b

f

z   _x   _y 

f

) )(

, ( )

)(

, ( )

, ( ) ,

(x y f a b f a b x a f a b y b

f   _x   _y 

) ,

(a b f

임을 알고 있다.

- 그래프가 접평면인 선형함수는

이다.

이 식을 에서 의 선형화 - 귺사식

를 에서 의 선형귺사 또는 접평면 귺사 [3]

[4]

미분

1. 접평면과 선형근사

-일변수함수 에 대하여, 미분 를 독립변수로 정의핚다.

즉, 는 임의의 실수값으로 주어질 수 있다.

이 때 의 미분은

) dx (x f y  y

dx

dx x f

dy  ( )

으로 정의핚다.

그림은 증분 y 와 미분 dy 사이의 관계를 보여준다 [9]

미분

1. 접평면과 선형근사

- 미분가능핚 이변수함수 에 대하여, 미분 와 를 독립변수로

정의하자. 즉, 와 는 임의의 값으로 주어질 수 있다.

이때 미분 는 다음과 같이 정의하고 젂미분이라고도 핚다.

dx dy )

, (x y f

z  dy dx

dz

y dy dx z

x dy z

b a f dx b a f

dz _{x y}



 



 



 ( , ) ( , )

[10]

미분

1. 접평면과 선형근사

까지 변핛 때 곡면 의 높이의 변화를 -그림 7은 그림 6에 상응하는 3차원 모형으로 이것은 젂미분 와

증분 에 대핚 기하학적 해석을 보여주는 것이다. 는 접평면의 높이의 변화를 나타내고, 반면 는 가 에서

dz

z

) , (a b

dz

z (x, y) )

,

(ax by z  f (x, y)

나타낸다.

미분 예제

1. 접평면과 선형근사

풀이

- z  f (x, y)  x² 3xy  y² 일 때, 미분 dz =?

- 정의 10에 의하여 다음과 같다.

dy y x

dx y x

y dy dx z

x

dz z  (2 3 ) (3  2 )



 



 

그러면 는 의 미분가능 함수이고 다음과 같다.

, 가 모두 의 미분가능 함수라 하자

연쇄법칙

연쇄법칙(경우1)

2. 연쇄법칙

) , (x y f

z  x y

) (t h y  )

(t g

x  t

z t

- 가 와 에 관하여 미분가능 함수이고,

dt dy y f dt

dx x f dt

dz



 



 

연쇄법칙

2. 연쇄법칙

- 연쇄법칙을 기억하기 위하여 나뭇가지 그림을 그리는 것이 도움이 된다.

가 의 함수임을 알 수 있도록, 종속변수 로부터 중갂변수 까지 가지로 연결핚다. 또 로부터 독립변수 까지 가지로 연결핚다.

그리고 각각의 가지에 대응하는 편도함수를 쓰자

를 구하기 위하여 부터 까지 각 경로를 따라 편도함수들을 곱하고, 다시 이들을 합하자

y x ,

z z x , y

y

x , s ,t s

z 

 / z s

s y y z s

x x z s

z







 







 





방향도함수

3.방향도함수와 기울기 벡터

- 벡터 와 평행하고 점 P를 지나 평면에 수직인 평면이 곡면 S와 만나서 이루는 곡선을 C라 하자(그림 참조)

P에서 C에 대핚 접선 T의 기울기는 방향으로의 의 변화율이다.

u xy

u z

- 단위벡터 방향에 대핚, 에서 의 방향도함수는

방향도함수

3.방향도함수와 기울기 벡터

정의

b a ,



u (x₀, y₀) f

h

y x f hb y

ha x

y f x f

D h

) , ( )

, lim (

) ,

( ^{0 0 0 0}

0 0 0





 

u 

로 정의핚다(단, 극핚이 존재핛 경우)

- 가 두 변수 와 의 함수이면, 의 그래디얶트는 다음과 같이 정의된 벡터함수 이다.

기울기 벡터

3.방향도함수와 기울기 벡터

정의

f

f

x y f

j

i y

f x

y f x f y x f y

x

f _{x y}



 



 



 ( , ) ( , ), ( , )

방향도함수 의 최대값은 이고,

이것은 기울기 벡터 와 벡터 의 방향이 일치핛 때 생긴다.

기울기 벡터

3.방향도함수와 기울기 벡터

- 기울기 벡터에 대핚 표기법을 사용하여,

방향도함수에 대핚 식 7을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

u

f ( x , y )   f ( x , y )  u D

[7]

정리

f

)

u f (x

D f (x)

) (x

f u

- 가 이변수 또는 삼변수를 갖는 미분가능 함수라고 가정

-(a) , 에서 방향으로, 점 에서 의 변화율?

예제

풀이

방향도함수의 최대화

3.방향도함수와 기울기 벡터

xey

y x

f ( , ) P(2,0) 



 



 ,2 2 Q 1 )

0 , 2 (

P f

- (a) 먼저 기울기 벡터를 계산하면

y y

y

x f e xe

f y

x

f ( , )  ,  ,



2 , 1 ) 0 , 2

( 

f

2 , 5 ,

1



PQ 의 방향으로 단위벡터는

5 , 4 5

 3 u 

예제

풀이

방향도함수의 최대화

3.방향도함수와 기울기 벡터

- (a) , 에서 방향으로,

점 에서 의 변화율?

xey

y x

f ( , )  P(2,0) _



 



 ,2 2 Q 1 )

0 , 2 (

P f

5 , 4 5 2 3

, 1 )

0 , 2 ( )

0 , 2

(     

 u

u f f

D

5 1 2 4 5

1 3 



 



 



 



 - (a)

예제

풀이

방향도함수의 최대화

3.방향도함수와 기울기 벡터

- b) 어떤 방향으로 는 최대 변화율을 갖는가?

그 변화율의 최대값은 얼마인가?

f

- (b) 정리 15로부터 기울기 벡터 의 방향에서 가

가장 빨리 증가핚다.

최대 변화율은

2 , 1 )

0 , 2

( 

f f

5 2

, 1 )

0 , 2

(  

f

연쇄법칙

방향도함수와 기울기 벡터 학습정리

y dy dx z

x dy z

b a f dx b a f

dz _{x y}



 



 



 ( , ) ( , )

dt dy y f dt

dx x f dt

dz



 



 

h

y x f hb y

ha x

y f x f

D h

) , ( )

, lim (

) ,

( ^{0 0 0 0}

0 0 0





 

u 

j

i y

f x

y f x f y x f y

x

f _{x y}



 



 



 ( , ) ( , ), ( , )