기초교육학부
양영균 교수님
미분적분학-다중적분
[ 1강 ]
이중적분의 정의를 이해한다.
이중적분을 계산할 수 있다.
학습목표
정적분의 복습
함수 가 폐구간 에서 정의되어 있다면 구간 를 폭 를 갖는 개의 소구간 로 분할하고 이 소구간에서 표본점 를 택한다. 그 다음에 리만합
1. 직사각형 영역에서의 이중적분
b x a )
(x
f a ,b
x n xi1, xi
*
xi
n i
i x
x f
1
*) (
n
i n i
b
a f x dx f x x
1
*) ( lim
) (
- 을 만든 후, 에서 까지 함수 의 정적분을 구하기 위해 일 때 리만합에 대해 극한을 취한다.
a b f
n
[1].
[2].
부피와 이중적분
비슷한 방법으로 폐직사각형영역
에서 정의된 이변수함수 를 생각하고 을 가정하자.
의 그래프는 방정식 를 갖는 한 곡면이다. 이제 를 위와 의 그래프 아래에 있는 입체 즉,
1. 직사각형 영역에서의 이중적분
a b c d
x y a x b c y d
R , , ( , )R2 | ,
0 ) ,
(x y f
f
f z f (x, y)
R
S f
x y z z f x y x y R
S ( , , )R3 |0 ( , ), ( , )
부피와 이중적분
1. 직사각형 영역에서의 이중적분
부피와 이중적분
1. 직사각형 영역에서의 이중적분
각 내에서 을 택하면, 그림 4에서 볼 수 있는 것 처럼 밑면 와 높이 로 하는 긴 직사각형 상자(또는 기둥) 에 의해 위에 있는 의 부분을 근사할 수 있다. 이 상자의 부피는 상자의 밑면의 넓이와 높이의 곱이다.
Rij (xij*, yij*)
) , (xij* yij* f
Rij S
A y
x
f ( ij*, ij*)
그림 4 Rij
부피와 이중적분
1. 직사각형 영역에서의 이중적분
만약 모든 직사각형들에 대해서 이런 방식을 적용하고 대응하는 상자들의 부피를 합한다면 의 전체 부피에 대한 근사값을 얻을 수
있다.(그림 5)
그림 5 S
[3].
m
i
n
j
ij
ij y A
x f V
1 1
*
*, )
(
부피와 이중적분
1. 직사각형 영역에서의 이중적분
과 이 더 커짐에 따라 즉, 작은 직사각형들을 더욱 잘게 쪼갬 으로써, 3에서의 근사값은 참값에 더욱 근접하게 됨을 직관적으로 알 수 있으므로 의 부피 는
가 될 것이라고 예상할 수 있다.
[4].
m
i
n
j
ij n ij
m f x y A
V
1 1
*
*
, ( , )
lim
m n
S V
부피와 이중적분
1. 직사각형 영역에서의 이중적분
[5] 정의
만약 극한 이 존재한다면
f
m
i
n
j
ij n ij
m f x y A
1 1
*
*
, ( , )
lim
이 극한값을 R 에서 의 이중적분 이라 부르고
dA y x f
R
( , )로 나타낸다. 즉, 위의 극한이 존재한다면 에서 의 이중적분은
R f
m
i
n
j
ij n ij
R m
A y
x f dA
y x f
1 1
*
*
, ( , )
lim )
, (
반복적분
2. 반복적분
[4] 푸비니 정리
가 직사각형 영역 에서
연속이면, 이 때 다음의 등식이 성립한다.
더 일반적으로, 만약 가 영역 에서 유계, 유한 개의 매끈 한 곡선에서만 불연속, 그리고 반복적분이 존재한다면 이 등식 은 성립한다.
다음의 정리는 반복적분으로 나타내어(어느 순서로든지) 이중적분을 구하는 실제적인 방법을 제시한다.
f R
(x, y)|a x b,c y d
dxdy y
x f dydx
y x f dA
y x
f d
c b a b
a d c
R
( , ) ( , ) ( , )f R
2. 반복적분
예제2.
영역 에 대해서
풀이
푸비니 정리를 이용하여 다음의 결과를 얻을 수 있다.
dA y
x
R
( 3 2)
( , )|0 2,1 2
x y x y
R
이중적분 의 값을 구하여라.
dydx y
x dA
y x
R
02 21
2
2) ( 3 )
3 (
xy y
y dyy 2 1 2
0
3
12 2 7
) 1 7 (
2
0 2
0
2
x dx x x3. 일반 영역에서의 이중적분
만약 함수 가
에서 연속이면 다음이 성립한다.
f D
(x, y)|a x b, g1(x) y g2(x)
dx dy y x f dA
y x
f b
a
x g
x g D
(())2
1
) , ( )
, (
3. 일반 영역에서의 이중적분
(x, y)| c y d, h1(y) x h2(y)
D
dy dx y x f dA
y x
f d
c
y h
y h
D
(( ))2
1
) , ( )
, (
3. 일반 영역에서의 이중적분
예제1.
가 포물선 과 에 의해 둘러싸인
풀이_계속
의 값을 구하여라.
2x2
y
D y 1 x 2
dA y x
D
( 2 )그림 8
3. 일반 영역에서의 이중적분
예제1.
가 포물선 과 에 의해 둘러싸인
풀이_계속
의 값을 구하여라.
2x2
y
D y 1 x 2
dA y x
D
( 2 )아랫쪽 경계는 이고 위쪽 경계는 이므로 식 3에 의해 다음을 얻을 수 있다.
2x2
y y 1 x 2
dydx y
x dA
y
x x
x
D
1
1 1 2
2
2 ( 2 )
) 2
(
1
1
1 2
2 2
2 dx
y
xy yy xx
x x x x x x
dx
1
1
2 2 2
2 2
2) (1 ) (2 ) (2 )
1 (
x x x x
dx
1
1
2 3
4 2 1
3
15 32 2
2 3 4
3 5
1
1 2
3 4
5
x x x
x x
3. 일반 영역에서의 이중적분
예제2.
직선 과 포물선 으로 둘러싸인 영역 에
대해서 의 값을 구하여라.
풀이_계속
1
x
y D
dA xy
D
3. 일반 영역에서의 이중적분
예제2.
직선 과 포물선 으로 둘러싸인 영역 에
대해서 의 값을 구하여라.
풀이_계속
1
x
y y2 2x6 D
dA xy
D
이때 5에 의해서
dy x y
dxdy xy
dA xy
y x
y x y
y
D
4
2
1
2 3 1 4 2
2
1 2 3 1
2
2 2
dy y
y
y
4
2
2 2
2 3
2 ) 1
1 2 (
1
3. 일반 영역에서의 이중적분
예제2.
직선 과 포물선 으로 둘러싸인 영역 에
대해서 의 값을 구하여라.
풀이_계속
1
x
y y2 2x6 D
dA xy
D
타입 1으로 표현했다면
풀이과정이 훨씬 더 복잡했을 것이다.
dy y y
y y
4
2
2 3
5
8 2
4 4 2
1
36 3 4
24 2 2
1 4
2 2 3
4
5
y y y y
5
1
6 2 1 1
3
6 2
6
2 xydydx xydydx
dA
xy x
x x
x D
3. 일반 영역에서의 이중적분
예제 3.
평면 에 의해 둘러싸인
사면체의 부피를 구하여라.
풀이_계속
0
, 0
, 2
, 2
2
y z x y x z
x
3. 일반 영역에서의 이중적분
예제 4.
평면 에 의해 둘러싸인
사면체의 부피를 구하여라.
풀이_계속
0
, 0
, 2
, 2
2
y z x y x z
x
3. 일반 영역에서의 이중적분
예제 4.
평면 에 의해 둘러싸인
사면체의 부피를 구하여라.
풀이_계속
0
, 0
, 2
, 2
2
y z x y x z
x
평면 를 로 다시 쓸 수 있으므로,
요구되는 부피는 함수 의 그래프 아래와 영역
위에 놓여있다. 그러므로 반복적분을 계산하면 2
2
y z
x z 2 x2y y x
z 2 2
(x, y)|0 x 1, x/2 y 1 x/ 2
D
dydx y
x dA
y x
V x
x
D
1
0
2 / 1
2
/ (2 2 )
) 2 2
(
이중적분 은 리만합 의 극한값
이다. 여기서 R은 평면의 한 영역이다.
이중적분은 푸비니 정리에 의해 반복적분을 이용하여 계산한다.
학습정리
m
i n
j
ij
ij y A
x f
1 1
*
*, )
(
m
i n
j
ij n ij
m f x y A
1 1
*
*
, ( , )
dA lim y x f
R
