10 Z 4, pp. 1119∼1124

(1)

10 Z 4, pp. 1119∼1124

;

cÂ \ ¥ ² 4 Ñ ÷ ~ ¾ Ì ¦ R > H ¹ Å ÷ u §q ÿ

î m Ú

© t @ / < Æ § ( É Ó' Ó ü t o < Æõ , " é ¶ Å Ò 220-702 (2010¸ 8 Z 4 3{ 9 ~ Ã Î6 £ §, 2010¸ 10 Z 4 17{ 9 > F S X & ñ )

~

´a A@ /g A` ¦ : x ô Ç " é ¶» ¡ ¤ è ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð ¸ " é ¶ r ^ ¦Ï þ f . Ë s \ É r Û ¼à Ô> ü < ' aº e 6 £ §` ¦ Ð% i . Õ ª o

¦ / B N K ÐÂ Ò' D h Ðî r K \ ¦ % 3 H Manko ~ ½ ÓZ O ` ¦ 7 H _ % i ¦, s ~ ½ ÓZ O ` ¦ s 6 x # ô Ç > h_ r B

> h © Ã º\ ¦ ° ú H ¢ - a K \ ¦ ½ ¨Ù þ ¡ . s ¢ - a K H [ j > h_ 1 l qw n & h B > h © Ã º\ ¦ ° ú t ë ß ¸Ø ¦ ) a : £ ¤ s $ í

`

¦ C ] j Myers-Perry ^ ¦Ï þ f . Ë s H d` ¦ Ð% i .

Ù þ

d # Q: ¦ " é ¶ ^ ¦Ï þ f . Ë, " é ¶» ¡ ¤ è, \ É r Û ¼à Ô>

Ernst Systems and Five-Dimensional Rotating Black Holes

D. H. Park ^∗

Department of Computer and Electronic Physics, Sangji University, Wonju 220-702 (Received 3 August, 2010 : accepted 17 October, 2010)

We show that the five-dimensional rotating black holes are related with the Ernst systems. By using the Manko procedure which generates new solutions from the vacuum, we obtain an exact solution having one rotational parameter. Without the naked singularity the solution reduces to the Myers-Perry black hole.

PACS numbers: 04.50.+h, 04.20.Jb, 04.70.Bw

Keywords: Higher-dimensional black holes, Dimensional reduction, Ernst systems

I. " eÂ ] Ø

¦ " é ¶ : x{ 9 © s : r s í H s : r, M s : r, Ú ÔA Ä

ºÅ Ò 1 p x É r ¸¿ º r / B N ç ß s " é ¶ s © e ` ¦ Å Ò © ô Ç [1].

Õ

ª\ " é ¶ Ã » s : r` ¦ ¦ " é ¶ Ü ¼ Ð S X ©

# D h Ðî r K \ ¦ % 3 H \ O s þ j H ´ ú §s s À Ò# Qt ¦ e

[2–4]. Õ ª X < Ä ºo d H " é ¶ É r " î Ñ þ y " é ¶ s

Ù ¼ Ð ¦ " é ¶ K \ ¦ " é ¶ _ { 9 © \ " f Ð H כ s

9 כ ¹ . : r 7 Hë H \ " f H ¸ " é ¶ Ã » s : r _ r

^ ¦Ï þ f . Ë s # Qb G> " é ¶ Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s : r _ ¢ - a

K ü < ÷ & H \ ¦ 7 H _ ½ + É כ s .

∗

E-mail: [email protected]

" é ¶ r / B N ç ß _ Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s : r` ¦ _ ~ ´ a A 7 ' Ð " é ¶ » ¡ ¤ è q + þ A r Õ ª © õ © ñ 6 x

H " é ¶ Ã » × æ§ 4 s : r s ) a [5,6]. s M :_ q

+ þ A r Õ ª © ` ¦ ý a³ ð> Ð H Æ Ò © / B N ç ß ` ¦ ( J $ [ > / B N ç

ß s ¦ ô Ç . s Qô Ç ( J $ [ > / B N ç ß s ô Ç > h s © _ s

"

é

¶ { 9 & ñ / B GÒ ¦ ` ¦ í < Ê(embedding) Õ ªü < ' aº ) a Û ¼ º

ú

- 7 ' -J $ " f s : r _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r \ É r Û ¼à Ô ( J $ [ > E Ð ³ ð & ³ ) a \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d

∇ ² E = 2

E + ¯ E (∂ i E) ² (1)

`

¦ í < Ê ¦, s M :ë H \ Õ ª Qô Ç > \ ¦ \ É r Û ¼à Ô> ¦ Â Ò

É r [7].

\

É r Û ¼à Ô> \ " f ( J $ [ > / B N ç ß \ í < Ê ) a s " é ¶ { 9 & ñ /

B

GÒ ¦ É r Ä ºÛ ¼ / B GÒ ¦ k Ð @ /³ ð ) a [7]. " é ¶

-1119-

(2)

Ã

» s : r _ & ñ © (stationary) © I H Ä ºÛ ¼ / B GÒ ¦ s k = −2 \ É r Û ¼à Ô> \ K { © < Ê` ¦ l % 3 [6].

II. Ì ¦ R ×} ºÑ ÷ ; cÂ \ ¥ ² 4

$ (D + 1) " é ¶ \ " f D " é ¶ Ü ¼ Ð_ " é ¶ » ¡ ¤ è\ ¦ 0 A ô

Ç { 9 ì ø Í& h / B Nd ` ¦ % 3 # Q Ð . e _ _ (D + 1) " é ¶ \

"

f > | ¾ ÓJ $ " f\ ¦

ds ² _D+1 = φ ⁻

^D−2¹

g µν dx ^µ dx ^ν + φ(dψ + A µ dx ^µ ) ² (2) Ü

¼ Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e . # l " f É r ψ- ý a³ ð Ð ³ ðl ) a ~ ½ Ó ¾ Ó s

r ç ß g 1 J â Ä º = −1s ¦ / B N ç ß g 1 J â Ä º = +1s

. ý a³ ð> (x ^µ , ψ) ÐÂ Ò' & ñ _ ) a l ï r 7 ' (∂ ^µ , ∂ ψ ) Ð

H

∂ ˆ _µ = ∂ _µ − A _µ ∂ _ψ , ∂ ˆ _ψ = ∂ _ψ (3)

Ð & ñ _ ) a l ï r 7 ' ( ˆ ∂ _µ , ˆ ∂ _ψ )\ ¦ × þ > | ¾ ÓJ $ " f (2) H ^ ¦

!

3 é ß 0 A Ð @ /y + þ AI ) a [8]. s l ï r 7 ' H " f Ð

§ ¨ 8 ÷ &t · ú §6 £ §` ¦ Å Ò3 l q :

[ ˆ ∂ µ , ˆ ∂ ν ] = −F µν ∂ ψ , [ ˆ ∂ ψ , ˆ ∂ µ ] = −B µ ∂ ψ (4) F µν ≡ ∂ µ A ν − ∂ ν A µ − [A µ , B ν ], B µ ≡ ∂ ψ A µ . s

Qô Ç q § ¨ 8 l ï r 7 ' \ ¦ × þ # (D+1) " é ¶ _ Ã »

- n =! Qà Ô 6 x | ¾ Ó I ^D+1 ` ¦ ³ ð & ³ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d \ % ò

¾ Ó` ¦ Å Òt · ú § H ½ Ó[ þ t` ¦ Á ºr ½ + É M : I D+1 = 1

16πG D+1

Z

d ^D x dψ √

−g D L EH

L EH = R D − 1 4

D − 1

D − 2 (∂ µ ln φ) ² (5)

−

4 φ

^D−1^D−2

F _µν ² + φ ⁻

^D−1^D−2

(K _µν ² − K ² ) s

) a . # l " f R D H 1 p x y ¨ 8 ) a D " é ¶ > | ¾ ÓJ $ " f g µν \ @ /ô Ç Û ¼º ú / B GÒ ¦ s ¦ K ^µν = ∂ ψ (φ ⁻

^D−2¹

g µν ), K = φ

^D−2¹

g ^µν K _µν s .

~

½ Ó& ñ d (5)\ e H 6 x | ¾ Ó I D+1 É r { 9 ì ø Í& h ³ ð & ³s .

s

] j (D + 1) " é ¶ _ r / B N ç ß s ~ ´a A 7 ' ∂ ^ψ \ ¦ ° ú H ¦

& ñ : L ∂

ψ

g _AB = 0. Õ ª Q B _µ = K _µν = 0 s Ù ¼ Ð 6

x | ¾ Ó I D+1 É r I _D+1 → 1

16πG D

Z d ^D x √

−g D L EH

L EH = R D − 1 4

D − 1

D − 2 (∂ µ ln φ) ² −

4 φ

^D−1^D−2

F _µν ² (6) Ü

¼ Ð " é ¶» ¡ ¤ è ) a .

¸ " é ¶ \ " f " é ¶ Ü ¼ Ð_ " é ¶» ¡ ¤ è\ H / B N ç ß g 1 J ~ ´a A 7 ' ∂ ^ψ , " é ¶ \ " f " é ¶ Ü ¼ Ð_ " é ¶» ¡ ¤ è\ H r ç ß g

1 J ~ ´a A 7 ' ∂ ^t \ ¦ í H & h Ü ¼ Ð & h 6 x # ¸ " é ¶ Ã »

s : r` ¦ " é ¶ Ü ¼ Ð " é ¶» ¡ ¤ è y y _ > | ¾ ÓJ $ " f

H

ds ² ₄₊₁ = 1

√ φ ds ² ₃₊₁ + φ(dψ + A _µ dx ^µ ) ² ds ² ₃₊₁ = 1

f γ ij dx ⁱ dx ^j − f (dt + ω i dx ⁱ ) ² , (7)

Õ ª| ½ Ót î ß É r

L EH = R 3 − 1

2 (∂ i ln f ) ² + f ²

4 Π ² _ij − 3

8 (∂ i ln φ) ²

− 1

4 φ ^3/2 [− 2

f (∂ i A t ) ² + f F _ij ² ] (8) s

) a . # l " f

Π ij = ∂ i ω j − ∂ j ω i , F ij = ∂ i A j − ∂ j A i + Π ij A t

s

.

l ( J $ [ > u, l ( J $ [ > v, × æ§ 4 - l ( J $ [ > χ\ ¦

6 £ § õ ° ú s & ñ _ [9]:

√ 1

2 A _t = u, 1

√ 2 φ ^3/2 F _ij = 1 f _ijk ∂ ^k v Π ij = 1

f ² ijk (∂ ^k χ + u∂ ^k v − v∂ ^k u). (9) Õ

ª Q Õ ª| ½ Ót î ß (8)\ K { © H Ä »´ ò 6 x | ¾ Ó I ef f H

I _{ef f} = 1 16πG

Z d ³ x √

γ [R ₃ − G _AB γ ^ij ∂ _i ϕ ^A ∂ _j ϕ ^B ] (10)

) a . " f ¸ " é ¶ Ã » s : r` ¦ " é ¶ / B N ç ß _

{ 9 © \ " f Ð q + þ A r Õ ª © ϕ ^A \ ¦ ° ú H Ã »

-Û ¼º ú s : r s ) a . s M :_ ( J $ [ > / B N ç ß É r ϕ ^A = (f, χ, u, v, φ)\ ¦ ý a³ ð> Ð ¦, > | ¾ ÓJ $ " f G AB H

G AB dϕ ^A dϕ ^B = 1

2f ² df ² + 1

2f ² (dχ + udv − vdu) ²

− 1

f (φ

³²

du ² + φ ⁻

³²

dv ² ) + 3 8φ ² dφ ² s

. s Qô Ç > | ¾ ÓJ $ " f\ ¦ ° ú H / B N ç ß _ / B GÒ ¦J $ " f H / B N

© Ã ºs . s כ É r ¸ " é ¶ Ã » s : r \ K { © H (

J $ [ > / B N ç ß s @ /g A/ B N ç ß (symmetric space)e ` ¦ _ p ô Ç

[10].

¸ " é ¶ \ " f ô Ç > h_ r B > h © Ã º\ ¦ ° ú H ^ ¦Ï þ f . Ë K

H A µ = 0 â Ä º\ K { © ô Ç . " f · ú ¡Ü ¼ Ð_ 7 H _ H

(3)

s

â Ä ºë ß Ü ¼ Ð ô Ç& ñ . Õ ª Q r / B N ç ß _ > | ¾ ÓJ $ " fü <

(

J $ [ > / B N ç ß _ > | ¾ ÓJ $ " f H y y ds ² ₄₊₁ = ^√ ¹ _φ 1

f γ ij dx ⁱ dx ^j − f (dt + ω i dx ⁱ ) ² + φ dψ ² G AB dϕ ^A dϕ ^B = _2f ¹

2

df ² + _2f ¹

2

dχ ² + _8φ ³

2

dφ ² (11) s

) a . " é ¶ Ã » s : r õ ° ú s \ É r Û ¼à Ô ( J $ [ >

` ¦ E = f + iχ Ð & ñ _ > | ¾ ÓJ $ " f (11)` ¦ ° ú H ( J $ [ >

/ B N ç ß É r Ä ºÛ ¼ / B GÒ ¦ s k = −2 { 9 & ñ / B GÒ ¦ ` ¦ í < Ê

Ù ¼ Ð " î Ñ þ y \ É r Û ¼à Ô> e ` ¦ · ú Ã º e .

III. Manko U ê s0 n É8 ý Ç Ó ÞV R Ë

(

J $ [ > / B N ç ß _ > | ¾ ÓJ $ " f ~ ½ Ó& ñ d (11) Ð Å Ò# Q â Ä º î

r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r \ É r Û ¼à Ô ( J $ [ > E\ @ /ô Ç Â Òì r õ v 9 : r φ \ @ /ô Ç Â Òì r Ü ¼ Ð * '# Q :

R ij = R ^(E) _ij + R ^(φ) _ij R _ij ^(E) = 1

(E + ¯ E) ² (∂ i E ∂ i E + ∂ ¯ i E ∂ ¯ i E) (12) R ^(φ) _ij = 3

8φ ² ∂ i φ ∂ j φ, ∇ ² ln φ = 0.

ô

Ç¼ # , » ¡ ¤ @ /g A` ¦ ° ú H " é ¶ Ã » -Û ¼º ú s : r _

>

| ¾ ÓJ $ " f H ½ Ó © " é ¶: x ý a³ ð> (ρ, ϕ, z)\ " f

γ _ij dx ⁱ dx ^j = e ^2h(ρ,z) (dρ ² + dz ² ) + ρ ² dϕ ² (13) Ü

¼ Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e . Õ ªo ¦ " é ¶ / B N ç ß _ o u J $ " f

\

¦ " é ¶: x ý a³ ð> Ð ³ ð & ³ R _ρρ − R _zz = 2

ρ ∂ _ρ h, R _ρz = 1 ρ ∂ _z h s

. > | ¾ ÓJ $ " f_ $ í ì r h(ρ, z) ü < o u J $ " f R ^ij " f Ð

+ þ A& h Ü ¼ Ð q Y V l M :ë H \ h(ρ, z) ¸ ¿ º Â Òì r Ü ¼ Ð ì r o

½

+ É Ã º e : h = h ^(E) + h ^(φ) . s

] j \ É r Û ¼à Ô> \ " f r K \ ¦ % 3 H _ Ã ºé ß Ü ¼ Ð Manko ~ ½ ÓZ O ` ¦ כ ¹ [11]. s \ ¦ 0 A # " é ¶: x ý a³ ð> ü

<

ρ = p

(x ² − µ ² )(1 − y ² ), z = xy (14) _

' a > e H r " é ¶ ý a³ ð> (x, y)\ ¦ ¸{ 9 . # l

"

f µ H Û ¼H { 9 © Ã º Ð Â Ò ñ ª Ü ¼ Ð & ñ K | 9 9 כ ¹ H \ O

. ¸ o < ÊÃ º Φ(x, y)\ ¦ ¸{ 9 # \ É r Û ¼à Ô ( J $ [ > E\ ¦ E = e ^Φ (1 + ab)x − iµ(a − b)y − µ(1 − ia)(1 − ib)

(1 + ab)x − iµ(a − b)y + µ(1 − ia)(1 − ib) (15)

Ð ³ ð & ³ô Ç . s כ ` ¦ \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d (1)\ @ /{ 9 ¦ Φ(x, y) ∇ ² Φ = 0` ¦ ë ß 7 á ¤ H ¸ o < ÊÃ º H z ´` ¦ s 6

x Ð ¸ < ÊÃ º a(x, y)ü < b(x, y) H

(x − µy)∂ _x ln a = (xy − µ)∂ _x Φ + (1 − y ² )∂ _y Φ (x − µy)∂ y ln a = −(x ² − µ ² )∂ x Φ + (xy − µ)∂ y Φ (x + µy)∂ x ln b = −(xy + µ)∂ x Φ − (1 − y ² )∂ y Φ (x + µy)∂ y ln b = (x ² − µ ² )∂ x Φ − (xy + µ)∂ y Φ (16)

\

¦ ë ß 7 á ¤ < Ê` ¦ · ú Ã º e . õ & h Ü ¼ Ð > | ¾ ÓJ $ " f\ ¦ ½ ¨$ í

H $ í ì r[ þ t É r

f = e ^Φ A

B , e ^2h = e ^2h

⁰

A x ² − µ ² χ = 2µe ^Φ D

B , ω ϕ = 2µe ^−Φ C

A + © Ã º (17)

) a . # l " f h ⁰ É r { 9 (Weyl) ( J $ [ > s Φ ⁰ = Φ + ln(x − µ)/(x + µ){ 9 M :_ > | ¾ ÓJ $ " f $ í ì r s ¦,

A = (x ² − µ ² )(1 + ab) ² − µ ² (1 − y ² )(a − b) ²

B = [(x + µ) + (x − µ)ab] ² + µ ² [(1 + y)a + (1 − y)b] ² C = −(x ² − µ ² )(1 + ab)[a − b + y(a + b)]

−µ(1 − y ² )(a − b)[x + µ − ab(x − µ)]

D = (a + b)(1 + ab)x − (a − b)(1 − ab)µy (18) s

. " f ¸ o < ÊÃ º Φ(x, y)ë ß · ú ~ ½ Ó& ñ d (16)` ¦ & h ì

r # a(x, y)ü < b(x, y)\ ¦ % 3 ¦, õ & h Ü ¼ Ð \ É r Û ¼à Ô> _

D h Ðî r K \ ¦ % 3 > ÷ & H כ s .

Manko ~ ½ ÓZ O ` ¦ " é ¶ Ã » s : r \ & h 6 x #

/ B N K ÐÂ Ò' # Qb G> Kerr ^ ¦Ï þ f . Ë K \ ¦ % 3 H \ ¦ \ V\ ¦ [

þ

t # Q Ð . $ " é ¶ & ñ & h (static)K ÐÂ Ò' ¸ o < ÊÃ º Φ\ ¦ ½ ¨$ í ô Ç : Φ = ln |g tt |. Õ ª Q / B N K _ â Ä º Φ = 0 s Ù ¼ Ð ~ ½ Ó& ñ d (16)Ü ¼ ÐÂ Ò' 7 £ ¤ r a(x, y)ü < b(x, y) y y

© Ã º a ⁰ ü < b ⁰ Ð H d` ¦ · ú Ã º e . : £ ¤Z > ô Ç â Ä º Ð a ⁰ = b ₀ = 0 s

f = x − µ

x + µ , χ = ω ϕ = 0, e ^2h = x ² − µ ² x ² − µ ² y ² s

÷ &# Q, ½ ¨+ þ A ý a³ ð> (r = x + µ, θ = cos ⁻¹ y, ϕ) Ð ³ ð & ³

| 9 | ¾ Ós µ Schwarzschild K % 3 # Q . " f

r K \ ¦ % 3 Ü ¼ 9 a 0 ü < b ⁰ 0s ÷ &" f H · ú § ) a .

© Ã º| 9 ½ + Ë (a ₀ , b ₀ , µ) ÐÂ Ò' m ² + n ² − a ² _r = µ ² ` ¦ ë ß 7 á ¤

H D h Ðî r © Ã º| 9 ½ + Ë (m, n, a r )` ¦ & ñ _ :

m = µ 1 − a 0 b 0

1 + a ₀ b ₀ , n = µ a 0 + b 0

1 + a ₀ b ₀ , a r = µ a 0 − b 0

1 + a ₀ b ₀ .

(4)

s

© Ã º[ þ t` ¦ s 6 x # Manko ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð % 3 # Q K \ ¦ ³ ð

&

³

f = x ² − µ ² − a ² _r (1 − y ² ) (x + m) ² + (a _r y + n) ² , e ^2h = x ² − µ ² − a ² _r (1 − y ² )

x ² − µ ² y ²

ω ϕ = −2 a r (1 − y ² )(mx + µ ² ) + (a r + ny)(x ² − µ ² ) x ² − µ ² − a ² _r (1 − y ² )

+2(n + a r ) (19)

s

) a . s כ ` ¦ r ½ ¨+ þ A ý a³ ð> (r, θ, ϕ) Ð ³ ð & ³ m É r | 9 | ¾ Ó, n É r Taub-NUT B > h © Ã º, a ^r É r r B > h © Ã º

÷ & H Kerr-NUT K e ` ¦ · ú Ã º e . : £ ¤ y a ⁰ = −b 0 s

n = 0s ÷ &# Q Kerr ^ ¦Ï þ f . Ë s ) a . s ^ ¦Ï þ f . Ë K H B

>

h © Ã º[ þ t _ ' a > \ _ K & ñ ½ © | t ¨ î s > r F ½ + É ¸

|

Â Ò1 p xd m ² ≥ a ² _r s 1 l x& h Ü ¼ Ð ë ß 7 á ¤H d` ¦ Å Ò3 l q .

IV. ~ ¾ Ì ¦ R ÷ u §q ÿ

e

_ _ D + 1 " é ¶ r / B N ç ß \ " f D − 1 > h_ ~ ´a A@ /g A` ¦

° ú

H Ã » ~ ½ Ó& ñ d _ & ñ & h K H D − 2 > h_ { 9 ( J $

[ > Ð t & ñ ) a [12]. : £ ¤ y ¨ î ¨ î ô Ç ¸ " é ¶ r / B N ç ß _ >

|

¾ ÓJ $ " f\ H ¿ º > h_ { 9 ( J $ [ > U 1 õ U ² 9 כ ¹ :

ds ² ₄₊₁ = −dt ² + e ^2U

¹

dϕ ² + e ^2U

²

dψ ²

+ 1

2pρ ² + (z + µ) ² (dρ ² + dz ² ) (20) U 1,2 = 1

2 ln pρ ² + (z + µ) ² ∓ (z + µ).

Õ

ª X < ô Ç > h_ r B > h © Ã º\ ¦ ° ú H ¸ " é ¶ K _ > | ¾ Ó J $

" f\ ¦ " é ¶» ¡ ¤ èô Ç í H " f@ / Ð ³ ð & ³ ds ² ₄₊₁ = 1

√ φ

₁

f e ^2h (dρ ² + dz ² ) + ρ ² dϕ ²

−f (dt + ω ϕ dϕ) ² + φ dψ ² (21) s

Ù ¼ Ð, ~ ½ Ó& ñ d (20)õ (21)` ¦ q § ¸ " é ¶ / B N K _

>

| ¾ ÓJ $ " f $ í ì r É r

φ vac = e ^2U

²

= (x + µ)(1 + y), f vac = p φ vac

ω ϕ,vac = 0, e ^2h

^vac

= 1 2

(x + µ)(1 + y) x + µy e

` ¦ · ú Ã º e . " f / B N K ÐÂ Ò' r K \ ¦ % 3 H Manko ~ ½ ÓZ O ` ¦ & h 6 x l 0 Aô Ç ¸ o < ÊÃ º Φ H

Φ = ln f _vac = 1

2 ln[(x + µ)(1 + y)]

) a .

î

r1 l x ~ ½ Ó& ñ d (12)_ v 9 : r Â Òì r` ¦ Ð ln φ H ¸ o < Ê Ã

ºs Ù ¼ Ð ô Ç > h_ r B > h © Ã º\ ¦ ° ú H ¸ " é ¶ ^ ¦Ï þ f . Ë K

H φ = φ vac Ü ¼ Ð Z ~` ¦ Ã º e . Õ ªo ¦ > | ¾ ÓJ $ " f $ í ì r h _ v 9 : r Â Òì r h ^(φ) \ @ /ô Ç î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r

1 ρ ∂ ρ h ^(φ) = 3

16 [(∂ ρ ln φ) ² − (∂ z ln φ) ² ] 1

ρ ∂ z h ^(φ) = 3

8 ∂ ρ ln φ ∂ z ln φ (22)

) a . s ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ r " é ¶ ý a³ ð> Ð ¨ 8 ô Ç Ê ê & h ì

r

h ^(φ) = 3

8 ln (x + µ)(1 + y)

x + µy + © Ã º (23)

\

¦ % 3 H .

s

] j î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d (12)_ \ É r Û ¼à Ô Â Òì r \ Manko ~ ½ ÓZ O

`

¦ & h 6 x . ë ß { 9 a = b = 0s f = (x − µ) r 1 + y

x + µ , ω _ϕ = 0, h ^(E) = h ⁰ s

. # l " f h ⁰ É r { 9 ( J $ [ > s Φ+ln(x−µ)/(x+µ)

â

Ä º_ > | ¾ ÓJ $ " f $ í ì r s Ù ¼ Ð ~ ½ Ó& ñ d (22)ü < Ä » ô Ç d ` ¦

&

h

ì r h ⁰ = 1

8 ln (x + µ)(1 + y) x + µy + 1

2 ln x − µ

x − µy + © Ã º (24)

\

¦ % 3 H . " f

h = h ^(φ) + h ⁰ = h 0 + 1

2 ln (x ² − µ ² )(1 + y) x ² − µ ² y ² .

õ & h Ü ¼ Ð ¸ " é ¶ r / B N ç ß _ > | ¾ ÓJ $ " f H Á ºô Ç@ /\ " f _

−(ln 2)/2 Ð × þ

ds ² ₄₊₁ = − x − µ

x + µ dt ² + x + µ 2

dx ²

x ² − µ ² + dy ² 1 − y ²

+(x + µ)(1 − y)dϕ ² + (x + µ)(1 + y)dψ ²

= −(1 − 4µ

r ² )dt ² + (1 − 4µ

r ² ) ⁻¹ dr ² + r ² dΩ ² ₃ s

) a . # l " f ½ ¨+ þ A ý a³ ð> (r, θ, ϕ, ψ) Ð ³ ð & ³ l 0 A K

ý a³ ð ¨ 8 d [13]

x = r ²

2 − µ, y = cos 2θ (25)

\

¦ s 6 x % i ¦, dΩ ² 3 = dθ ² + sin ² θ dϕ ² + cos ² θ dψ ² s

. s כ É r Ð ¸ " é ¶ \ " f ½ ¨@ /g A ^ ¦Ï þ f . Ë` ¦ ¬ ¹ H

(5)

Schwarzschild-Tangherlini K s [14]. " f " é ¶ _

â

Ä ºü < 1 l x{ 9 > a = b = 0s ½ ¨@ /g A ^ ¦Ï þ f . Ë K % 3

# Q .

r K \ ¦ % 3 l 0 AK ~ ½ Ó& ñ d (16)` ¦ & h ì r a = a ₀ r x + µ

1 + y , b = b ₀ p(x + µ)(1 + y)

x + µy (26)

\

" f ω ^ϕ _ ³ ð & ³` ¦ Ð :

ω ϕ → − 2µ (1 + a ₀ b ₀ ) ³

a 0 (1 + µa ² ₀ )(µ − 2b ² ₀ )

−b 0 (1 + a ² ₀ b ² ₀ + µa ² ₀ ) 1 − y x . s

º\ ¦ 2µa 0 /(1 + a ₀ b ₀ ) Ð × þ % i . ý a³ ð ¨ 8 d (25)\

Ø Ô (1 − y)/x → 4 sin ² θ/r ² s Ù ¼ Ð " é ¶ K _ â Ä º ü

< H Ø Ô> ¸ " é ¶ K \ " f H q 2 ¤ a 0 ü < b 0 ¸¿ º 0s

¸ " é ¶ > | ¾ ÓJ $ " f_ ϕϕ-$ í ì r` ¦ (x = µ, y = −1) H ~ ½ Ó\

"

f > h

√ 1 φ ( ρ ²

f − f ω _ϕ ² ) → − (1 + a ₀ b ₀ + µa ² ₀ ) ² (1 + a 0 b 0 ) ⁴

8µb ² ₀

x − µ + O(1)

`

¦ % 3 H . 7 £ ¤ b 0 0s m (x = µ, y = −1)\ " f

−∞ ÷ &# Q õ Ö ¦` ¦ 0 AC r v H ` / B G s Õ ª 0 Au H

~

½ Ó\ " f 0 p x ½ + É ÷ r ë ß m ¸Ø ¦ ) a : £ ¤ s & h ¸ > r F >

) a .

õ Ö ¦` ¦ ë ß 7 á ¤ 9 ¸Ø ¦ ) a : £ ¤ s & h ¸ \ O H ¸ " é ¶ ^ ¦Ï þ f

6 £ § õ ° ú s & ñ _ :

m = 4µ(1 + µa ² ₀ ), a r = 2µa 0 . (27) s

(x + µ)(1 + y) x − µ − a ² _r (1 − y)/4 x + µ + a ² _r (1 + y)/4 ω ϕ = − ma r

4 1 − y

x − µ − a ² _r (1 − y)/4 (28) e ^2h = e ^2h

⁰

(x + µ)(1 + y) x − µ − a ² _r (1 − y)/4

x ² − µ ² y ²

) a . ý a³ ð ¨ 8 d (25)\ ¦ s 6 x # ½ ¨+ þ A ý a³ ð> Ð >

|

¾ ÓJ $ " f\ ¦ ³ ð & ³ ds ² ₄₊₁ = − (1 − m

Σ )(dt − ma r sin ² θ Σ − m dϕ) ² + (1 − m

Σ ) ⁻¹ ∆ sin ² θdϕ ² (29) + Σ( dr ²

∆ + dθ ² ) + r ² cos ² θ dψ ²

s

º\ ¦ ° ú H Myers-Perry ^ ¦Ï þ f . Ë K \ @ /ô Ç > | ¾ ÓJ $ " fs [2,3]. # l " f

Σ = 2[x + µ + a ² _r

4 (1 + y)] = r ² + a ² _r cos ² θ

∆ = 2(x − µ) = r ² − 4µ.

&

á

ª Ü ¼ Ð & ñ K | 9 9 כ ¹ \ O % 3 6 £ §` ¦ l % 3 . Õ ª X < & ñ

½

Ô> ¸ " é ¶ ^ ¦Ï þ f . Ë _ â Ä º H Â Ò1 p xd m ≥ a ² _r s 1 l x& h Ü

¼ Ð % 3 # Qt t H · ú § H .

V. + s Ç Â ] Ø

e

_ _ r / B N ç ß \ " f " é ¶» ¡ ¤ è\ ¦ 0 Aô Ç { 9 ì ø Í& h / B Nd ` ¦ Ä

» ¸ô Ç Ê ê, ¸ " é ¶ r / B N ç ß _ ~ ´a A@ /g A` ¦ s 6 x #

"

é

¦ / B N K ÐÂ Ò' ½ ¨@ /g A K ü < r K \ ¦ % 3 H Manko

~

½ ÓZ O ` ¦ " é ¶ õ ¸ " é ¶ \ " f y y 7 H _ % i .

¸ " é ¶ \ " f Manko ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð % 3 # Q K H [ j > h_ 1 l q w n

Ð % 3 # Qt t · ú §6 £ §` ¦ Ð ¤ .

{ 9

° ú

H . " f : r 7 Hë H _ ~ ½ ÓZ O ` ¦ A ^µ 6= 0 Ü ¼ Ð Z ~ ¦

¿

H כ ¸ 0 p x ½ + É כ s . ¢ ¸ô Ç ¸ " é ¶ s ü @_ ¦ " é ¶ ^ ¦ Ï þ

f . Ë \ @ /K " f ¸ Ä » ô Ç ~ ½ ÓZ O ` ¦ & h 6 x ½ + É Ã º e ` ¦ כ s .

P

c p 8 ý ò k >

s

ô Ç כ e .

(6)

Y

c p w Ã U Ø ô

[1] T. S. Kaluza, Preuss. Acad. Wiss. Berlin, Phys.

Math. K 1, 966 (1921); O. Klein, Z. Phys. 37, 895 (1926); Y. M. Cho, J. Math. Phys. 16, 2029 (1975); M. B. Green and J. H. Schwarz, Phys. Lett.

B 149, 117 (1984); E. Witten, Nucl. Phys. B 443, 85 (1995); N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos and G.

Dvali, Phys. Lett. B 429, 263 (1998).

[2] R. C. Myers and M. J. Perry, Ann. Phys. 172, 304 (1986).

[3] T. Mishima and H. Iguchi, Phys. Rev. D 73, 044030 (2006).

[4] Y. M. Cho and D. H. Park, J. Math. Phys. 31, 695 (1990); D. Youm, Phys. Rep. 316, 1 (1999); R. Em- paran and H. S. Reall, Class. Quantum Grav. 23, R169 (2006); S. Giusto and A. Saxena, Class. Quan- tum Grav. 24, 4269 (2007).

[5] D. Kramer, H. Stephani, E. Herlt and M. MacCal- lum, Exact Solutions of Einstein Field Equations

(Cambridge University Press, Cambridge, England, 1980); P. Breitenlohner, D. Maison and G. Gibbons, Commun. Math. Phys. 120, 295 (1988); D. H. Park, Class. Quantum Grav. 21, 987 (2004).

[6] D. H. Park, Class. Quantum Grav. 20, 5381 (2003).

[7] D. H. Park and K. H. Lee, J. Korean Phys. Soc. 45, 1675 (2004); D. H. Park, Class. Quantum Grav. 22, 2319 (2005).

[8] D. H. Park, J. Korean Phys. Soc. 25, 153 (1992).

[9] D. H. Park, J. Korean Phys. Soc. 37, 177 (2000).

[10] P. Breitenlohner and D. Maison, Commun. Math.

Phys. 209, 785 (2000).

[11] V. S. Manko, Phy. Rev. Lett. 64, 1625 (1990); J.

Castejon-Amenedo and V. S. Manko, Phys. Rev. D 41, 2018 (1990).

[12] R. Emparan and H. S. Reall, Phys. Rev. D 65, 084025 (2002).

[13] T. Harmark, Phys. Rev. D 70, 124002 (2004).

[14] F. R. Tangherlini, Nuo. Cim. 77, 636 (1963).

10 Z 4, pp. 1119∼1124

10 Z 4, pp. 1119∼1124

;

cÂ \ ¥­ ² 4 Ñ ÷ ~ ¾ Ì ¦ R > H ¹ Å ÷ u §q  ÿ





î m  Ú



© t @ / < Æ § (  É Ó'    Ó ü t o  < Æõ , " é ¶ Å Ò 220-702 (2010¸  8 Z 4 3{ 9  ~ Ã Î6 £ §, 2010¸  10 Z 4 17{ 9  > F  S X & ñ )

~

´a A@ /g A`  ¦ :  x ô  Ç " é ¶» ¡ ¤  è ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð  ¸ " é ¶ r  ^  ¦Ï þ f . Ë s  \  É r Û ¼à Ô> ü <  ' aº  e  6 £ §`  ¦  Ð% i  . Õ ª o

 ¦   / B N K  ÐÂ Ò'  D h Ðî  r K \  ¦ % 3   H Manko ~ ½ ÓZ O `  ¦  7 H _  % i  ¦, s  ~ ½ ÓZ O `  ¦ s 6 x #  ô  Ç > h_  r  B

> h © Ã º\  ¦ ° ú   H ¢ - a  K \  ¦ ½ ¨Ù þ ¡ . s  ¢ - a  K   H [ j > h_  1 l qw n & h   B > h © Ã º\  ¦ ° ú t ë ß   ¸Ø  ¦ ) a : £ ¤ s $ í

` 

¦ C ] j   Myers-Perry ^  ¦Ï þ f . Ë s  H  d`  ¦  Ð% i  .

Ù þ

d  # Q:  ¦ " é ¶ ^  ¦Ï þ f . Ë, " é ¶» ¡ ¤  è, \  É r Û ¼à Ô> 

Ernst Systems and Five-Dimensional Rotating Black Holes

D. H. Park ∗

Department of Computer and Electronic Physics, Sangji University, Wonju 220-702 (Received 3 August, 2010 : accepted 17 October, 2010)

PACS numbers: 04.50.+h, 04.20.Jb, 04.70.Bw

Keywords: Higher-dimensional black holes, Dimensional reduction, Ernst systems

I. " eÂ ] Ø



¦ " é ¶ :  x{ 9  ©  s  : r s    í  H s  : r, M s  : r, Ú ÔA   Ä

ºÅ Ò 1 p x É r  ¸¿ º r / B N ç ß s    " é ¶ s  © e  `  ¦ Å Ò © ô  Ç  [1].

Õ

ª\       " é ¶    Ã »   s  : r`  ¦  ¦ " é ¶ Ü ¼ Ð S X   © 

#  D h Ðî  r K \  ¦ % 3   H   \ O s  þ j   H ´ ú §s  s À Ò# Qt  ¦ e  

 [2–4]. Õ ª  X < Ä ºo    d    H " é ¶ É r " î Ñ þ y    " é ¶ s

Ù ¼ Ð  ¦ " é ¶ K \  ¦   " é ¶ _  { 9  © \ " f    Ð  H  כ s 

 9

כ ¹  .  : r  7 Hë  H \ " f  H  ¸ " é ¶    Ã »   s  : r _  r



 ^  ¦Ï þ f . Ë s  # Qb  G>    " é ¶ Û ¼º ú  - 7 ' -J $ " f s  : r _  ¢ - a



 K ü <     ÷ &  H \  ¦  7 H _ ½ + É  כ s  .

E-mail: [email protected]



 " é ¶ r / B N ç ß _  Û ¼º ú  - 7 ' -J $ " f s  : r`  ¦  _  ~ ´ a A 7 '  Ð " é ¶ » ¡ ¤  è   q   + þ A r Õ ª  © õ   ©  ñ  6 x 



 H    " é ¶    Ã »   ×  æ§ 4 s  : r s   ) a  [5,6]. s  M :_  q 



 + þ A r Õ ª  © `  ¦ ý a³ ð>  Ð   H Æ Ò © / B N ç ß `  ¦ ( J $ [ >  / B N ç

ß s   ¦ ô  Ç . s  Qô  Ç ( J $ [ >  / B N ç ß s  ô  Ç > h s  © _  s  

"

é

¶ { 9 & ñ / B GÒ  ¦  `  ¦  í < Ê(embedding)   Õ ªü <  ' aº   ) a Û ¼ º

ú

 - 7 ' -J $ " f s  : r _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d   É r \  É r Û ¼à Ô ( J $ [ >  E  Ð ³ ð & ³ ) a \  É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d 

∇ 2 E = 2

E + ¯ E (∂ i E) 2 (1)

`

 ¦  í < Ê  ¦, s  M :ë  H \  Õ ª Qô  Ç > \  ¦ \  É r Û ¼à Ô>   ¦ Â Ò

 É r  [7].

\

 É r Û ¼à Ô> \ " f ( J $ [ >  / B N ç ß \   í < Ê ) a s  " é ¶ { 9 & ñ /

B

GÒ  ¦   É r Ä ºÛ ¼ / B GÒ  ¦ k  Ð @ /³ ð  ) a  [7].   " é ¶   

-1119-

Ã

»   s  : r _  & ñ  © (stationary)  © I   H Ä ºÛ ¼ / B GÒ  ¦ s  k = −2  \  É r Û ¼à Ô> \  K { ©  < Ê`  ¦ l % 3   [6].

II. Ì ¦ R  ×} ºÑ ÷ ; cÂ \ ¥­ ² 4 



 $  (D + 1) " é ¶ \ " f D " é ¶ Ü ¼ Ð_  " é ¶ » ¡ ¤  è\  ¦ 0 A ô

 Ç { 9 ì ø Í& h   / B Nd  `  ¦ % 3 # Q  Ð . e  _ _  (D + 1) " é ¶ \ 

"

f > | ¾ ÓJ $ " f\  ¦

ds 2 D+1 = φ −

g µν dx µ dx ν + φ(dψ + A µ dx µ ) 2 (2) Ü

¼ Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e   . # l " f  É r ψ- ý a³ ð Ð ³ ðl   ) a ~ ½ Ó ¾ Ó s

 r ç ß g 1 J   â Ä º  = −1s  ¦ / B N ç ß g 1 J   â Ä º  = +1s 

. ý a³ ð>  (x µ , ψ)  ÐÂ Ò'  & ñ _   ) a l ï  r 7 '  (∂ µ , ∂ ψ )  Ð 



 H

∂ ˆ µ = ∂ µ − A µ ∂ ψ , ∂ ˆ ψ = ∂ ψ (3)



Ð & ñ _   ) a l ï  r 7 '  ( ˆ ∂ µ , ˆ ∂ ψ )\  ¦ × þ    > | ¾ ÓJ $ " f (2)  H ^  ¦

!

3 é ß 0 A Ð @ /y    + þ AI   ) a  [8]. s  l ï  r 7 '   H " f Ð

cÂ \ ¥ ² 4 Ñ ÷ ~ ¾ Ì ¦ R > H ¹ Å ÷ u §q ÿ

î m Ú

© t @ / < Æ § ( É Ó' Ó ü t o < Æõ , " é ¶ Å Ò 220-702 (2010¸ 8 Z 4 3{ 9 ~ Ã Î6 £ §, 2010¸ 10 Z 4 17{ 9 > F S X & ñ )

´a A@ /g A` ¦ : x ô Ç " é ¶» ¡ ¤ è ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð ¸ " é ¶ r ^ ¦Ï þ f . Ë s \ É r Û ¼à Ô> ü < ' aº e 6 £ §` ¦ Ð% i . Õ ª o

¦ / B N K ÐÂ Ò' D h Ðî r K \ ¦ % 3 H Manko ~ ½ ÓZ O ` ¦ 7 H _ % i ¦, s ~ ½ ÓZ O ` ¦ s 6 x # ô Ç > h_ r B

> h © Ã º\ ¦ ° ú H ¢ - a K \ ¦ ½ ¨Ù þ ¡ . s ¢ - a K H [ j > h_ 1 l qw n & h B > h © Ã º\ ¦ ° ú t ë ß ¸Ø ¦ ) a : £ ¤ s $ í

`

¦ C ] j Myers-Perry ^ ¦Ï þ f . Ë s H d` ¦ Ð% i .

d # Q: ¦ " é ¶ ^ ¦Ï þ f . Ë, " é ¶» ¡ ¤ è, \ É r Û ¼à Ô>

D. H. Park ^∗

¦ " é ¶ : x{ 9 © s : r s í H s : r, M s : r, Ú ÔA Ä

ºÅ Ò 1 p x É r ¸¿ º r / B N ç ß s " é ¶ s © e ` ¦ Å Ò © ô Ç [1].

ª\ " é ¶ Ã » s : r` ¦ ¦ " é ¶ Ü ¼ Ð S X ©

# D h Ðî r K \ ¦ % 3 H \ O s þ j H ´ ú §s s À Ò# Qt ¦ e

[2–4]. Õ ª X < Ä ºo d H " é ¶ É r " î Ñ þ y " é ¶ s

Ù ¼ Ð ¦ " é ¶ K \ ¦ " é ¶ _ { 9 © \ " f Ð H כ s

9

כ ¹ . : r 7 Hë H \ " f H ¸ " é ¶ Ã » s : r _ r

^ ¦Ï þ f . Ë s # Qb G> " é ¶ Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s : r _ ¢ - a

K ü < ÷ & H \ ¦ 7 H _ ½ + É כ s .

" é ¶ r / B N ç ß _ Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s : r` ¦ _ ~ ´ a A 7 ' Ð " é ¶ » ¡ ¤ è q + þ A r Õ ª © õ © ñ 6 x

H " é ¶ Ã » × æ§ 4 s : r s ) a [5,6]. s M :_ q

+ þ A r Õ ª © ` ¦ ý a³ ð> Ð H Æ Ò © / B N ç ß ` ¦ ( J $ [ > / B N ç

ß s ¦ ô Ç . s Qô Ç ( J $ [ > / B N ç ß s ô Ç > h s © _ s

¶ { 9 & ñ / B GÒ ¦ ` ¦ í < Ê(embedding) Õ ªü < ' aº ) a Û ¼ º

- 7 ' -J $ " f s : r _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r \ É r Û ¼à Ô ( J $ [ > E Ð ³ ð & ³ ) a \ É r Û ¼à Ô ~ ½ Ó& ñ d

∇ ² E = 2

E + ¯ E (∂ i E) ² (1)

¦ í < Ê ¦, s M :ë H \ Õ ª Qô Ç > \ ¦ \ É r Û ¼à Ô> ¦ Â Ò

É r [7].

É r Û ¼à Ô> \ " f ( J $ [ > / B N ç ß \ í < Ê ) a s " é ¶ { 9 & ñ /

GÒ ¦ É r Ä ºÛ ¼ / B GÒ ¦ k Ð @ /³ ð ) a [7]. " é ¶

» s : r _ & ñ © (stationary) © I H Ä ºÛ ¼ / B GÒ ¦ s k = −2 \ É r Û ¼à Ô> \ K { © < Ê` ¦ l % 3 [6].

II. Ì ¦ R ×} ºÑ ÷ ; cÂ \ ¥ ² 4

$ (D + 1) " é ¶ \ " f D " é ¶ Ü ¼ Ð_ " é ¶ » ¡ ¤ è\ ¦ 0 A ô

Ç { 9 ì ø Í& h / B Nd ` ¦ % 3 # Q Ð . e _ _ (D + 1) " é ¶ \

f > | ¾ ÓJ $ " f\ ¦

ds ² _D+1 = φ ⁻

g µν dx ^µ dx ^ν + φ(dψ + A µ dx ^µ ) ² (2) Ü

¼ Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e . # l " f É r ψ- ý a³ ð Ð ³ ðl ) a ~ ½ Ó ¾ Ó s

r ç ß g 1 J â Ä º = −1s ¦ / B N ç ß g 1 J â Ä º = +1s

. ý a³ ð> (x ^µ , ψ) ÐÂ Ò' & ñ _ ) a l ï r 7 ' (∂ ^µ , ∂ ψ ) Ð

H

∂ ˆ _µ = ∂ _µ − A _µ ∂ _ψ , ∂ ˆ _ψ = ∂ _ψ (3)

Ð & ñ _ ) a l ï r 7 ' ( ˆ ∂ _µ , ˆ ∂ _ψ )\ ¦ × þ > | ¾ ÓJ $ " f (2) H ^ ¦

3 é ß 0 A Ð @ /y + þ AI ) a [8]. s l ï r 7 ' H " f Ð

§ ¨ 8 ÷ &t · ú §6 £ §` ¦ Å Ò3 l q :

Qô Ç q § ¨ 8 l ï r 7 ' \ ¦ × þ # (D+1) " é ¶ _ Ã »

- n =! Qà Ô 6 x | ¾ Ó I ^D+1 ` ¦ ³ ð & ³ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d \ % ò

¾ Ó` ¦ Å Òt · ú § H ½ Ó[ þ t` ¦ Á ºr ½ + É M : I D+1 = 1

d ^D x dψ √

D − 2 (∂ µ ln φ) ² (5)

−

F _µν ² + φ ⁻

(K _µν ² − K ² ) s

) a . # l " f R D H 1 p x y ¨ 8 ) a D " é ¶ > | ¾ ÓJ $ " f g µν \ @ /ô Ç Û ¼º ú / B GÒ ¦ s ¦ K ^µν = ∂ ψ (φ ⁻

g ^µν K _µν s .

½ Ó& ñ d (5)\ e H 6 x | ¾ Ó I D+1 É r { 9 ì ø Í& h ³ ð & ³s .

] j (D + 1) " é ¶ _ r / B N ç ß s ~ ´a A 7 ' ∂ ^ψ \ ¦ ° ú H ¦

& ñ : L ∂

g _AB = 0. Õ ª Q B _µ = K _µν = 0 s Ù ¼ Ð 6

x | ¾ Ó I D+1 É r I _D+1 → 1

Z d ^D x √

D − 2 (∂ µ ln φ) ² −

F _µν ² (6) Ü

¼ Ð " é ¶» ¡ ¤ è ) a .

¸ " é ¶ \ " f " é ¶ Ü ¼ Ð_ " é ¶» ¡ ¤ è\ H / B N ç ß g 1 J ~ ´a A 7 ' ∂ ^ψ , " é ¶ \ " f " é ¶ Ü ¼ Ð_ " é ¶» ¡ ¤ è\ H r ç ß g

1 J ~ ´a A 7 ' ∂ ^t \ ¦ í H & h Ü ¼ Ð & h 6 x # ¸ " é ¶ Ã »

s : r` ¦ " é ¶ Ü ¼ Ð " é ¶» ¡ ¤ è y y _ > | ¾ ÓJ $ " f

H

ds ² ₄₊₁ = 1

√ φ ds ² ₃₊₁ + φ(dψ + A _µ dx ^µ ) ² ds ² ₃₊₁ = 1

f γ ij dx ⁱ dx ^j − f (dt + ω i dx ⁱ ) ² , (7)

Õ ª| ½ Ót î ß É r

2 (∂ i ln f ) ² + f ²

4 Π ² _ij − 3

8 (∂ i ln φ) ²

4 φ ^3/2 [− 2

f (∂ i A t ) ² + f F _ij ² ] (8) s

) a . # l " f