Scaling Arguments and Scalar Black Holes

Scaling Arguments and Scalar Black Holes

D. H. Park ^∗

Department of Computer and Electronic Physics, Sangji University, Wonju 220-702, Korea (Received 22 May 2013 : revised 17 June 2013 : accepted 9 August 2013)

We obtain an existence condition and a stability condition for static, spherically-symmetric black holes in asymptotically-flat spacetime by using scaling arguments. The formula is then applied to the scalar field model with an asymmetric parameter of the scalar potential. We numerically find the solutions of the equation of motion for black holes that are asymptotically flat and have a regular event horizon. We show that the black hole solutions satisfy the existence condition.

Also, we show that the possibility of having stable black holes under radial perturbations in the asymptotically-flat spacetime exists.

PACS numbers: 04.20.-q, 04.40.-b, 04.70.Bw

Keywords: Scaling arguments, Scalar black holes, Asymptotically flat spacetime

­

Ž> ø m Ç S Ë À X Ø0 n ÉÊ Ý ­ Ž³  o  ÷ u §q œ ÿ …

ƒ

‘

šî m ‡ Ú ^∗



© œt @ /† < Ɠ § ( Ž É Ó' „   Ó ü t o † < Æõ , " é ¶ Å Ò 220-702

(2013¸   5 Z 4 22{ 9  ~ à Î6 £ §, 2013¸   6 Z 4 17{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2013¸   8 Z 4 9{ 9  > F  S X ‰& ñ )

&

h

  H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç r / B N ç ß –\ " f Û ¼H { 9 a A  7 HZ O `  ¦ s 6   x # Œ ^  ¦Ï þ ˜f . Ë _  ” > r F  › ¸| õ  î ß –& ñ › ¸| \  @ /ô  Ç { 9

ì ø Í / B Nd ” `  ¦ Ä »• ¸ % i “ ¦, q @ /g A ( J $ ™[ > `  ¦ ° ú   H Û ¼º ú ˜  © œ\  _ ô  Ç ^  ¦Ï þ ˜f . Ë \  & h 6   x % i  .  |  t ¨ î €  

\

" f r / B N ç ß –õ  Û ¼º ú ˜  © œs  : £ ¤ s  t  · ú §   H  z  ´õ  & h   H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î    H  z  ´`  ¦  â > › ¸| Ü ¼– Ð 

#

Œ % 3 # Q”   î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” _  à ºu K  ” > r F  › ¸| `  ¦ ë ß –7 á ¤ † < Ê`  ¦ S X ‰ “   % i  . Õ ªo “ ¦ Û ¼º ú ˜  ( J $ ™[ > _  + þ AI  ü

<  |  t ¨ î €  _  ß ¼l \  ¦   & ñ   H B > h  à º[ þ t _  : £ ¤& ñ # 3 0 Aî ß –\ " f ì ø Í â ~ ½ ӆ ¾ Ó_  [ O 1 l x \  @ /K  î ß –& ñ ô  Ç Û

¼º ú ˜  ^  ¦Ï þ ˜f . Ë s  ” > r F ½ + É Ã º e ” 6 £ §`  ¦ ˜ Ð% i  .

PACS numbers: 04.20.-q, 04.40.-b, 04.70.Bw

Keywords: Û ¼H { 9 a A  7 HZ O , Û ¼º ú ˜  ^  ¦Ï þ ˜f . Ë, & h   H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç r / B N ç ß –

I. " e  ] Ø

Û

¼H { 9 a A  7 HZ O \  _  €   6 £ § _  ° ú כ`  ¦ ° ú   H Ä ºÅ Ò © œÃ º  H



^ ‰ ×  æ§ 4 >  (self-gravitating system)_  î ß –& ñ $ í `  ¦ † ½ Ó © œ y ©

œ or v   H % i ½ + É`  ¦ ô  Ç  [1].  z  ´ & h   H& h Ü ¼– Ð ì ø Í × ¼t ' 

“

  r / B N ç ß –\ " f  “  à » “  -€ ª œ-x 9 Û ¼ s  : r _  _ " t o — : r õ  ^  ¦

∗

E-mail: [email protected]

Ï þ

˜f . ˓ É r ì ø Í â ~ ½ ӆ ¾ Ó_  [ O 1 l x \  @ /K " f î ß –& ñ ½ + É Ã º e ” 6 £ § s  ¸ ú ˜

· ú

˜ 94 R e ”   [2–5].

³

ðï  r + þ AI _  Û ¼º ú ˜  © œÜ ¼– Ð “  ô  Ç  ^ ‰ ×  æ§ 4 > \ " f  H _ " t o

— : r _   â Ä º 6 £ § _  Ä ºÅ Ò © œÃ º ” > r F  # ŒÂ Òü < Á º › ' a >     ï î

ß –& ñ ½ + É Ã º \ O 6 £ § s  7 £ x" î ÷ &% 3   [1,6]. Õ ª  X < ^  ¦Ï þ ˜f . Ë \  @ / K

" f  H ‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [1,7]\ " f 6 £ § _  Ä ºÅ Ò © œÃ º ” > r F    H  â Ä

º  H î ß –& ñ ½ + É Ã º e ” t ë ß –, & h   H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç r / B N ç ß –\ " f



 H î ß –& ñ ½ + É Ã º \ O  “ ¦    : r t % 3  . Õ ª Q
 s   z  ´“ É r  

867

|

 t ¨ î €  _  ì ø Í â r _h \  ¦ 1 – Ð & ñ % i  
, Û ¼H { 9 a A   

¨ 8

Š / B Nd ” `  ¦

φ λ (ρ) = φ(ρ ^λ ), ρ = r r h

(1)

–

Ð & ñ # Œ" f ρ h   1 l x& h Ü ¼– Ð 1s  ÷ &  H  â Ä ºë ß –_     : r s 

% 3  .

‘

: r  7 Hë  H \ " f  H & h   H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç r / B N ç ß –\ " f• ¸  |  t

¨ î €  _  ì ø Í â ° ú כ\     Û ¼º ú ˜  © œÜ ¼– Ð ½ ¨$ í  ) a ^  ¦Ï þ ˜f . Ë s  î

ß –& ñ ½ + É Ã º e ” 6 £ §`  ¦ ˜ Ð{ 9   כ s  . s \  ¦ 0 AK  Û ¼H { 9 a A   

¨ 8

Š / B Nd ” `  ¦ ~ ½ Ó& ñ d ”  (1)õ  ² ú ˜o  ~ ½ Ó& ñ d ”  (10)Ü ¼– Ð & ñ % i  .

Õ

ªo “ ¦ III] X \ " f  H & h   H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç   " é ¶ r / B N ç ß –\ 

"

f ^  ¦Ï þ ˜f . Ë _  î ß –& ñ $ í `  ¦ ó ø Í& ñ ½ + É Ã º e ”   H { 9 ì ø Í / B Nd ” `  ¦ Ä »• ¸

½

+ É  כ s “ ¦, IV] X \ " f  H q @ /g A ( J $ ™[ > `  ¦ ° ú   H Û ¼º ú ˜  ^  ¦ Ï þ

˜f . Ë \  & h 6   x ½ + É  כ s  .

II.  Œ] k ù 6 È S Ë ÷ u §q œ ÿ … 8 ý ; c .U  ƒ »”  ô

&

h

  H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î “ ¦ ½ ¨+ þ A @ /g A`  ¦ ° ú   H   " é ¶ r / B N ç

ß –\ " f  ^ ‰ ×  æ§ 4 > _  \  -t  ³ ð‰ & ³`  ¦ % 3   H õ & ñ `  ¦ כ ¹€  •

 .

Ó

ü t| 9  © œ_   Õ ª| ½ Ót î ß – L ^M s   6 £ § + þ AI \  ¦ ° ú   H  “ ¦ 

&

ñ ô  Ç  [8–10]:

L M = √

−g [−N K − V ]. (2)

#

Œl " f K  H Ó ü t| 9  © œ`  ¦ ì ø Í â ý a³ ð– Ð p ì  r ô  Ç ³ ð‰ & ³_  ] jY  L s

 Ÿ í† < ʝ ) a î  r1 l x † < Æ& h “   † ½ Ós “ ¦, V   H Ó ü t| 9  © œ\  @ /ô  Ç p ì  r

³

ð‰ & ³s  \ O   H í  H à ºô  Ç ( J $ ™[ >  † ½ Ós  .



 " é ¶ r / B N ç ß –\ " f & ñ & h s “ ¦ ½ ¨+ þ A @ /g A`  ¦ ° ú   H > | ¾ Ó J

$ ™" f  H † ½ Ó © œ

ds ² = −e ^−2δ(r) N (r)dt ² + dr ²

N (r) + r ² dΩ ² (3) Ü

¼– Ð Z  ~`  ¦ à º e ”  . s  Qô  Ç > | ¾ Ó J $ ™" f_  ³ ð‰ & ³`  ¦ s 6   x 

#

Œ  “  à » “  - n =! Qà Ô  Õ ª| ½ Ót î ß –õ  Ó ü t| 9  © œ  Õ ª| ½ Ót î ß –

`

 ¦ " é ¶» ¡ ¤ ™ è # Œ % 3 # Q”   Ä »´ ò  Õ ª| ½ Ót î ß –“ É r L ef f = 4π

κα e ^−δ m ⁰ − α r ² {N (r)K + U }  (4) U = V − V (∞), α = 8πG

κ ² s

  [1,6]. # Œl " f κ  H › ' aº     à º[ þ t`  ¦ Á º " é ¶ Ü ¼– Ð ë ß –[ þ t l

 0 A # Œ

κr → r, κm → m (5) κ ⁻⁴ K → K, κ ⁻⁴ V → V

–

Ð   ¨ 8 Š ½ + É M : • ¸{ 9  ) a, ì ø Í â ý a³ ð r_  é ß –0 A\  ¦ ° ú   H  © œÃ ºs 



. Õ ªo “ ¦ N(r)“ É r | 9 | ¾ Ó † < Êà º m(r)`  ¦ • ¸{ 9  # Œ

N (r) = 1 − m(r)

r (6)

–

Ð Z  ~ € Œ ¤ . Ä »´ ò ( J $ ™[ >  U _  Á ºô  Ç@ /\ " f_  ° ú כ“ É r & ñ _ \  _

K  † ½ Ó © œ U(∞) = 0e ” `  ¦ l % 3   .

Ä

»´ ò  Õ ª| ½ Ót î ß – (4)\  ¦ m(r) õ  δ(r)– Ð y Œ •y Œ •   ì  r`  ¦ 2 [

# Œ % 3 # Qt   H  “  à » “   ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r

δ ⁰ (r) = −α rK, m ⁰ (r) = α r ² [N (r)K + U ] (7) s

 . s  כ [ þ t`  ¦  |  t ¨ î €  _  ì ø Í â r h \ " f Ò'  & h ì  r 

€

 

δ(r) = δ(r _h ) − α Z r

r

_h

d˜ r ˜ rK (8)

m(r) = r h + α e ^δ(r) Z r

r

_h

d˜ r ˜ r ²

× h

e ^{−δ(˜ r)} (1 − r h

˜

r )K + U i

\

 ¦ % 3   H  . & ñ & h  r / B N ç ß –\ " f_  r ç ß – ý a³ ð\  @ /ô  Ç @ /g A`  ¦ s

6   x €   † ½ Ó © œ δ(r ^h ) = 0 Ü ¼– Ð ‚  × þ ˜½ + É Ã º e ”  . Û ¼º ú ˜  © œ

`

 ¦ Ÿ í† < Êô  Ç @ / Òì  r Ó ü t| 9  © œ_  K ° ú כ“ É r 6 £ § s  | ¨ c à º \ O Ü ¼Ù ¼

–

Ð, δ(r)“ É r r h \ " f_  δ(r h ) – РÒ'  Á ºô  Ç@ /\ " f_  δ(∞)  t

 é ß –í  H y Œ ™™ è   H † < Êà ºs  .

&

h

  H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç r / B N ç ß –\ " f m(∞)  H Ä »ô  ÇK   

“

¦, ^  ¦Ï þ ˜f . Ë _  ADM \  -t  M“ É r  – Ð m(∞)\  q Y Vô  Ç  [11].   " f ~ ½ Ó& ñ d ”  (8)`  ¦ s 6   x €   ^  ¦Ï þ ˜f . Ë _  8 ú x \  -t 



 H

M = 4π

κα e ^−δ(∞) m(∞) (9)

= 4π κ

Z ∞ r

_h

dr r ² e ^−∆(r) (1 − r _h

r )K + U 

–

Ð ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ”  . # Œl " f

∆(r) = α Z ∞

r

d˜ r ˜ rK = δ(r) − δ(∞).

ô

 Ǽ # ,  “  à » “   ~ ½ Ó& ñ d ”  (7)`  ¦ Ä »´ ò  Õ ª| ½ Ót î ß – (4)\ 

@

/{ 9  “ ¦ ¿ º  â > & h  r = r _h ü < r = ∞  s \ " f & h ì  r ô  Ç Ä »

´

ò  Œ •6   x | ¾ Ó I ^{ef f}   H î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” \  % ò † ¾ Ó`  ¦ Å Òt  · ú §  H „  ^ ‰

•

¸† < Êà º\  ¦ Á ºr Ù þ ¡`  ¦ M : I ef f = −M s   ) a  . ~ ½ Ó& ñ d ”  (9)\ 

"

f ³ ð‰ & ³ ) a 8 ú x \  -t  M“ É r Ó ü t| 9  © œ\ ë ß – _ ” > r   H # 3 † < Êà º e ”

`  ¦ Å Ò3 l q  .   " f Ó ü t| 9  © œ\  @ /ô  Ç î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r 8 ú x

\

 -t  M_    ì  r`  ¦ : Ÿ x K " f % 3 `  ¦ à º e ”  .

III. ÷ u §q œ ÿ … 8 ý Ç X Ø< 0  ºü g ÅÊ Ý Ž ˜ mX N Ë  ºü g Å

s

 ] X \ " f  H  Õ ª| ½ Ót î ß –s  ~ ½ Ó& ñ d ”  (2) + þ AI – Ð ³ ð‰ & ³÷ &



 H { 9 ì ø Í& h “   Ó ü t| 9  © œ\  @ /ô  Ç ^  ¦Ï þ ˜f . Ë _  ” > r F  › ¸| õ  î ß –& ñ

›

¸| `  ¦ Û ¼H { 9 a A  7 HZ O `  ¦ s 6   x # Œ ½ ¨½ + É  כ s  .

Ó

ü t| 9  © œ`  ¦ @ /³ ð   H l   ñ– Ð φ(r)`  ¦  6   x €   B > h  à º λ \  @ /ô  Ç Ó ü t| 9  © œ_  Û ¼H { 9 a A   ¨ 8 Š“ É r ^  ¦Ï þ ˜f . Ë _   â Ä º

φ λ (r) = φ(r λ ), r λ = r h + λ(r − r h ) (10)

–

Ð ³ ðr ½ + É Ã º e ”   [12]. # Œl " f φ λ=1 (r)“ É r Ó ü t| 9  © œ î  r1 l x

~

½ Ó& ñ d ” _  ^  ¦Ï þ ˜f . Ë K \  K { © œô  Ç . 8 ú x \  -t  (9)_  & h ì  r

ô  Çõ   © œô  Ǔ   r = r _h ü < r = ∞  H Û ¼H { 9    ¨ 8 Š (10) \  @ / K

" f “ ¦& ñ & h [ þ t s  .

Ó

ü t| 9  © œ_  î  r1 l x † < Æ& h “   † ½ Ó Kü < ( J $ ™[ >  † ½ Ó U y Œ •y Œ •   6

£

§ + þ AI \  ¦ ° ú   H  “ ¦ & ñ  :

K = X

j

K j = X

j

k j (φ)  dφ j

dr

 ² r ^p

^j

U = X

j

U j = X

j

u j (φ)r ^q

^j

. (11)

#

Œl " f p j ü < q j   H j  P : Ó ü t| 9  © œ_  Û ¼H { 9 a A   ¨ 8 Š \  @ /ô  Ç :

£ ¤$ í `  ¦   & ñ   H  © œÃ º[ þ t s  . Ó ü t| 9  © œ\  @ /ô  Ç ³ ð‰ & ³ (11)`  ¦

^

 ¦Ï þ ˜f . Ë _  8 ú x \  -t  (9)\  @ /{ 9  €   M λ = M h + 4π

κ Z ∞

r

h

dr λ

X

j

r ² e ^−∆

^λ

^(r) h

u j (φ λ ) 1 λ r ^q

^j

+ k _j (φ _λ )  dφ _j,λ

dr λ

 ²  1 − r _h

r

 λr ^p

^j

i (12)

\

 ¦ % 3   H  . # Œl " f

∆ λ (r) = α Z ∞

r

d˜ r λ

X

j

k j (φ λ )  dφ j,λ

d˜ r _λ

 2

λ˜ r ^1+p

^j

.

Ó

ü t| 9  © œ_  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r 8 ú x \  -t  (9)_    ì  r Ü ¼– ÐÂ Ò '

 % 3 # Qt Ù ¼– Ð î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” _  K  φ ^λ=1 (r) s  ” > r F   9€   dM _λ /dλ| _λ=1 = 0`  ¦ ë ß –7 á ¤ K   ô  Ç .   " f ^  ¦Ï þ ˜f . Ë K _ 

”

> r F  › ¸| “ É r Z ∞

r

h

dr r ² e ^−∆(r) X

j

h

µ j K j + ν j U j

i

= 0 (13)

s

 . # Œl " f

µ _j = ξ(4, p _j ) − r _h

r ξ(3, p _j ), ν _j = 2 + ξ(4, q _j ) θ 1 (r) = α

Z ∞ r

d˜ r ˜ r X

j

h

1 − (1 + p j )(1 − r h

˜ r ) i

K j

ξ(n, p) ≡ −1 + (n − 2 + p)(1 − r _h

r ) + θ ₁ (r).

î

 r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” _  K  φ λ=1 (r)  C 0 A / B N ç ß –\ " f þ j™ è \  - t

  © œI \  K { © œ €   Õ ª K   H [ O 1 l x \  @ /K  î ß –& ñ ½ + É  כ s 



.   " f ^  ¦Ï þ ˜f . Ë s  ì ø Í â ~ ½ ӆ ¾ Ó_  [ O 1 l x \  @ /K  î ß –& ñ  9

€

  d ² M _λ /dλ ² 

 _λ=1 ≥ 0`  ¦ ë ß –7 á ¤ K   ô  Ç . 7 £ ¤, ^  ¦Ï þ ˜f . Ë K  _

 î ß –& ñ › ¸| “ É r Z ∞

r

_h

dr r ² e ^−∆(r) X

j

h

A j K j + B j U j

i ≥ 0 (14)

s

 . # Œl " f

A _j = S(4, p _j ) − r _h

r S(3, p _j ) B _j = 2 + 4(2 + q _j )(1 − r h

r ) + 4θ ₁ (r) + S(4, q _j ) θ 2 (r) = α

Z ∞ r

d˜ r ˜ r X

j

p j (1 + p j )(1 − r _h

˜ r ) ² K j

S(n, p) ≡(n − 3 + p)(n − 2 + p)(1 − r h

r ) ² + θ ₁ ² (r) − θ ₂ (r) + 2θ 1 (r)[−1 + (n − 2 + p)(1 − r h

r )].

IV. ­ Ž³  o  ÷ u §q œ ÿ … 8 ý Ž ˜ mX N ËV R Ë

s

 ] X \ " f  H Ó ü t| 9  © œs  ³ ðï  r Û ¼º ú ˜  © œs “ ¦ q @ /g A ( J $ ™ [ >

`  ¦ ° ú   H Û ¼º ú ˜  ^  ¦Ï þ ˜f . Ë _  î ß –& ñ $ í `  ¦ ” > r F  › ¸|  (13)õ  î

ß –& ñ › ¸|  (14)\  ¦ & h 6   x # Œ  7 H _ ½ + É  כ s  .

³

ðï  r Û ¼º ú ˜  © œ_   Õ ª| ½ Ót î ß –“ É r L M = √

−g[− 1

2 (∂ µ φ) ² − V (φ)] (15) s

Ù ¼– Ð k(φ) = 1/2, p = q = 0\  K { © œô  Ç .   " f ” > r F 

›

¸|  (13)“ É r Z ∞

r

_h

dr r ² e ^−∆(r) h µ φ ⁰²

2 + νU i

= 0 (16) s

  ) a  . # Œl " f

µ = (1 − r h

r )(1 − r h

r + θ 1 ) ≥ 0 ν = 3 − 2r h

r + θ 1 ≥ 0 θ ₁ (r) = αr _h

Z ∞ r

d˜ r φ ⁰² 2 .

>

à º µü < ν — ¸¿ º € ª œÃ ºs Ù ¼– Ð, U(φ) ≥ 0s €   ” > r F  › ¸

|

 (16)“ É r " î Ñ þ ˜y  $ í w n ½ + É Ã º \ O  .   " f ³ ðï  r Û ¼º ú ˜ 



© œ — ¸4 S q_  ^  ¦Ï þ ˜f . Ë s  ” > r F   9€   ( J $ ™[ >  V (φ) Á ºô  Ç@ /

\

" f þ j™ è° ú כs  ÷ &" f  H î ß –  ) a   [1,13–15]. s   z  ´“ É r j Ë ²Û ¼



© œõ  ° ú  “ É r @ /g A ( J $ ™[ > `  ¦ ° ú   H Û ¼º ú ˜  ^  ¦Ï þ ˜f . ˓ É r ” > r F ½ + É Ã

º \ O 6 £ §`  ¦ _ p ô  Ç .

Table 1. Asymptotically flat four-dimensional scalar black holes with κ ² = G, λ = 1, v = 0.5, and r h = 1.

α

0

m(∞) LHS of Eq. (17)

0.001 1.001357 -0.000158

0.02 1.118549 -0.012380

0.06 1.638926 -0.061479

0.10 2.501216 -0.142839

0.14 3.862131 -0.280873

0.18 6.155089 -0.532859

0.22 10.688273 -1.061480

0.26 23.683683 -2.604402

0.29 85.481202 -9.959639

î ß

–& ñ › ¸|  (14)  H Z ∞

r

_h

dr r ² e ^−∆(r) h A φ ⁰²

2 + BU i

≥ 0 (17)

s

  ) a  . # Œl " f A = (1 − r h

r ) h

2(1 − r h

r )(1 + θ 1 ) + θ ² ₁ i

≥ 0 B = 2(1 − r h

r )(5 − r h

r + 2θ 1 ) + 2(1 + θ 1 ) + θ ² ₁ ≥ 0.

>

à º Aü < B — ¸¿ º € ª œÃ ºs Ù ¼– Ð, Û ¼º ú ˜  ^  ¦Ï þ ˜f . Ë s  î ß –& ñ

l  0 AK " f  H ( J $ ™[ >  U (φ)_  ° ú כs  6 £ § s  ÷ &  H % ò % i s   - Á

º & " f  H î ß –  ) a  .   " f î ß –& ñ ô  Ç Û ¼º ú ˜  ^  ¦Ï þ ˜f . Ë _  ” > r F 

#

ŒÂ ҍ  H ( J $ ™[ >  U (φ)_  + þ AI \  ß ¼>  _ ” > r † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ” 



.

‘

: r  7 Hë  H \ " f  H ( J $ ™[ > _  + þ AI \  ¦   & ñ   H  © œÃ º“   α 0 (≥ 0)`  ¦ • ¸{ 9  # Œ  6 £ § õ  ° ú  “ É r ( J $ ™[ > `  ¦ “ ¦ 9ô  Ç :

[1].

U (φ) = λ

4 φ ² [φ ² − 4

3 (1 + α 0 )vφ + 2α 0 v ² ]. (18)

#

Œl " f λü < v  H Û ¼º ú ˜  © œ — ¸4 S q_   © œÃ º[ þ t s “ ¦, φ(∞) = 0`  ¦ & ñ % i  . U(v) = −λ(1 − 2α ⁰ )v ⁴ /12 s Ù ¼– Ð ” > r F

 › ¸|  (16)`  ¦ ë ß –7 á ¤  9€   α 0 < 1/2 s # Q  ô  Ç . 7 á §



8 & ñ S X ‰ y  ´ ú ˜ €  , Û ¼º ú ˜  ^  ¦Ï þ ˜f . Ë s  ” > r F  l  0 AK " f  H U (φ) _  ° ú כs  6 £ § s  ÷ &  H % ò % i s  & h { © œy  ´ ú §   Ù ¼– Ð α 0 _   © œô  Ç° ú כs  ” > r F ô  Ç .   " f 0 ≤ α ⁰ ≤ α ^max ₀ <

1/2 s  $ í w n K   ô  Ç . (α ⁰ = 1/2 s €   U (φ)  H @ /g A (  J $

™[ > s  .) Ä

»´ ò  Õ ª| ½ Ót î ß – (4)– РÒ'  % 3   H φ(r) \  @ /ô  Ç î  r1 l x ~ ½ Ó

&

ñ d ” “ É r

φ ⁰⁰ (r) + h N ⁰ (r)

N (r) − δ(r) ⁰ + 2 r i

φ ⁰ = 1 N (r)

δU

δφ (19)

Fig. 1. (Color online) LHS of the stability condition (17) of scalar black holes with κ ² = G, λ = 1, v = 0.5, and α 0 = 0.06.

Fig. 2. (Color online) LHS of the stability condition (17) of scalar black holes with κ ² = G, λ = 1, v = 0.5, when r h = 10 (dotted), r h = 15 (dashed), and r h = 20 (solid).

s

 .  |  t ¨ î €   r h   H % ƒ\ " f î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ”  (7)õ  (9)\  ¦

„

 > h €  

m = r h + αr _h ² U h (r − r h ) + O(r − r h ) ² δ = δ h − ^α ₂ r h b ² ₁ (r − r h ) + O(r − r h ) ²

φ = b 0 + b 1 (r − r h ) + O(r − r h ) ² (20)

  ) a  . # Œl " f b 1 = (δU/δφ) h /N _h ⁰ .   " f  © œÃ º b 0 



© œp ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” _  à ºu K \  ¦ % 3   H X < € 9 כ ¹ô  Ç ‘› ¸ï  r’ B > h



© œÃ ºe ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . z  ´] j à ºu ì  r$ 3 _    õ \  ¦ ˜ Ѐ   φ(r)“ É r  |  t ¨ î €  \ " f_  φ(r ^h ) = b 0 – РÒ'  Á ºô  Ç@ /\ 

"

f_  φ(∞) = 0Ü ¼– Ð é ß –í  H y Œ ™™ èô  Ç .

Table 1“ É r κ ² = G, λ = 1, v = 0.5 – Ð ‚  × þ ˜ % i `  ¦ M

: r h = 1“    â Ä º_  à ºu  K $ 3    õ \  ¦ ³ ðr ô  Ç  כ Ü ¼– Ð, α ^max ₀ ≈ 0.29e ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . Table 1\  _  €   α 0  7 £ x

† < Ê\     ^  ¦Ï þ ˜f . Ë _  \  -t • ¸ é ß –í  H 7 £ x ô  Ç . Õ ª  X <

[

j   P : \ P _  à ºu \  ¦ ˜ Ѐ   — ¸¿ º î ß –& ñ › ¸|  (17)`  ¦ ë ß –7 á ¤  t

 3 l w † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s   z  ´“ É r ‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [1,7]_    õ  ü

< { 9 u ô  Ç .

Figure 1“ É r α 0 = 0.06“    â Ä º  |  t ¨ î €  _  ì ø Í â r h _ 

° ú

כ\  @ /ô  Ç î ß –& ñ › ¸| _  ¢ , aA á ¤ ³ ð‰ & ³ ° ú כ_     o\  ¦
  · p  כ s

“ ¦, Fig. 2  H y Œ •y Œ • r h = 10, r h = 15, r h = 20“    â Ä º

\

 α ⁰ _  ° ú כ\  @ /ô  Ç î ß –& ñ › ¸| _  ¢ , aA á ¤ ³ ð‰ & ³ ° ú כ_     o\  ¦

  · p  כ s  . Fig. 1\   Ø Ô€   7 . r h . 21“    â Ä º î ß –

&

ñ › ¸|  (17)`  ¦ ë ß –7 á ¤ ô  Ç . ¢ ¸ô  Ç Fig. 2• ¸ α ⁰ _  ° ú כs  : £ ¤& ñ ô

 Ç # 3 0 A\  e ” Ü ¼€   î ß –& ñ › ¸|  (17)`  ¦ ë ß –7 á ¤ † < Ê`  ¦ · ú ˜ 9ï  r  .



 " f & h   H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç r / B N ç ß –\ " f q @ /g A ( J $ ™[ > `  ¦

° ú

  H Û ¼º ú ˜  ^  ¦Ï þ ˜f . ˓ É r : £ ¤& ñ ô  Ç B > h  à º_  # 3 0 A î ß –\ " f



 H ì ø Í â ~ ½ ӆ ¾ Ó_  [ O 1 l x \  @ / # Œ î ß –& ñ ½ + É Ã º e ”  .

V. + s Ç Â ] Ø õ m Í ‚ ºÂ ] Ø

&

h

  H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç   " é ¶ r / B N ç ß –\ " f Û ¼H { 9 a A  7 HZ O 

`

 ¦ s 6   x # Œ ^  ¦Ï þ ˜f . Ë î ß –& ñ $ í \  @ /ô  Ç / B Nd ” `  ¦ Ä »• ¸ % i  .

Õ

ªo “ ¦ q @ /g A ( J $ ™[ > `  ¦ ° ú   H Û ¼º ú ˜  © œ\  _ ô  Ç ^  ¦Ï þ ˜f . Ë

\

 & h 6   x ô  Ç   õ  — ¸4 S q B > h  à º[ þ t _  : £ ¤& ñ # 3 0 Aî ß –\ " f Û ¼ º

ú

˜  ^  ¦Ï þ ˜f . Ë s  ì ø Í â ~ ½ ӆ ¾ Ó_  [ O 1 l x \  @ /K  î ß –& ñ ½ + É Ã º e ” 6 £ §

`

 ¦ ˜ Ð% i  .

6

£

§ _  ° ú כ`  ¦ ° ú   H Ä ºÅ Ò © œÃ º  H  ^ ‰ ×  æ§ 4 > _  î ß –& ñ $ í `  ¦

†

½ Ó © œ y © œ o Ù ¼– Ð & h   H& h Ü ¼– Ð ì ø Í × ¼t ' “   r / B N ç ß –\ " f ( “ ¦„  & h Ü ¼– Ð) î ß –& ñ ô  Ç ^  ¦Ï þ ˜f . Ë _  ” > r F  0 p x$ í “ É r Ø  æì  r y  \ V 8

£

¤ ½ + É Ã º e ”  . Õ ª Q
 & h   H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç r / B N ç ß –\ " f  H Û

¼( Ž  (Skyrme) ^  ¦Ï þ ˜f . Ë \ " f_  Û ¼( Ž † ½ Óõ  ° ú  “ É r q ‚  + þ A† ½ Ós 



^ ‰ ×  æ§ 4 > _  î ß –& ñ $ í \  : £ ¤Z > ô  Ç % i ½ + É`  ¦ K   ô  Ç  [16–

18]. ‘ : r  7 Hë  H \ " f_  Û ¼º ú ˜  ^  ¦Ï þ ˜f . ˓ É r q @ /g A ( J $ ™[ > _  + þ

AI ü < ^  ¦Ï þ ˜f . Ë _  ß ¼l  Õ ª % i ½ + É`  ¦ à º' Ÿ  % i  .

&

h

  H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç r / B N ç ß –“ É r Ä ºÅ Ò © œÃ º_  ° ú כs  0“    â Ä

º\  K { © œ Ù ¼– Ð III] X \ " f  7 H _ ô  Ç ^  ¦Ï þ ˜f . Ë _  î ß –& ñ › ¸| 

\

 @ /ô  Ç / B Nd ” `  ¦ & h   H& h Ü ¼– Ð ì ø Í × ¼t ' “   r / B N ç ß –Ü ¼– Ð S X ‰



© œ   H  כ “ É r # Q§ > t  · ú §`  ¦  כ s  . ¢ ¸ô  Ç   " é ¶ s  © œ_  “ ¦

" é ¶ r / B N ç ß –Ü ¼– Е ¸ ~ 1 >  S X ‰  © œ 0 p x  . Õ ªo “ ¦ € ª œ-x 9 Û ¼



© œ, j Ë ²Û ¼ © œ, Û ¼( Ž  © œõ  ° ú  “ É r  € ª œô  Ç — ¸4 S q\  & h 6   x ½ + É Ã º• ¸ e ”

`  ¦  כ s  .

^

 ¦Ï þ ˜f . Ë _  î ß –& ñ $ í  7 H _ \  Û ¼H { 9 a A  7 HZ O `  ¦ s 6   x % i Ü ¼ Ù

¼– Ð r / B N ç ß –_  ½ ¨+ þ A @ /g A`  ¦ p o  & ñ % i  .   " f y Œ •

~

½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð_  [ O 1 l x s 
 q ‚  + þ A& h “   [ O 1 l x 1 p x`  ¦  Ò  ¦ à º  H

\ O

% 3  .  ^ ‰ ×  æ§ 4 > _  î ß –& ñ $ í `  ¦ { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð  7 H _   9

€

  ×  æ§ 4  © œõ  Ó ü t| 9  © œ_  r ç ß –\    É r    o\  ¦ Æ Ò& h K   ô  Ç



. s  Qô  Ç  Œ •\ O \   H ´ ú §“ É r ” ¸§ 4 s  € 9 כ ¹ Ù ¼– Ð Ê ê_  { 9 

–

Ð z Œ ™ é  H  .

P

c p 8 ý ò k >

s

  7 Hë  H“ É r 2011¸  • ¸  © œt @ /† < Ɠ § “ §Ã ºƒ  ½ ¨¸  ] j t " é ¶ \  _

ô  Ç  כ e ” .

REFERENCES

[1] D. H. Park, Class. Quantum Grav. 25, 095002 (2008).

[2] E. Winstanley, Class. Quantum Grav. 16, 1963 (1999).

[3] J. Bjoraker and Y. Hosotani, Phys. Rev. Lett. 84, 1853 (2000).

[4] P. Breitenlohner, D. Maison and G. Lavrelashvili, Class. Quantum Grav. 21, 1667 (2004).

[5] J. E. Baxter and E. Winstanley, Class. Quantum Grav. 25, 5014 (2008).

[6] D. H. Park, Gen. Rel. Grav. 44, 3111 (2012).

[7] U. Nucamendi and M. Salgado, Phys. Rev. D 68 044026 (2003).

[8] M. Heusler and N. Straumann, Class. Quantum Grav. 9, 2177 (1992).

[9] S. W. Kim, J. Lee and D. H. Park, Phys. Lett. B 336, 163 (1994).

[10] D. H. Park, J. Korean Phys. Soc. 27, 377 (1994).

[11] S. W. Hawking and G. T. Horowitz, Class. Quantum Grav. 13, 1487 (1996).

[12] M. Heusler, Helv. Phys. Acta. 69, 501 (1996).

[13] M. Heusler, J. Math. Phys. 33, 3497 (1992).

[14] A. E. Mayo and J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 54 5059 (1996).

[15] D. Sudarsky and J. A. Gonz´ alez, Phys. Rev. D 67, 024038 (2003).

[16] S. Droz, M. Heusler and N. Straumann, Phys. Lett.

B 268, 371 (1991).

[17] P. Bizon and T. Chmaj, Phys. Lett. B 297, 55 (1992).

[18] M. E. Ortiz, Phys. Rev. D 45, R2586 (1992).