제 1 장. 함수

2

제 1 장. 함수

1.5 함수의 극한

1.6 극한법칙을 이용한 극한 계산 1.8 연속함수

1.1 함수

1.2 함수의 표현 1.3 함수의 형태 1.4 함수의 변환

x 를 a에 충분히 가까이 접근 (a의 양쪽 방향에서)시킴으로써

f(x)의 값을 L에 가깝게 만들 수 있다면 다음과 같은 기호로 쓴다.

이를 다음과 같이 말한다.

“x가 a에 접근할 때 f(x)의 극한(limit)은 L이다.”

x a f x L lim ( )





정 의

x → a 일 때, f(x) → L

1.5 함수의 극한

(a) f(a)가 정의되고, f(a) = L인 경우 (b) f(a)가 정의되고, f(a) ≠ L인 경우 (c) f(a)가 정의되지 않는 경우

극한 의 유형

x a f x L lim ( )





‘

’

이것은 x가 a에 접근할 때 f(x)의 극한값을 찾는 데 있어서,

x = a인 경우는 절대 고려하지 않는다는 것을 의미한다.

를 조사하라..

 

x x

limsin0





f f

f

(1) sin 0, (1/3) sin 3 0,

(0.1) sin 10 0,







 

 

 

f f f

(1/2) sin 2 0, (1/4) sin 4 0,

(0.01) sin 100 0,







 

 

 

 

x x

limsin0  / 0

 

예 제

이런 정보를 근거로 이라고 추측할 수도 있지만 이 경우 추측이 잘못 됐다. 모든 정수 n에 대해 f(1/n) = sin n =0이지만 0에 접근하는 무한히 많은 x의 값 들에 대해 f(x) = 1도 참이다. 따라서 극한은 존재하지 않는다.

(1) a보다 작으면서 a에 충분히 가까운 x를 택해 f(x)의 값을 L에 한없이 가깝게 할 수 있으면 다음과 같이 나타낸다.

이를 x가 왼쪽에서 a에 접근할 때 f(x)의 좌극한이 L이라고 말한다.

(2) 또한 x가 a보다 크면 ‘x가 a에 접근할 때 f(x)의 우극한은 L이라 하고, 다음과 같이 나타낸다.

x a f x L lim ( )





x a f x L lim ( )





정 의 < 한쪽 극한 >

x a f x L lim ( )







 

x a f x L x a f x

헤비사이드 함수

일 때 을 구하라.

예 제

H t t

t 0 , 0 ( ) 1 , 0

 

    lim ( )

t

H t

함수 g의 그래프는 그림과 같다. 이것을 이용해서 다음 값을 (존재하면) 구하라.

(a)

(b) (c) (d) (e)

(f)

lim ( )2_



x g x

lim ( )_2

x g x

lim ( )5_



x g x

lim ( )5_



x g x

lim ( )5



x g x

lim ( )2_



x g x

예 제

이 존재하면, 그 값을 구하라.



x x

위의 예제에서 주어진 그래프의 움직임을 나타내기 위해 다음과 같은 기호를 이용한다.

0 2

lim 1



 

x

x

이것은 ∞를 수로 간주한다는 의미도 아니며, 극한이 존재한다는 것도 아니다.

예 제

f 가 a의 양쪽에서 정의된 (a는 제외 가능) 함수라 하자.

x가 a에 충분히 가까워질수록 f(x)의 값이 점점 더 커지는 (또는 ’한없이 증가’) 것을 나타내기 위해 다음과 같은 기호를 이용한다.

lim ( )



 

x a

f x

x를 a에 충분히 가깝게(그러나 a는 아님) 접근시킬 때 f(x)의 값을 한없이 커지게 할 수 있음을 의미한다.

lim ( )



 

x a

f x

x가 a에 접근할 때 f(x)의 극한은 무한대이다.

x가 a에 접근할 때 f(x)는 무한대이다.

x가 a에 접근할 때 f(x)는 한없이 증가한다.

lim ( )

  

x a f x

f 가 a의 양쪽에서 정의된(a는 제외 가능) 함수라 하자.

x가 a에 충분히 가까워질수록 f(x)의 값이 점점 더 작아지는(또는 ’한없이 감소’) 것을 나타내기 위해 다음과 같은 기호를 이용한다.

lim ( )



 

x a

f x

x를 a에 충분히 가깝게(그러나 a는 아님) 접근시킬 때 f(x)의 값을 임의로 매우 큰 음수가 되도록 할 수 있음을 의미한다.

정 의

lim ( )



 

x a

f x

x가 a에 접근할 때 f(x)는 음의 무한대이다.

x가 a에 접근할 때 f(x)는 한없이 감소한다.

x가 a에 접근할 때 f(x)의 극한은 음의 무한대이다.

lim ( )

  

x a f x

lim ( )



 

x a

f x lim ( )



 

x a

f x

lim ( )



 

x a

f x

  

x a f x

다음 명제 중 적어도 하나가 참이면 직선 x = a는 곡선 y = f(x)의 수직점근선(vertical asymptote)이라 한다.

lim ( )



 

x a f x lim ( )_



 

x a f x lim ( )_



 

x a f x lim ( )



 

x a f x lim ( )_



 

x a f x lim ( )_



 

x a f x 정 의 < 수직점근선 >

0 2

lim 1



 

x

x

예를 들어,

3

lim 2

3

 



x

x

x lim³ 2 3

 



x

x

와 를 구하라. x

3

lim 2

3

 

 



x

x x

3

lim 2

3

   



x

x x 예 제

따라서 직선 x = 3은 수직점근선

f(x) = tan x의 수직점근선을 구하라...

( /2)

lim tan



 

x

x



lim tan



 

x

x



정수 n에 대해 직선 x= (2n + 1)



따라서 직선 x =

