◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시
‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
5지선다형
1.
1)
의 값은?[2점][2016년 3월]
①
②
③
④ ⑤
2.
2)lim
→∞
의 값은?
[2점][2016년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
3.
3 ) 등비수열
에 대하여 , 일 때, 의 값은?[2점][2016년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
4.
4 ) 전체집합 는 이하의 자연수의 두 부분집합 , 에 대하여 집합
∩의 원소의 개수는?
[3점][2016년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
2016년 3월 고3 모의고사 문제지
제 2 교시 수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
‘나’형
수 리 영 역
2 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
5.
5) 양수 에 대하여 log 일 때,
의 값은?
[3점][2016년 3월]
①
②
③
④
⑤
6.
6) 두 집합 , 에 대하여집합 에서 집합 로의 일대일함수를 라 하자. 일 때, 의 최댓값은?
[3점][2016년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
7.
7) 어느 고등학교 학년 반 학생 명을 대상으로 책 A, 책 B 를 읽었는지 조사하였다. 책 A를 읽지 않고 책 B만 읽은 학생 이 명일 때, 책 A와 책 B를 모두 읽은 학생 수의 최댓값은?[3점][2016년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
8.
8 ) 이 아닌 두 양수 , 에 대하여 log log일 때,
log의 값은?
[3점][2016년 3월]
①
②
③ ④
⑤
9.
9 ) 유리함수
의 그래프가 제사분면을 지나지 않도 록 하는 정수 의 최솟값은?
[3점][2016년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
10.
10) 에 대한 이차방정식 의 두 근의 합 을 (은 자연수)라 하자.
의 값은?[3점][2016년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
‘나’형 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
11.
11) 두 집합 는 자연수, 에 대하여 두 함수 →, →가
를 로 나눈 나머지
이다. 합성함수 ∘ 의 치역의 원소의 개수가 이 되도록 하는 자연수 의 최솟값은?
[3점][2016년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
12.
12) 그림과 같이 곡선 와 직선 가 원점과 점 에서 만난다.
lim
→∞
일 때, 의 값은?
[3점][2016년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
[13 ~ 14] 자연수 에 대하여 좌표가 인 점을 P, 함 수 ≥ 이라 하자. 점 P을 지나고 축과 평행한 직선이 곡선 와 만나는 점을 Q이라 할 때, 13번과 14 번의 두 물음에 답하시오.
13.
13) 점 Q의 좌표를 이라 할 때, ⋅ 의 값 은?[3점][2016년 3월]
①
② ③ ④ ⑤
14.
14) 곡선 위의 점 R은 직선 PR의 기울기가 음수이 고 좌표가 자연수인 점이다. 삼각형 POQ의 넓이를 , 삼 각형 POR의 넓이가 최대일 때 삼각형 POR의 넓이를 이라 하자.lim
→∞
의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점][2016년 3월]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
4 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
15.
15) 무리함수 에 대하여 좌표평면에 곡선, 와 세 점 A , B , C 를 꼭짓점으로 하 는 삼각형 ABC가 있다. 곡선 와 함수 의 역함수 의 그래프가 삼각형 ABC와 만나도록 하는 실수 의 최댓값은?
[4점][2016년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
16.
16) 다음은 모든 자연수 에 대하여
⋅
…… (*) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
(ⅰ) 일 때,
(좌변) × (우변) ×
× 따라서 (*)이 성립한다.
(ⅱ) 일 때, (*)이 성립한다고 가정하면
가
나 가
⋅
이다.
따라서 일 때도 (*)이 성립한다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립 한다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때,
의 값은?
[4점][2016년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
‘나’형 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
17.
17) 두 양수 , 에 대하여 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, DC, DA를 각각 로 내분하는 점 을 E, F, G, H라 하고, 선분 FH의 중점을 M이라 하자. 그림 은 위의 설명과 같이 그린 한 예이다.<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016년 3월]
ㄱ. FM GM ㄴ. ∆EFM ≥∆FGM
ㄷ. FH 일 때, 삼각형 FGM의 넓이의 최댓값은
이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
18.
18) 한 변의 길이가 인 정사각형이 있다. 그림과 같이 지름이인 두 원이 서로 한 점 P에서 만나고 정사각형의 두 변에 각 각 접하도록 그린다. 정사각형의 네 변 중 원과 접하지 않는 변 의 중점을 Q이라 하고, 선분 PQ을 대각선으로 하는 정사각 형 을 그린다. 이때, 의 한 변의 길이를 이라 하자.
지름이
인 두 원이 서로 한 점 P에서 만나고 정사각형 의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 의 네 변 중 원 과 접하지 않는 변의 중점을 Q라 하고, 선분 PQ를 대각선 으로 하는 정사각형 를 그린다. 이때, 의 한 변의 길이를
라 하자.
지름이
인 두 원이 서로 한 점 P에서 만나고 정사각형 의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 의 네 변 중 원 과 접하지 않는 변의 중점을 Q이라 하고, 선분 PQ을 대각 선으로 하는 정사각형 을 그린다. 이때, 의 한 변의 길이 를 이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 그린 정사각형 의 한 변 의 길이를 이라 할 때,
∞의 값은?[4점][2016년 3월]
…
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
6 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
19.
19) 이차함수 가 다음 조건을 만족시킨다.(가)
(나) 이차방정식 의 실근의 개수는 이다.
방정식 ∘ 의 서로 다른 실근을 모두 곱한 값은?
[4점][2016년 3월]
①
②
③ ④
⑤
20.
20) 자연수 에 대하여
을 만족시키는 자연수 을 이라 하자.
의 값은?[4점][2016년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
21.
21) 수열
에 대하여집합 는 자연수
가 공집합이 되도록 하는 자연수 를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, 번째 수를 이라 하자.
예를 들어, 은 를 만족시키는 자연수 가 존재하지 않는 첫 번째 수이므로 이다.
∞
의 값은?
[4점][2016년 3월]
①
②
③ ④
⑤
단답형 22.
22) log 일 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2016년 3월]
수 리 영 역
‘나’형 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
23.
23) 수열
이
을 만족시킬 때, 의 값을 구 하시오.[3점][2016년 3월]
24.
24) 이하의 자연수 에 대하여
이 정수가 되도록 하는의 개수를 구하시오.
[3점][2016년 3월]
25.
25) 실수 전체의 집합 의 두 부분집합 ≤ , 또는
가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) ∪
(나) ≤ ≤
두 상수 , 에 대하여 의 값을 구하시오.
[3점][2016년 3월]
26.
26) 자연수 에 대하여 곡선
와 직선
이 만나는 두 점을 각각 P, Q이라 하자. 삼각형 OPQ의 무게중심의 좌표를 이라 할 때,
lim
→∞
의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.)
[4점][2016년 3월]
수 리 영 역
8 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
27.
27) 전체집합 는 이하의 자연수에 대하여 조건‘ ≤ ’의 진리집합을 , 두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 하자. 두 명제 → 와 ∼ → 가 모두 참일 때, 두 집합 , 의 순서쌍 의 개수를 구하시오.
[4점][2016년 3월]
28.
28) 두 함수
≥ ,
에 대하여 합성함수 ∘ 의 치역이 ≥ 일 때, 상수
의 값을 구하시오.
[4점][2016년 3월]
29.
29) 두 집합 ,
에 대하여 집합 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) ∩ (나) ∅
(다) 집합 의 모든 원소의 합은 이다.
집합 의 모든 원소의 곱을 구하시오.
[4점][2016년 3월]
30.
30) 유리함수
와 수열
에 대하여 이다.
≤ 을 만족시키는 자연수 의 최댓값을 구하시 오.
[4점][2016년 3월]
※ 확인 사항
문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.
수 리 영 역
‘나’형 9
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2016년 3월 수리 나형 고3 모의고사 해설
1 ④ 2 ② 3 ④ 4 ② 5 ③
6 ③ 7 ④ 8 ④ 9 ① 10 ⑤
11 ③ 12 ③ 13 ⑤ 14 ① 15 ②
16 ③ 17 ⑤ 18 ① 19 ① 20 ②
21 ② 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1) ④
[출제의도] 지수를 계산하여 값을 구한다.
×
×
×
×
2) ②
[출제의도] 수열의 극한을 계산한다.
lim
→ ∞
의 분모와 분자를 으로 나누면
lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
3) ④
[출제의도] 등비중항의 성질을 이용하여 특정항을 계산한다.
수열
이 등비수열이므로 ⋅ 즉, 따라서
4) ②
[출제의도] 드모르간의 법칙을 활용하여 원소의 개수를 계산한다.
전체집합 는 이하의 자연수이므로
드모르간의 법칙에 의해서 ∩ ∪
∪ ∪
그러므로
∪
따라서 집합 ∩의 원소의 개수는 이다.
따라서
×
6) ③
[출제의도] 일대일함수의 정의를 이해하여 조건에 맞는 함숫값을 구한다.
함수 가 일대일함수이고 이므로 가 아닌 집합 의 서로 다른 두 원소 , 에 대하여 , 로 놓을 수 있다.
의 최댓값은 의 최댓값과 같다.
그런데 , 또는 , 일 때 가 최대이다.
따라서 의 최댓값은 이다.
7) ④
[출제의도] 주변에서 일어나는 상황을 집합의 포함관계로 나타내어 원소의 개수를 구한다.
전체 학생의 집합을 , 책 A를 읽은 학생의 집합을 책 , 책 B를 읽은 학생의 집합을 라 하자.
A를 읽지 않고 B만 읽은 학생의 집합은 ∩
, ∩
∩∪∩
이고 두 집합 ∩와 ∩∪은 서로소이다.
∩ ∪ ∪ 그러므로 ∪
그런데 ∩⊂∪이므로
∩ ≤ ∪
따라서 ∩의 최댓값은 이다.
[다른풀이]
책 A를 읽지 않고 책 B만 읽은 학생 명은 책 A와 책 B를 모두 읽은 학생의 집합에 속하지 않는다. 전체 학생수가 명이므로 책 A와 책 B를 모두 읽은 학생의 최댓값은
8) ④
[출제의도] 밑변환 공식을 이해하여 식의 값을 구한다.
log log에서
log
log log
따라서
log
×
9) ①
[출제의도] 유리함수의 그래프의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.
수 리 영 역
10 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
인 범위에서 함수의 그래프는 제사분면만을 지난다.
일 때 주어진 함수의 그래프가 제사분면을 지나지 않기 위해서는
일 때 의 값은 0이상이 되어야 한다.
그러므로
≥ 이다.
따라서 조건을 만족시키는 최소의 정수 는 이다.
10) ⑤
[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해하여 수열의 합을 구한다.
이차방정식의 두 근의 합 은 근과 계수의 관계에 의해
×
×
11) ③
[출제의도] 합성함수의 정의를 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.
함수 는 자연수 를 로 나눈 나머지이므로 함수 의 치역은
이다.
ⅰ) 인 경우, 함수 이므로 합성함수 ∘ 이다.
그러므로 합성함수 ∘ 의 치역은 이다.
ⅱ) 인 경우, 함수 이므로
합성함수 ∘ 를 로 나눈 나머지이다.
그런데 가 의 배수이고 의 배수를 로 나눈 나머지는 또는 이므로
합성함수 ∘ 의 치역은 이다.
ⅲ) 인 경우, 함수 이므로
합성함수 ∘ 를 로 나눈 나머지이다.
그런데 는 의 배수이고 의 배수를 로 나눈 나머지는 , , , 이므로 합성함수
∘ 의 치역은 이다.
ⅳ) 인 경우, 함수 이므로
합성함수 ∘ 를 로 나눈 나머지 이다.
그런데 가 항상 의 배수이므로 로 나눈 나머지는 이다.
즉, 합성함수 ∘ 의 치역은 이다.
이처럼 이 의 배수가 아닌 경우에는 치역의 원소의 개수가 이상이다.
하지만 ⋯과 같이 이 의 배수인 경우에는 합성함수 ∘ 의 치역은 이다.
따라서 치역의 원소의 개수가 이 되도록 하는 자연수 의 최솟값은
이다.
12) ③
[출제의도] 수열의 극한값을 구하는 방법을 이해하여 그 값을 구한다.
직선 는 원점과 점 을 지나므로 직선의 방정식은
이다.
문제에서 , 이므로
lim
→∞
lim
→∞
×
lim
→∞
×
마찬가지로 문제에서 , 이므로
lim
→∞
lim
→∞
×
lim
→∞ ×
×
따라서 13) ⑤
[출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이해하여 식의 값을 구한다.
점 Q의 좌표는 점 P의 좌표와 같다.
이므로 ,
≥ 의 역함수는 ≥ 이다.
그러므로 ,
따라서 ×
×
14) ①
[출제의도] 수열의 극한값을 구하는 방법을 이해하여 그 값을 구한다.
삼각형 POQ의 넓이 은
OP⋅PQ
이다.
점 R은 곡선 위의 점이고 의 좌표가 자연수이므로 자연수 에 대하여
로 놓을 수 있다.
그런데 직선 PR의 기울기가 음수이므로
삼각형 POR의 넓이가 최대가 되기 위해서는 R의 좌표 가 최대일 때이다. 그러므로 인 경우이고, 이때 점 R의 좌표는
이다.
즉, 삼각형 POR의 넓이는
OP⋅
이다.
따라서
lim
→∞
lim
→∞
수 리 영 역
‘나’형 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
15) ②
[출제의도] 평행이동한 무리함수의 역함수의 그래프를 추측하여 문제를 해결한다.
그림과 같이 의 값이 증가하면 곡선 는 점 B를 지난 이후에 삼각형과 만나지 않고 곡선 가 점 B를 지날 때
이므로 는 이다.
즉, 이면 곡선 와 삼각형은 만나지 않는다.
또, 의 역함수를 구하면 ( ≥ )이다.
의 값이 증가하면 곡선 가 점 A를 지난 이후 삼각형과 만나지 않고 곡선 가 점 A를 지날 때 이므로 는
이다.
즉, 이면 곡선 와 삼각형은 만나지 않는다.
따라서 함수 의 그래프와 역함수의 그래프가 삼각형과 동시에 만나도록 하는 실수 의 최댓값은 이다.
16) ③
[출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 등식을 증명한다.
수학적 귀납법에 의한 증명이므로 일 때 성립함을 증명하고 일 때 성립함을 가정하여
일 때도 성립함을 증명한다.
문제에서 일 때 (*)이 성립한다고 가정하였으므로
⋅
… ㉠
또,
은 부터 까지 의 합이므로
에 을 합한 것과 같다. 즉,
그러므로 ,
⋅
이므로
⋅
이다.
따라서
17) ⑤
[출제의도] 절대부등식을 이용하여 도형의 성질을 추론한다.
ㄱ.삼각형 GDH와 삼각형 FCG는 직각이등변삼각형이므로 각 FGH는 직각이다. 또, 문제에서 점 M은 선분 FH의 중점이므로 세 점 F, G, H는 중심이 M인 한 원 위에 있다.
그러므로 FM GM이다. (참)
ㄴ.삼각형 AEH와 삼각형 BFE가 합동이므로
∠AEH ∠BEF 이고, 삼각형 EFH는 직각이등변삼각형이다.
즉, EF EH
그러므로 삼각형 EFH의 넓이는 이다.
선분 EM은 삼각형 EFH를 이등분하므로 삼각형 EFM의 넓이는
이다. 또한 삼각형 FGH는 직각삼각형이므로 넓이는
이고 삼각형 FGM의 넓이는
이다.
그러므로
≥
(참)
ㄷ.선분 FH는 직각이등변삼각형 EFH의 빗변이므로 길이는
×
문제에서 FH 이므로 ×
에서 이다.
그런데 삼각형 FGM의 넓이는
이고
≥ 이므로
≤
그러므로 삼각형 FGM의 넓이의 최댓값은 이다. (참) 18) ①
[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 등비급수의 합을 구하는 문제를 해결한다.
정사각형 의 한 변의 길이를 구하기 위해 점 P에서 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형의 한 변에 내린 수선의 발을 H이라 하면,
PH 이므로 PQ 이다.
수 리 영 역
12 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
이므로
수열
의 공비는 ，정사각형 의 한 변의 길이는
이므로
이다.
따라서
lim
→ ∞
19) ①
[출제의도] 함수의 그래프와 방정식의 관계를 이해하여 실근의 곱을 구하는 문제를 해결한다.
조건 (가)에 의해
이차함수 (는 상수)꼴이다.
조건 (나)에 의해 이므로
이다.
이차방정식의 실근의 개수가 이므로 의 근도 이다.
즉, 이다.
이므로 이차함수 의 꼭짓점은 이다.
을 만족하기 위해서는 이 되어야 함을 그래프에서 알 수 있다.
그러므로 에서 이다.
따라서 서로 다른 두 실근의 곱은 근과 계수의 관계에서
이다.
20) ②
[출제의도] 절댓값의 성질을 활용하여 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다.
에서
, 은 정수이므로 이다.
은 이다. 즉,
따라서
× × × 이다.
21) ②
두 함수 , 의 그래프는 그림과 같다.
자연수 는 일 때 과 × 사이의 수이다.
이때 ∈이므로 ≠ ∅이다.
그러므로 는 수열
의 첫째항이 될 수 없다.그런데 일 때, 부등식 를 만족시키는 자연수
가 존재하지 않으므로 A ∅이다. 즉,
자연수 , , , 은 일 때 과 × 사이의 수이다. 이 때 ∈이므로 ≠ ∅이다. 따라서 , , , 은 수열
의 둘째 항이 될 수 없다.그런데 위 그림에서 를 만족시키는 자연수 가 존재하지 않으므로 이다.
마찬가지로 자연수 , , , , , 는
일 때 과 × 사이의 수이다.
이 때 ∈이므로 ≠ ∅이다.
따라서 , , , , , 는 수열
의 셋째 항이 될 수 없다.그런데 위 그림에서 를 만족시키는 자연수 가 존재하지 않으므로 이다.
⋮
위의 과정을 통해 집합 를 공집합이 되도록 하는 자연수 는 또는 (는 자연수)의 값임을 알 수 있다.
그런데 (는 자연수)일 때 의 값은 (는 자연수) 일 때 의 값과 같고, 일 때, 은 자연수가 아니므로 (는 자연수) 일 때 인 자연수를 나열하면 된다.
따라서 번째 나열된 수는 이므로
이다.
∞
∞
∞
lim
→∞
⋯
lim
→∞
[다른풀이]
를 정리하면
이 자연수 에 대해 또는 이면 부등식
의 해 중 자연수는 존재하지 않으므로 가 공집합이다.
이 때, (는 이상의 자연수)를 만족시키는 자연수 를 작은
수 리 영 역
‘나’형 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
수부터 크기순으로 나열한 것이 수열
이다.따라서
∞
∞
∞
22)
[출제의도] 로그의 정의를 알고 진수를 계산한다.
로그의 정의에 의해
이다.
23)
[출제의도] 시그마의 정의를 이해하여 일반항을 구한다.
따라서 24)
[출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 지수를 구한다.
이 정수가 되기 위해서는
이 자연수이어야 하므로
은 의 배수이다. 은 이하의 자연수이고, 이하의 자연수 중
의 배수의 개수는 이다.
따라서 의 개수는 이다.
25)
[출제의도] 집합을 이해하여 부등식의 해를 구한다.
≤ 에서 ≤ 이므로
≤ ≤
그러므로 ≤ ≤
조건 (가)에서 ∪이므로
≥ 이고 ≤ 이다.
또, ∩이고 ≤ ≤ 이다.
ⅰ) 인 경우 집합 ∩의 원소 중 가장 작은 수는 이므로
≤ ≤ 을 만족시키지 않는다.
그러므로 이다.
ⅱ) ≤ 인 경우 집합 ∩의 원소 중 가장 큰 수는 이므로
≤ ≤ 을 만족시키기 위한 의 값은 이다.
두 조건을 만족시키는 두 집합의 관계를 수직선 위에 나타내면 그림과 같다.
따라서 , 이므로 이다.
26)
[출제의도] 꼭짓점의 위치가 변함에 따라 무게중심이 수렴할 좌표를 추론한다.
두 실수 에 대해 P
, Q
이라 하면, 는 방정식
의 두 근이다.
따라서
lim
→∞
lim
→∞
이다.
27)
[출제의도] 명제와 진리집합의 관계를 이해하여 두 진리집합의 개수를 구하는 문제 를 해결한다.
≤ 에서 ≤ 이므로 ≤ ≤
⊂이므로
명제 ∼ → 가 참이므로 대우명제인 ∼ → 도 참이다. 그러므로
∼ ⇒ 에서 ⊂, ⇒ 에서 ⊂
집합 는 집합 를 포함하므로 가능한 집합 의 개수는 이다.
ⅰ) 인 경우 ∅이므로 이다.
그러므로 순서쌍 ()의 개수는 × 이다.
ⅱ) 인 경우
이면 이다.
이때 순서쌍 ()의 개수는 × 이다.
이 , , 인 경우도 가능한 집합 의 개수는 각각 씩 이다.
그러므로 순서쌍 ()의 개수는 × 이다.
ⅲ) 인 경우
이면 이다.
이때 순서쌍 ()의 개수는 × 이다.
이 인 경우도 가능한 집합 의 개수는 각각 씩 이다.
그러므로 순서쌍 ()의 개수는 × 이다.
ⅳ) 인 경우
이면 이다.
이때 순서쌍 ()의 개수는 × 이다.
이 인 경우도 가능한 집합
의 개수는 각각 씩 이다.
그러므로 순서쌍 ()의 개수는 × 이다.
ⅴ) 인 경우
이면 이다.
이때 순서쌍 ()의 개수는 × 이다.
ⅰ) ∼ ⅴ)에 의해서 순서쌍 ()의 개수는
× × × × 이다.
28)
수 리 영 역
14 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
이어야 한다.
의 꼭짓점의 좌표가 음수이므로
합성함수 ∘ 의 치역이 ≥ 이기 위해서는 꼭짓점의
좌표가 이다.
에서
, ±
이므로 29)
[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 집합의 원소를 구하는 문제를 해결한다.
∩ 에서 집합 에 속한 개의 원소 중 오직 개만 집합 에 속한다. 즉, 집합 의 원소 중 집합 에 속하는 원소들의 합의 최댓값은
, 최솟값은 이다.
그러므로 집합 에 속하지 않는 원소들의 합은 이상 이하이다. … ㉠
∅에서 ⊂이고 집합 의 원소 중 집합 에 속하는 원소를 제외한 나머지 원소들의 집합은 이다.
ⅰ) 이 집합 에 포함되는 경우 원소의 합은 이므로 ㉠을 만족시키지 않는다.
ⅱ) 의 부분집합 중 세 원소로 이루어진 집합이 집합 에 포함되는 경우 원소의 합의 최솟값은 ,최댓값은
이므로 ㉠을 만족시키는 집합은 이고
(다)에 의해 는 집합 가 될 수 있다.
ⅲ) 의 부분집합 중 두 원소로 이루어진 집합은 ㉠을 만족시키지 않는다.
ⅰ) ~ ⅲ)에 의해 이고
이다.
따라서 의 모든 원소의 곱은 이다.
30)
[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 주어진 수열의 합을 구하는 문제를 해결 한다.
곡선
의 그래프는 그림과 같다.
곡선 의 그래프는 점
에 대해 대칭이므로 , ,
, ,
, ,
에서
⋯ 또,
×
이므로
이다.따라서 의 최댓값은 이다.
