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함수의 극한과 연속

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(1)수능 기출의 미래. 수학영역. 수학Ⅱ. 정답과 풀이. . Ⅰ. 함수의 극한과 연속. 15. Ⅲ. 적분. 59. . Ⅱ. 미분. . 해_001-014-수Ⅱ(1단원)_OK.indd 1. 2. 2020-12-16 오후 7:38:59.

(2) 정답과 풀이. Ⅰ 함수의 극한과 연속. lim.  . 04 x`Ú2. 본문 8~23 쪽. xÛ`+7 2Û`+7 = =11 x-1 2-1.  .  11. 수능 유형별 기출 문제 05 ③ 10 30 15 ② 20 ① 25 ②. 26 ⑤ 31 ④ 36 ④ 41 ③ 46 ④. 27 ⑤ 32 ① 37 ③ 42 ① 47 ③. 28 ⑤ 33 ② 38 ④ 43 6 48 ①. 29 ④ 34 13 39 ③ 44 ④ 49 ⑤. 30 ① 35 ③ 40 27 45 ② 50 6. 51 ④ 56 24. 52 ② 57 ③. 53 21 58 ⑤. 54 8. 55 ①. 05. lim(xÛ`+5)=2Û`+5=9 x`Ú2. ③. 06 lim x`Ú2. 3xÛ`-6x 3x(x-2). =lim x`Ú2 x-2 x-2 . 04 11 09 64 14 ⑤ 19 ③ 24 ②. =lim3x. =3_2. . 03 ③ 08 13 13 ④ 18 ④ 23 ①. 02 ③ 07 ② 12 ③ 17 ② 22 ①. 01 ③ 06 ① 11 ④ 16 ② 21 ⑤. 유형. 1. . =6 ①. 함수의 극한값의 계산. 07. 01. (x+2)(xÛ`+5) = lim (xÛ`+5) x`Ú-2 x+2. xÛ`+9x+8 (x+1)(x+8). = lim x`Ú-1 x+1 x+1. lim. ‌. lim. x`Ú-2. x`Ú2. x`Ú-1. = lim (x+8) . =(-2)Û`+5=9. x`Ú-1. ③. . =-1+8 =7 ②. lim.  . 02. (x-7)(x+3) =lim(x+3) x`Ú7 x-7. 08. x`Ú7. =7+3=10 ③. lim x`Ú2. (x-2)(xÜ`+5) =lim (xÜ`+5) x`Ú2 x-2 =2Ü`+5=13  13. .  . =lim (x+4) x`Ú2. lim x`Ú1. . =2+4=6. 09.  . (x-2)(x+4) xÛ`+2x-8. =lim x`Ú2 x-2 x-2. ③.  . x`Ú2. ‌. lim.  . 03. (x+7)Û`(x-1) =lim(x+7)Û` x`Ú1 x-1. =8Û`=64  64. 2 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_001-014-수Ⅱ(1단원)_OK.indd 2. 2020-12-16 오후 7:38:59.

(3) . 14. lim `f(x)=2, lim `f(x)=3이므로. .  . lim (x+1)f(x)=1이므로 x`Ú1. x`Ú0-. lim (2xÛ`+1)f(x). x`Ú1+.  . lim `f(x)+ lim `f(x)=2+3=5. x`Ú1. x`Ú0-. x`Ú1. 2xÛ`+1 ] x+1.  . =lim {(x+1)f(x)}_lim x`Ú1. x`Ú1. .  . =lim [(x+1)f(x)_. x`Ú1+. ⑤. 2xÛ`+1 x+1. 함수의 극한과 연속. 10. Ⅰ. 15. =1_;2#;=;2#;. lim `f(x)=1, lim `f(x)=1이므로. x`Ú--1-. 따라서 a=;2#;이므로. x`Ú0+. lim `f(x)+ lim `f(x)=1+1=2. x`Ú--1-. x`Ú0+. ②. 20a=20_;2#;=30. 16.  30.  . x`2Ú 1-일 때, f(x)`2Ú 1이므로 lim `f(x)=1. x`Ú1-. 2. x`2Ú 2+일 때, f(x)`2Ú 1이므로. 좌극한과 우극한.  . 유형. lim `f(x)=1. x`Ú2+. 11. 따라서 lim `f(x)+ lim `f(x)=1+1=2 x`Ú2+. x`Ú1-. ②. lim `f(x)=1, lim `f(x)=3이므로 x`Ú1+. lim `f(x)+ lim `f(x)=1+3=4. x`Ú-1. x`Ú1+. ④. 17. x`Ú-1. lim `f(x)=2, lim `f(x)=0이므로. x`Ú-1-. 12. x`Ú1+. lim `f(x)+ lim `f(x)=2+0=2. x`Ú-1-. x`Ú1+. ②. . x`2Ú 0-일 때, f(x)`2Ú 0이므로 lim `f(x)=0. x`Ú0-. 18. . x`2Ú 1+일 때, f(x)`2Ú -3이므로 lim `f(x)=-3. x`2Ú -1-일 때, f(x)`2Ú 2이므로  . x`Ú1+. lim `f(x)=2. 따라서 lim `f(x)+ lim `f(x)=0+(-3)=-3. x`Ú-1-. x`Ú1+. ③. x`2Ú 1+일 때, f(x)`2Ú 1이므로  . x`Ú0-. lim `f(x)=1. x`Ú1+. 13. 따라서 lim `f(x)- lim `f(x)=2-1=1. x`Ú-1-. x`Ú1+. x`2Ú -1-일 때, f(x)`2Ú 1이므로  . ④. lim `f(x)=1. x`Ú-1-. 19.  . x`2Ú 1+일 때, f(x)`2Ú 3이므로. lim `f(x)=3. x`2Ú 0-일 때, f(x)`2Ú 0이므로 . x`Ú1+. 따라서 lim `f(x)+ lim `f(x)=1+3=4. lim f(x)=0. x`Ú1+. . x`Ú0-. ④. 또, x`2Ú 1+일 때, f(x)`2Ú 3이므로 . x`Ú-1-. 정답과 풀이 ● 3. 해_001-014-수Ⅱ(1단원)_OK.indd 3. 2020-12-16 오후 7:38:59.

(4) 24. . lim f(x)=3. x`Ú1+. x`2Ú 1+일 때, f(x)`2Ú 1이므로. . . 따라서 lim f(x)+ lim f(x)=0+3=3 x`Ú1+. . x`Ú0-. ③. lim `f(x)=1. x`Ú1+. . x`2Ú 3-일 때, f(x)`2Ú 2이므로. 20. lim `f(x)=2. x`Ú3-. 따라서. . x`2Ú 0-일 때, f(x)`2Ú -1이므로. lim `f(x)- lim `f(x)=1-2=-1. lim `f(x)=-1. x`Ú1+. x`Ú0-. x`Ú3-. ②. . x`2Ú 1+일 때, f(x)`2Ú 2이므로 lim `f(x)=2. x`Ú1+. 25. 따라서 lim `f(x)+ lim `f(x)=-1+2=1 x`Ú1+. ①. x`2Ú -1+일 때, f(x)`2Ú 0이므로 . x`Ú0-. . lim f(x)=0. x`Ú-1+. 또, x`2Ú 1-일 때, f(x)`2Ú 2이므로. x`2Ú 1-일 때, f(x)`2Ú 1이므로. x`Ú1-. . 21. .  . lim f(x)=2. 따라서. lim `f(x)=1. x`Ú1-. . x`Ú-1+. x`2Ú 2+일 때, f(x)`2Ú 1이므로. . lim f(x)+ lim f(x)=0+2=2. x`Ú1-.  . ②. lim `f(x)=1. x`Ú2+. 따라서. 26. lim `f(x)+ lim `f(x)=1+1=2 x`Ú2+. ⑤. x`2Ú 0+일 때, f(x)`2Ú 2이므로 . x`Ú1-. lim `f(x)=2. x`Ú0+. x`2Ú 2-일 때, f(x)`2Ú 0이므로 . 22. lim `f(x)=0. x`Ú2-. x`2Ú -1-일 때, f(x)`2Ú 0이므로 . 따라서. lim `f(x)=0. lim `f(x)+ lim `f(x)=2+0=2. x`Ú-1-. x`Ú0+. x`2Ú 1+일 때, f(x)`2Ú -2이므로. x`Ú2-. . ⑤. lim `f(x)=-2. x`Ú1+. 27. 따라서. lim `f(x)+ lim `f(x)=0+(-2)=-2. x`2Ú 0-일 때, f(x)`2Ú 1이므로. x`Ú1+. . x`Ú-1-. ①. lim `f(x)=1. x`Ú0-. . x`2Ú 1+일 때, f(x)`2Ú 1이므로. 23. lim `f(x)=1. x`Ú1+. x`2Ú 0-일 때, f(x)`2Ú 0이므로 . 따라서. lim `f(x)=0. lim `f(x)+ lim `f(x)=1+1=2. x`Ú0-. x`Ú0-. x`Ú1+. x`2Ú 1+일 때, f(x)`2Ú -2이므로 . ⑤. lim `f(x)=-2. x`Ú1+. 28. 따라서 lim `f(x)+ lim `f(x)=0+(-2)=-2 x`Ú1+. ①. x`2Ú 1+일 때, f(x)`2Ú 2이므로 . x`Ú0-. 4 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_001-014-수Ⅱ(1단원)_OK.indd 4. 2020-12-16 오후 7:39:00.

(5) lim `f(x)=2. 유형. x`Ú1+. 3. 미정계수의 결정. Ⅰ. 32. lim `(x-1)=-1. x`2Ú 1일 때 (분모)`2Ú 0이므로 (분자)`2Ú 0이어야 한다.. 따라서. 즉, lim(4x-a)=4-a=0에서. . f(x)`2Ú 4이므로 lim `f(x)=4. x`Ú0-. 함수의 극한과 연속. x`2Ú 0-일 때,. x`Ú0-. x`Ú1. lim f(x) f(x) x`Ú0= lim `f(x)x-1 x`Ú1+ lim (x-1) . a=4 a=4를 주어진 식에 대입하면. =2-{. 4 }=6 -1. lim. 4x-4 4(x-1) =lim x`Ú1 x-1 x-1  . x`Ú0-.  . x`Ú0-. . x`Ú1+. . lim `f(x)- lim `. x`Ú1. =lim 4=4  .  . ⑤. x`Ú1. 이므로 b=4. 29. 따라서 a+b=4+4=8 ①. . x`2Ú 0일 때, f(x)`2Ú 0이므로 lim`f(x)=0 x`Ú0. 33. 조건 (가)에서 lim. x`Ú1+. x`Ú¦. 따라서 lim`f(x)+ lim `f(x)=0+2=2 x`Ú1+. . x`Ú0. ④. f(x) =2이므로 다항함수 f(x)는 xÛ` . lim `f(x)=2. . . x`2Ú 1+일 때, f(x)`2Ú 2이므로. f(x)=2xÛ`+ax+b (a, b는 상수). 로 놓을 수 있다. 조건 (나)에 의하여. 30. x`2Ú 0일 때 (분모)`2Ú 0이므로 (분자)`2Ú 0이어야 한다.. x`2Ú 0+일 때, f(x)`2Ú 0이므로. 즉, lim(2xÛ`+ax+b)=b=0에서. lim f(x)=0. f(x)=2xÛ`+ax. x`2Ú 1-일 때, f(x)`2Ú 2이므로  . lim x`Ú0.   . lim f(x)=2. f(x) 2xÛ`+ax =lim x`Ú0 x x  . . x`Ú0+. .   .  . x`Ú0. x`Ú0+. =lim (2x+a). =a=3. x`Ú0.   .   . 따라서 lim f(x)- lim f(x)=0-2=-2. . x`Ú1-. x`Ú1-. 이므로 f(x)=2xÛ`+3x . ①. 따라서 f(2)=2_2Û`+3_2=14 . 31. ②. x-1=t라 하면 x`2Ú 0+일 때, t`2Ú -1+이므로 lim f(x-1)= lim f(t)=-1. lim f( f(x))= lim f(s)=2. 조건 (가)에서 극한값이 존재하므로. . 34. . f(x)=s라 하면 x`2Ú 1+일 때, s`2Ú -1-이므로. x`Ú1+. . . t`Ú-1+. . . x`Ú0+. s`Ú-1-. . 따라서. 조건 (나)에서 lim`f(x)=f(0)=-7이므로. . . . lim f(x-1)+ lim f( f(x))=(-1)+2=1. x`Ú0+. f(x)=xÜ`+6x+a (a는 상수)라 하자.. x`Ú1+. ④. x`Ú0. a=-7 . 즉, f(x)=xÜ`+6x-7 . 따라서 . . f(2)=2Ü`+6_2-7=13  13 정답과 풀이 ● 5. 해_001-014-수Ⅱ(1단원)_OK.indd 5. 2020-12-16 오후 7:39:00.

(6) yy ㉠. 에서 2c=-2c, 4c=0. .  . yy ㉡. . lim `f {;[!;}=lim {  . x`Ú-1. f(x)=xÛ`+d  .  .  . (분자)`2Ú 0이어야 한다. 즉, lim `f(x)=f(-1)=0이어야 한다.. 2ct =-2c -t. 즉, c=0, a=0이므로.  . x`Ú-1. =.  . . f(x) =2에서 x`2Ú -1일 때 (분모)`2Ú 0이므로 x+1. f(t)-f(-t) (tÛ`+ct+d)-(tÛ`-ct+d) = lim t`Ú-¦ -t -t.  . f(x) =1이므로 다항함수 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 xÜ`. 삼차함수이다. lim.  . t`Ú-¦.  . lim. x`Ú¦. . lim.  . 35. x`Ú¦. ㉠, ㉡에서. x`Ú¦. 1 +d}=d=3이므로 xÛ`. 따라서 f(2)=2Û`+3=7 . .  . f(x)=xÛ`+3. f(x)=(x+1)(xÛ`+ax+b)`(a, b는 상수). 로 놓을 수 있다.. ④.  . . f(x) 이때 lim =2에서 x`Ú-1 x+1. 37.  . . f(x) (x+1)(xÛ`+ax+b) = lim x+1 x`Ú-1 x+1.  . 조건 (가), (나)에 의하여 다항함수 f(x)g(x)는. = lim (xÛ`+ax+b).  .  .  . lim. x`Ú-1.  . x`Ú-1.  . =1-a+b=2 yy ㉢. . 이므로 b=a+1 이때. f(x)g(x)=xÛ`(2x+a)`(a는 상수). 로 놓을 수 있다. 조건 (나)에 의하여 a=-4이므로  . f(x)g(x)=2xÛ`(x-2). =2(2a+2) .  .  . f(x)g(x)=2xÛ`(x-2)에서 f(2)가 최대가 되는 함수 f(x)는.  . . ‌. f(1)=2(1+a+b).  . f(x)=2xÛ`. =4(a+1)É12. 이므로 구하는 최댓값은. 에서 a+1É3이므로 aÉ2.  . f(2)=2_2Û`=8. 따라서 ‌. . ③. f(2)=3(4+2a+b) =3(3a+5) É3(3_2+5). 38. =33 (단, 등호는 a=2일 때 성립한다.).  . lim `f(x)+0이면 x`Úa.  . lim x`Úa. f(x)-(x-a) =1+;5#;이므로 f(x)+(x-a).  . . ③.  . . 이므로 f(2)의 최댓값은 33이다..  . lim `f(x)=f(a)=0이어야 한다. x`Úa. . 따라서 a=a라 하면 최고차항의 계수가 1인 이차함수 f(x)는 f(x)=(x-a)(x-b)이므로.  . 36. x`Úa.    . =lim. lim|x|[ f {;[!;}-f {-;[!;}]=a이므로. =lim. lim (-x)[ f {;[!;}-f {-;[!;}]= lim x[ f {;[!;}-f {-;[!;}]. =. x`Úa.  .  .  . . . f(x)=xÛ`+cx+d ( c, d는 상수)로 놓을 수 있다..  .  .  .  .  .  .  .  . x`Ú0. x`Ú0-. x`Ú0+.  .  .  .  .  . ;[!;=t로 치환하면 x=;t!; 이고 x` Ú 0+일 때, t` Ú ¦이므로. x`Úa. (x-a)(x-b)-(x-a) (x-a)(x-b)+(x-a) x-b-1 x-b+1. a-b-1 =;5#; a-b+1. 즉, 5(a-b)-5=3(a-b)+3에서 2(a-b)=8, a-b=4.  . =lim t`Ú¦.  .  . . f(t)-f(-t) (tÛ`+ct+d)-(tÛ`-ct+d) lim =lim t`Ú¦ t`Ú¦ t t  .  .  . f(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차함수이므로. f(x)-(x-a) f(x)+(x-a).  . . lim. 2ct =2c t. 따라서 |a-b|=4 ④. 6 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_001-014-수Ⅱ(1단원)_OK.indd 6. 2020-12-16 오후 7:39:00.

(7) .  . 즉, 5+a=8에서.  .  .  .  . x`Ú5. f(x)=4xÜ`+3xÛ`+ax (a는 상수). 따라서 f(x)=(x-5)(x+3)+x이므로. 의 꼴이어야 한다. 이때. f(7)=2_10+7=27.  .  . a=3.  27.  .  . f(x) =lim (4xÛ`+3x+a)=a x x`Ú0.  . lim. Ⅰ. =lim(x+a)=5+a. f(x)-4xÜ`+3xÛ` f(x) lim =6, lim =4 x x`Ú¦ x`Ú0 xÛ`+1. 를 만족시키려면. 함수의 극한과 연속. f(x)-x (x-5)(x+a). =lim x`Ú5 x-5 x-5 . x`Ú5. Ú n=1일 때. . lim.  . 39. x`Ú0. 이므로 a=4 즉, f(x)=4xÜ`+3xÛ`+4x이므로 f(1)=4+3+4=11. 유형. Û n=2일 때 f(x)-4xÜ`+3xÛ` f(x) =6, lim =4 x`Ú0 xÜ`+1 xÛ`  . x`Ú¦. 함수의 그래프와 연속. 41.  .  . lim.  . 4. 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로. f(x)=10xÜ`+bxÛ` (b는 상수). lim`f(x)=f(2). . 를 만족시키려면. x`Ú2.  . (xÛ`-4)f(x) (x-2)(x+2)f(x) =lim x`Ú2 x-2 x-2. x`Ú2.  .  .  . lim. f(x) lim =lim (10x+b)=b x`Ú0 x`Ú0 xÛ`.  . 의 꼴이어야 한다. 이때. =lim(x+2)f(x). 즉, f(x)=10xÜ`+4xÛ`이므로. =lim(x+2)_lim`f(x). =4 f(2). =12. f(1)=10+4=14. Ü`n¾3일 때 f(x)-4xÜ`+3xÛ` f(x) =6, lim =4 n+1 x`Ú0 x +1 xn. x`Ú2. .  . 따라서 f(2)=3 ③. 를 만족시키려면 f(x)=6xn+1+cxn (c는 상수). 42. x`Ú0. 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 x=1에서  . f(x) =lim (6x+c)=c x`Ú0 xn. 연속이어야 한다..  . lim.  . 의 꼴이어야 한다. 이때. x`Ú2.  .  . lim. x`Ú¦.  . x`Ú2.  . 이므로 b=4. 이므로 c=4. 즉, lim `f(x)= lim `f(x)=f(1) n+1. x`Ú1-. +4x 이므로. x`Ú1+. lim `f(x)= lim (4xÛ`-a)=4-a  . 즉, f(x)=6x. n. x`Ú1-. f(1)=6+4=10. x`Ú1-. lim `f(x)= lim (xÜ`+a)=1+a  . 따라서 Ú, Û, Ü에 의하여 f(1)의 최댓값은 14. x`Ú1+. . ③. .  . x`Ú1+. f(1)=1+a. 이므로 4-a=1+a 따라서 a=;2#; ①. f(x)-x =8에서 lim(x-5)=0이므로 x`Ú5 x-5. 43. x`Ú5.  . lim. . 40. 함수 f(x)가 x=2에서 연속이므로. f(x)-x도 최고차항의 계수가 1인 이차함수이므로. x`Ú2-. f(x)-x=(x-5)(x+a)`(a는 상수)라 하면. 즉, a+2=3a-2=f(2). . lim{ f(x)-x}=0이어야 한다..  .  . x`Ú5. lim `f(x)= lim `f(x)=f(2) x`Ú2+. 정답과 풀이 ● 7. 해_001-014-수Ⅱ(1단원)_OK.indd 7. 2020-12-16 오후 7:39:00.

(8) b=lim. xÛ`-5x+a x-3.  . a+2=3a-2에서. x`Ú3. 이때 f(2)=a+2=2+2=4. b=lim. xÛ`-5x+6 x-3.  . a=2. x`Ú3. 따라서 a+f(2)=2+4=6 b=lim. (x-3)(x-2) x-3.  . 6. x`Ú3. b=lim(x-2) x`Ú3. b=3-2=1. 44. 따라서 a+b=6+1=7. x¾2일 때 f(x)=1>0이므로  . ④.  .  . 함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 f(x)>0이다.. 47. g(x) 가 실수 f(x). .  . 그런데 f(x)는 x=2에서만 연속이 아니므로 함수. g(x) ax+1 2a+1 = lim = 2 f(x) x`Ú2- xÛ`-4x+6. lim.  . 같다. ( 2 (|t|>1). . x`Ú2-. 원 xÛ`+yÛ`=tÛ` 과 직선 y=1이 만나는 점의 개수 f(t)는 다음과  . 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 x=2에서 연속이면 된다.. f(t)={ 1 (|t|=1) 9 0 (|t|<1). . . g(x) ax+1 =2a+1 = lim f(x) x`Ú2+ 1. lim. x`Ú2+. g(2) 2a+1 =2a+1이므로 =2a+1에서 2 f(2). 함수 (x+k)f(x)가 구간 (0, ¦)에서 연속이면 x=1에서 연속. . 이어야 한다.. 2a+1=4a+2, 2a=-1. 즉, (1+k)f(1)= lim (x+k)f(x)= lim (x+k)f(x) . 따라서 a=-;2!;. x`Ú1-. x`Ú1+. 이어야 하므로 ④. ‌.  . lim (x+k)f(x)=(1+k) lim `f(x). x`Ú1-. x`Ú1-. =(1+k)_0=0  . ‌. lim (x+k)f(x)=(1+k) lim `f(x). 45. x`Ú1+. x`Ú1+. =(1+k)_2=2k+2. x+1일 때 . . (1+k) f(1)=1+k. xÛ`-3x+2 (x-1)(x-2) = =x-2 f(x)= x-1 x-1. 에서 0=2k+2=1+k. . 함수 f(x)는 x=1에서 연속이므로. 따라서 k=-1이므로. . . f(1)= lim f(x) x`Ú1. . . = lim (x-2)=1-2=-1. f(1)+k=1+(-1)=0 ③. x`Ú1. ②. 48 함수 f(x)가 x=3에서 연속이면 실수 전체의 집합에서 연속이므로. 함수 h(x)도 연속이다.. lim f(x)= f(3). 따라서 함수 h(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 함수 h(x). 을 만족시키면 된다.. 가 x=1에서 연속이어야 하므로. lim x`Ú3. . . . x`Ú3. x+1일 때, 두 함수 f(x)와 g(x)는 연속이므로 . . 46. h(x)= f(x)g(x)라 하면. xÛ`-5x+a =b에서 x-3. x`2Ú 3일 때 (분모)`2Ú 0이므로 (분자)`2Ú 0이어야 한다.. lim h(x)= lim h(x)=h(1). x`Ú1-. x`Ú1+. 을 만족시키면 된다. lim h(x)= lim. 2xÜ`+ax+b 의 값이 존재하고, x-1. 즉, lim(xÛ`-5x+a)=9-15+a=0에서. x`Ú1-. a=6. x`2Ú 1-일 때 (분모)`2Ú 0이므로 (분자)`2Ú 0이어야 한다.. x`Ú3. x`Ú1-. 8 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_001-014-수Ⅱ(1단원)_OK.indd 8. 2020-12-16 오후 7:39:01.

(9) (분자)`2Ú 0이어야 한다.. b=-a-2. 즉, lim (x+b)=0이므로 b=-1 x`Ú1+. (x-1)(2xÛ`+2x+a+2) x-1. = lim. x`Ú1-. = lim. x`Ú1+. = lim (2xÛ`+2x+a+2)=a+6. = lim. x`Ú1-. x`Ú1+. x`Ú1+. 2xÜ`+ax-a-2 2x+1. x`Ú1+. x`Ú1+. =4 즉,-3+a=4이므로 a=7. lim h(x)= lim h(x)=h(1)이므로. x`Ú1-. (x-1)('Äx+3+2) x-1. = lim ('Äx+3+2). (x-1)(2xÛ`+2x+a+2) =0 2x+1. = lim. (x-1)('Äx+3+2) ('Äx+3-2)('Äx+3+2).  . lim h(x)= lim. x`Ú1+. x-1 'Äx+3-2.  . lim. x`Ú1+.  . x`Ú1-.  . 2xÜ`+ax-a-2 x-1. lim h(x)= lim. x`Ú1-. Ⅰ. . x`Ú1-. 함수의 극한과 연속. 즉, lim (2xÜ`+ax+b)=2+a+b=0에서. 따라서 a+b=7+(-1)=6. x`Ú1+. a+6=0, 즉 a=-6. 6. b=-a-2에서 b=-(-6)-2=4 따라서 b-a=4-(-6)=10. 51. ①. 함수 f(x)는 x=0에서만 불연속이고, 함수 g(x)는 x=a에서만  . 49.  . 불연속이므로 함수 f(x)g(x)가 x=0, x=a에서만 연속이면 실. x>0일 때, g(x)=f(x)-xÛ`-2x-8. 만일 a<0이면. 함수 f(x)가 x=0에서 연속이므로. f(0)g(0)=2_(-1)=-2.  . .  . . 수 전체의 집합에서 연속이다..  . x<0일 때, g(x)=-f(x)+xÛ`+4. lim f(x)g(x)=2_(-1)=-2. . . lim f(x)= lim f(x)=f(0) x`Ú0+.  . x`Ú0-. x`Ú0+. 이다..  . lim f(x)g(x)=3_(-1)=-3. x`Ú0-. lim g(x)= lim {-f(x)+xÛ`+4}. 이므로 함수 f(x)g(x)가 x=0에서 불연속이다.. . x`Ú0-.  . x`Ú0-. . =-f(0)+4. 즉, a¾0이다. 이때 x=a`(a¾0)에서 함수 f(x)g(x)의 연속성을 조사하면  . . . lim g(x)= lim { f(x)-xÛ`-2x-8}. x`Ú0+. x`Ú0+. . f(a)g(a)=(-2a+2)(2a-1) lim f(x)g(x)=(-2a+2)(2a-1)  . . =f(0)-8. x`Úa+. lim f(x)g(x)=(-2a+2)_2a. . . lim g(x)- lim g(x)=6에서 x`Ú0+.  . x`Ú0-. x`Úa-. {-f(0)+4}-{ f(0)-8}=6.  .  . . 이때 lim f(x)g(x)= lim f(x)g(x)=f(a)g(a). -2f(0)=-6. x`Úa+. x`Úa-. 이어야 하므로. . 따라서 f(0)=3 ⑤. (-2a+2)(2a-1)=(-2a+2)_2a 2a-2=0 따라서 a=1. 50. ④. . 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로   .   . lim f(x)= lim f(x)=f(1). x`Ú1-. x`Ú1+.   . lim f(x)=-3+a. 52. x`Ú1-. 이므로. 함수 f(x)g(x)가 x=2에서 연속이기 위해서는   .   . x+b lim f(x)= lim =-3+a x`Ú1+ x`Ú1+ 'Äx+3-2. x`2Ú 1+일 때 (분모)`2Ú 0이므로. lim`f(x)g(x)=f(2)g(2)이어야 한다. x`Ú2. lim `f(x)g(x)= lim {(-xÛ`+a)_(x-4)}. x`Ú2-. x`Ú2-. 정답과 풀이 ● 9. 해_001-014-수Ⅱ(1단원)_OK.indd 9. 2020-12-16 오후 7:39:01.

(10) x`Ú2+. `. = lim (x+2). `. =4. 따라서 함수 f(t)는 t=0과 t=1에서 불연속이다.. 1 ] x-2. . lim `f(x)g(x)= lim [(xÛ`-4)_. x`Ú2+. y=f(t)의 그래프는 그림과 같다. f(t) 4. x`Ú2+. 3. 즉, (-4+a)_(-2)=4=f(2)g(2). y=f(t). 2. 이므로 8-2a=4. O. ②. 연속이어야 한다.. ( t`Ú lim `f(t)g(t)=4g(0). . 53. . . x=a에서 연속인 경우와 불연속인 경우로 나누어 생각한다. . . ‌. Ú 함수 f(x)가 x=a에서 연속이면 함수 f(x)g(x)는 실수 전체 의 집합에서 연속이므로. 함수 f(t)g(t)가 모든 실수 t에서 연속이므로 t=0과 t=1에서 함수 f(t)g(t)가 t=0에서 연속이려면. 함수 g(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 f(x)가. x`Úa-. 즉, 4g(0)=0=2g(0) 함수 f(t)g(t)가 t=1에서 연속이려면. ( t`Ú lim `f(t)g(t)=2g(1). lim `f(x)= lim (xÛ`-x)=aÛ`-a. x`Úa+. 9 f(0)g(0)=2g(0). 따라서 g(0)=0. lim `f(x)= lim (x+3)=a+3. x`Úa-. 0+. lim `f(t)g(t)=0 { t`Ú 0-. . t. . 따라서 a=2. 1. x`Úa+. 1+. { t`Ú1-. 에서. lim `f(t)g(t)=4g(1). aÛ`-a=a+3. 9 f(1)g(1)=3g(1). aÛ`-2a-3=0. 즉, 2g(1)=4g(1)=3g(1). (a+1)(a-3)=0. 따라서 g(1)=0. 따라서 a=-1 또는 a=3. g(0)=0, g(1)=0이므로 최고차항의 계수가 1인 이차함수 g(t)는. .  . Û 함수 f(x)가 x=a에서 불연속일 때 lim g(x)=0이면 함수 f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 연. g(t)=t(t-1). . . x`Úa. 따라서 f(3)+g(3)=2+6=8  . 속이다.. 8. . lim g(x)=lim {x-(2a+7)} . x`Úa. 55. . x`Ú2+. x`Ú2+.  .  . lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x)= lim f(x). x`Ú2+.  . 이면 함수 f(x)g(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이므로.  . =-a-7=0.  . .  . =a-(2a+7). .  . x`Úa.  . x`Ú2+. lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x)=0이고  . x`Ú2-.  . x`Ú2-.  . 속이어야 한다..  . -1_3_(-7)=21.  . 함수 f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=2에서 연.  . x`Ú2-. Ú, Û에 의해 모든 실수 a의 값의 곱은.  . a=-7.  .  . 즉, f(2)= lim f(x)=0  .  21. x`Ú2+. 같은 방법으로. 54.  .  .  . f(-2)= lim f(x)=0. x`Ú-2-. 이므로 t의 값의 범위에 따라 다음과 같다.. x=-2이므로.  . | 2 (t=0)  . f(t)= { 4 (0<t<1)  . | 3 (t=1)  . 9 2 (t>1).  . f(x)=(x+2)(x-2). 함수 f(x-a)g(x)=(x-a+2)(x-a-2)g(x)의 그래프가 한  .  . ( 0 (t<0).  . 그러므로 최고차항의 계수가 1인 이차함수 f(x)의 두 근이 x=2,.  . 함수 f(t)는 직선 y=t가 곡선 y=|xÛ`-2x|와 만나는 점의 개수. 점에서만 불연속이 되기 위해서는 a-2=2 또는 a+2=-2 이므로 a=4 또는 a=-4. 10 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_001-014-수Ⅱ(1단원)_OK.indd 10. 2020-12-16 오후 7:39:01.

(11)  . g(0)|h(0)|+lim g(x)|h(x)|이므로 함수 g(x)|h(x)|는 .  . 따라서 구하는 모든 실수 a의 값의 곱은. x`Ú0. . x=0에서 불연속이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.. ③. . ①. 56. 58. x 가 x=1, x=2에서 불연속이므로 `f(x). 함수 | f(x)|가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면 x=a에서 . f(x)=a(x-1)(x-2) (a+0). 연속이어야 하므로. 으로 놓을 수 있다.. . aÛ`-4=Ñ(a+2).  . x`Ú2. x`Úa-. |aÛ`-4|=|a+2|에서. a(x-1)(x-2) =lim a(x-1)=4 x`Ú2 x-2.  . lim. x`Úa+. a_(2-1)=4이므로. Ú aÛ`-4=a+2일 때 ‌. a=4. aÛ`-a-6=0 (a+2)(a-3)=0. f(4)=4_3_2=24. a=-2 또는 a=3. . . 따라서 f(x)=4(x-1)(x-2)이므로. 57. aÛ`+a-2=0 . (a+2)(a-1)=0. . . ‌. . ㄱ. lim g(x)= lim { f(x)+| f(x)|}. a=-2 또는 a=1 Ú, Û에서 함수 | f(x)|가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 . x`Ú0+. Û aÛ`-4=-(a+2)일 때 ‌.  24. x`Ú0+. . lim | f(x)|= lim | f(x)|=| f(a)|. 조건 (나)에서. . . 조건 (가)에서 함수. Ⅰ. 함수의 극한과 연속. 4_(-4)=-16. x`Ú0+. x`Ú0+. . . ‌. . 하는 실수 a의 값은 -2, 1, 3이므로 그 합은 (-2)+1+3=2. lim g(x)= lim { f(x)+| f(x)|}. x`Ú0-. . =0+0=0. . . = lim `f(x)+ lim | f(x)|. x`Ú0x`Ú0-. . . = lim `f(x)+ lim | f(x)| x`Ú0-. ⑤. . =-1+1=0 x`Ú0+. . . lim g(x)= lim g(x)=0이므로 lim g(x)=0 (참) . x`Ú0-. x`Ú0.  . ㄴ. h(0)=f(0)+f(0)=2 f(0)=2_;2!;=1이므로 |h(0)|=1. = lim `f(x)+ lim f(x). x`Ú0+. . x`Ú0+. . x`Ú0+. . ‌. lim h(x)= lim { f(x)+f(-x)}  . x`Ú0 . =0+(-1)=-1. = lim `f(x)+ lim f(x). x`Ú0-. . x`Ú0-. . x`Ú0-. . ‌. lim h(x)= lim { f(x)+f(-x)}  . x`Ú0+ . =(-1)+0=-1. lim h(x)=-1이므로 lim|h(x)|=|-1|=1. 즉, |h(0)|=lim|h(x)|=1이므로 함수 |h(x)|는 x=0에.  . x`Ú0. ‌. x`Ú0. x`Ú0 . 서 연속이다. (참) . ‌. ㄷ. g(0)=f(0)+| f(0)|=;2!;+| ;2!; |=1이고 h(0)=1이므로. x`Ú0. . lim g(x)|h(x)|=lim g(x)_lim|h(x)|=0_1=0 . .  . g(0)|h(0)|=1_1=1 x`Ú0. x`Ú0. 정답과 풀이 ● 11. 해_001-014-수Ⅱ(1단원)_OK.indd 11. 2020-12-16 오후 7:39:02.

(12) .  . 03 ①. t`Ú0+. 04 20. t+4-"ÃtÛ`+4t+8 2. = lim. 4t+8. 2(t+4+"ÃtÛ`+4t+8 ). = lim. 2t+4 t+4+"ÃtÛ`+4t+8. t`Ú0+.  . 02 6. t`Ú0+. . 01 ②. lim f(t)= lim . 본문 24~25 쪽. . 1등급 고난도 문제. . 정답률 28.7%.  . t`Ú0+. . 01. . =. 4 4-2'2 =2-'2 = 2 4+2'2 . 개념만 확실히 알자!. 정답 공식 ;0); 꼴의 함수의 극한  . ②. ‌. ⑴ 분모, 분자가 모두 다항식이면. 수능이 보이는 강의. ⇨ 인수분해한 후 공통인 인수를 약분한다.. 부정형의 극한은 부정형이 되지 않도록 다음과 같은 방법으로 식을. ‌. ⑵ 분모 또는 분자가 무리식이면. 변형해야 돼. ① 분자, 분모를 인수분해하기. 도형의 성질을 이용하여 f(t)를 t에 대한 식으로 나타낸다.. ② 최고차항으로 묶어내기 (최고차항으로 분자, 분모를 나누기). 함정. 문제 풀이. ③ 근호(' )가 포함된 식을 유리화하기. 직사각형의 넓이를 이등분하는 직선은 직사각형의 두 대각선의 교점을 지나.. [STEP 1] 직선 l의 방정식을 구한다..  . 풀이 전략. ⇨ 근호가 있는 쪽을 유리화한 후 공통인 인수를 약분한다.. 직선 l이 정사각형 OABC의 넓이를 이등분하므로 점 (-1, 1)을. 02. 정답률 18.7%. . 직선 l의 기울기를 m이라 하면 직선 l의 방정식은. 지난다.. 개념만 확실히 알자!. 정답 공식. y=m(x+1)+1, 즉 y=mx+m+1 [STEP 2] 직선 l과 선분 AP의 교점 E의 x좌표를 구한다.. 1. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 좌표평면 위의 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª) 사이의 거리는. . 직선 l과 y축이 만나는 점을 D라 하면 점 D의 좌표는. ABÓ="Ã(xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û`.   . (0, m+1). 2 기울기가 - 이고 y절편이 2인 직선 t. ‌. ⑴ 분모, 분자가 모두 다항식이면. 직선 AP의 방정식이 y=-;t@;x+2이므로.  . 2. ;0); 꼴의 함수의 극한. 직선 l과 선분 AP가 만나는 점을 E라 하면. ⇨ 인수분해한 후 공통인 인수를 약분한다.. ‌. ⑵ 분모 또는 분자가 무리식이면. (1-m)t mx+m+1=-;t@;x+2에서 x= mt+2. ⇨ 근호가 있는 쪽을 유리화한 후 공통인 인수를 약분한다.. 이차함수 f(x)의 식을 이용하여 점 Q의 좌표를 구한다.. . . 풀이 전략. [STEP 3] 넓이를 이용하여 f(t)를 t에 대한 식으로 나타낸다.. (1-m)t 그러므로 점 E의 x좌표는 이다. mt+2. mÛ`-(2+t)m-1=0에서 m= =. t+2Ñ"Ã(t+2)Û`-4_(-1) 2 t+2Ñ"ÃtÛ`+4t+8 2. . f(x)=(x+2)(x-t+1). [STEP 2] 점 Q의 좌표를 구한다.. 이차함수 y=f(x)의 그래프의 y절편이 점 Q이므로 점 Q의 좌표는 x=0을 대입. (0, 2-2t) [STEP 3] APÓ, AQÓ의 길이를 각각 구한다.. APÓ="Ã{t-(-2)}Û`+(t+2)Û` .  . AQÓ="Ã(-2)Û`+(2t-2)Û` .   . [STEP 4] lim f(t)의 값을 구한다.. =|t+2|"2 ‌. . t+4-"ÃtÛ`+4t+8 f(t)=m+1= 2. . . f(x)=(x+2)(x+k)로 놓으면 함수 y= f(x)의 그래프가 점 P(t, t+2)를 지나므로 t+2=(t+2)(t+k)에서 (t+2)k=-(t+2)(t-1), k=-t+1 f(x)=(x+2)(x-t+1). ‌. 직선 l의 y절편은 m+1이고 0<m+1<2이므로. 이차함수 f(x)는. . △ADE=;2!;_ADÓ_(점 E의 x좌표). 최고차항의 계수가 1이고 두 점 A(-2, 0), P(t, t+2)를 지나는.  . t+0이므로(1-m)Û`=mt+2. [STEP 1] 이차함수 f(x)의 식을 구한다.. . (1-m)t ;2!;_(1-m)_ =;2!;_{;2!;_2_t} mt+2. 문제 풀이. . 삼각형 ADE의 넓이가 삼각형 AOP의 넓이의 ;2!;이므로. t`Ú0+. =2"ÃtÛ`-2t+2 [STEP 4] lim ('2_APÓ-AQÓ)의 값을 구한다. t`Ú¦  . 따라서. 12 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_001-014-수Ⅱ(1단원)_OK.indd 12. 2020-12-16 오후 7:39:02.

(13) 따라서. 한편 함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 . 6t+2 |t+2|+"ÃtÛ`-2t+2. |\\1+;t@;|+7 91-;t@;+ 2 tÛ` 6 =2_ 1+1 t`Ú¦. x+3 xÛ`+ax+b. =;b#; 또, g(0)=1이므로 b=3. 이때 g(x)=. x+3 xÛ`+ax+3. [STEP 2] g(2)의 최솟값을 구한다.. 함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이어야 하므로 방정식. . . x`Ú0.  . =2 lim. 6+;t@;. x`Ú0. . . t`Ú¦. . =2 lim. lim g(x)=lim. . . |t+2|Û`-(tÛ`-2t+2) |t+2|+"ÃtÛ`-2t+2. t`Ú¦. . x`Ú0. t`Ú¦. =2 lim. 함수의 극한과 연속. t`Ú¦. Ⅰ. lim g(x)=g(0)에서. lim ('2_APÓ-AQÓ)= lim (2|t+2|-2"ÃtÛ`-2t+2) . =6. 주의. . xÛ`+ax+3=0 6. 함수 g(x)의 분모가 0이면 xÛ`+ax+3=0인 x의 값에 서 불연속이므로 xÛ`+ax+3+0이어야 해.. 은 허근을 가져야 한다. 그러므로. -2'3 <a<2'3. yy ㉠.   . 개념만 확실히 알자!. 정답 공식. (a+2'3)(a-2'3)<0  . . 정답률 14.7%. 03. D=aÛ`-12<0. . 한편 f(1)이 자연수이므로. 함수가 연속일 조건. k. . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 이다. 한편. .   . lim g(x)=k x`Úa . ⑵ 함수 f(x)가 x=a에서 연속이면 . lim`f(x)=f(a). g(2)=. x`Úa. 5 2a+7. g(x)=. x+3 에 x=2를 대입한다. xÛ`+ax+3. 이고 a=3일 때 이 값은 최솟값 ;1°3; 를 갖는다.  . . 분수 꼴의 함수에서 x`Ú a일 때. a+4>0. ㉠에서 정수 a의 값은. (x=a) (k는 상수). 가 모든 실수 x에 대하여 연속이면.   . f(1)=1_(1Û`+a+3)=a+4. 에서 a+4가 자연수이어야 하므로 a>-4이고 a는 정수이다.. g(x) (x+a).    . f(x)=à. . ⑴ x+a에서 연속인 함수 g(x)에 대하여. . . ① (분모)`Ú 0이고 극한값이 존재하면 (분자)`Ú 0이다.. ①. . 04. 정답률 6.9%. . 함수의 연속성을 이용한다.. 풀이 전략. . ② (분자)`Ú 0이고 0이 아닌 극한값이 존재하면 (분모)`Ú 0이다.. 실수 전체의 집합에서 정의된 g(x), h(x)에 대하여 함수 . f(x)g(x)=x(x+3). f(x)=à.    . 이고 조건 (나)에서 g(0)=1이므로 위의 식에 x=0을 대입하면. g(x) (x<a). h(x) (x¾a). 가 모든 실수 x에 대하여 연속이려면 lim g(x)= lim h(x)=f(a) .   . f(0)g(0)=0. x`Úa-. x`Úa+. . f(0)_1=0. 풀이 전략. f(x)=x(xÛ`+ax+b) (a, b는 상수). 문제 풀이. f(0)=0이므로 x를 인수로 갖는다.. [STEP 1] 함수 f(x)가 x=1에서 연속일 조건을 구한다.. =. x+3 xÛ`+ax+b. .  . f(x)g(x)=x(x+3). 함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 . x(x+3) x(xÛ`+ax+b). . =. (x<1) ( ax+b f(x)=m{ ; 9 cxÛ`+;2% x (x¾1) . x(x+3) g(x)= f(x) . .  . 이때 조건 (가)에서. 함수의 연속과 역함수의 성질을 이용한다.. . . . 이때 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이므로. . 즉, f(0)=0. . . 조건 (가)에서 모든 실수 x에 대하여. . 개념만 확실히 알자!. 정답 공식. [STEP 1] 함수 g(x)의 식을 구한다.. . 문제 풀이. lim `f(x)= lim `f(x)=f(1). x`Ú1-. x`Ú1+. 정답과 풀이 ● 13. 해_001-014-수Ⅱ(1단원)_OK.indd 13. 2020-12-16 오후 7:39:02.

(14) lim `f(x)= lim (ax+b)=a+b x`Ú1-. h(2)=g ÑÚ`(2) ‌. . lim `f(x)= lim `{cxÛ`+;2%; x}=c+;2%;. 이므로   . g ÑÚ`(2)=h(2)=c_2Û`+;2%;_2. yy ㉡. 한편 함수 y=f(x)의 그래프와 역함수 y=f ÑÚ`(x)의 그래프의 . yy ㉠. a(4c+5)+b=2. ‌. a+b=c+;2%;. h(x)=cxÛ`+;2%; x (x¾1)이므로  . ‌. g(4c+5)=2에서.  . f(1)=c+;2%;. ‌. . ‌. x`Ú1+. . 즉, g ÑÚ`(2)=4c+5이므로.  . x`Ú1+. . 중 하나의 x좌표가 2이므로.  . x`Ú1-. ‌. 함수 y=f(x)의 그래프와 역함수 y=f ÑÚ`(x)의 그래프의 교점 ‌. 이어야 한다. 이때. 교점 중 하나의 x좌표가 1이므로 h(1)=1이어야 한다.. [STEP 2] 함수 f(x)의 역함수가 존재할 조건을 구한다.. 즉, h(1)=c+;2%;=1에서. a>0, c>0 또는 a<0, c<0. c=-;2#;. 이어야 한다. Ú a>0, c>0일 때. c=-;2#; 을 ㉠, ㉡에 대입한 후 연립하면. 함수 y=f(x)의 그래프가 증가하므로 함수 y=f(x)의 그래프. a=-;2!;, b=;2#;. ‌. . 와 역함수 y=f ÑÚ`(x)의 그래프의 교점은 함수 y=f(x)의 그 래프와 직선 y=x의 교점과 일치한다..  . Ú, Û에서 a=-;2!;, b=;2#;, c=-;2#;. . . 이때 함수 y=f(x)의 그래프와 역함수 y=f ÑÚ`(x)의 그래프의. ㉠: a+b=1, ㉡: -a+b=2. ‌. ‌. ‌. . ‌.  . 한편 함수 f(x)의 역함수가 존재하므로. .  . 함수와 그 역함수의 그래프의 교점의 좌표는 (a, a)야..  . f(1)=f ÑÚ`(1)=1. 따라서. 주의. 교점 중 하나의 x좌표가 1이므로 이어야 한다.. 2a+4b-10c=2_{-;2!;}+4_;2#;-10_{-;2#;} =20. 즉, f(1)=c+;2%;=1에서  .  20. c=-;2#;. 수능이 보이는 강의. 이것은 조건을 만족시키지 않는다.. 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f -1(x)의 그래프는 직선 . 즉, a>0, c>0을 만족시키지 않는다.. y=x에 대하여 대칭이므로 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의. Û a<0, c<0일 때. . 교점은 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f -1(x)의 그래프. 함수. 의 교점이기도 해.. (x<1) ( ax+b f(x)=m{ ; 9 cxÛ`+;2% x (x¾1) . 하지만 그 역은 성립하지 않아. . 즉, 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f -1(x)의 그래프의 교.  . 점이 반드시 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점이 되는 것은 아니야. 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f -1(x)의 그. . . 에서. 래프의 교점은 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점 이외에. g(x)=ax+b (x<1). 더 있을 수도 있어.. h(x)=cxÛ`+;2%;x (x¾1)  . ‌. 이라 하자. 함수 f(x)의 역함수가 존재하므로 두 함수 g(x), h(x)도 역함수가 존재한다. . [STEP 3] 함수 y=f(x)의 그래프와 역함수 y=f ÑÚ`(x)의 그래프의 교점의 좌표를 이용하여 a, b, c의 값을 구한다. . ‌. 함수 y=f(x)의 그래프와 역함수 y=f ÑÚ`(x)의 그래프의 교점. ‌ . 중 하나의 x좌표가 -1이므로. 직선 y=x 위에 교점이 있다.. g(-1)=hÑÚ`(-1). ‌. 즉, hÑÚ`(-1)=-a+b이므로  . . f(x)=y에서 f -1(y)=x. . h(-a+b)=-1에서. ‌. ‌. c(-a+b)Û`+;2%;(-a+b)=-1. 14 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_001-014-수Ⅱ(1단원)_OK.indd 14. 2020-12-16 오후 7:39:02.

(15) Ⅱ 미분. 03 h`Ú0. f(1+2h)-f(1) f(1+2h)-f(1) =2 lim h`Ú0 h 2h  . lim 본문 28~49 쪽.  . .  . =2 f '(1). 수능 유형별 기출 문제. 79 ④. 80 8. 이므로 f '(1)=2_1+8=10. Ⅱ.  .  . 따라서 구하는 값은 2 f '(1)=20 ⑤. 04. 미분계수의 정의에 의해 lim x`Ú2.  . f(x)-f(2) = f '(2)이므로 f '(2)=3 x-2. 따라서. lim h`Ú0. f(2+h)- f(2-h) h. f '(x)=2x+8  . 55 12 60 ③ 65 ② 70 ⑤ 75 ①. 54 ⑤ 59 ① 64 ① 69 21 74 3. 30 25 35 ① 40 ③ 45 ⑤ 50 ②. 29 24 34 ③ 39 ② 44 ② 49 ①. =lim. f(2+h)- f(2)+ f(2)- f(2-h) h. =lim. f(2+h)- f(2) f(2-h)- f(2) +lim h`Ú0 h -h. h`Ú0. h`Ú0. 78 ① 83 27. 05 ③ 10 ④ 15 13 20 8 25 7. 77 ④ 82 ①. 53 ① 58 ② 63 15 68 ③ 73 ⑤. 52 ② 57 ② 62 ③ 67 ③ 72 ⑤. 04 ④ 09 ① 14 24 19 ① 24 112. 28 15 33 19 38 ⑤ 43 10 48 3. 76 ② 81 22. 27 20 32 30 37 ① 42 ③ 47 ⑤. 51 ③ 56 ⑤ 61 ④ 66 12 71 ③. 03 ⑤ 08 3 13 ⑤ 18 10 23 4. 26 22 31 35 36 ④ 41 2 46 ③. 02 ③ 07 ① 12 ⑤ 17 ② 22 13. 미분. 01 ① 06 32 11 2 16 ④ 21 ④. f(x)=xÛ`+8x에서. = f '(2)+ f '(2) =2 f '(2). 유형. 1. =2_3=6. 평균변화율과 미분계수. ④. 01. 05. f '(x)=4xÜ`+3이므로. 다항함수 f(x)는 x=2에서 미분가능하므로. f '(2)=4_2Ü`+3=35. lim. f(x)=xÝ`+3x-2에서. ①. h`Ú0. f(2+h)- f(2) = f '(2)에서 f '(2)=9 h. f(x)=xÜ`-2xÛ`+ax+1에서 f '(x)=3xÛ`-4x+a 이므로 f '(2)=3_2Û`-4_2+a=a+4. 다항함수 f(x)는 x=2에서 미분가능하므로. 따라서 a+4=9이므로. 02. f(2+2h)- f(2) f(2+2h)- f(2) =lim[ _2] 2h h`Ú0 h . =2lim. f(2+2h)- f(2). h`Ú0. 2h. h`Ú0. ‌. lim. a=5 ③. . 06. . =2 f '(2). f(x)=xÜ`-2xÛ`에서. f(x)=xÜ`+ax에서 x의 값이 0에서 2까지 변할 때의 평균변화율. f '(x)=3xÛ`-4x. 이 9이므로. 이므로 f '(2)=3_2Û`-4_2=4 따라서 구하는 값은. (8+2a)-0 f(2)-f(0) = =4+a=9 2-0 2-0. 2 f '(2)=2_4=8. 따라서 a=5 ③. f(x)=xÜ`+5x이므로 정답과 풀이 ● 15. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 15. 2020-12-16 오후 5:38:01.

(16) .  . f(a)- f(0) aÜ`-3aÛ`+5a = a-0 a  32. . =aÛ`-3a+5 . 따라서 f '(3)=27+5=32. f '(x)=3xÛ`+5. f(x)=xÜ`-3xÛ`+5x에서 f '(x)=3xÛ`-6x+5. 07 lim.  . 이므로 f '(2)=3_2Û`-6_2+5=5. x`Ú0. 따라서 aÛ`-3a+5=5에서. f(x)+g(x) =3에서 x. a(a-3)=0 a=0 또는 a=3. 즉, lim { f(x)+g(x)}=0. a>0이므로 a=3.  . x`2Ú 0일 때 (분모)`2Ú 0이므로 (분자)`2Ú 0이어야 한다. x`Ú0. 3.  . 이때 두 다항함수 f(x), g(x)는 연속함수이므로 yy ㉠.   . f(0)+g(0)=0. 09.  . f(1)g(1)+4=0, 즉 f(1)g(1)=-4.  . g(x)-g(0) f(x)- f(0) ] + x x  . =f '(0)+g '(0). 다항함수 f(x)와 g(x)는 x=1에서 연속이므로. . f(1)g(1)=-2g(1)=-4에서. yy ㉡.   . =3. x`Ú1. g(1)=2. f(x)+3 또, lim =2에서 x`Ú0 xg(x). yy ㉠. x`Ú0. 조건 (가)에서 lim{ f(x)g(x)+4}=0. . .  . =lim [. . ‌.  . f(x)+g(x) f(x)+g(x)- f(0)-g(0) lim =lim x`Ú0 x`Ú0 x x. 따라서.  . g(x)는 일차함수이므로 g(x)=ax+b (a+0, a, b는 상수)라 하 면. x`2Ú 0일 때 (분모)`2Ú 0이므로 (분자)`2Ú 0이어야 한다.. g '(x)=a. yy ㉡.  .  . 즉, lim { f(x)+3}=0이므로 x`Ú0. 조건 (나)에서 g(0)=g'(0)이므로 b=a. f(0)+3=0에서. 그런데 ㉠에서 a+b=2이므로 a=1, b=1. f(0)=-3이므로 ㉠에서. ㉡에서 g '(1)=1.  . g(0)=3. lim. f '(0) 3. =2. ={ f(1)g(1)}' = f '(1)g(1)+f(1)g '(1) 즉, f '(1)g(1)+f(1)g '(1)=2 f '(1)-2=8 따라서 f '(1)=5. . ①. . =. f(x)g(x)- f(1)g(1) f(x)g(x)+4 =lim x`Ú1 x-1 x-1. . . . f '(0) =  g(0).  . f(x)+3 f(x)- f(0) 1 ] =lim [ _ x`Ú0 x  g(x) xg(x). . x`Ú0. x`Ú1. ‌. lim.  . 따라서. 에서 f '(0)=6 따라서 ㉡에서  . g'(0)=-3. 이므로 곱의 미분법에 의해.  . =6_3+(-3)_(-3). ‌. h'(0)= f '(0)g(0)+ f(0)g '(0). . 유형. =27. 미분가능성. 10. ①. 2. 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 f(x)는 실수 전체의 집합에 서 미분가능하다.. 함수 f(x)에서 x의 값이 0에서 a까지 변할 때의 평균변화율은. f(1)=b+4이므로. 08. 16 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 16. 2020-12-16 오후 5:38:01.

(17) ‌. x`Ú1-. x`Ú1+.  .  . . xÝ`+a-(1+a) f(x)-f(1) = lim x`Ú1+ x-1 x-1. lim. = lim b . =2a. b(x-1) x`Ú1+ x-1. = lim. = lim a(x+1). . f(x)- f(1) bx+4-b-4 = lim x`Ú1+ x-1 x-1. lim. x`Ú1+. …… ㉠. . . =b. …… ㉡. xÜ`+ax-4 =b x`Ú1x-1. lim. f(x)-f(1) f(x)-f(1) 에서 = lim x`Ú1+ x-1 x-1. 2a=4 …… ㉢. . =4. x`Ú1-. ㉠, ㉡에서 lim. Ⅱ. x`Ú1+. f(x)- f(1) 의 값이 존재해야 하므로 x-1. x`Ú1. (xÛ`+1)(x+1)(x-1) x-1. 미분. 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하려면 lim. = lim . = lim {(xÛ`+1)(x+1)}. xÜ`+ax-4 x-1. xÝ`-1 x-1. x`Ú1+.  . x`Ú1-. . ‌. . = lim. = lim x`Ú1+. f(x)- f(1) xÜ`+ax+b-b-4 = lim x`Ú1x-1 x-1. lim. x`Ú1-. x`Ú1+. 이어야 한다.. 따라서 a=2 2. 12. 이때 x`2Ú 1-일 때 (분모)`2Ú 0이고 ㉢이 수렴하므로 (분자)`2Ú 0이어야 한다.. 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 미분가능하면 x=-2에서도 미분. 즉, lim (xÜ`+ax-4)=1+a-4=0에서. 가능하므로 함수 f(x)는 x=-2에서 연속이다.. a=3. Ú 함수 f(x)가 x=-2에서 연속이므로. x`Ú1-. lim `f(x)= lim `f(x)=f(-2). 이때 ㉢에서. lim (xÛ`+ax+b)= lim 2x=f(-2). xÜ`+3x-4 x-1. x`Ú-2-. x`Ú--2+. b=2a-8.   . 4-2a+b=-4=f(-2)이므로. (x-1)(xÛ`+x+4) x`Ú1x-1. = lim. yy ㉠. ‌. x`Ú1-. Û 함수 f(x)가 x=-2에서 미분가능하고. = lim (xÛ`+x+4). lim. 따라서. x`Ú-2-. a+b=3+6=9. f(x)-f(-2) x-(-2). (xÛ`+ax+2a-8)-(-4) x+2 xÛ`+ax+2a-4 = lim x`Ú-2x+2. = lim. ④. x`Ú-2-.  . 11. (x+2)(x+a-2) x+2. = lim. 즉, lim f(x)= lim f(x)=f(1)에서. = lim (x+a-2)=a-4. x`Ú-2-.  .  . lim. x`Ú1+. x`Ú-2+. 즉, a+1=1+a axÛ`+1 (x<1) xÝ`+a. . 또한, f(x)=à. (x¾1). = lim. 이 x=1에서 미분가능하면. x`Ú-2+. = lim. x`Ú-2+. = lim x`Ú1-. a(x+1)(x-1) x-1. 2(x+2) =2 x+2. ㉠에 대입하면 b=4 따라서 a+b=6+4=10 . a(xÛ`-1) = lim x`Ú1x-1. 2x-(-4) x+2. 에서 a-4=2, 즉 a=6. axÛ`+1-(a+1) f(x)-f(1) = lim x`Ú1x-1 x-1.  . 미분계수 f '(1)이 존재해야 하므로 x`Ú1-. f(x)-f(-2) x-(-2)  . lim (axÛ`+1)= lim (xÝ`+a)=1+a. x`Ú1-.  . x`Ú-2-. x`Ú1+.  . x`Ú1-.  . 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연속이다.. lim. . ㉠에서 b=2a-8, f(-2)=-4이므로. =1Û`+1+4=6.  . x`Ú1-. x`Ú--2+.  . b= lim. x`Ú-2-. ⑤. 정답과 풀이 ● 17. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 17. 2020-12-16 오후 5:38:01.

(18) = lim. x`Úk+. x`Ú1-. = lim. x`Ú1-. = lim. =0_(-1)=0 (거짓) . x`Úk+. . (x-k){xÛ`+kx+kÛ`-(x+k)-9} x-k. =3kÛ`-2k-9. f(1)g(1)=0_(-1)=0 (참). lim. ㄷ. lim f(x)=1, lim g(x)=1이므로. g(x)-g(k) g(x)-g(k) = lim x`Úk+ x-k x-k.  . x`Úk-. x`Ú1+. (xÜ`-xÛ`-9x+1)-(kÜ`-kÛ`-9k+1) x-k. . ‌. . ㄴ. f(1)=0, g(1)=-1이므로. . x`Ú1-. f(x)-f(k) x-k.  . ‌. lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x) . x`Ú1-. x`Úk+. . x`Ú1-. .  . ㄱ. lim f(x)=0, lim g(x)=-1이므로. x`Ú1+. 이므로. lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x)=1_1=1  . . 13. x`Ú1+. x`Ú1+. x`Ú1+. -3kÛ`+2k+9=3kÛ`-2k-9. lim f(x)g(x)=0에서. 3kÛ`-2k-9=0. x`Ú1-. lim f(x)g(x)+ lim f(x)g(x). 그러므로 k에 대한 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 구하. 이므로 lim f(x)g(x)의 값은 존재하지 않는다.. 는 모든 실수 k의 값의 합은 ;3@;이다.. 즉, 함수 f(x)g(x)는 x=1에서 불연속이다. (참). 따라서 p=3, q=2이므로. x`Ú1+. x`Ú1-. . x`Ú1. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.. pÛ`+qÛ`=13 ⑤.  13. 14. 유형. 함수 h(x)=f(x)g(x)가 구간 (-2, 2)에서 연속이므로 함수 그러므로 이차함수 g(x)는 g(-1)=0, g(1)=0을 만족시켜야 한다.. 다항함수의 도함수. 16. h(x)가 x=-1과 x=1에서 연속이다.. 3. f(x)=xÜ`+7x+3에서 f '(x)=3xÛ`+7  . 이차함수 g(x)는 최고차항의 계수가 1이므로. 따라서 f '(1)=3_1Û`+7=10. g(x)=(x+1)(x-1)=xÛ`-1. ④. 따라서 g(5)=5Û`-1=24. 17.  24. f(x)=xÜ`+2xÛ`에서. 15. . 다항함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 직선. x=k에 대하여 대칭인 함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가 능하기 위해서는 x=k에서 미분가능하면 된다.. f '(x)=3xÛ`+4x f '(x)=3xÛ`+4x에 x=1을 대입하면 f '(1)=3_1Û`+4_1=7 ②. x`Úk-. 18. f(2k-x)-f(k) x-k.  . (2k-x)Ü`-(2k-x)Û`-9(2k-x)+1 = lim [ x`Úkx-k . -.  . = lim [(k-x)_ x`Úk-. (2k-x)Û`+k(2k-x)+kÛ`-(3k-x)-9 ] x-k. =-3kÛ`+2k+9 . g(x)-g(k) x`Úk+ x-k. 또, lim. kÜ`-kÛ`-9k+1 ] x-k. f(x)=xÜ`+10x에서 f '(x)=3xÛ`+10 따라서 f '(0)=3_0Û`+10=10  10. 19. = lim.  .  . g(x)-g(k) lim x`Úkx-k. f(x)=xÜ`-2x-7에서 f '(x)=3xÛ`-2. 18 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 18. 2020-12-16 오후 5:38:02.

(19) 따라서. f '(1)=6_1Û`+1=7. f '(1)=3_1Û`-2=1. 7 ①. 26. 20. f(x)=(2x+3)(xÛ`+5)에서. f(x)=xÛ`-2x-12에서. . f '(x)=(2x+3)'_(xÛ`+5)+(2x+3)_(xÛ`+5)' =2(xÛ`+5)+(2x+3)_2x. 따라서 f '(5)=2_5-2=8. =6xÛ`+6x+10. f '(x)=2x-2 8. . Ⅱ. 따라서 f '(1)=6_1Û`+6_1+10=22. 21. 27. f '(x)=3xÛ`+7. f(x)=xÝ`-3xÛ`+8에서. 따라서 f '(0)=7. f '(x)=4xÜ`-6x. f(x)=xÜ`+7x+1에서. 미분.  22. ④. f '(x)=4xÜ`-6x에 x=2를 대입하면 f '(2)=4_2Ü`-6_2=20. 22.  20. f(x)=xÜ`+5xÛ`+1에서. 28. f '(x)=3xÛ`+10x에 x=1을 대입하면. f(x)=xÜ`-2xÛ`+4에서. f '(1)=3_1Û`+10_1=13. f '(x)=3xÛ`-4x  . f '(x)=3xÛ`+10x.  13. f '(x)=3xÛ`-4x에 x=3을 대입하면 f '(3)=3_3Û`-4_3=15. 23.  15. f(x)=3xÛ`-2x에서. 29. f '(x)=6x-2에 x=1을 대입하면. f(x)=xÜ`+3xÛ`+3에서. f '(1)=6_1-2=4. f '(x)=3xÛ`+6x. f '(x)=6x-2. 4. f '(x)=3xÛ`+6x에 x=2를 대입하면 f '(2)=3_2Û`+6_2=24. 24.  24.  f(x)=10xÛ`+12x에서. 30.  f '(x)=20x+12에 x=5를 대입하면. f(x)=xÜ`-2x-2에서.  f '(5)=20_5+12=112. f '(x)=3xÛ`-2.  f '(x)=20x+12.  112. 따라서 f '(3)=3_3Û`-2=25  25. 25. f '(x)=6xÛ`+1. f(x)=5xÞ`+3xÜ`+x에서. f '(x)=6xÛ`+1에 x=1을 대입하면. f '(x)=25xÝ`+9xÛ`+1. 31. f(x)=2xÜ`+x+1에서. 정답과 풀이 ● 19. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 19. 2020-12-16 오후 5:38:02.

(20) f(2)=;2!;_2Û`+1=2+1=3. f '(x)=25xÝ`+9xÛ`+1에 x=1을 대입하면 f '(1)=25_1Ý`+9_1Û`+1=35. ①.  35. 36. 32. f(x) =;4!;에서 (x-2){ f '(x)}Û`. f '(x)=16xÜ`+14x. x`Ú2일 때 (분모)`Ú0이므로 (분자)`Ú0이어야 한다.. f '(x)=16xÜ`+14x에 x=1을 대입하면. 즉, f(2)=0이므로 삼차함수 f(x)를. f '(1)=16_1Ü`+14_1=30. f(x)=(x-1)(x-2)(x+a)(a는 상수). x`Ú2.  30. . lim . . f(x)=4xÝ`+7xÛ`+1에서. 로 놓을 수 있다. 이때 f '(x)=(x-2)(x+a)+(x-1)(x+a)+(x-1)(x-2). =lim . f '(x)=4xÜ`+6x+9. x`Ú2. 따라서 f '(1)=4_1Ü`+6_1+9=19  19. =. . f(x)=xÝ`+3xÛ`+9x-27에서. f(x) (x-2){ f '(x)}Û` . x`Ú2. (x-1)(x+a) { f '(x)}Û` . lim . . 33. 2+a 1 = 2+a (2+a)Û` 1 =;4!;이므로 2+a. 에서 a=2. 이차함수 f(x)는 최고차항의 계수가 1이고 함수 y= f(x)의 그래. 따라서 f(x)=(x-1)(x-2)(x+2)이므로. 프는 x축에 접하므로. f(3)=2_1_5=10. 34. ④. f(x)=(x-a)Û` (a는 상수)라 하면 f '(x)=2(x-a)이므로.  . . g(x)=(x-3) f '(x)=2(x-a)(x-3). . =2xÛ`-2(a+3)x+6a  . 곡선 y= g(x)가 y축에 대하여 대칭이므로 x의 계수가 0이다.. 유형. 즉, a=-3. 접선의 방정식. 37. 따라서 f(x)=(x+3)Û`이므로 f(0)=3Û`=9. 4. f(x)=axÛ`+b에서 f '(x)=2ax. y'=3xÛ`-6x+2 점 A(0, 2)에서의 접선의 기울기는 2이므로 이 접선과 수직인 직 선의 기울기는 -;2!; 이다.. . 35. y=xÜ`-3xÛ`+2x+2에서.  . ③. Z. 4 f(x)={ f '(x)}Û`+xÛ`+4에 f(x)=axÛ`+b, f '(x)=2ax를 대 입하면. ZYšAY™A

(21) Y

(22) .  ". 4(axÛ`+b)=(2ax)Û`+xÛ`+4 4axÛ`+4b=4aÛ`xÛ`+xÛ`+4. 0. 4axÛ`+4b=(4aÛ`+1)xÛ`+4 4a=4aÛ`+1, 4b=4. Y. 따라서 점 A(0, 2)를 지나고 기울기가 -;2!; 인 직선의 방정식은. 즉, a=;2!;, b=1. y-2=-;2!; (x-0). 따라서 f(x)=;2!;xÛ`+1이므로. 즉, y=-;2!; x+2  .  .  . (2a-1)Û`=0, b=1. 20 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 20. 2020-12-16 오후 5:38:02.

(23) 따라서 h(a)=2a-1, a=;2%;, b=;2#;이므로. 이므로 이 직선의 x절편은 0=-;2!; x+2  . h(a)_h(b)=h{;2%;}_h{;2#;}. 에서. ={2_;2%;-1}{2_;2#;-1}. x=4 ①. =4_2=8 ②. 38. 40.  . f(x)=x(x-a)(x-6)이라 하면. yy ㉠. y=g '(2)(x-2)+g(2). Ⅱ. 곡선 y=g(x) 위의 점 (2, g(2))에서의 접선의 방정식은.  . 는 접선의 기울기는 f '(0)이다..  . f(2)=1에서 g '(2)=1이므로 ㉠에서. 미분. f(0)=0이므로 원점은 곡선 y= f(x) 위의 점이고 원점에서 접하. 이때 g '(x)=f(x)이고 y=x-2+g(2). 원점이 아닌 점 (t, f(t))에서의 접선의 방정식은. 이때 접선의 y절편이 -5이므로. y- f(t)= f '(t)(x-t). x=0, y=-5를 대입하면. 이고 이 직선이 원점을 지나므로. -5=-2+g(2). - f(t)= f '(t)(-t). 따라서 g(2)=-3. t f '(t)- f(t)=0. . f(x)=xÜ`-(a+6)xÛ`+6ax에서. 이때 접선의 방정식은. f '(x)=3xÛ`-2(a+6)x+6a. yy ㉡. y=x-5. yy ㉠. ㉡의 x절편은 y=0을 대입하면. 이므로 ㉠에서. 0=x-5, x=5. t{3tÛ`-2(a+6)t+6a}-{tÜ`-(a+6)tÛ`+6at}=0. 따라서 접선의 x절편은 5이다.. 2tÜ`-(a+6)tÛ`=0, tÛ`{2t-(a+6)}=0 ⑤. 39. a+6 2. t+0이므로 t= f '(0)=6a. a+6 a+6 Û` a+6 }=3{ } -2(a+6)_ +6a 2 2 2. f '{.  . f(x)=xÛ`-2x+2, g(x)=-xÛ`+ax+b라 하면. =-;4!;(aÛ`-12a+36).  .  . f '(x)=2x-2, g '(x)=-2x+a 두 곡선 CÁ, Cª의 한 교점 P의 x좌표를 t라 하자. 두 접선 l, m이 서로 수직이므로. 이므로 0<a<6인 실수 a에 대하여 두 접선의 기울기의 곱 을 g(a)라 하면.  .  . f '(t) g '(t)=-1에서. g(a)=-;2#;(aÜ`-12aÛ`+36a). yy ㉠. g'(a)=-;2#;(3aÛ`-24a+36)=-;2(;(a-2)(a-6).  . 4tÛ`-2(a+2)t+ 2a-1 =0.  . (2t-2)(-2t+a)=-1 f(t)=g(t)에서. 0<a<6이므로 g'(a)=0에서 a=2 0<a<6에서 함수 g(a)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과. yy ㉡.  . 2tÛ`-(a+2)t+2-b=0.  . tÛ`-2t+2=-tÛ`+at+b. ㉠, ㉡에서 b= ;2%; -a를 y=-xÛ`+ax+b에 대입하고 a에 관하. 같다. y. 2. y. g '(a). -. 0. +. g(a). ↘. -48. ↗. a . 여 정리하면 yy ㉢.  . x와 y의 값을 구하면 점 Q의 좌표는 {1, ;2#; }이다.. 함수 g(a)는 a=2일 때 극소이면서 최소가 된다.  . 따라서 0<a<6에서 함수 g(a)의 최솟값은  . ㉢에서 x-1=0, -xÛ`-y+ ;2%; =0을 만족시키는. (6). g(2)=-48.  . a(x-1)-xÛ`-y+ ;2%; =0. (0). ③ 정답과 풀이 ● 21. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 21. 2020-12-16 오후 5:38:03.

(24) 이므로 y=3kÛ`x+;3%; kÜ`+1. y=xÜ`-ax+b에서. 점 B에서의 접선 m의 방정식은 f(3k)=1에서. y'=3xÛ`-a. y-1=3kÛ`(x-3k). 이므로 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 3-a이다.. 이므로 y=3kÛ`x-9kÜ`+1. 따라서 이 접선과 수직인 직선의 기울기가 -;2!;이므로. 따라서 직선 y=1과 두 접선 l, m의 교점의 x좌표를 각각.  . 41. xÁ, xª라 하면. (3-a)_{-;2!;}=-1.  . . xÁ=-;9%; k, xª=3k이므로. 3-a=2. xª-xÁ=3k-{-;9%; k}  . 즉, a=1이다. 점 (1, 1)은 곡선 y=xÜ`-x+b 위의 점이므로. =;;£9ª;; k. yy ㉡.  . 1=1Ü`-1+b, b=1 따라서 a+b=1+1=2. 이때 평행사변형의 넓이가 24이므로 2. ㉠, ㉡에서 ;;£9ª;;k_;3$;kÜ`=24. 42. kÝ`=;1*6!;.  . f(x)=;3!; xÜ`-kxÛ`+1에서. 따라서 k=;2#;. f '(x)=xÛ`-2kx=x(x-2k). ③. 두 점 A, B의 좌표를  .  . A{a, ;3!; aÜ`-kaÛ`+1}, B{b, ;3!; bÜ`-kbÛ`+1} (a<b). 43. 즉, 곡선 y=f(x)에 접하고 x축에 평행한 두 직선과 접선 l, m으. y=xÜ`-6xÛ`+6에서. 로 둘러싸인 도형은 평행사변형이다.. y'=3xÛ`-12x y=f(x) y=f(0). A B l. 라 하면 주어진 조건을 만족시키는 경우는 그림과 같다.. 이므로 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 3_1Û`-12_1=-9 따라서 점 (1, 1)에서의 접선의 방정식은. y=f(2k). y-1=-9(x-1) y=-9x+10. m x=a x=0 x=2k x=b. 이 접선이 점 (0, a)를 지나므로 a=-9_0+10=10. f '(x)=xÛ`-2kx=3kÛ`에서.  10. xÛ`-2kx-3kÛ`=0 (x-3k)(x+k)=0. 44. 이때 a<0<b이므로 8kÜ` -4kÜ`+1=1-;3$; kÜ`이므로 3  . 또, f(0)=1, f(2k)=. a=-k, b=3k.  .  . f(0)-f(2k)=1-{1-;3$; kÜ`}=;3$; kÜ`. yy ㉠. 주어진 조건에 의하여 f(x)=a(x-1)Û`+b (b는 상수)로 놓으면 f '(x)=2a(x-1)이므로 | f '(x)|É4xÛ`+5에서. f(-k)=-;3$; kÜ`+1에서. 즉, ㉠이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 하므로 두 함수.  . y-{-;3$; kÜ`+1}=3kÛ`(x+k). . |2a(x-1)|É4xÛ`+5.  . 점 A에서의 접선 l의 방정식은. yy ㉠. y=|2a(x-1)|=|2a||x-1|, y=4xÛ`+5 의 그래프가 그림과 같아야 한다.. 22 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 22. 2020-12-16 오후 5:38:03.

(25) Z. 이때 함수 f(x)는 x=-1에서 극댓값 7을 가지므로. ZY

(26) . f(-1)=-1+3+a=2+a=7 따라서 a=5. Z]B]]Y]. ⑤. 46. f(x)=xÜ`-3x+5에서. Y. 0 . Ⅱ. ‌. f '(x)=3xÛ`-3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서. 곡선 y=4xÛ`+5에 그은 접선이. x=-1 또는 x=1. y=-|2a|(x-1)일 때이므로 접점의 좌표를. 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. 미분. 즉, 실수 a의 최댓값은 점 (1, 0)에서. (k, 4kÛ`+5) (k<0)이라 하면 x. y. -1. y. 1. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. f(x). ↗. 극대. ↘. 극소. ↗. . y-(4kÛ`+5)=8k(x-k). . 이 접선이 점 (1, 0)을 지나므로. . y'=8x에서 기울기는 8k이므로 접선의 방정식은. 4kÛ`-8k-5=0. 함수 f(x)는 x=-1에서 극대이고, x=1에서 극소이다.. (2k-5)(2k+1)=0. 닫힌 구간 [-1, 3]에서 함수 f(x)는 x=1에서 극소이면서 최소. k=-;2!;. 이다.. 즉, 접선의 기울기는. 따라서 f(1)=1-3+5=3이므로. 8_{-;2!;}=-4. 함수 f(x)의 최솟값은 3이다. ③. 이므로 -|2a|=-4, |a|=2. 47. 따라서 실수 a의 최댓값은 2이다.. g(x)=f(x)-kx에서.  . a=-2 또는 a=2 ②. g '(x)=f '(x)-k=xÛ`-1-k 함수 g(x)가 x=-3에서 극값을 가지므로  . g '(-3)=(-3)Û`-1-k=8-k=0 따라서 k=8. 유형. 5. ⑤. 함수의 증가와 감소, 극대와 극소, 최대와 최소. 48. 45. f(x)=;3!;xÜ`-9x+3에서. f '(x)=3xÛ`-3=3(x+1)(x-1). ‌. f '(x)=xÛ`-9. f '(x)=0에서. =(x+3)(x-3). x=-1 또는 x=1. f '(x)=0에서. 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. x=-3 또는 x=3. x. y. -1. y. 1. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. f(x). ↗. 극대. ↘. 극소. ↗. 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x. y. -3. y. 3. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. f(x). ↗. 21. ↘. -15. ↗. . . . f(x)=xÜ`-3x+a에서. 함수 f(x)는 x=-1에서 극대, x=1에서 극소이다.. 정답과 풀이 ● 23. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 23. 2020-12-16 오후 5:38:04.

(27) 위의 표에서 함수 f(x)는 열린 구간 (-3, 3)에서 감소하므로 열. 3(x-a+1)(x-a-1)=0. 린 구간 (-a, a)에서 함수 f(x)가 감소하기 위한 양수 a의 최댓. x=a-1 또는 x=a+1. 값은 3이다.. 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 3. y. a-1. y. a+1. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. f(x). ↗. 극대. ↘. 극소. ↗. . . 49. x. f(x)=-;3!;xÜ`+2xÛ`+mx+1에서. 함수 f(x)는 x=a-1에서 극댓값을 갖는다.. f '(x)=-xÛ`+4x+m. 이때 함수 f(x)의 극댓값이 4이므로 f(a-1)=4이다. 즉,. 이때 함수 f(x)가 x=3에서 극대이므로 f '(3)=0이다.. (a-1)Ü`-3a(a-1)Û`+3(aÛ`-1)(a-1)=4. 따라서. aÜ`-3a-2=0. f '(3)=-3Û`+4_3+m=m+3=0. (a-2)(a+1)Û`=0. 이므로. a=-1 또는 a=2 Ú a=-1일 때 f(x)=xÜ`+3xÛ`. ①. m=-3. 이때 f(-2)=4>0이므로 주어진 조건을 만족시킨다.. 50. Û a=2일 때 f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x. 함수 f(x)=xÜ`-ax+6에서 f '(x)=3xÛ`-a. ‌. 이때 f(-2)=-50<0이므로 주어진 조건을 만족시키지 않. 이때 함수 f(x)가 x=1에서 극소이므로. 는다.. f '(1)=3_1Û`-a=0. Ú, Û에서 조건을 만족시키는 함수  f(x)는. 따라서 a=3 ②. f(x)=xÜ`+3xÛ` 따라서 f(-1)=(-1)Ü`+3_(-1)Û`=2. 51. ②  .  . 방정식 f '(x)=0의 두 실근이 a, b이므로  f '(a)= f '(b)=0. 53. 조건 (나)에서 두 점 (a, f(a)), (b, f(b)) 사이의 거리가 26이. f(x)=-xÝ`+8aÛ`xÛ`-1에서.  . 따라서  f(a),  f(b)는 삼차함수  f(x)의 극값이다.. .  . .  . . f '(x)=-4xÜ`+16aÛ`x. 므로. . =-4x(xÛ`-4aÛ`). . . "Ã(b-a)Û`+{ f(b)-f(a)}Û`=26. =-4x(x+2a)(x-2a). . (b-a)Û`+{ f(b)-f(a)}Û`=26Û`  . .  . f '(x)=0에서. 10Û`+{ f(b)-f(a)}Û`=26Û`. x=-2a 또는 x=0 또는 x=2a. | f(b)-f(a)|=24. a>0이므로 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과. 따라서 삼차함수  f(x)의 극댓값과 극솟값의 차는 24. 같다.. .  . . { f(b)-f(a)}Û`=26Û`-10Û`=24Û`. x. y. -2a. y. 0. y. 2a. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. 0. -. f(x). ↗. 극대. ↘. 극소. ↗. 극대. ↘. . 52. . ③. f(x)=xÜ`-3axÛ`+3(aÛ`-1)x에서 f '(x)=0에서. 주어진 조건은 x=b, x=2-2b에서 극대이므로. 3xÛ`-6ax+3(aÛ`-1)=0. 즉, b+(2-2b)=2a+(-2a)=0이므로.  .  . 함수 f(x)는 x=2a, x=-2a에서 극댓값을 갖는다..  . f '(x)=3xÛ`-6ax+3(aÛ`-1). 24 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 24. 2020-12-16 오후 5:38:04.

(28) ;2¢7;aÜ`+;2!;=0. b=2 또, b(2-2b)=2a_(-2a)이므로. 에서. -4=-4aÛ`. aÜ`=-:ª8¦:. aÛ`=1. 즉, a=-;2#;. a>0이므로 a=1 따라서 a+b=1+2=3. 따라서 f(x)=xÜ`-;2#;xÛ`+;2!;. ①. 이므로 g(2)=f(2)=8-6+;2!;=;2%; (참). f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수). 미분. 54. Ⅱ. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.. 라 하면. ⑤. f '(x)=3xÛ`+2ax+b ;2!;. (x<0) 이 실수 전체의 집합에서 미분가능 f(x) (x¾0) . 55. 이때 함수 g(x)=à. f(x)=xÜ`+axÛ`-aÛ`x+2에서. f(0)=;2!;, f '(0)=0. f '(x)=3xÛ`+2ax-aÛ`. . ‌. 하므로. =(x+a)(3x-a). 이어야 한다.. f '(x)=0에서. 즉, c=;2!;, b=0이므로. x=-a 또는 x=;3A;. f(x)=xÜ`+axÛ`+;2!;. 닫힌 구간 [-a, a]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내. ㄱ. g(0)+g '(0)=f(0)+f '(0). 면 다음과 같다.. =;2!;+0=;2!; (참). x. 이므로 x=0, x=-. 2a 에서 극값을 갖는다. 3. 2a 만일 É0이면 함수 g(x)의 최솟값이 ;2!;이므로 조건을 3. 만족시키지 않는다. 즉, -. 2a >0이므로 a<0이다. 3. 이때. g(1)= f(1)=1+a+;2!;=;2#;+a. . f(x). aÜ`+2. y. ;3A;. y. -. 0. +. ↘. -;2°7;aÜ`+2. ↗. a. aÜ`+2. 따라서 함수 f(x)의 최댓값 M은 f(-a)=f(a)=aÜ`+2 최솟값은 f {;3A;}=-;2°7;aÜ`+2 이때 -;2°7;aÜ`+2=;2!7$;이므로 aÜ`=8, a=2. . 이므로. -a. f '(x) . . ㄴ. f '(x)=3xÛ`+2ax=x(3x+2a)=0. g(1)<;2#; (참). M=f(-2)=f(2)=2Ü`+2=10 따라서 a+M=2+10=12. 2a ㄷ. ㄴ에서 함수 g(x)는 x=에서 최솟값을 가지므로 최솟 3 ‌.  12. . f '(x)=3axÛ`+2bx+c 조건 (나) f '(-3)=f '(3)에서 b=0. 이므로. f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx+d (a+0, a, b, c, d는 상수)라 하면. =;2¢7;aÜ`+;2!;. ㄱ. f(x)가 삼차함수이므로 .  . =-;2¥7;aÜ`+;9$;aÜ`+;2!;. 56. 2a 2a }=f {} 3 3. ‌. g {-. . 값은. . 정답과 풀이 ● 25. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 25. 2020-12-16 오후 5:38:04.

(29) 57. . 함수 f(x)가 x=-2에서 극댓값을 가지므로 . y=f(x) g(x)에서  . f '(-2)=12a+c=0에서 c=-12a. 이므로 주어진 그래프를 이용하여 x의 값의 범위에 따라 y '의 부  . ‌.  .  . y '=f '(x) g(x)+f(x) g '(x). f '(x)=3axÛ`+2bx+c . =3a(xÛ`-4). . =3axÛ`-12a. 호를 확인하면 다음 표와 같다.. f '(x)=0에서 . x<a. -. -. -. x=-2 또는 x=2. x=a. -. 0. -. a<x<b. -. +. x=b. 0. +. +. b<x<c. +. +. +. x=c. 0. 0. 0. c<x<d. -. -. -. x=d. 0. -. -. d<x<e. +. -. 그러므로 f '(x)=3axÛ`-12a (a>0)은 x=0에서 최솟값을. x=e. +. 0. +. 갖는다. (참). x>e. +. +. +. . . 그런데 함수 f(x)가 x=-2에서 극댓값을 가지려면 a>0이 어야 한다. y=f(x). x=2. . x=-2.  . y'.  . f(x)g '(x). . f '(x) g(x) . x. =3a(x+2)(x-2). ㄴ. ㄱ에서 삼차함수 f(x)는 x=2에서 극솟값을 갖는다. 따라서 함수 y= f(x)g(x)는 x=c에서 극대이고,. y=f(x). a<x<b와 d<x<e에서 극소인 점이 각각 존재한다. 이때 p<q이므로 a<p<b이고 d<q<e이다. ②. y=f(2) x=2. 그러므로 그림과 같이 방정식 f(x)=f(2)는 서로 다른 두 실. 부등식  f '(x){ f(x)-2}É0을 만족시키는 경우는. . . f(x)=axÜ`-12ax+d (a>0) .  f '(x)>0, f(x)-2É0 또는. f '(x)=3axÛ`-12a.  f '(x)É0, f(x)-2¾0 주어진 그래프의 개형에서  f '(x)의 부호에 따라 경우를 나누면. . f(-1)=-a+12a+d=11a+d. Ú  f '(x)>0인 경우 ‌. . f '(-1)=3a-12a=-9a. 다음과 같다.  f '(x)>0인 구간 (-3, 2)에서 부등식  f(x)-2É0을 만족. 곡선 y=f(x) 위의 점 (-1, f(-1))에서의 접선의 방정식은 . yy ㉠ . ㉠에 x=2, y=-16a+d를 대입하면. .  f '(x)É0인 구간 [2, 7)에서 부등식  f(x)-2¾0을 만족시키. . . 는 정수 x의 값은. . Û  f '(x)É0인 경우. . ‌‌. 이때 f(2)=8a-24a+d=-16a+d이므로 -16a+d=-9a_2+2a+d. . -2, -1. y=-9ax+2a+d. 시키는 정수 x의 값은. . y-(11a+d)=-9a(x+1). . 이므로. . ‌. ㄷ. ㄱ에서. 58. 근을 갖는다. (참). 즉, 등식이 성립하므로 점 (-1, f(-1))에서의 접선은. . 2, 3, 4 따라서 Ú, Û에 의해 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x의 개수. 점 (2, f(2))를 지난다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.. 는 5이다. ⑤. ②. 26 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 26. 2020-12-16 오후 5:38:05.

(30) 함수 y=(xÛ`-9)(x+a)의 그래프는 x축과 세 점 (-a, 0),. ‌. 59. (-3, 0), (3, 0)에서 만나므로 그래프의 개형은 그림과 같다.. Ú 0<a<3일 때. Z. ‌. 함수 y=(xÛ`-9)(x+a)의 그래프는 x축과 세 점 (-3, 0),. Z Y™A Y

(31) B. (-a, 0), (3, 0)에서 만나므로 그래프의 개형은 그림과 같다. Z Z Y Y

(32) B. 0. B   B. 0. . Y. Ⅱ. Y. . . . 미분. 그러므로 함수 y=f(x)=|(xÛ`-9)(x+a)|의 그래프의 개형. 그러므로 함수 y=f(x)=|(xÛ`-9)(x+a)|의 그래프의 개형 은 그림과 같다.. 은 그림과 같다.. Z. Z. ZG Y. ZG Y. 0. B. Y. . . 함수 f(x)는 x=-3, x=-a, x=3에서 미분가능하지 않으 므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.. . 0. . Y. 함수 f(x)는 x=-a, x=-3, x=3에서 미분가능하지 않으 므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.. Ú, Û, Ü에 의해 a=3 함수 y=(xÛ`-9)(x+3)의 극솟값의 절댓값이 함수 ‌. Û a=3일 때 . 함수 y=(xÛ`-9)(x+a)=(x+3)Û`(x-3)의 그래프는 x축 과 점 (-3, 0)에서 접하고 점 (3, 0)에서 만나므로 그래프의 개형은 그림과 같다.. . B. ‌. . f(x)=|(xÛ`-9)(x+3)|의 극댓값이다. y=(xÛ`-9)(x+3)에서 y'=2x(x+3)+(xÛ`-9)=3(x+3)(x-1)이므로. Z Z Y

(33)   Y. y'=0에서 x=-3 또는 x=1 ‌. y=(xÛ`-9)(x+3)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다..  0. . Y. x. y. -3. y. 1. y. y'. +. 0. -. 0. +. y. ↗. 0. ↘. -32. ↗. . 따라서 함수 y=(xÛ`-9)(x+3)은 x=1에서 극소이고 극솟값은 그러므로 y=f(x)=|(x+3)Û`(x-3)|의 그래프의 개형은 그. -32이므로 함수 f(x)는 x=1에서 극대이고 극댓값은. 림과 같다.. f(1)=|-32|=32 Z ZG Y. ① 보충 설명. a=3일 때 함수 f(x)가 x=3에서만 미분가능하지 않음을 알아 보자. . Y. f(x)=|(xÛ`-9)(x+3)| . 0. . . =|(x+3)Û`(x-3)| (x¾3) . (x+3)Û`(x-3). =[. -(x+3)Û`(x-3) (x<3). 을 만족시킨다.. . . 함수 f(x)는 x=3에서만 미분가능하지 않으므로 주어진 조건. Ü a>3일 때. 정답과 풀이 ● 27. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 27. 2020-12-16 오후 5:38:08.

(34) 함수 f(x)가 구간 (-¦, 3)과 구간 (3, ¦)에서 각각 다항함수. 즉, 함수 f(t)가 t=a에서 극대 또는 극소이다.. 이므로 함수 f(x)는 x+3인 모든 실수 x에서 미분가능하다.. 두 점 A, B의 좌표는. 그런데. A(t, tÝ`-4tÜ`+10t-30), B(t, 2t+2)이므로. . =|tÝ`-4tÜ`+8t-32| g(t)=tÝ`-4tÜ`+8t-32라 하면.  . f(x)- f(3) 의 값이 존재하지 않는다. x-3. g '(t)=4tÜ`-12tÛ`+8=4(tÜ`-3tÛ`+2).  . x`Ú3. ‌. =|(tÝ`-4tÜ`+10t-30)-(2t+2)|. (x+3)Û`(x-3) f(x)- f(3) lim = lim =36 x`Ú3+ x`Ú3+ x-3 x-3 이므로 lim. . f(t)=ABÓ. -(x+3)Û`(x-3) f(x)- f(3) = lim =-36 x`Ú3x-3 x-3. lim. x`Ú3-. =4(t-1)(tÛ`-2t-2). 따라서 함수 f(x)는 x=3에서 미분가능하지 않으므로 오직 한 개. g '(t)=0에서.  . 의 x값에서만 미분가능하지 않다.. t=1 또는 t=1Ñ'3. 60.  . 함수 g(t)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. 조건 (가)에서 f(n)=0이고 함수 f(x)는 최고차항의 계수가 1인. y. 1-'3. y. 1. y. 1+'3. y. 삼차함수이므로. g '(t). -. 0. +. 0. -. 0. +. f(x)=(x-n)(xÛ`+ax+b)(a, b는 상수). g(t). ↘. 극소. ↗. 극대. ↘. 극소. ↗.  . t. 로 놓을 수 있다. 또 조건 (나)에서 모든 실수 x에 대하여 사차함수 g(t)는 t=1에서 극댓값 g(1)=-27을 갖고,. 즉, (x+n)(x-n)(xÛ`+ax+b)¾0. t=1-'3, t=1+'3에서 극솟값을 갖는다.. 이 성립하려면. 또한. xÛ`+ax+b=(x-n)(x+n)이 되어야 하므로. g(t)=tÝ`-4tÜ`+8t-32. . ‌. (x+n) f(x)¾0. =(t+2)(t-4)(tÛ`-2t+4). f(x)=(x+n)(x-n)Û` f '(x)=(x-n)Û`+2(x+n)(x-n) . t=-2 또는 t=4. 이므로 g(t)=0에서 . 이때. 함수 y=g(t)의 그래프의 개형은 그림과 같다.. =(x-n)(3x+n). Z. 이므로 f '(x)=0에서 x=-;3N; 또는 x=n 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. . x. y. -;3N;. y. n. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. f(x). ↗. ;2#7@;nÜ`. ↘. 0. ↗. ZH U. . . 

(35) . 0. . U. . 따라서 함수 y=f(t)의 그래프의 개형은 그림과 같다. Z. 함수 f(x)는 x=-;3N;에서 극댓값 ;2#7@;nÜ`을 가지므로. ZG U. . aÇ=;2#7@;nÜ`.   0 . 따라서 aÇ이 자연수가 되기 위한 자연수 n의 최솟값은 3이다.. 

(36)  . U. ③ 위의 y=f(t)의 그래프에서 f(t)는 t=-2, t=1, t=4에서 극소. 61.  .  . f(t+h)-f(t) f(t+h)-f(t) lim _ lim É0을 t=a가 만족 h`Ú0+ h`Ú0h h 시키면 t=a의 좌우에서 f '(t)의 부호가 바뀌거나 0이다.. 값의 합은 -2+(1-'3 )+1+(1+'3)+4=5  . 이고 t=1-'3, t=1+'3에서 극대이므로 구하는 모든 실수 t의. ④. 28 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 28. 2020-12-16 오후 5:38:09.

(37) . 62. . ‌. ㄱ. 곡선 f(x)=xÜ` 과 직선 y=-x+t는 한 점에서 만나므로 g(t)=1이다.. Dª =bÛ`-3ac=3Û`-3_2_1=3>0 4 이므로 삼차함수 f(x)의 극값은 존재한다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.. y. y=xÜ. ③. x. O. Ⅱ. y=-x+t. 방정식과 부등식에의 활용.  . 6. 미분. 유형. 그러므로 함수 g(t)는 상수함수이다. (참) ‌. ㄴ. 삼차함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=-x+1의 교점의 개. y=-x+1. y=f(x). 63. 수가 2인 경우는 그림과 같은 경우이다.. y=4xÜ`-12x+7에서. y=f(x). y'=12xÛ`-12=12(x+1)(x-1) 이므로 y'=0에서 x=-1 또는 x=1 y=-x+t. y=-x+t y=-x+1. 따라서 함수 y=4xÜ`-12x+7은 x=-1에서 극댓값 15, x=1에 서 극솟값 -1을 갖는다. Z. 그러므로 삼차함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=-x+t가. ZYšAY

(38)  . 세 점에서 만나도록 하는 실수 t가 존재한다. (참) ㄷ. f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx+d (a>0, b, c, d는 상수)라 하자. 함수 g(t)가 상수함수이면 방정식 axÜ`+bxÛ`+cx+d=-x+t 의 실근이 1개 존재하여야 한다.. 0  . 방정식 axÜ`+bxÛ`+(c+1)x+d=t에서 함수 y=axÜ`+bxÛ`+(c+1)x+d의 그래프와 직선 y=t가 오. . Y. 직 한 점에서 만나야 한다.. 이때 곡선 y=4xÜ`-12x+7과 직선 y=k의 교점의 개수가 2이므. 즉, 함수 y=axÜ`+bxÛ`+(c+1)x+d의 극값이 존재하지 않. 로 직선 y=k는 점 (-1, 15) 또는 점 (1, -1)을 지나야 한다.. 아야 하므로. 따라서 양수 k의 값은 15이다.  15. y'=3axÛ`+2bx+c+1 DÁ =bÛ`-3a(c+1)=bÛ`-3ac-3aÉ0 4 이어야 한다. 한편 f '(x)=3axÛ`+2bx+c에서 방정식 f '(x)=0의 판별식을 Dª라 하면 Dª =bÛ`-3ac 4. 64. 에서 방정식 3axÛ`+2bx+c+1=0의 판별식을 DÁ이라 하면. 방정식 f(x)=g(x)에서 3xÜ`-xÛ`-3x=xÜ`-4xÛ`+9x+a 2xÜ`+3xÛ`-12x=a 이때 h(x)=2xÜ`+3xÛ`-12x로 놓으면 함수 y=h(x)의 그래프 와 직선 y=a의 교점의 x좌표가 서로 다른 양의 실수 2개, 음의. 이때 a=2, b=3, c=1이라 하면. 실수 1개가 되도록 하는 정수 a의 값을 구한다.. DÁ =bÛ`-3ac-3a=3Û`-3_2_1-3_2=-3<0 4. h'(x)=6xÛ`+6x-12=6(x+2)(x-1)이므로. DÁ É0을 만족시키지만 4. x=-2 또는 x=1. h'(x)=0에서 함수 h(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 정답과 풀이 ● 29. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 29. 2020-12-16 오후 5:38:10.

(39) x. y. -2. y. 1. y. h'(x). +. 0. -. 0. +. h(x). ↗. 20. ↘. -7. ↗. 위의 그래프에서 곡선 y= f(x)와 직선 y=k가 서로 다른 세 점에 서 만나기 위한 k의 값의 범위는 -27<k<5 따라서 구하는 정수 k의 최댓값은 4이다. ②. 함수 y=h(x)의 그래프가 원점을 지나므로 함수 y=h(x)의 그 래프는 그림과 같다. Z. . ZI Y. 66. 방정식 xÜ`-xÛ`-8x+k=0에서 xÜ`-xÛ`-8x=-k. Y. f(x)=xÜ`-xÛ`-8x라 하면. ZB. . f '(x)=3xÛ`-2x-8 . . 위의 그림에서 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근 을 갖도록 히는 a의 값의 범위는 -7<a<0이므로 이를 만족시키. =(3x+4)(x-2) f '(x)=0에서 x=-;3$; 또는 x=2  . 는 정수 a는 -6, -5, -4, -3, -2, -1의 6개이다.. 0 . . 65. 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. y. -;3$;. y. 2. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. f(x). ↗. 극대. ↘. 극소. ↗. . xÜ`-3xÛ`-9x=k에서. x . ①. f(x)=xÜ`-3xÛ`-9x라 하면 주어진 방정식의 실근의 개수는 곡 f {-;3$;}=:Á2¦7¤:, f(2)=-12. 선 y=f(x)와 직선 y=k의 교점의 개수와 같다. . ‌. f '(x)=3xÛ`-6x-9. 이므로 함수 y= f(x)의 그래프는 그림과 같다.. . =3(xÛ`-2x-3). Z. =3(x+1)(x-3).   . f '(x)=0에서   . x=-1 또는 x=3. -1. y. 3. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. ↗. 5 (극대). ↘. -27 (극소). ↗. . y. f(x). . ZL. Y. ZL. 방정식 f(x)=-k의 서로 다른 실근의 개수가 2이려면 함수 y= f(x)의 그래프와 직선 y=-k가 서로 다른 두 점에서 만나야. 따라서 곡선 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.. 하므로. y 5. y=k.  0. x. . . 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. ZG Y. -1 O. y=f(x) 3. x. -k=:Á2¦7¤: 또는 -k=-12 즉, k=-:Á2¦7¤: 또는 k=12 이때 k는 양수이므로. -27. k=12  12. 30 ● EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅱ. 해_015-058-수Ⅱ(2단원)_OK.indd 30. 2020-12-16 오후 5:38:11.

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