다면체와 회전체

01 다면체

^{본문 92~95쪽}

1 4, 6 2 8, 12 3 ⑴ 정사면체, 정팔면체, 정이십면체

⑵ 정사면체, 정육면체, 정십이면체 4 그림은 풀이 참조, 정육면체 개념 확인 문제

4 ^{" * A.}

/

$

& ( ,

'

# % A)

+ -유제 1

다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형은 ㄱ. 삼각기둥, ㄷ. 사각뿔, ㅂ. 직육면체 의 3개이다.

 ^③

유제 2

칠면체인 것은 ㄷ, ㅅ, ㅈ의 3개이다.

ㄱ, ㅁ: 오면체 ㄴ, ㅂ, ㅇ: 육면체 ㄹ: 팔면체

 ^②

유제 3

주어진 다면체는 오각뿔대이므로 면의 개수: 7개

꼭짓점의 개수: 10개 모서리의 개수: 15개

 풀이 참조

유제 4

삼각기둥의 꼭짓점의 개수는 6개이므로 a=6 육각뿔의 면의 개수는 7개이므로 b=7

사각뿔대의 모서리의 개수는 12개이므로 c=12

∴ a+b+c=6+7+12=25

 ^②

유제 5

구하는 다면체는 조건 (가), (나)에 의해 각뿔대이다.

또, 조건 (다)에서 면의 개수가 10개이므로 조건을 모두 만족하 는 다면체는 팔각뿔대이다.

 팔각뿔대

유제 6

구하는 다면체는 조건 (나), (다)에 의해 각뿔이다.

또, 조건 (가)에서 면의 개수가 7개이므로 조건을 모두 만족하는 다면체는 육각뿔이다.

 육각뿔

유제 7

구하는 입체도형은 조건 (가)에서 정사면체, 정팔면체, 정이십면 체 중 하나이다.

또, 조건 (나)에서 한 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 4개이므로 조 건을 모두 만족하는 정다면체는 정팔면체이다.

 ^정팔면체

유제 8

① 정사면체 - 정삼각형 - 3개

② 정육면체 - 정사각형 - 3개

③ 정팔면체 - 정삼각형 - 4개

④ 정십이면체 - 정오각형 - 3개

 ⑤

형성평가

01 ^④ 02 ^⑤ 03 ^① 04 ^⑤ 05 ^① 06 ^④ 07 ^{③, ⑤} 08 ^③

본문 96쪽

01

각 다면체의 면의 개수는 다음과 같다.

① 사각뿔대 - 6개

② 사각뿔 - 5개

③ 사각기둥 - 6개

④ 오각뿔대 - 7개

⑤ 오각뿔 - 6개

 ④

02

⑤ 칠각기둥 - 21개

 ⑤

03

옆면의 모양은 다음과 같다.

① 사각기둥 - 직사각형

② 사각뿔 - 삼각형

③ 오각뿔대 - 사다리꼴

④ 육각기둥 - 직사각형

⑤ 육각뿔대 - 사다리꼴

 ①

04

조건 (가), (나)에 의해 각뿔대이다.

조건 (다)에 의해 육각뿔대이다.

 ⑤

05

조건 (가), (나)를 만족하는 다면체는 정사면체, 정팔면체, 정이 십면체이고 조건 (다)에서 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3개인 것은 정사면체뿐이다.

 ①

06

모든 면의 모양이 정오각형인 정다면체는 정십이면체이다.

 ④

07

③ 정사면체의 모서리는 6개이다.

⑤ 한 꼭짓점에 모인 면이 3개인 정다면체는 정사면체, 정육면 체, 정십이면체이다.

 ③, ⑤

08

주어진 전개도로 만들 수 있는 정다 면체는 정육면체로 오른쪽 그림과 같다.

③ 꼭짓점 C와 겹치는 꼭짓점은 없 다.

 ^③

" * A.

/

$

& ( ,

'

# % A)

+ -02 회전체

^{본문 97~100쪽}

1 원뿔, 원기둥, 구 2 ⑴ 원기둥 ⑵ 원뿔 ⑶ 원뿔대 ⑷ 구 3 ⑴ 원 ⑵ 회전축, 선대칭 4 3, 7

개념 확인 문제

유제 1

반구, 원뿔대는 평면도형을 회전시켜 얻을 수 있으므로 회전체이 다.

 ^{③, ⑤}

유제 2

② 오각기둥은 평면도형을 회전시켜 얻을 수 없으므로 회전체가 아니다.

 ②

유제 3

M

 풀이 참조

유제 4

M

 풀이 참조

유제 5

회전체를 포함하는 평면으로 자른 단면의 모양이 직사각형, 회전 체에 수직인 평면으로 자른 단면의 모양이 원인 회전체의 이름은 원기둥이다.

 ^원기둥

유제 6

구는 어떤 평면으로 잘라도 그 단면의 모양이 항상 원이 된다.

 ④

유제 7

색칠한 밑면의 둘레의 길이는 µAB의 길이와 같다.

 ②

유제 8

옆면인 부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같으 므로

(호의 길이)=2p_3=6p`(cm)

 ^③

형성평가

01 ^④ 02 ^④ 03 ^④ 04 ^② 05 ^④ 06 ^사다리꼴 07 ^⑤

본문 101쪽

01

④ 삼각뿔대는 다면체이다.

 ④

02

④ ^M

 ④

03

단면은 반지름의 길이가 4`cm인 원이므로 단면의 넓이는 p_4Û`=16p`(cmÛ`)

 ④

04

BCÓ를 축으로 하여 1회전 시켜 만든 회전체는 오른쪽 그림과 같고 회전체 를 회전축을 포함하는 평면으로 자르 면 그 단면의 모양은

ABÓ=BA'Ó=A'CÓ=CAÓ인 마름모 가 된다.

 ②

"

"

$

#

05

회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면은 선 대칭도형이다.

따라서 ④는 선대칭도형이 아니므로 단면이 될 수 없다.

 ④

06

회전체는 원뿔대이므로 회전축을 포함하는 평면 으로 자른 단면의 모양은 사다리꼴이다.

 ^사다리꼴

07

원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길 이와 같으므로 부채꼴의 중심각의 크기를 xù라고 하면

2p_3_ x360=2p_2

∴ x=240

따라서 부채꼴의 중심각의 크기는 240ù이다.

 ⑤

중단원 마무리

01 ^{②, ④} 02 ^③ 03 ^③ 04 ^{ㄱ, ㄹ, ㅂ} 05 ^① 06 ^{②, ③} 07 ^④ 08 ^④ 09 ^② 10 ^① 11 ^① 12 ^⑤ 13 ^② 14 ^⑤ 15 ^⑤ 16 ^⑤ 17 ^⑤ 18 ^③ 19 ^③ 20 ^③ 21 ^① 22 ^④ 23 ^⑤ 24 ^⑤ 25 ^④ 26 ^③ 27 ^{풀이 참조} 28 ^{풀이 참조}

29 ⑴ 48`cmÛ` ⑵ :ª5¢:`cm 30 ^{풀이 참조}

본문 102~105쪽

01

다면체는 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형이므로 ②, ④이 다.

 ②, ④

02

다면체는 면의 개수에 따라 사면체, 오면체, 육면체, …라고 한 다.

주어진 그림은 면이 7개인 다면체이므로 칠면체이다.

 ③

03

면의 개수와 꼭짓점의 개수가 같은 다면체는 각뿔이다.

 ③

04

옆면의 모양은 다음과 같다.

ㄱ. 삼각형 ㄴ. 직사각형 ㄷ. 사다리꼴 ㄹ. 삼각형 ㅁ. 직사각형 ㅂ. 삼각형 따라서 옆면의 모양이 삼각형인 것은 ㄱ, ㄹ, ㅂ이다.

 ㄱ, ㄹ, ㅂ

05

모든 면의 모양이 정삼각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3개인 정다면체는 정사면체이다.

 ①

06

② 삼각뿔, ③ 정육면체는 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형 이므로 다면체이다.

 ②, ③

07

직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시켰을 때의 입체도형은 오른쪽 그림과 같은 원뿔대이다.

 ④

08

구는 어떤 방향으로 자르더라도 그 단면의 모양이 항상 원이다.

 ④

09

② 옆면의 모양은 직사각형이다.

 ②

10

② 칠각뿔의 꼭짓점은 8개이다.

③ 각뿔대의 옆면의 모양은 사다리꼴이다.

④ 각기둥의 두 밑면은 서로 평행하며 합동이다.

⑤ 사면체는 모두 삼각형인 면으로 이루어져 있으므로 사각형인 면이 없다.

 ① M

11

면이 12개인 각기둥을 n각기둥이라고 하면 n+2=12 ∴ n=10

따라서 십각기둥의 꼭짓점의 개수는 10_2=20(개)

 ①

12

옆면의 모양은 다음과 같다.

①, ②, ③, ④ 직사각형

⑤ 사다리꼴

 ⑤

13

주어진 조건을 만족하는 입체도형은 오각뿔이다.

면의 개수는 5+1=6(개)이므로 a=6 꼭짓점의 개수는 5+1=6(개)이므로 b=6 모서리의 개수는 5_2=10(개)이므로 c=10

∴ a+b+c=6+6+10=22

 ②

14

⑤ 면의 모양이 정삼각형인 정다면체는 정사면체, 정팔면체, 정 이십면체이다.

 ⑤

15

a가 적혀 있는 면과 평행한 면에 적혀 있는 수는 4이므로 a+4=7에서 a=3

b가 적혀 있는 면과 평행한 면에 적혀 있는 수는 2이므로 b+2=7에서 b=5

∴ a+b=3+5=8

 ⑤

16

주어진 전개도로 만들어지는 정다면체는 정팔면체이다.

⑤ 정팔면체의 한 꼭짓점에 모이는 면의 개수는 4개이다.

 ⑤

17

⑤ 오른쪽 그림에서 색칠한 두 면이 겹치므로 정육면체가 만들어지지 않는다.

 ⑤

18

③ 원뿔대를 회전축에 수직인 평면으로 자르면 그 단면은 오른쪽 그림과 같이 모두 원이지 만 그 크기는 서로 다르므로 합동이 아니다.

 ③

19

회전축에서 떨어진 도형을 1회전 시키면 가운데가 빈 회전체가 만들어진다. 또한 평면도형이 회전축 l과의 거리가 일정하면 가 운데가 원기둥 모양으로 비게 된다.

 ③

20

③ CDÓ를 축으로 하여 회전시키면 원뿔대를 만들 수 있다.

 ③

21

구하는 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같으므로 2p_3=6p (cm)

 ①

22

회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 넓이가 가장 크고 이때의 단면은 아랫변의 길이가 16`cm, 윗변의 길이가 8`cm, 높이가 8`cm인 사다리꼴이므로 그 넓이는

;2!;_(16+8)_8=96`(cmÛ`)

 ④

23

⑤ 밑면에 수직인 평면으로 자르면 그 단면의 모양은 직사각형이다.

 ⑤

24

작은 원의 둘레의 길이와 부채꼴의 호의 길이 µAD는 서로 같다.

 ⑤

25

서로 평행한 면은 (A, 7), (3, 6), (B, 8), (4, C)이다.

평행한 두 면에 적힌 수의 합은 3+6=9이므로 A+7=9에서 A=2

B+8=9에서 B=1

4+C=9에서 C=5

∴ A-B+C=2-1+5=6

 ④

26

/

"

. A*

,

&

+ -$ ( % '

# )

③ 모서리 DE와 모서리 LK는 평행하다.

 ③

27

⑴ ① 모든 면이 합동인 정다각형이다.

② 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같다.

⑵ 주어진 다면체는 한 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 4개인 것도 있고 5개인 것도 있다. 따라서 각 꼭짓점에 따라 모이는 면의 개수가 다르므로 정다면체가 아니다.

 풀이 참조

28

"

#

$

%

 ^{풀이 참조}

29

⑴ 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생 기는 단면은 오른쪽 그림과 같으므로 구 하는 넓이는

{;2!;_6_8}_2=48`(cmÛ`)

⑵ 구하는 반지름의 길이를 r`cm라고 하면

;2!;_10_r=;2!;_6_8 r=:ª5¢:

따라서 구하는 반지름의 길이는 :ª5¢:`cm이다.

 ⑴ 48`cmÛ` ⑵ :ª5¢:`cm

ADN

ADN

ADN

ADN

ADN

ADN SADN

ADN

ADN

30

① ② ③

④ ⑤

 풀이 참조

서술형으로 중단원 마무리

서술형 예제 각뿔대, n+2, 7, 5, 오각뿔대, 10, 15, 10, 15, 25 서술형 유제 35

1 ^30개 2 ¹³ 3 (12+6p)`cm 4 ⁶⁴

본문 106~107쪽

서술형 예제

조건 (나), (다)에서 구하는 다면체는 각뿔대 이다.

그런데 n각뿔대의 면의 개수는 ( n+2 )개이므로 조건 (가)에서 n+2= 7 , n= 5

따라서 구하는 다면체는 오각뿔대 이다. … ^1단계 이 다면체의 꼭짓점의 개수는 2_5= 10 (개),

모서리의 개수는 3_5= 15 (개)이므로

a= 10 , b= 15 … ^2단계

∴ a+b=10+15= 25 … ^3단계

단계 채점 기준 비율

1단계 다면체의 이름을 구한 경우 50 %

2단계 a, b의 값을 각각 구한 경우 각 20 %

3단계 a+b의 값을 구한 경우 10 %

 ^{풀이 참조}

서술형 유제

조건 (나), (다)에서 구하는 다면체는 각기둥이다.

그런데 n각기둥의 면의 개수는 (n+2)개이므로 조건 (가)에서 n+2=9 ∴ n=7

따라서 구하는 다면체는 칠각기둥이다. … ^1단계 이 다면체의 꼭짓점의 개수는 2_7=14(개),

모서리의 개수는 3_7=21(개)이므로

a=14, b=21 … ^2단계

∴ a+b=14+21=35 … ^3단계

단계 채점 기준 비율

1단계 다면체의 이름을 구한 경우 50 %

2단계 a, b의 값을 각각 구한 경우 각 20 %

3단계 a+b의 값을 구한 경우 10 %

 35

1

구하는 각뿔대를 n각뿔대라고 하면

n각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2n개, 면의 개수는 (n+2)개이므로

2n-(n+2)=8 … ^1단계

2n-n-2=8

∴ n=10 … ^2단계

따라서 구하는 각뿔대는 십각뿔대이므로 모서리의 개수는

3_10=30(개) … ^3단계

단계 채점 기준 비율

1단계 n각뿔대의 꼭짓점과 면의 개수에 관한 식을 세운 경

우 40 %

2단계 각뿔대의 이름을 구한 경우 30 %

3단계 십각뿔대의 모서리의 개수를 구한 경우 30 %

 30개

2

서로 마주 보는 면은 (a, c), (b, 1), (2, 5)이므로 … ^1단계 서로 마주 보는 두 면에 적힌 수의 합은 2+5=7이다. … ^2단계 따라서 a+c=7, b+1=7에서 b=6이므로

a+b+c=(a+c)+b=7+6=13 … ^3단계

단계 채점 기준 비율

1단계 서로 마주 보는 면을 찾은 경우 40 %

2단계 서로 마주 보는 면에 적힌 수의 합을 구한 경우 30 %

3단계 a+b+c의 값을 구한 경우 30 %

 13

3

주어진 원뿔의 전개도를 그리면 오른쪽 그림과 같다. … ^1단계 µ BC의 길이는 원뿔의 밑면인 원 O의 원주와 같으므로

µ BC=2_p_3=6p`(cm) 따라서 ABÓ=ACÓ=6`cm이므로 구하는 도형의 둘레의 길이는

6+6+6p=12+6p`(cm) … ^2단계

단계 채점 기준 비율

1단계 원뿔의 전개도를 그린 경우 40 %

2단계 부채꼴의 둘레의 길이를 구한 경우 60 %

 (12+6p)`cm

4

회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면은 반원과 직사

각형으로 이루어져 있다. … ^1단계

(넓이)=;2!;_(p_4Û`)+8_5

=8p+40`(cmÛ`)

이므로 a=8, b=40 … ^2단계

또, 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면은 원이며 넓 이가 가장 큰 단면은 반지름의 길이가 4`cm인 원이다. … <sup>3단계</sup> 즉, (넓이)=p_4Û`=16p`(cmÛ`)이므로

c=16 … ^4단계

∴ a+b+c=8+40+16=64 … ^5단계

단계 채점 기준 비율

1단계 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면의

모양을 아는 경우 30 %

2단계 a, b의 값을 각각 구한 경우 각 10 % 3단계 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의

넓이가 가장 큰 경우를 찾은 경우 30 %

4단계 c의 값을 구한 경우 10 %

5단계 a+b+c의 값을 구한 경우 10 %

 64

ADN

ADN $

0

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2. 입체도형의 겉넓이와 부피

문서에서 정답과 풀이 (페이지 38-44)