부채꼴의 성질 원과 원주율

01

^{본문 74~77쪽}

1 ^{풀이 참조} 2 중심, 반원, 180ù 3 ^{∠COD, 5} 4 ⑴ 4배 ⑵ 12`cmÛ`

개념 확인 문제

1 "

#

$ % 

 

4 ⑴ ∠AOE=4∠AOB이므로 µAE의 길이는 µAB의 길이의 4배이다.

⑵ ∠AOD=3∠DOE이므로 부채꼴 DOE의 넓이는 부채 꼴 AOD의 넓이의 ;3!;이다.

따라서 구하는 넓이는 36_;3!;=12`(cmÛ`)

유제 1

"

#

$

%

&



 

 0

 ^{풀이 참조}

유제 2

원에서 가장 긴 현은 지름이므로 그 길이는 2_5=10`(cm)

 10`cm

유제 3

현의 길이가 원의 반지름의 길이와 같으므로 세 변의 길이가 모 두 같게 되어 △OAB는 정삼각형이다.

 정삼각형

유제 4

중심각의 크기가 30ù인 부채꼴 모양으로 나누어지므로 360ù

30ù =12에서 모두 12조각으로 나누어진다.

 ④

유제 5

△AOB와 △COD에서

AOÓ=COÓ (반지름), ∠AOB=∠COD, BOÓ=DOÓ (반지름) 이므로

△ABOª△CDO (SAS 합동)

⑤ ABÓ=OAÓ가 항상 성립하는 것은 아니다.

 ⑤

유제 6

② 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다.

 ②

유제 7

µAC`:`µ BC=4`:`1이므로

∠AOC`:`∠BOC=4`:`1

∠AOC+∠BOC=180ù이므로

∠BOC=180ù_ 1 4+1 =36ù

 36ù

유제 8

⑴ 20`:`100=2p`:`x에서 x=10p

⑵ 20`:`y=2p`:`6p에서 y=60

 ⑴ 10p ⑵ 60

형성평가

01 ⑴ ○ ⑵ × ⑶ × ⑷ ○ 02 ^60ù 03 ⑴ 8 ⑵ 120

04 ⑴ 30 ⑵ 45 05 ^12p`cmÛ` 06 ^7`cm

본문 78쪽

01

⑵ BCÓ는 현이다.

⑶ 활꼴이다.

 ⑴ ○ ⑵ × ⑶ × ⑷ ○

02

OAÓ=OBÓ (반지름), ABÓ=OBÓ이므로

OAÓ=OBÓ=ABÓ가 되어 △AOB는 정삼각형이다.

∴ ∠AOB=60ù

 60ù

03

⑴ 30ù`:`120ù=2`:`x에서 x=8

⑵ 40ù`:`xù=3`:`9에서 x=120

 ⑴ 8 ⑵ 120

04

⑴ 45ù`:`135ù=x`:`90에서 x=30

⑵ 30ù`:`xù=4`:`6에서 x=45

 ⑴ 30 ⑵ 45

05

ADÓOCÓ이므로 ∠DAO=∠COB=30ù (동위각) OAÓ=ODÓ (반지름)에서 ∠ODA=∠OAD=30ù이므로

∠DOA=180ù-2×30ù=120ù

따라서 30ù`:`120ù=3p`:`(부채꼴 AOD의 넓이)이므로 (부채꼴 AOD의 넓이)=12p`cmÛ`

 12p`cmÛ`

06

COÓ=CPÓ이므로 ∠COP=∠CPO=35ù 삼각형의 외각의 성질에 의해

∠OCD=35ù+35ù=70ù

OCÓ=ODÓ이므로 ∠ODC=∠OCD=70ù

∠COD=180ù-2×70ù=40ù

∴ ∠BOD=180ù-(40ù+35ù)=105ù 부채꼴 AOC와 BOD에서

35ù`:`105ù=µAC`:`21

∴ µAC=7`cm

 7`cm

부채꼴의 호의 길이와 넓이

02

^{본문 79~81쪽}

1 ⑴ 6, 12p ⑵ 6, 36p 2 ⑴ 6, 2p ⑵ 60, 6p 개념 확인 문제

유제 1

카펫의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 2pr=60p에서 r=30

따라서 반지름의 길이는 30`cm이다.

 30`cm

유제 2

(넓이)=p_4Û`-p_1Û`=15p`(cmÛ`)

(둘레의 길이)=2_p_4+2_p_1=10p`(cm)

 (넓이)=15p`cmÛ`, (둘레의 길이)=10p`cm

유제 3

∠BOC=360ù_ 1

1+3+4 =45ù이므로 (호의 길이)=2p_6_ 45

360 =;2#;p`(cm)

 ;2#;p

` cm

유제 4

(색칠한 부분의 둘레의 길이)

=2p_8_;4!;+2p_4_;2!;+8

=8p+8`(cm)

 (8p+8)`cm

유제 5

⑴ (넓이)=p_4Û`_120

360 -p_2Û`_120

360 =4p`(cmÛ`)

⑵ (넓이)=p_8Û`_;4!;-p_4Û`_;2!;=8p`(cmÛ`)

 ⑴ 4p`cmÛ` ⑵ 8p`cmÛ`

유제 6

⑴ (넓이)=2_{p_10Û`_;4!;-;2!;_10_10}

=50p-100`(cmÛ`)

⑵ (넓이)=6_6-p_3Û`=36-9p`(cmÛ`)

 ⑴ (50p-100)`cmÛ` ⑵ (36-9p)`cmÛ`

유제 7

부채꼴의 호의 길이를 l`cm라고 하면

;2!;_4_l=20p에서 l=10p

 ⑤

유제 8

(넓이)=;2!;_8_3p=12p`(cmÛ`)

 12p`cmÛ`

형성평가

01 ^{풀이 참조} 02 ^③ 03 ^④ 04 ^27p`cmÛ`

05 ^12p`cm

06 넓이: (144-36p)`cmÛ`, 둘레의 길이: (12p+24)`cm

07 ^① 08 ^30p`cmÛ`

09 ^{반지름의 길이:} :£3ª:`cm, 넓이: :;!3@;¥:p`cmÛ`

10 ^넓이: :»6Á:p`cmÛ`, 둘레의 길이: {:Á3£:p+14}`cm

본문 82쪽

01

⑴ (둘레의 길이)=2p×3=6p`(cm) (넓이)=p×3Û`=9p`(cmÛ`)

⑵ 반지름의 길이는 ;2!;_12=6`(cm)이므로 (둘레의 길이)=2p×6=12p`(cm)

(넓이)=p×6Û`=36p`(cmÛ`)

 ^{풀이 참조}

02

원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 2pr=12p에서 r=6

따라서 원의 넓이는 p×6Û`=36p`(cmÛ`)

 ③

03

원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 p×rÛ`=25p에서 rÛ`=25

5Û`=25이므로 r=5

따라서 원의 반지름의 길이가 5`cm이므로 둘레의 길이는 2p×5=10p`(cm)

 ④

04

큰 원의 반지름의 길이는 6`cm이므로

(색칠한 부분의 넓이)=p×6Û`-p×3Û`=27p`(cmÛ`)

 27p`cmÛ`

05

(색칠한 부분의 둘레의 길이)

=2p×6×;2!;+2p×3

=6p+6p=12p`(cm)

 12p`cm

06

(넓이)=(정사각형의 넓이)-(지름의 길이가 12`cm인 원의 넓이)

=12×12-p×6Û`

=144-36p`(cmÛ`)

(둘레의 길이) =2p×6+12×2

=12p+24`(cm)

 넓이：(144-36p)`cmÛ`, 둘레의 길이：(12p+24)`cm

07

작은 원의 반지름의 길이를 r라고 하면 큰 원의 반지름의 길이는 3r이므로

(작은 원 3개의 둘레의 길이의 합)=3×2pr=6pr (큰 원의 둘레의 길이)=2p×3r=6pr

따라서 큰 원의 둘레의 길이는 작은 원 3개의 둘레의 길이의 합 의 1배이다.

 ^①

08

(부채꼴의 넓이)=;2!;×12×5p=30p`(cmÛ`)

 30p`cmÛ`

09

반지름의 길이를 r`cm라고 하면 2pr_ 135 360=8p에서 r= 323

따라서 넓이는 ;2!;× 323 ×8p= 1283 p`(cmÛ`)

 ^{반지름의 길이:} :£3ª:`cm, 넓이: :;!3@;¥:p`cmÛ`

10

(색칠한 부분의 넓이)=p×10Û`× 60360-p×3Û`× 60360

= 916 p`(cmÛ`) (색칠한 부분의 둘레의 길이)

=2p×10× 60360+2p×3× 60360+2×7

= 133 p+14`(cm)

 ^넓이: :»6Á:p`cmÛ`, 둘레의 길이: {:Á3£:p+14}`cm

중단원 마무리

01 ^④ 02 ^④ 03 ^③ 04 ⁹⁴ 05 ^② 06 ^⑤ 07 ^③ 08 ^① 09 ^② 10 ^④ 11 ^② 12 ^③ 13 ^③ 14 ^② 15 ^② 16 ^④ 17 ^③ 18 ^① 19 ^12p`cmÛ` 20 ^⑤ 21 <sup>4`cm</sup> 22 <sup>③</sup> 23 <sup>36p`cmÛ`</sup> 24 (128-32p)`cmÛ`

25 ^② 26 <sup>10`cm</sup> 27 <sup>①</sup> 28 <sup>①</sup> 29 (16p-36)`cmÛ`

30 ^{7p`cm</sup> 31 <sup>③</sup> 32 <sup>2p`m}

본문 83~87쪽

01

① 원 위의 두 점을 이은 선분을 현이라고 한다.

② 호와 현으로 이루어진 도형을 활꼴이라고 한다.

③ 활꼴이면서 부채꼴일 때는 반원인 경우이므로 중심각의 크기 는 180ù이다.

⑤ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다.

 ④

02

∠AOC=180ù-(80ù+40ù)=60ù

④ µ   CD`:`µAC=40`:`60에서 2µAC=3µ CD

 ④

03

ㄱ. µAB`:`µ CD=80`:`40에서 µAB=2µ CD ㄴ. ABÓ<2 CDÓ

ㄷ. 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로 (부채꼴 AOB의 넓이)=2_(부채꼴 COD의 넓이) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

 ③

04

60`:`30=8`:`x에서 x=4 60`:`y=8`:`12에서 y=90

∴ x+y=4+90=94

 94

05

ABÓ=(반지름의 길이)이므로 △AOB는 정삼각형이다.

따라서 ∠AOB=60ù이므로 부채꼴 AOB의 넓이의 6배가 원의 넓이가 된다.

 ②

06

부채꼴 AOB와 부채꼴 BOC에서 15`:`75=5`:`µ BC이므로 µ BC=25`cm 부채꼴 AOB와 부채꼴 DOE에서 15`:`45=5`:`µDE이므로 µDE=15`cm

∴ µ BC+µDE=25+15=40`(cm)

 ⑤

07

한 원에서 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로

∠BOC=360ù_ 3

8+3+7 =60ù

 ③

08

(넓이)=p_60Û`_ 120360 -p_15Û`_120 360

=1125p`(cmÛ`)

 ①

09

(부채꼴의 넓이)=;2!;_6_8p=24p`(cmÛ`)

 ②

10

OCÓ를 그으면

" #

$

0 Y

µAB=3µ BC이므로

µ BC에 대한 중심각의 크기는 180ù_;3!;=60ù

∴ ∠BOC=60ù

OCÓ=OAÓ이므로 ∠OCA=∠x이며 삼각형의 외각의 성질에 의해

∠x+∠x=60ù에서 2∠x=60ù이므로

∠x=30ù

 ④

11

∠AOC=90ù-30ù=60ù

한 원에서 중심각의 크기와 호의 길이는 정비례하지만 현의 길이 는 정비례하지 않는다.

② ABÓ<3 BCÓ

 ②

12

OAÓ=OBÓ이므로 ∠OBA=50ù, ∠BOA=80ù ABÓCDÓ이므로

∠BOD=∠OBA=50ù (엇각)

∠COA=∠BAO=50ù (엇각)

∠COE=∠BOD=50ù (맞꼭지각)

∠DOF=∠AOC=50ù (맞꼭지각)

따라서 µAC와 길이가 같은 호는 µ BD, µ CE, µ DF의 3개이다.

 ③

13

원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 2pr=12p에서 r=6

∴ (중심각의 크기가 240ù인 부채꼴의 넓이)

=p_6Û`_ 240360 =24p`(cmÛ`)

 ③

14

(부채꼴의 넓이)=;2!;_(반지름의 길이)_(호의 길이) 이므로 부채꼴의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 9p=;2!;_r_6p ∴ r=3

따라서 반지름의 길이는 3`cm이다.

 ②

15

30`:`x=12`:`8에서 x=20 30`:`70=12`:`y에서 y=28

∴ x+y=20+28=48

 ②

16

한 원에서 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로

∠COD=5∠AOB에서 2∠x+25ù=5(∠x-10ù)

∴ ∠x=25ù

 ④

17

(색칠한 부분의 둘레의 길이)

=(큰 원의 둘레의 길이)+(작은 원의 둘레의 길이)

=2p_8+2p_4=24p`(cm) 이므로 a=24

(색칠한 부분의 넓이) =(큰 원의 넓이)-(작은 원의 넓이)

=p_8Û`-p_4Û`=48p`(cmÛ`) 이므로 b=48

∴ a+b=24+48=72

 ③

18

(넓이)=p_2Û`_285 360 =19

6 p`(cmÛ`)

 ①

19

(색칠한 부분의 넓이)

=(반지름의 길이가 4`cm인 원의 넓이)

-(반지름의 길이가 2`cm인 원의 넓이)

=p_4Û`-p_2Û`=12p`(cmÛ`)

 12p`cmÛ`

20

;2!;r_4p=12p에서 r=6

 ⑤

21

∠AOC+∠BOD=180ù-150ù=30ù이므로 150`:`30=20`:`(µAC+µ BD)에서

µAC+µ BD=4`(cm)

 4`cm

22

중심각의 크기와 호의 길이는 정비례하므로

∠AOB= 3

3+4+5 _360ù=90ù

∴ (부채꼴 AOB의 넓이)=p_6Û`_ 90

360 =9p`(cmÛ`)

 ③

23

정육각형의 한 내각의 크기는 180ù_(6-2)

6 =120ù이므로 색칠한 부분의 넓이는 반지름의 길이가 3`cm이고 중심각의 크 기가 240ù인 부채꼴 6개의 넓이의 합과 같다.

∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_3Û`_240 360 _6

=36p`(cmÛ`)

 36p`cmÛ`

24

(빗금친 부분의 넓이)

=;4!;_p_4Û`-;2!;_4_4

=4p-8`(cmÛ`)

∴ (색칠한 부분의 넓이)

=8_8-8(4p-8)

=128-32p`(cmÛ`)

 (128-32p)`cmÛ`

25

∠AOB=aù라고 하면 호의 길이가 2p`cm이므로 2p_6_ a360 =2p에서 a=60

OAÓ=OBÓ이고 ∠AOB=60ù이므로

△AOB는 정삼각형이다.

∴ ABÓ=OAÓ=6`cm

 ②

26

PCÓ=OCÓ이므로 ∠AOC=∠OPC=25ù 삼각형의 외각의 성질에 의해 ∠OCD=50ù ODÓ=OCÓ (반지름)이므로 ∠ODC=∠OCD=50ù 삼각형의 외각의 성질에 의해 ∠BOD=25ù+50ù=75ù 75`:`25=30`:`µAC에서

µAC=10`cm

 10`cm

ADN

ADN

27

∠AOB=aù라고 하면 ∠OAC=∠OCA=aù에서

∠AOC=180ù-2aù a`:`(180-2a)=5`:`15에서 5(180-2a)=15a

180-2a=3a에서 5a=180이므로 a=36

∴ ∠AOB=36ù

 ①

28

"

#

#

$

%

"

"

$

$

%

ADN ADN ADN M

점 A가 움직인 거리는 2p_4_ 90360 +2p_5_ 90

360 +2p_3_ 90 360

=6p`(cm)

 ①

29

(A의 넓이)=6Û`-p_4Û`_;4!;=36-4p`(cmÛ`) (B의 넓이)=p_4Û`_;4#;=12p`(cmÛ`) 따라서 두 부분 A, B의 넓이의 차는 12p-(36-4p)=16p-36`(cmÛ`)

 (16p-36)`cmÛ`

30

(색칠한 부분의 둘레의 길이)

=2p_3+2p_6_ 30 360

=7p`(cm)

 7p`cm

31

정육각형 ABCDEF이므로 한 외각의 크기는 360ù 6 =60ù (색칠한 부분의 넓이)

=①+②+③

=p_6Û`_ 60 360 +p_12Û`_ 60 360 +p_18Û`_ 60 360

=84p`(cmÛ`)

 ^③

32

직선 부분은 바깥쪽 레인과 안쪽 레인이

S S

그 길이가 같으므로 곡선 부분만 확인하

면 된다. 바깥 레인의 반지름의 길이를 r`m라고 하면 안쪽 레인의 반지름의 길 이는 (r-1)`m이므로 두 원의 둘레의 길이의 차는

2p_r-2p_(r-1)=2p`(m)

따라서 바깥쪽 레인은 안쪽 레인보다 2p`m만큼 앞에 있으면 된 다.

 2p`m

서술형으로 중단원 마무리

서술형 예제 ∠COB, ODÓ, ∠OAD, 45, 90, 10p 서술형 유제 16`cm

1 31.8p`cmÛ` 2 <sup>2p`cm</sup> 3 <sup>18</sup> 4:°3¤:p`cmÛ`

본문 88~89쪽

서술형 예제

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