Homogeneous Equation의 일반 풀이법

2차 상미분 방정식

Homogeneous Equation의 일반 풀이법

0

2  bx 

dt a dx dt

x d

Operator 정의를 이용한 대수적 표현 dtd  D

0 ) (

0 ²

2  bx   D aDb 

dt a dx dt

x d

Homogeneous Equation의 일반 풀이법

인수분해를 이용하여 1차 상미분 방정식으로 분리 (α, β 는 이차방정식의 해) 0

) )(

(

0 )

( ²















x D

D

x b aD D











 













 









t t

e c x

e c x x

dt x d

x dt x

d

x D

or x

D













2 1

0 0

0 )

( 0

) (

이 때,

Homogeneous Equation의 일반 풀이법

2차 상미분 방정식의 일반해는 2개임 (cf. 이차방정식의 해는 두개)

검산

t

t c e

e c

x  ₁ ^  ₂ ^

두개의 일반해의 합이 일반해

0

) (

) (

0 ) (

) (

) (

2 2

2 1

2 1

2 1

2 2 2

1

2 1

2 1

2 1

2







































b a

e c b a

e c

e bc e

bc e

ac e

ac e

c e

c

e c e

c b e

c e

dt c a d e

c e

dt c d

t t

t t

t t

t t

t t

t t

t t













































(α, β 는 이차방정식 의 해)

2 a





Homogeneous Equation의 일반 풀이법

중근이 존재하는 경우 (α=β)

e at

c x  ^

 ₁

0 )

)(

( 0

2 ²

2  a x   Da D a x 

dt a dx dt

x d

다른 일반해는 t를 곱하여 추출 e at

tc x  ₂ ^

e at

t c c

x   ^

 ( _{1 2} )

Homogeneous Equation의 일반 풀이법

0

) 2

( )

2 (

) 2

( 2

2 2

) (

) (

2 ) (

0 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1

2 2 1

2 2

2

2 1

2 2

2 2

2 2

1

2 1

2 2

1 2

1 2

2 2





























































































t a t a t

a e c a a a

e c a

a a

e c

te c a e

c a te

c a

e ac e

c a te

a c ae

c ae

c e

a c

te c e

c a te

c e

dt c a d te

c e

dt c d

x dt a

a dx dt

x d

at at

at

at at

at

at at

at at

at at

at at

at at

at at

검산

보조방정식 추출의 다른 방법

0

2  bx 

dt a dx dt

x d

Trial solution을 이용

에 대해 x  Ae^t 를 대입

0 )

( )

( ^{2 2}

2  bx  a b Ae  a b x 

dt a dx dt

x

d

 

 

0이 아닌 x 에 대해

2 a





미분방정식을 이차방정식으로 변환

보조방정식 추출의 다른 방법

이차방정식의 풀이

2 0 4

2

2 a a b

b

a       



 



2 , 4

2

4 ²

2 2

1

b a

a b

a

a      

 





미분방정식의 해

bt a t a

b a a

t Ae A e

Ae

x ²

4 2

2 4 1

2

2   









 ^

감쇄조화진동자

Trial solution

0

2  kx 

dt dx dt

x m d



t

Aei

x  ^

m k m

m i m

mk i

k i

m Ae^{i t}

 



 



 











2 2 2

2

4 2

2

4

0 ) (







 







k k

mt k m i mt i i mt

k m i mt i i

e A e

A x





 



 

 



2 2

2 2 2

2

2 4 2 2 4

1













감쇄조화진동자

실수해의 추출

4 ) sin(

4 ) 4 sin

cos (

) Re(

2 2 2

/

2 2 2 2

2 1

2 /

2 4 / 2 2 4

/ 1

2 2 2

2

 



















 



 



 













 

 

 



mt k Ce m

mt k c m

mt k c m

e x

e e

A e

e A x

m t

m t

mt k i m

m t t

m k i m

m t

감쇄항 진동항

감쇄조화진동자

Underdamping, Overdamping, and Critical damping

m k m

m i m

mk

i       

 ² ₂

4 2

2

4

 



 

보조방정식의 해

에 대해 0

4 ²   m

k m





4 ) sin( ₂

2

/

 

   

 ^ t

m k Ce m

x ^{t m}

감쇄조화진동자

Overdamping

) 2 exp(

4 ²

t c

x m i

mk i

i       



 



4 ²  0 m

k m



감쇄조화진동자

Critical damping

2 ) exp(

)

2 ( ^{1 2} t

t m c c m x

i

 



4 ²   0 m

k m



중근시 추가하는 해