차원동차성(Dimensional homogeneity): 방정식의 모든 항은 차원이 같다.
상사(Similitude): 모형으로부터 실형 조건을 예측하는 연구.
6.2 차원해석
차원해석(Dimensional Analysis): 두 유동계를 지배하는 무 차원 수를 찾아내기 위하여 개발된 도구 (차원 동차성의 원리 이용)
Buckingham 의 PI 정리 변수 n 개 : (q1, q2, …, qn)
기본 차원 r 개(보통 3 개) : M, L, T (n-r)개의 무차원 변수가 얻어진다.
즉, F(q1, q2, …, qn) = 0 G(1, 2, …, n-r ) = 0
Or
1 = G1(2, …, n-r ) : G1은 실험에 의해서 결정한다.PI 항의 결정
1) 문제에 관여되는 모든 변수를 찾아 열거 2) 각각의 변수를 기본차원으로 표현 3) 필요한 PI 항의 수를 결정
4) 기본 차원의 수와 같게 반복변수를 택함
5) PI 항은 반복변수가 아닌 것 중의 하나와 반복변수의 곱에 의하여 형성 6) 남아있는 모든 비 반복변수에 대해 PI 항 형성
7) 모든 PI 항이 무 차원 수인지 검토
8) PI 항의 관계식으로 나타내고, 그것이 무엇을 의미하는가 생각함
예제) 파이프라인 설계 1) F(D, V, pl, , ) = 0 2) D = [L]
V = [LT-1]
p
l = [ML-2T-2] = [ML
-1T-1] = [ML
-3]3) 5-3 = 2 개의 무 차원 수(PI 항) 4) 반복변수 : , D, V
5) 1 = a Db Vc pl
M0L0T0 = [ML-3]a [L]b [LT-1]c [ML-2T-2] : a = -1, b = 1, c = -2
1 = pl D/(V2) 6) 2 = a Db Vc M0L0T0 = [ML-3]a [L]b [LT-1]c [ML-1T-1] : a = -1, b= -1, c = -1
2 = /(VD)7) 1, 2가 무 차원인지 검토
D pl/(V2) = G(VD/) Euler 수, Reynolds 수
그림 6.2 미끄럼 밸브 주위의 유동 PI 정리 사용 : 식(6.2.2)
Darcy-Weisbach 공식
Buckingham 의 PI 정리 사용 F(p, D, L, e, , , , V, g, K) = 0 10 – 3 = 7 개의 무 차원 수
D, L, e 는 같은 차원이고, K 와
p 도 같은 차원을 갖는다. 따라서 3 개의 무 차원 수는 미리 결정
된다. (K/p, L/D, e/D)반복변수를
, D, V 로 정하면, 4 개의 무 차원 수(PI 항)를 구할 수 있다.
1 = p/(V2) : Euler 수
2 = (VD)/ : Reynolds 수
3 = V/(gD)1/2 : Froude 수
4 = DV2/ : Weber 수또한 K/p 는 Euler 수와 결합하여 표현한다. 즉, K/(V2)으로 표현하고 Root 를 씌우고 역수를 취 하면 V/(K/)1/2 (Mach 수)가 된다.
따라서
G(Eu, Re, Fr, We, M, e/D, L/D) = 0
파이프의 압력강하는 지름에 반비례하고 파이프 길이에 비례하므로
p = f(Re, e/D, M, We, Fr) (L/D) (V
2)/2대부분의 공학적 응용에서는 중력가속도, 표면장력, 압축성 효과 등은 무시되므로, Fr, We, M 의 효 과는 무시된다. 따라서
