1주차 차원해석과 상사(1)

(1)

1주차

차원해석과 상사(1)

충북대학교 토목공학부

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▶ 차원해석의 필요성(흐름장의 취급)

• 자연 현상을 수학적 모델로 근사화하고 수치적 방법이나 해석적 방법으 로 해를 구함

• 실험을 통하여 해석적 결과를 검증

• 실제 흐름장을 해석적 방법이나 또는 이론적 방법으로 엄밀하게 풀 수 있 는 경우는 극히 제한적

• 이러한 경우에는 주로 실험적 방법을 취하게 되나 대부분의 실험의 경우 데이터를 얻기 위해서는 많은 시간과 경비가 소요되고, 흐름장의 조건에 따라서는 변수들이 많아서 취급이 어려워 짐

: 데이터를 집약적이고 경제적인 형태로 표현할 필요성 제기 → 차원해석

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▪ 모형의 경제성

- 실험실에서 실험이 가능한 규모이어야 함 - 원형에 비해 충분히 저렴해야 함

▪ 모형의 실용성 및 적용성

- 모형의 실험 결과를 근거로 원형의 거동을 충분히 예측 가능해야 함

▶ 모형의 상사

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1 . 차원해석법

 차원의 동차성(dimensional homogeneity)의 원리를 이용하여 재현 하고자 하는 임의의 물리적 현상에 관계되는 제반 물리량으로 부터 무 차원 변수를 찾아내고, 또한 이들 무차원 변수사이의 함수관계를 유도 해 내는 절차

 실험 자료를 집약적이고 경제적인 형태로 표현가능

(방대한 실험데이터를 무차원 변수를 이용하여 한개 또는 몇 개의 곡선군으로 표현)

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1) 차원의 동차성 (dimensional homogeneity)

: 물리현상을 표현하는 식이 있을 때 차원해석의 대상으로 하기 위해서는 방정식의 각 항은 차원적으로 동차이어야 한다.

2) Rayleigh 방법

• n개의 변수, 이 어떤 자연현상에 관계한다면, 다음과 같 은 함수 관계를 가정할 수 있다.

상기 식을 각 변수의 지수승의 곱으로 표시할 수 있다고 가정

좌변과 우변의 차원을 비교함으로써 각 변수의 지수를 결정

1, 2, , _n 1

A A  A ₋

1 2 1

( , , , )

n n

A = f A A  A

₋

1

1 2

1 2 1

an

a a

n n

A = kA A  A

₋⁻

①

②

1 . 차원해석법

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• 관계변수 : →

지수승의 곱으로 표시하면

k : 무차원 상수

좌변과 우변에 차원을 대입하면

a

=1,

b

=1,

c

=1

, , ,

_e

P Q γ H

( , ,

_e

) P = f Q γ H

a b c

P = kQ γ H

e

2 3 3 1 2 2

[ ML T

⁻

] [ = L T

⁻

] [

^a

ML T

⁻ ⁻

] [ ]

^b

L

^c

P = kQ H γ

e

1 . 차원해석법

④

③

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• 변수가 많은 경우 해석절차가 복잡해짐

• 지수의 연립방정식의 개수보다 미지값인 지수의 수가 많아져

서 함수형태를 결정하기가 어려워짐

예제) 유체 내에 잠겨 있는 물체의 항력

관계변수 : 물체의 항력 : 유체의 밀도 : 유 속 : 동점성 계수 : 물체의 투영면적 :

1 . 차원해석법

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• 차원의 동차성을 이용하면

미지수 : 4, 방정식 :3

①로부터

①

②

1 . 차원해석법

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로 표현할 수 있으므로

로서 레이놀드수의 역수이므로

→

: 항력계수(물체의 형상과 레이놀드의 함수)

1 . 차원해석법

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