개념완성
수학 2
집합
01 집합의 포함관계
1. 집합과 원소
(1) 집합 (Set)
대상을 명확히 할 수 있는 모임
(2) 원소 (Element)
집합을 이루는 각각의 요소들(3) 집합과 원소
가 집합
의 원소일 때 ⇨
가 집합
의 원소가 아닐 때 ⇨▶ 벤다이어그램 (Venn-Diagram)
그림을 이용하여 집합을 나타내는 방법
▶ 집합 :
⋯
, 원소 : ⋯
▶ 어떤 원소가 그 집합에 들어 있는지, 아닌 지를 식별할 수 있어야 하고, 집합에서 취한 두 원소가 서로 같은지, 다른 지를 식별할 수 있어야 한다.
▶ 원소기호 [
∈
] : 원소 (Element)의 첫글자 ‘E’ 의 모양을 따서 만든 것으로 원 소가 집합에 속하는 관계를 나타내는 기호
×
×
1.
다음 중 집합인 것을 찾으면?1)① 우리 반에서 키가 큰 학생의 모임
② 착한 학생들의 모임
③ 우리나라 중학생의 모임
④ 발의 크기가 작은 학생의 모임
⑤ 우리 반에서 공부를 잘하는 학생의 모임
2.
미만의 의 배수 전체의 집합을 A 라 할 때, 다음 안에∈ 또는 ∉ (∋ 또는 ∋)로 나타내시오. 2)
(1) A (2) A (3) A
(4) A (5) A (6) A
3.
다음 중 집합이 될 수 있는 것은?3)① 에 가까운 수들의 모임
② 에 가장 가까운 수들의 모임
③ 에 가장 가까운 실수의 모임
④ 에 가까운 자연수의 모임
⑤ 에 가장 가까운 자연수의 모임
2. 집합의 표현
(1) 원소나열법
안에 모든 원소를 하지 않고 직접 나열하는 방법
(2) 조건제시법
｛ | 는 ｝의 형태로 원소들의 공통된 을 제시하는 방법
■ 원소의 개수에 따른 집합의 분류
① 유한집합 : 원소의 개수가 인 집합 ⇨
② 무한집합 : 원소의 개수가 인 집합 ⇨
③ 공 집 합 : 원소의 개수가 인 집합 ⇨
▶ 공집합 (Empty Set) 은 의 기호로 나타낸다.
4.
다음 집합을 원소나열법으로 나타내시오.4) (1) 보다 작은 의 배수의 집합(2) 의 약수의 집합
5.
다음 집합을 원소나열법은 조건제시법으로, 조건제시법은 원소 나열법으로 나타내 시오.5)(1)
(2) 은 자연수
6.
집합 B 는 16 의 약수} 를 원소나열법으로 나타내시오.6)3. 부분집합
(1) 부분집합 (Subset)
의 모든 원소가
의 원소이다.⇨
는
의 이다.▶
가
의 부분집합이 아닐 때 ⇨▶ 집합의 포함 관계에 대한 성질
임의의 세 집합
에 대하여➊ ∅ ⊂
, ⊂
➋ ⊂
이고 ⊂
이면 ⊂
이다.(2) 집합과 원소의 관계
∅ 에 대하여① 집합
의 원소 ⇨② 집합
의 부분집합 ⇨▶ 포함기호 [
⊂
] : 포함하다 (Contain) 의 첫글자 ‘C’ 의 모양을 따서 만든 것으로7.
집합 B 는 6 이하의 소수} 의 부분집합을 모두 구하시오.7)8.
집합 A B 에서 A , B 는 7 의 약수} 이고 B ⊂ A 라고 할 때, 의 값을 구하시오.8)9.
다음 중 집합 의 부분집합이 아닌 것은?9)① ② ③
④ ⑤
4. 집합의 상등 (서로 같다)
(1) 서로 같은 집합
⇨
와
는 같다.⇨(2) 진부분집합
⇨
는
의 진부분집합 (Proper-Subset)‘■ 벤 다이어그램을 이용한 부분집합과 진부분집합의 비교
부분집합 진부분집합
B A
또는
B A
⊂
또는
B A
⊂
≠
A B
10.
집합 의 진부분집합을 모두 구하시오.10)11.
두 집합 A , B
에 대하여⊂ 가 성립할 때, 실수 의 값을 구하시오.11)
12.
두 집합 ,
에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오.12)
5. 부분집합의 개수
집합
⋯
에 대하여(1) 의 부분집합의 개수
⇨(2) 를 포함하는 의 부분집합의 개수
⇨(3) 를 포함하고, 을 포함하지 않는 의 부분집합의 개수
⇨
▶ 부분집합의 개수
원소의 개수 집합의 예 부분집합 부분집합의 개수
개
개
개⋮
개
⋮
⋯
∅
∅
∅
⋮
∅ ⋯ ⋯
개
개
개⋮
개원소의 개수 : ⋯ 개 ⇨ 부분집합의 개수 : ⋯ 개
❶ 원소의 개수가 개인 집합의 부분집합의 개수 ⇨
❷ 원소의 개수가
개인 집합의 진부분집합의 개수 ⇨13.
집합 A 라고 할 때, 집합 A 의 부분집합을 구하시오.13) (1) 원소가 하나도 없는 것(2) 원소가 개인 것
(3) 원소가 개인 것
(4) 원소가 개 인 것
14.
집합 C 는 2 의 약수} 의 부분집합을 모두 나열하시오.14)15.
집합 는 3 의 배수, ≦ ≦ 일 때, 의 부분집합의 개수를 구하 시오.15)6. 특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수
집합
에 대하여(1) 원소 을 포함하지 않는 집합 의 부분집합의 개수
을 포함하지 않는 집합
의 부분집합 ⇨ 을 제외한 집합 의 부분집합▶ 원소의 개수가 개인 집합에서
특정한 개의 원소는 포함하지 않는 부분집합의 개수 ⇨
(2) 원소 을 포함하는 집합 의 부분집합의 개수
집합
에서 원소
을 제외한 집합
의 부분집합에다시 원소
을 넣어서 만든 집합 과 같은 것이므로 그 개수가 같다.
을 포함하는 집합
의 부분집합 ⇨ 을 제외한 집합 의 부분집합▶ 원소의 개수가 개인 집합에서
특정한 개의 원소는 포함하는 부분집합의 개수 ⇨
▶ 의 부분집합
첨가
16.
집합 에서 와 이 들어 있는 부분집합의 개수를 구하 시오.16)17.
집합 ⋯ 의 부분집합 중에서 를 반드시 포함하는 것의 개수가 일 때, 자연수 의 값을 구하시오.17)18.
집합 일 때, 원소 중 적어도 하나를 포함하는 부 분집합의 개수를 구하시오.18)7. 멱집합
(1) 멱(冪-거듭제곱)집합 (Power-Set)
집합
의 모든 을 원소로 갖는 집합▶ 기호로
또는 로 나타낸다. ⇨▶ ,
, ∅ ,
(2) 멱집합의 원소의 개수와 부분집합의 개수
집합
에 대하여집 합 원소의 개수 부분집합의 개수
19.
19)집합 에 대하여 P ∣⊂ 라고 정의할 때, 집합 P 의 원소가 아닌 것은?① ② ③
④ ⑤
20.
20)임의의 집합 에 대하여 집합 를 ∣⊂ 와 같이 정의한 다. 집합 일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?① ∅∈ ② ⊂ ③ ∈
④ ∅ ⊂ ⑤ ⊂
21.
집합 에 대하여 ⊂ 라고 할 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면?21)① ∅∈ ② ∩ ③ ⊂
④ ⊂ ⑤ ∈
02 집합의 연산
1. 집합의 연산
(1) 합집합 : ∪
(2) 교집합 : ∩
(3) 여집합 :
(4) 차집합 :
■ 집합의 연산
: 10 이하의 자연수의 집합,
: 2 의 배수의 집합,
: 3 의 배수의 집합에 대하여,연 산 정 의 벤다이어그램 비 고
합집합
∪
2, 3, 4, 6, 8, 9, 10
1 5 7
2 4 8 10
3 6 9
A B
∪
∪∅
∪
교집합
∩
6
1 5 7
2 4 8 10
3 6 9
A B
∩
∩∅
∩
차집합
2, 4, 8, 10
1 5 7
2 4 8 10
3 6 9
A B
∅
A
22.
전체집합 는 이하의 자연수 의 두 부분집합 는 의 약수 에 대하여 ∅ 일 때,
을 구하시오. 22)
23.
전체집합 는 10 이하의 자연수} 의 두 부분집합 는 10 의 양의 약수}, 에 대하여 다음 중 옳지 않은 것은?23)
① ∩ ② ∪
③ ④
⑤
24.
전체집합 의 세 부분집합 , , 에 대하여 집합 ∩ 를 원소나열법으로 나타내시오.24)
2. 집합의 연산법칙
교 환 법 칙
∪
∩
결 합 법 칙
∪ ∪
∩ ∩
분 배 법 칙
∩ ∪
∪ ∩
드모르간의 법칙 ∪
∩
▶ ∪ , ∩
▶ ∩ ∪ , ∪ ∩ [흡수법칙]
▶ ∪ ∅ ⇨ ,
▶ ∩ ⇨ ,
▶ ∪ ∩
25.
전체집합 U 의 부분집합 A B 에 대하여 다음 등식이 성립할 때, 괄호 안의 식 을 구하시오.25)A∪B ∩ A
c∪B
c A
c∩B ∪
26.
세 집합 는 의 약수 , 는 이하의 짝수 , 는 이하의 홀수 에 대하여 ∩∩ 를 구하시오.26)27.
전체집합 의 두 부분집합 에 대하여 일 때, 집합 ∩ ∪ ∩ 를 원소나열법으로 나타내시오.27)
∩
∩
∩
∩
∪
∩
∪
∩
∪
3. 벤다이어그램으로 확인하는 집합의 연산법칙
(1) 결합법칙
∪ ∪
∩ ∩
∪
∪
∪
∪
∪
∪
∪
∪
(2) 분배법칙
∩ ∪
∪ ∩
∩
∪
∩
∪
∩
∪
∪
∩
∪
∪
(2) 드 몰간의 법칙
∩
∪
28. 세 집합
의 포함관계가 오른쪽 벤 다이어그램 과 같을 때, 다음 중 색칠한 부분을 바르게 나타낸 집합은?28)① ∩ ② ∩∩
③ ∩ ④ ∩∪
⑤ ∩
29.
세 집합 가 오른쪽 벤 다이어그램과 같을 때, 다음 중 색칠한 부분을 바르게 나타낸 집합은?29)① ∩ ② ∩
③ ∩∩ ④ ∩∩
⑤ ∩∩
30.
세 집합 가 전체집합 의 부분집합일 때, 다음 중 집합 를 벤다이어그램으로 바르게 나타낸 것은?30)① ② ③
④ ⑤
4. 집합의 연산과 부분집합
(1) 두 집합의 상호관계
서로 소 일반적인 경우
⊂
A B A B
A
B A B
(2) 집합의 연산과 포함관계
상호관계 벤다이어그램 연산의 성질
∩ ∅ (서로 소)
A B
∪
∩
∪
⊂ A
B
∪
∩
∪
31.
31)전체집합 의 두 부분집합 에 대하여 ⊂ 일 때, 다음 중 옳은 것은?① ∩ ② ∩ ∅ ③ ⊂
④ ∩ ∅ ⑤ ∪
32.
32)전체집합 의 두 부분집합 에 대하여 ∩ ∅ 일 때, 다음 중 옳은 것은?① ⊂ ② ∪ ③ ∩ ∅
④ ∪ ⑤ ∅
33.
전체집합 의 두 부분집합 에 대하여 가 성립할 때, 다음 중 항상 옳은 것은? 33)① ⊂ ② ⊂ ③ ≠
④ ∩ ∅ ⑤ ∪
5. 대칭차집합
(1) 대칭차집합
⇨ ∆ ∪
라 하면 ∆ ∪
∩
∪
∪
∪ ∩
∪ ∩
(2) 대칭차집합의 성질
∆ ∆
(교환법칙) ∆ ∆ ∆ ∆
(결합법칙) ∆∅ ∅∆
(항등원) ∆ ∅
(역원)
(3) 집합의 포함관계
∆ ∅ ∆ ∆
▶ ∆ ∆
34.
34)두 집합 에 대하여 연산 ∆ 를 ∆ ∪∪ ∩ 라 할 때, 세 집합 에 대하여 집합 ∆∆ 의 모든 원소의 합을 구하시오.35.
35)전체집합 의 두 부분집합 에 대하여 연산 ∆를∆ ∪ ∩ 로 정의하자. , ∆ 일 때, 집합 의 모든 원소의 합을 구하시오.
36.
두 집합 에 대하여 집합 ∆ 를 ∆ ∪ 로 정의할 때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?36)ㄱ.
∆∆ㄴ.
∆∆ㄷ.
∆∆∆∆▌보 기▐
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
6. 자연수의 배수의 집합
자연수
의 배수의 집합을
,
는
의 최소공배수,
는
의 최대공약수라 하면(1)
∩
⇨
▶
∩
⊂
에서
의 최대값 ⇨▶
∩
⊃
에서 의 최소값 ⇨(2)
∩
⊂
⇨▶
∩
⊂
에서
의 최대값 ⇨▶
∪
(3)
⊂
⇨
: ,
:
37.
37)자연수 전체의 집합에서 자연수 의 배수집합을 로 나타낸다고 할 때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두 골라라.ㄱ.
∩ㄴ.
∪ㄷ.
∩∪ ▌보 기▐
38.
38)자연수 전체의 집합에서 자연수 의 배수의 집합을 로 나타낸다고 할 때, 다음 중 ∩ ∪ 을 만족하는 상수 의 값을 구하여라.39.
39)자연수 전체집합에서 정의된 집합 는 자연수 의 배수를 원소로 하는 집합이다.⊂ ∩ 를 만족하는 자연수 의 최솟값을 구하여라.
전체집합 의 두 부분집합 , 에 대하여 등식 ∩ ∩
가 성립함을 보여라.
다음은 위의 문제에 대한 선형이와 민규의 생각이다. 선형이와 민규가 생각한 방 법으로 문제를 해결하여 보자.
∩ ∩
∩
∪
∩ ∩
를 벤 다이어그램으로 나타내면03 집합의 원소의 개수
1. 두 집합에서의 원소의 개수
집합
⋯
에 대하여집합
의 원소의 개수를
라 하면,(1) ∪
(2)
(3)
(4)
∩
■ 벤 다이어그램으로 확인하는 두 집합의 원소의 개수
오른쪽 그림과 같이 각 영역의 원소의 개수를 각각
라 하면 ∪
40.
A , B , A ∩B 일 때, A ∪B 의 값을 구하시오.40)41.
수현이네 반에서 수학 학습지의 구독 실태를 조사하였더니 A 회사의 학습지를 보는 학생이 명, B 회사의 학습지를 보는 학생이 명, 두 회사의 학습지를 모두 보는 학생이 명이라고 한다.A B 두 학습지 중 적어도 하나를 구독하는 학생은 몇 명인가?41)
42.
두 집합 A 는 8 의 약수}, B 는 12 의 약수} 에 대하여A B A∪B 의 값을 구하시오.42)
2. 세 집합에서의 원소의 개수
집합
⋯
에 대하여집합
의 원소의 개수를
라 하면, ∪ ∪
■ 벤 다이어그램으로 확인하는 세 집합의 원소의 개수
오른쪽 그림과 같이 각 영역의 원소의 개수를 각각
라 하면 ∪ ∪
∩
∩
∩
∩ ∩
43.
세 집합 에 대하여 ∩ ∩ ∩ ∩∩ 일 때, ∪∪ 의 값을 구하시오.43)
44.
세 집합 에 대하여 집합 와 , 집합 와 가 각각 서로소 이고 ∪∪ 일 때, ∩ 의 값을 구하시 오.44)
45.
세 집합 에 대하여 ∩ ∩ ∩ ∩∩ 일 때,
∪∪ 의 값을 구하시오.45)
■ 원소의 개수의 최대·최소
(1) ∩ 의 최대·최소
∩ ≦ min
∩ ≧ max
▶ 여기에서
min
는
중 크지 않은 수max
는
중 작지 않은 수 를 나타낸다.(2) ∪ 의 최대·최소
∪ ≧ max
∪ ≦ min
▶
∩ ∩ ≦ min
∩ ∩ ≧ max
46.
명의 학생 중에서 음악을 좋아하는 학생은 명, 체육을 좋아하는 학생은 명이고, 음악과 체육을 모두 좋아하는 학생은 명일 때, 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라.46)47.
명 의 학생 중 수학을 좋아하는 학생은 명, 영어를 좋아하는 학생은 명이고, 수학과 영어를 모두 좋아하는 학생은 명일 때, 값의 최솟값과 최댓값을 구하시오.47)
48.
실수 전체의 집합의 두 부분집합 에 대하여 ∩ ≧ 일 때, ∪ 의 최댓값과 최솟값의 합은?48)
① ② ③
④ ⑤
제2장
명제
01 명제와 조건
1. 명제와 조건
(1) 명제 (Proposition) 와 진리값
명 제 :
참•거짓
을 판단할 수 있는 문장진리값 :
참
⇨ [ T ] ,거짓
⇨ [ F ]▶ 명제는 흔히 ⋯ 로 나타낸다.
(2) 조건 (Condition) 과 진리집합
조 건 : 주어진 변수의 값에 따라
참•거짓
이 판별되는 문장이나 식.진리집합 : 조건이
참
이 되게 하는 원소들의 집합▶ 명제는 흔히 ⋯ 또는, 간단히 ⋯ 로 나타낸다.
▶ 조건 의 진리집합을
또는 로 나타내기로 한다.49.
다음 중 명제가 아닌 것을 모두 고르면?49)① 한국의 수도는 서울이다. ② 백두산은 높다.
③ ④ 는 보다 작다.
⑤ 정사각형은 평행사변형이다.
50.
50)다음 중 명제인 것은?① ② 은 큰 수이다.
③ 장미꽃은 아름답다. ④ 는 보다 크다.
⑤
51.
전체집합 는 자연수} 에서 정의된 조건 ‘ 는 자연수이다.’ 를 만족 하는 집합의 원소의 개수를 구하시오.51)2. 조건의 합성
전체집합
는 10 이하의 자연수 에 속하는 원소 에 대하여, 두 조건 ‘ : 는 2 의 배수이다’, ‘ : 는 3 의 배수이다’ 가 있다.두 조건을 논리적인 언어로 연결한 새로운 조건을 합성조건이라 한다.
조 건 의 합 성 진 리 집 합 벤다이어그램
는 2 의 배수이다
⇨
{ }
1 5 72 4 8 10
3 6 9
P Q
는 3 의 배수이다
⇨
{ }
1 5 72 4 8 10
3 6 9
P Q
는 2 의 배수이거나 3 의 배수이다
⇨ or
{ }
1 5 72 4 8 10
3 6 9
P Q
는 2 의 배수이고 3 의 배수이다
⇨ and
{ }
1 5 72 4 8 10
3 6 9
P Q
는 2 의 배수가 아니다
⇨ ～
{ }
1 5 72 4 8 10
3 6 9
P Q
52.
전체집합이 이하의 자연수의 집합일 때, 다음 중 조건 ‘ 는 의 양의 약수’ 에 대하여조건 ∼ 를 만족하는 집합을 구하시오.52)
53.
두 조건 ‘ 는 의 양의 약수’, ‘ 는 소수’ 에 대하여 조건 그리고 를 만족하는 집합의 원소의 합을 구하시오.53)
54.
정의역과 공역이 실수 전체의 집합인 두 함수 에 대하여 두 조건 을 만족하는 집합을 각각 라 할 때, 조건 을 만족하는 집합은?54)① ∩ ② ∪ ③
④ ⑤ ∪
■ 합성조건의 진리집합과 부정
조건의 합성 진리집합 부정
or
and
∼ [not p]
▶ or 의 부정
∼ or ≡
⇩ ⇧
∪
≡
▶ and 의 부정
∼ and ≡
⇩ ⇧
∩
≡
▶ ～ 의 부정
∼ ～ ≡
⇩ ⇧
≡
55.
다음 조건의 부정을 만드시오.55) (1) ≦ (2) 또는
56.
⋯ 을 전체 집합으로 하는 조건 ‘ 또는 ≧ ’ 에 대하여 조건 ∼ 를 만족하는 집합의 모든 원소의 합을 구하시오. 56)57.
전체집합이 는 1 에서 10 까지의 자연수} 인 두 조건 가 다음과 같다. 는 의 약수 ≤ 또는 ≥ 조건과 진리집합이 맞게 짝지어진 것은?57)
조건 진리집합
① ∼
② 또는
③ 그리고
④ 또는 ∼
⑤ ∼ or ∼
3. 조건으로 된 명제
전체집합 는 10 이하의 자연수}
조건 ‘ : 는 4 의 배수이다’
조건 ‘ : 는 2 의 배수이다’
명 제 진 리 값 벤다이어그램
4의 배수는 모두 2 의 배수이다
⇨ → ⊂
⇨Q P
모든 수는 4 의 배수이다
⇨ ≠
⇨P
어떤 수는 4 의 배수이다
⇨ ≠ ∅
⇨P
2
1 3
6 10 5 7
9
4 8
P
Q
58.
조건 를 만족하는 집합이 각각 이고, 명제 → 가 참일 때, 다음 중 옳은 것은?58)① ∪ ② ∩ ③ ∩ ∅
④ ∅ ⑤
59.
세 실수 에 대하여, 조건 의 부정과 같은 조건은?59)①
② 는 서로 다르다.
③ 중 적어도 하나는 이다.
④ 중 적어도 하나는 이 아니다.
⑤ 는 모두 이 아니다.
60.
두 조건 에 대하여 다음 명제의 참, 거짓을 판별하시오. 60) →
∼ →
■ 조건으로 된 명제의 진리값과 부정
명 제 진리값 [ T ] 부 정
→
▶ 명제의 부정
○○○ ∼ ×
∼ ○
○○×
○××
×××
▶ 명제 → 에서
조건 : 가정 (assumtion) 조건 : 결론 (Conclusion)
▶ 명제 → 가 참이면 기호 ⇒ 로 나타낸다.
▶ ⇒ 이고 ⇒ 이면, ⇔ [두 조건 는 동치 (Equivalent)]
■ 명제와 조건의 부정
61.
두 조건 , 에 대하여명제 → 가 참이 되도록 하는 모든 정수 의 값의 합을 구하시오. 61)
62.
네 조건 의 진리집합을 이라 하자. ∅ ∪ ∩ 일 때, 다음 중 항상 참인 명제는?62)
① → ② ∼ → ③ →∼
④ ∼ → ∼ ⑤ →
63.
명제 「모든 실수 에 관하여 ≠ 이다.」 의 부정을 쓰고, 그 부정이 참이 되도록 하는 실수 값을 구하시오.63)4. 명제의 역, 대우
(1) 역 (Converse), 대우 (Contraposition)
주어진 명제 → 에 대하여
① 역 ⇨
② 대우 ⇨
(2) 명제와 대우명제는
▶ 주어진 명제와 대우명제는 서로
대우관계
이므로 참, 거짓이 일치한다. →
← 역 → →
↖ ↗
대우↙ ↘
∼ → ∼
← 역 →∼ → ∼
⇒ ≡ ∼ ⇒ ∼
⇩ ⇧
≡
64.
64)다음 중 그 역이 참인 것은?① 의 배수는 의 배수이다.
② 두 수 가 짝수이면 도 짝수이다.
③ 이면, 이다.
④ 넓이가 같은 두 삼각형은 합동이다.
⑤ 정삼각형은 이등변삼각형이다.
65.
65)다음 중 주어진 명제와 그 역이 모두 참인 것은?① 가 의 배수이면 는 의 배수이다.
② 이면 또는 이다.
③ 이면 이다.
④ ∆≡ ∆ 이면 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
⑤ 두 자연수 가 짝수이면 는 짝수이다.
66.
66)다음에서 명제도 참이고 그 역도 참이 되는 것은?① ∆ 가 둔각삼각형이면 ∠ 이 다.
② 두 삼각형이 합동이면, 두 삼각형의 넓이는 같다.
③ 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.
④ 이면 이고 이다.
⑤ 자연수 는 와 의 공약수이다.
5. 충분조건, 필요조건, 필요충분조건
(1) 필요조건, 충분조건
명제 → 가 참일 때, 즉 일 때, 는 이기 위한
충분
조건 는 이기 위한
필요
조건(2) 필요충분조건
명제 → 와 → 모두 참일 때, 즉 일 때,
는 이기 위한
필요충분
조건 는 이기 위한필요충분
조건(3) 반례
∈
∉
를 만족하는 원소 를명제 → 의
반례
(Counterexample) 라 한다.▶ 반례가 존재하면 ⇨
진리집합
○
×
반례
67.
다음 에 대하여 는 이기 위한 필요조건, 충분조건, 필요충분조건 중 어느 것인지 말하시오. 67)
는 의 약수 는 의 약수
또는
68.
68)다음 보기 중 는 이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아닌 것을 모두 고른 것은?〈 보 기 〉
ㄱ. ∆ABC가 이등변 삼각형이다. ∆ABC의 두 각의 크기가 같다.
ㄴ. ∆ABC와 ∆A′B′C′의 넓이가 같다. ∆ABC와 ∆A′B′C′은 합동이다.
ㄷ. □ABCD는 정사각형이다. □ABCD는 마름모이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ
69.
조건 가 조건 이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것은?69) (단, 는 실수)① 는 유리수 는 모두 유리수
② ￨ ￨ ￨ ￨
③ ∩∪∩
④ 이고 이고 ≻
⑤ ≥ 이고 ≥ ￨ ￨ ￨ ￨ ≥ ￨ ￨
02 명제의 증명
1. 명제의 증명
정의 :
용어의 뜻을 명확하게 정한 문장공리 :
증명없이 참으로 받아들이는 문장정리 :
증명된 명제 중에서 기본이 되는 것증명 :
어떤 명제의 가정으로부터 기본이 되는 성질이나이미 옳다고 밝혀진 성질을 근거로 결론을 이끌어 내는 설명
(1) 직접증명법 [삼단논법]
가정
에서결론
을 유도한다.
⇒ and ⇒ ⇒
⇩ ⇧
⊂ and ⊂ ⇒
(2) 간접증명법 [귀류법]
가정
을 부정하면가정
에 모순임을 밝힌다.∼ ⇒ ⋯ ⇒ ⇒
⇩ ⇧
⊂ ⋯ ⊂ ⇒
70.
70) 가 정수일 때, 명제 ‘이차방정식 이 적어도 하나의 정수해를 가지면 중 적어도 하나는 짝수이다.’임을 증명하시오.71.
71)다음 명제가 참임을 증명하시오.(1) , 가 실수일 때, 이면 이고, 이다.
(2) , 가 자연수일 때, 가 짝수이면 또는 가 짝수이다.
72.
가 유리수가 아님을 증명하시오.72)2. 실수의 절댓값
(1) 절댓값의 정의
실수
의 절댓값 : ⇨
,
,
(2) 절대값의 표현
원점과 실수
사이의 거리 :
두 실수
사이의 거리 :
≧
이므로(ⅰ)
≧
이면
(ⅱ)
이면
≧
≧
이므로(ⅰ)
≧
이면
(ⅱ)
이면
≧
(3) 절대값의 성질
①
≦
⇔(단,
)②
≧
⇔(단,
)③
≧
, ≧
,
,
④
,
(단, ≠
)⑤
⇔
,
73.
73)실수 에 대하여 이 성립할 때, 의 값을 구하여라.74.
74)실수 에 대하여 이 성립할 때, 의 값을 구하여라.75.
75)방정식
을 만족하는 실수
에 대하여
의 값을 구하여라.3. 부등식의 증명
(1) 차를 이용
가 실수일 때
⇔
⇔
⇔(2) 제곱의 차를 이용
일 때
⇔
⇔
⇔(3) 두 수의 비를 이용
일 때
⇔
⇔
⇔▶ 부등식의 증명은 [(좌변)-(우변)] 의 부호를 정하거나,
양변이 모두 보다 클 때는 [제곱의 차] 나 [비]를 이용한다.
■ 부등식의 성질
⇨
⇨
⇨
⇨
⇨
▶ ⇨
,
▶ ⇨
76.
다음은 임의의 두 실수 에 대하여 ≧ 이 항상 성립한다는 것을 증명한 것이다. 가 나 다
그런데
나 ≧ 다 라 ∴
≧ (단, 등호는
나 다 , 즉
마 일 때 성립)
< 증 명 > * 배포 *helpmem ath
* 작성자 *
위의 과정에서 (가) ~ (마)에 들어갈 것으로 옳지 않은 것은? 76)
① (가) ② (나)
③ (다)
④ (라) ≧ ⑤ (마)
77.
일 때, 의 대소를 비교하시오. 77)78.
실수 에 대하여 두 부등식
이 동시에 성립할
필요충분조건은? 78)
① ②
③ ④
⑤
03 절대부등식
1. 절대부등식
(1) 절대부등식
모든 실수
값에 대하여 항상 성립하는 부등식을절대부등식
이라 한다.절대부등식에서는 반드시
등호가 성립하는 경우
를 밝힌다.(2) 기본적인 절대부등식
①
≧
⇨ 등호는 일 때 성립
≧
⇨ 등호는 일 때 성립②
≧
⇨ 등호는 일 때 성립③
≧ ≧ ∼
≧
⇨ 등호는 일 때 성립 ≧ ∼
⇨ 등호는 일 때 성립▶
≥
⇨ 등호는 일 때 성립
▶
≥
∴ ≥ ⇔ ≥
⇨ 등호는 일 때 성립▶
∼
≥
79.
다음은 임의의 실수 에 대하여 임을 증명하는 과정이다. 가
이 때, 는 실수이므로 가 나
∴ 가
∴
< 증 명 > * 배포 *helpmemath
* 작성자 *
위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것을 차례대로 나열하여라. 79)
80.
다음은 임의의 실수 , 에 대하여 ≧ 임을 증명하는 과정이다.(가), (나), (다), (라) 에 알맞은 것을 차례대로 구하시오. 80)
≧ , ≧ 이므로 , 의 대소를 비교하면 된다.
=
= 가 나 = 다 ≧ (단, 등호는 라 ≧ 일 때 성립)
< 증 명 >
* 배포 *helpmemath* 작성자 *81.
다음은 실수 , , 에 대하여 이차방정식 , , 중 적어도 하나는 실근을 갖는다는 것을 증명한 것이다. 81)
주어진 방정식이 모두 허근을 갖는다고 가정하면
가 , 가 , 가
세 식을 같은 변끼리 더하면 가 변형하면 =
나 ․ ․ ․ ․ ․ ㉠ 그런데, , , 는 실수이므로 다 ․ ․ ․ ․ ․ ㉡ 따라서, ㉡은 ㉠에 모순이므로 세 방정식 중 적어도 하는 실근을 갖는다.< 증 명 > * 배포 *helpmemath
* 작성자 *
2. 산술평균과 기하평균
을 만족하는 모든 실수 에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
≧
⇨ 등호는 일 때 성립▶ 증명
(좌변) - (우변)
≥
∴ (좌변) ≧ (우변) ( 단, 등호는 일 때 성립 )
▶ 모든 양수 에 대하여
⇨
산술평균
,
⇨기하평균
, ⇨
조화평균
이 성립한다. ⇨ 등호는 일 때 성립
▶ 모든 양수 에 대하여
⇨
산술평균
,
⇨기하평균
, ⇨
조화평균
이 성립한다. ⇨ 등호는 일 때 성립
▶ 일반적으로 임의의 양수 ⋯ 에 대하여
⋯
≥
‧ ‧ ⋯ ‧ (등호는 ⋯ 일 때 성립) 증명은수학적귀납법
을 이용한다. [생략]82.
양수 에 대하여 일 때, 의 최솟값을 구하시오. 82)83.
다음은 임의의 두 양수 에 대하여 부등식
≧ ≧
가 항상 성립함을 증명한 것이다.
(i)
가
나 ≧
∴
≧ (단, 등호는 일 때 성립)
(ii)
가
나
≧
∴ ≧
(단, 등호는 일 대 성립)
(i), (ii)에서
≧ ≧
(단, 등호는 일 때 성립)
< 증 명 > * 배포 *helpmemath
* 작성자 *
위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것을 차례대로 나열한것은? 83)
① ②
③ ④
⑤
84.
일 때,
의 최솟값을 구하시오. 84)
