제 4강. 정전계 2

(1)

제 4강. 정전계 2

(2)

2-8 전속밀도



- 전속 : 전계의 상태를 나타내는 가성선, 매질에 관계없이 1[C]의 전하에서 1개의 전기력선이 나오는 것

- 진공 중의 Q[C]의 점전하에서 전속수는 Q[C]로 표시하고, 전속의 단위는 [C]으로 전하의 단위와 같이 사용

- 전속이 밀도

 _{ }



  

^

 Cm^

 _{ }

^

 _,  _{ }

^

 ··· (2-39)

- 전속밀도의 단위는 표면 전하밀도 ^_^^와 같이 사용되며, 면적 S는 전하를 둘러싼 구의 표면적 - 이 때 전하로부터 r[m]떨어진 구면상의 전계는

 _{ }

 _^

 _ ··· (2-40)

_ [C/m²] ··· (2-41)

(3)



3[μC]의 점전하로부터 반지름 r=3[m]인 구면을 통해 나오는 전속과 전속밀도를 구하라.



[풀이] 진공중에 점전하 3[μC]으로부터 나오는 전속은 전하와 동일하므로 Ψ=3×10^-6[C]이며, 전속밀도 D는

 _{ }



  

^

  

^

 × ^{ }

  × ^{ }[C/m²]

2.9

(4)

2-9 법칙(Gauss's Law)



- 가우스 법칙: 어떤 폐곡면을 통과하는 전속은 이 폐곡면내에 있는 전체의 전하량과 같다.

 



_^^{⋅ }^ ^



^^^^ ^



  



_ ··· (2-42)

진공 중의 전계 내에서 임의의 폐곡면을 통하여 나가는 전기력선의 총 수는 폐곡면 내에 존재하는 전하의 _배와 같다.

 ^



_^^{⋅ }^ ^



^^^^ ^{ }_^_



  



_ ··· (2-43)

2-15 가우스 법칙증명

(5)



진공 중에 있는 하나의 폐곡면 내에 2[μC], 9[μC] 및 -3[μC]의 3개의 전하가 있을 때, 이 폐곡면에서 바깥으로 나가는 전속과 전기력선의 수를 구하라.



[ ] ① 전속 ø는 가우스의 법칙에서 폐곡면 내의 전전하량과 같으므로

 



^^       × ^{ }  [μC]

② 전기력선의 수 n은 역시 전전하량에 의해서 나가므로

 _{ }

_





^^ ^{ }     × _{ × }^{ }^{ }

  × ^[개]

2.10

(6)

2-10 법칙(Gauss's Law)의 계산 예



(1) 점대칭의 전하분포

- 반지름이 a[m]인 구에 전하 Q[C]이 주어졌을 때 그림 2-17과 같이 방사성으로 전기력선이 발산 - 이 때 구외, 구내의 전계와 전위를 구하기 위해 가우스 법칙 적용

2-17 점대칭의 전하분포

(7)

1) 경우(r＞a인 경우)

- 반지름이 r[m]인 동심구면 S를 만들고 이 면을 통하여 나가는 전기력선수는 가우스 법칙에 의해서

^



^^⋅^ ··· (2-56) - 이 식에 반경 r인 구면의 표면적을 대입하면

^



^^⋅^ ^^^⋅^ ^{ }^__ ··· (2-57)

- 구면에서의 전계의 세기 E는

_{ }

_^

 [V/m] ··· (2-58)

- 전위는 식 (2-22)에 의하여

^



^^^^{⋅ }_^_



_∞^^{ }_^^^

_{ }

_

 





 



∞



 _

 [V] ··· (2-59)

(8)

2) 경우(r≤a인 경우) - 구면 내부의 전하를 Q’라 하면,

^



^^⋅^ ^^^⋅^ ^{ }^__^′ ··· (2-60)

_{ }

_^

^′

[V/m] ··· (2-61)

- 반경 r[m](r<a)의 구면 내에 포함되어진 전하 Q’는 전하의 체적전하밀도에 비례

′  _

 ³  



^

 × 

 ^  

^

 ^ [C]

_{′  }

_^



[V/m] ··· (2-62)

․구전위

^



^^^{⋅ }_^ _ ^^_ ^^^{   } ··· (2-63)

(9)

․

_ ^{ }



^^^⋅



_^^^^⋅

_{ }

_

 

  

_^





_^^

_{ }

_









^^^ ^{ }^

^



^^      ··· (2-64)

(a) 표면에 집중된 경우 (b) 전하밀도가 균일한 경우 그림 2-18 점대칭 전하에 의한 전계분포

(10)

(2) 의한 전계 1) 구외의 경우 (r＞a)

- 반경 a의 원형 단면인 무한길이의 원통에 전하가 균일하게 분포되어 있는 경우, 단위 길이에 대한 전하를

라 하면, 원통의 중심축에서 r(r>a)만큼 떨어진 점 P의 전계를 생각해보자.

2-19 대전원통에 의한 전하분포

- 반경 r, 길이 L인 원통면을 가우스 표면으로 만들고, 이 원통의 전하는 이므로, 가우스 법칙에서 전기력선의 밀도는 전계의 세기이므로

^





⋅^  _{ }

_



··· (2-65)

_{ }

_

  ··· (2-66)

(11)

- 거리 r1 및 r2 떨어져 있는 원통 외분의 두 점 사이의 전위차

_ ^{ }



_



_

⋅  



_



_

_

   _

 _

_

··· (2-67)

2) 구내의 경우 (r＜a)

- 원통 내부의 전하가 균일하게 분포되어 있을 때 원통내부의 전계의 세기는 반경 r(r<a)이내에 있는 전하를 ^′이 라 하면, 원통 외부의 경우와 동일한 방법에 의해

_{ }

_

′

- 전하가 원통내부에 균일하게 분포하고 있을 때 반경 r 이내에 존재하는 전하밀도

′  

^

^



_{ }



 

′ _

 

^

  ··· (2-68)

(12)



중에 무한장 원통도체의 전하밀도가 10^-4[C/m]일 때, 3[m] 떨어진 점의 전계의 세기를 구하라.



[풀이] 식(2-66)에 의해서

_{ }

 _

   × ^× 

^{ }

  × ^

2.11

(13)

(3) 전하분포와 전계

- 무한히 넓은 평판에 균일한 면전하밀도 ^로 전하가 분포되어 있는 경우에, 전기력선은 평판의 양쪽면에 수직인 방향으로 발산

2-20 평판전하분포

- ^∆ 원통을 무한평판에 수직으로 취하면, 원통의 측면을 통과하는 전속은 없고, 수직으로 통과하는 전속만 고려 - 면 ^∆의 원통 내에 분포되어 있는 전하  ∆이므로,



_^^^^ ^{ }^

(14)

- , 전속이 통과하는 부분은 원통의 양단면이로



_^^^^ ^{ }^^^^{× }^ ^{  }^

- 무한 평판에서의 전계의 세기

_ _{ }

_

  ··· (2-69)

- 두 장의 무한평판을 평행하게 배치했을 때 무한평판사이의 전계의 세기

E  _

  _

  _

  ··· (2-70)

(15)

2-11 평면의 정전 응력과 전계 에너지



- 정전응력: 도체에 전하를 주면 전계는 표면에만 분포하게 되어, “대전도체면에는 외부로 밀리는 응력이 작용”

- 표면전하밀도 ^^에 의한 전계 E를 ^∆와 ^∆이외의 부분에 의한 전계 E1과 E2로 분리하여 생각하면,

E_ E_  E  _



 E_ E_  

- 이 두 식으로부터 E_  _

_s

P P

P' DS

P DS P'

E₁

-E₁

E₁ E₂

DS r_s[C/m²]

E= s e₀

2-21 정전응력

(16)

- ^∆ 부분의 전하분포에 의하여 ^∆상의 전하 ∆가 받는 힘

 ^_ 

 _

^



- 대전 도체표면의 단위면적당 받는 정전응력

  



_

^

 

 _^^^



^^{ }^





··· (2-71)

 _{ }



 _^_{ }



 ^^ ··· (2-72)

(17)



장의 평행 평판 사이의 공기 중에서 코로나 방전이 일어난 전계의 세기 가 3[kV/m]라면 이 때 도체면에 작용하는 힘[N/m²]은 얼마인가?



[풀이] 식(2-71)에서

  

_^

 

 _



^





^

 

×  × ^{ }×



^^{ }m 

 × ^V 



^

≒ Nm^

2.12

(18)

2-12 발산(divergence) ; 가우스 법칙의 미분형



- 전계내에 체적전하밀도 ^이고, 미소체적 ^∆의 표면으로터 외부로 발산하는 전기력선은 가우스 법칙에서

^



_^^⋅^^



_^^⋅^^{ }_



 ··· (2-73)

- 이 미소 체적의 단위 체적당의 전기력선수는 총 전기력선을 체적으로 나누면 됨







_^^⋅^^{ }_^ ^{ }



_^

··· (2-74)

dS

S dS'

E_n

Dv r[c/m²]

2-22 전기력선의 발산

(19)

- ^∆ 점으로 볼 수 있는 극한인

Lim

 





_^^⋅^^_→

^lim

^



_^

 _

 ··· (2-75)

- 미소체적의 크기를 0에 가까운 극한값으로 할 때 그 폐곡면으로부터 발산하는 전속수는 체적 전하밀도와 같다.

  ^ ⋅_{ }

_



- 임의의 폐곡면으로부터 발산하는 전속수는 체적 전하밀도와 같다.

  ∇⋅  ··· (2-76)

(20)



E=3x³i+2y²j+z k[V/m]로 분포된 자유공간 내의 점 P(1, 2, 3)에서 전하밀도를 구하여라



[풀이] 점 P에서 발산되는 전기력선은 식(2-76)과 같으므로

   _{ }

_

 



^

  

  

 



^⋅^^{ }^^{ }

 ^   

에 의해서 점 P(1, 2, 3)을 대입하면, 전하밀도 ρ는

  _

  ×  × ^{ }

  × ^{ }Cm^

2.13

(21)

2-13 방정식과 라플라스의 방정식



- 전하분포에 의한 전계문제의 풀이 · 점전하 : Coulomb의 법칙

· 대칭 전하 분포 : Gauss 법칙을 이용

· 실제의 매우 복잡한 전하분포 : 포아송과 라플라스 방정식을 이용

- 정전계의 전위경도식에서 E   grad - 전계의 발산

  _{ }

_



- 위의 두 식으로부터

    _{  }

_

 ··· (2-77)

(22)

- (2-77) 식을 벡터의 미분 연산자로 표시하면 식 (2-78)과 같고, 이는 그 내부의 어떠한 점에 대한 전위를 구하 는 2차 미분방정식으로 Poisson 방정식이라 함

   ^ ∙ ∇ ∇^_{ }

_

 ··· (2-78)

- 여기서, 라플라시언 (laplacian)

∇^ 

^

^

 ^

^

 ^

^

··· (2-79)

- 특히, 전하가 존재하지 않는다면 전하밀도는 0이므로, 식 (2-78)은 식 (2-80)과 같고 Laplace의 방정식이라 함

∇^  ··· (2-80)

- 여기서 포아송 방정식과 라플라스의 방정식을 라플라시언으로 나타내면

^

^

 ^

^

 ^

^

 _

 ··· (2-81)

^

^

 ^

^

 ^

^

  ··· (2-82)

(23)



중에서 어떤 점(x, y, z)의 전위함수가 V=x²y z일 때 전하밀도는?



[풀이] poisson의 방정식에서

 _{ }

^

^

 ^

^

 ^

^

  _



_{ }

^

^

^  

^

^

^  

^

^

^   _



∴    _

2.14

(24)

2-14 전기이중층



(1) 전기쌍극자

- 전기쌍극자 : 크기가 같고 부호가 반대인 두 개의 점전하가 미소거리만큼 멀어져 있는 한 쌍의 전하

r

+Q -Q

r₁ r₂

q

d 2

f P E

E_r E_q

2-23 전기 쌍극자

(25)

- 중심에서 r[m]만큼 떨어진 P점의 전위

 _{ }

 __

   _



  _





^^

  _





^{V } ··· (2-83)

-  ≫  이므로,

_≒   

  , _ ≒   

  ··· (2-84)

- 식 (2-84)를 식 (2-83)에 대입하면,

_{≒ }

 _

 ^





^^{  }^^^^^{ }^{  }^^^^^^



_{ }

 _

 ^





^^^^{ }^{ cos}^^^^^^^^



··· (2-85) -  ≫  이면, ^ ≫ 

^

^이므로

 _{ }

 _^



V  ··· (2-86)

(26)

- 쌍극자 모멘트를 M이라 하면,

 ^  C․m  ··· (2-87) - 점 P의 전위는

 _{ }

 _^

cos

V  ··· (2-88)

- 전계의 세기를 구해보자. 전위 V는 의 구함수이므로, E   grad ^{ }



^



_ 



_



^ ^^^^^^^^^^{Vm }

_ _{ }



 

 

 



^^{ }^

 



_{ }

 _^



 Vm  ··· (2-89)

- 직각인 방향성분은 가  만큼 변화하면,  만큼 위치가 변화하므로,

_ _{  }





  

 





^^{ }^

 



  _^

 Vm  ··· (2-90)

(27)

 ^



^^

_^ _{ }

 _^





^cos^  sin^

_{ }

 _^





^  cos^  ··· (2-91)



쌍극자 모멘트가 4πε0[C․m]인 전기 쌍극자에서 공기중의 한 점이 1[m] 떨어져 있고, 쌍극자 축과 60°의 각을 이루고 있을 때, 전위 V[V]를 구하여라.



[풀이] 전기 쌍극자에 의한 전위는 식(2-88)에 의해서

 _{ }

 _^

cos

  _

 ․

^

 _

°  V 

2.15

(28)

(2) 이중층

- 전기 이중층 : 매우 얇은 판의 한 면에 정전하, 다른 한 면에 부전하가 분포되어 있는 것

2-24 전기 이중층

- 전하밀도를 , 미소면적을 ^이라 하면, 전기쌍극자 ^  이고, 식 (2-88)에 의해

 _{ }

 _

 

^



   _

  

^

cos

··· (2-93)

- 입체각을 도입하면,

 _{ }

 _

   ··· (2-94)

(29)

- 전기이중층의 단위면적당 모멘트를  라 놓으면,

 _{ }

 _

  ··· (2-95)

 _{ }

 _





^^{  }_{ }^_ ^{V } ··· (2-96)

2-25 동일주변의 전기 이중층

- 점 P는 정전하측이므로,

_ _{ }

 _

 _V  ··· (2-97)

(30)

- P‘는 부전하측이므로,

__{′  }

 _

  _V  ··· (2-98)

- 두 점간의 전위차

_^__{′  }

 _

 _ _V  ··· (2-99)

(31)



2-26에서 반지름 a, 세기 M 인 원판상 전기 이중층이 있다. 그 축상 원판의 중심으로부터 x만큼 떨어진 점의 전위를 구하라.



[풀이] _{  }

 

 

 _{ }

 

  _{ }

 

   cos

_{ }







^{  }



^^ ^





2-26 원판상 전기 이중층

2.16

(32)

※ 참고문헌

1. 최수열 외 4인 공저, “전기/전자/통신 공학도를 위한 현대전기자기학”, 복두출판사