제 3강. 정전계 1
2 장 정전계
2-1 (electrification phenomena)
- 모피로 호박을 문질렀을 때 주위의 가벼운 물체를 끌어당기는 현상 관찰 (BC 600년, 탈레스) → 마찰전기
- 대전 : 물체가 전기를 띠게 되는 현상 - 대전체 : 대전된 물체
- 전하 : 대전체가 갖는 전하 (양전하, 음전하)
“모피, 유리, 운모, 비단, 무명, 나무, 호박, 금속, 유황 등”
- 도체, 부도체(절연)
- 반도체(Si, Ge) : 낮은 온도에서는 자유전자 거의 존재하지 않으나, 외부의 영향에 의해 자유전자 발생하여 전도가 쉽게 됨
- 같은 종류의 전하사이에는 반발력, 다른 종류의 전하 사이에는 흡인력 작용 → 쿨롱의 힘
- 그 주위의 전자사이에는 쿨롱의 힘 작용
- 전자 1개가 가지고 있는 전하 × [C], 1[C] 전하는 × 개의 전자가 갖는 전하량
2-1 원자의 구조
소립자 전하량[C] 질량[kg]
전 자 × [C] × [kg]
중성자 0 m= × [kg]
양 자 × [C] m= × [kg]
표 2-1 소립자의 전하량과 질량
2-2 (electrostatic induction)
- 전기적으로 중성인 절연된 도체에 정(+)으로 대전된 대전체를 접근시키면 대전체 가까운 쪽에는 대전체와 다른 극성의 전하가 유도되고 먼 쪽에는 같은 극성의 전하 나타남
- 정전유도 : 대전체 접근올 인한 물질내의 전하분포가 변화하는 현상
2-2 정전 유도현상
2-3 법칙(Coulomb's law)
- 두 전하 사이에 작용하는 힘은 두 물체가 가지는 전하량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례 - 두 전하가 같은 부호이면 반발력, 다른 부호이면 흡인력
- 두 전하 사이에 작용하는 힘 (쿨롱의 법칙)
F
N
F ··· (2-1)
2-3 두 전하 사이에 작용하는 힘의 방향
- : 전기력이 작용하는 공간의 매질에 따라 정해지는 정수 (매질이 전기장에 미치는 영향)
× ≒
× [F/m]
≒ × ··· (2-2)
- 따라서, 자유공간에서의 쿨롱의 법칙
≒ ×
··· (2-3)
중에 20[cm]의 거리를 두고 각각 5[μC]과 16[μC]의 두 전하가 있다.
그 사이에 작용하는 힘은 얼마인가?
단, 파라핀유의 비유전율은 2.1이다.
[풀이] 쿨롱의 법칙
에서 진공중의 유전율은
≒ × Fm ,
≒ ×
이고, 파라핀유의 비유전율 εs=2.1이므로
× ×
× ×
× × ×
N ≒ N
2.1
그림 2-4에서 A구와 B구 사이의 거리는 2[m], B구와 C구 사이의 거리는 3[m]이며, 각 구의 전하량은 QA=4×10-6, QB=2×10-6, QC=5×10-6이다.
이 때, B구에 작용하는 힘은 얼마이며, 어느 방향으로 힘이 작용하겠는가?
A B C
QA QB QC
2[m] 2[m]
gA gB
2-4
[풀이]
⋅
⋅
⋅
2.2
× × ×
×
×
× N
, 8×10-3[N]의 힘이 A구쪽으로 작동한다.
2-4 (electric field)
- 전계 : 전하량의 존재에 의해서 전기적인 힘이 작용하는 공간
- 전계의 세기 : 임의의 한 점에 단위전하 +1[C]를 놓았을 때 이들 사이에 작용하는 힘
lim
[N/C] ··· (2-4)
E NC
C⋅m N⋅m
C
J ⋅ m
Vm
- 전계의 세기 E[V/m]인 점의 전하 Q[C]이 받는 힘은
N
[V/m] ··· (2-5)
(1) 개의 점전하에 의한 전계
- 한 점 0에 Q[C]인 점전하가 있을 때, 점 0에서 r[m] 떨어진 점 P에서의 전계 - 점 P에 1[C]의 전하를 갖고 있다고 하면 두 전하 사이에 작용하는 힘
×
×
Vm ··· (2-6)
×
⋅
Vm
- 전계의 세기는 다음과 같이 벡터로 표시
E ··· (2-7)
2-5 점전하에 의한 전계
(2) 개의 점전하에 의한 전계
E E E
··· (2-8)
E E E
··· (2-9)
2-6 여러 개의 점전하와 전계
5[μC] 10[μC]의 두 점전하가 진공 중에서 4[m] 떨어져 있을 때 두 점전 하의 중앙점의 전계의 세기 [V/m]는 얼마인가?
[풀이] E
×
×
×
× [V/m]2.3
중에 10-6[C]의 점전하가 점(3, 1, 3)[m]에 있을 때 점(5, 0, 5)[m]에 서의 전계의 세기[V/m]는?
[풀이] 두 점 사이의 거리 벡터
따라서, 거리
m E
× ×
[V/m]
2.4
2-5 (line of electric force)
(1) 전기력선의 분포
- 전기력선: 전계 내의 각 점에서 단위 정전하(+1[C])가 받는 힘의 방향을 (전계의 상태를) 나타낸 가상선
(a) 정(+)의 점전하 (b) 독립된 부(-)의 점전하
(c) 정(+), 부(-)의 점전하 (d) 동종의 두 점전하 그림 2-7 여러 가지 전기력선의 분포
(2) 밀도 및 성질
- 전기력선의 밀도 : 전기력선에 수직이 되는 단위면적 1[m2]을 지나는 전기력선 수
- 전기력선의 밀도를 전계의 세기 와 같도록 정하여, 전기력선수를 유한이 되게 제한
- 미소면적 ∆을 지나는 전기력선을 ∆ 이라 할 때,
lim
N li n esm ··· (2-10)
cos ⋅ [lines] ··· (2-12) - 전기력선의 정전계에 따른 성질 (p.57)
(a) (b) 2-8 전기력선 밀도
(3) 수식적인 표현
- 전기력선을 수식적으로 구하기 위해, 전기력선상의 미소부분 ∆을 취해서 이의 x, y, z 성분을 각각 ∆∆∆라 하면, ∆ 의 방향여현은
··· (2-13)
2-9 직각좌표상의 전기력선
- 전계 의 방향여현
··· (2-14)
- 정의에 의해서 전기력선과 전계의 방향은 일치하므로, 식(2-13)과 식(2-14)는 다음과 같이 정리
··· (2-15)
- 전기력선상의 미소부분 ∆을 무한히 작게 취했을 때,
··· (2-16)
- 식 (2-16)을 전기력선을 표시하는 일반적인 미분방정식
세기가 E=3x i-3y j일 때, 점(1, 1)을 통과하는 전기력선의 방정식 을 구하여라.
[풀이] 전기력선의 일반 방정식인 식(2-16)을 이용하면
에서 Ex=3x, Ey=-3y이므로
양변에 대해 적분을 취하면,
ln ln ln＋ln ln ln
k=1
따라서 전기력선의 방정식은 x y=1이다.
2.5
2-6 (electric potential)와 전위차
(1)
- 전계 내의 한 점에 미소전하 q를 주었을 때, 이 전하는 전기력에 의해 힘이 작용
F E ··· (2-17)
A B
P
q[C] q
dl
F=-qE
F'=Fcosq ( ) 2-10 전하를 이동하는데 요하는 일
- 전계와 반대 방향으로 전하를 이동시키려면 식 (2-17)과 같은 힘이 반대로 가해져야 하며, 그 때의 일은
⋅ cos J ··· (2-18)
⋅
∞cos ··· (2-19)- 관계를 가지므로,
⋅cos
∞cos [J] ··· (2-20)- 전위
∞⋅
∞cos [V] ··· (2-21)
∞⋅ [V] ··· (2-22)- 전위: 전계에 대하여 단위 정전하를 무한원점에서 P점까지 옮기는데 소요되는 일
(2) 전위차 (2.4절과 동일 내용)
- 임의의 점전하 Q[C]가 진공중에 r[m] 떨어진 점의 전계는
[V/m] ··· (2-23)
- 대한 r[m] 떨어진 점의 전위는
⋅
∞
∞
[V] ··· (2-24)
- 점전하에 의한 점 A와 B의 전위차는
⋅
[V] ··· (2-25) - 전계의 보존성 : 폐곡선을 일주한 전계가 한 일은 02-11 전계의 보존성
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ··· (2-26)
점전하 Q[C]에서 r[m]떨어진 점의 전위를 구하라.
[풀이] r[m]떨어진 점의 전계
[V/m]
이므로 식(2-22)에 의해서
⋅
∞
[V]
2.6
전하 0.4[μC]이 있을 때 점 A(3, 0, 0)[m]과 점 B(0, 4, 0)[m]간 의 전위차는 몇 [V]인가?
[풀이] 두 점 A, B 사이의 전위차는
× × ×
× × × ×
[V]
2.7
(3) 전위
- 전위는 위치에 따라 정해지는 스칼라량
- 자유공간의 점전하 Q[C]에 의한 전계내의 한 점 P의 전위
- 공기중에 여러 개의 점전하에 의한 전계 E E E E ⋯ En
2-12 여러 개의 점전하에 의한 전위
- 여러개의 점전하가 있을 때, P점의 전위
⋅
∞
⋅
∞
⋅
⋯
∞
⋅
[V] ··· (2-27) ⋯
₁
₂
₃
⋯
··· (2-28)
- , 면전하, 체적전하가 있을 때 점 P의 전위
S
L
V dS
dv dl
P rv
rs
rl
면전하
체적전하
2-13 전하분포에 의한 전위
··· (2-29)
··· (2-30)
··· (2-31)
V ··· (2-32)2-7 전위경도
(1) 등전위면(equipotential surface)
- 등전위면: 전계 내에 있는 각 점의 전위가 서로 같은 경우, 이들을 같은 전위점으로 하나의 면을 만든 것 - 등전위면은 전위가 다른 등전위면과 교차하지 않고, 전기력선은 등전위면과 직교
(a) (b) 2-14 전기력선과 등전위면
- 등전위면을 따라 이동시켰을 때 전위의 변화가 없으므로 이 때 한일은 0
cos ··· (2-33)
A B
P
q[C] q
dl
F=-qE
F'=Fcosq ( ) 2-10 전하를 이동하는데 요하는 일
- 등전위면의 기본적인 특성
① 전계 내에서 동일한 전위의 점을 연결하여 얻어지는 면을 등전위면이라 한다.
② 서로 다른 전위를 가진 등전위면은 교차하지 않는다.
③ 등전위면과 전기력선은 서로 수직으로 교차한다.
④ 도체 표면은 등전위면이다.
⑤ 도체 내부의 전계는 0이다.
⑥ 대지는 영전위의 등전위면이다.
⑦ 등전위면은 폐곡선이다.
(2) 경도(potential gradient)
- 전위경도: 한 점에서 임의방향에 대한 단위길이당 전위의 변화
E․ cos V ··· (2-34) - 이는 단위거리에 대한 전위의 변화율로 표현
Vm ··· (2-35)
- 3차원의 공간에서 x, y, z축 방향의 전계의 세기
··· (2-36)
- 전계의 세기
E
··· (2-37)
∇ ··· (2-38) - 세기는 전위경도의 크기와 같고 방향은 반대
V=2x y+z[V]일 때 점(-1, 2, 2)에서 전계의 세기를 구하여라.
[풀이] 식(2-38)에서
E grad
2.8
※ 참고문헌
1. 최수열 외 4인 공저, “전기/전자/통신 공학도를 위한 현대전기자기학”, 복두출판사
