인 사면
기하와벡터 2. 도형의 방정식
2. 도형의 방정식 1. 직선과 평면의 방정식
143. [정답] ②
기하와벡터 정답과 해설
직선 의 방정식은
즉,
점 을 지나고 축에 평행한 직선 의 방정식은
이므로 직선 와 직선 의 교점의 좌표를 로 놓을 수 있다.
점 는 직선 위의 점이므로
따라서
에서 이고 점 이 원 위의 점이므로
∴
,
이므로
∴ ⋅
∴
144. [정답] 10 [풀이]
법선벡터가 이고
점 를 지나는 평면이므로
과
이 같은 평면이므로
, ,
∴
145. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 평면의 법선벡터를 이용하여 두 점의 위치를 정하고, 선분 의 길이를 구할 수 있는가?
A 로 놓으면 ··· ㉠ 좌표공간의 원점을 O라 하면
PA OA OP
두 벡터 PA 가 서로 수직이므로 에서
㉠에서 정리하면
즉 A 또는 A
점 B 도 마찬가지이므로 두 점 A B 좌표는
이다. 따라서 AB
146. [정답]
[풀이]
구하는 평면이 직선
에 수직이므로 평면의 법선벡터 는 직선의 방향벡터 과 일치한다.
또한, 구하는 평면은 점 를 지나므로
점 B 으로 놓고 ㉠에 대입하면
∴ 따라서 B 이므로
AB
148. [정답]
[풀이]
[공간도형]
중심 C 에서 직선
에 내린 수선의 발을 H 로 놓으면 직선의 방향벡터는
이므로
CH⋅ ⋅
∴
∴ H
∴ CH
∴ AH
따라서 삼각형 CAB 의 넓이 는
AB ⋅CH
⋅ ⋅
∴
149. [정답]
[풀이]
•
직선 의 방정식은 이고, 직선 위의 임의의 점 의 좌표를 로 놓으면
일 때, 의 값은 최소이고, 점 의 좌표는
이므로점 는 선분 위에 있다.
∴
∴
정답과 해설 교육청/평가원
점 A 을 지나므로 점 B 는 평면 위의 점이므로
에서
∴ B ∴ AB AC 한편 원점은 평면 위의 점이므로
OA AC
[다른풀이]
는 실수라 하면
점 C 의 좌표를 라 하자
AB ⊥AC이므로 AB ∙ AC
∙
∴ 또는
이때, 이면 C 이 되어 모순이다.
∴
∴ B
한편, AB AC이므로
∴
×
×
151. [정답] ④ [풀이]
두 평면의 법선벡터는
,
두 평면이 이루는 각의 크기가 이므로
⋅
cos 에서
×
×
∴ (∵ )
152. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 평면의 방정식의 성질을 이해하여 두 평면이 이루는 각의 크기를 구한다.
두 평면의 법선 벡터를 각각 , 이라 하면 두 평면이 이루는 각의 크기 에 대하여
cos
∙
따라서 sin
cos
153. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 점과 평면 사이의 거리를 활용할 수 있고 정사영의 넓이 를 구할 수 있는가?
점 A 과 평면 : 사이의 거리를 라 하면
⋅ ⋅
그러므로 AP≤ 인 점 P가 나타내는 도형은 그림에서 반지름의 길이가
인 원의 경계 및 내부이다. 이므로 평면과 평면 가 이루는 예각의 크기를 라 하면 cos
⋅ ⋅ ⋅
따라서 구하는 정사영의 넓이는
× cos ×
154. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 정사영의 정의를 이용하여 정사영의 넓이를 계산할 수 있 는가?
A
B
10
8
그림의 직각삼각형 ABO에서
OA , AB 이므로
OB
원기둥의 한 밑면과 평면 이 이루는 각의 크기를 라 하면 각 OAB의 크기도 이므로
cos
이때, 원기둥의 한 밑면의 넓이를 , 이 밑면의 평면 위로의 정사영의 넓이를 ′이라 하면
×
′ × cos ×
155. [정답]
[풀이]
[출제의도] 구의 성질을 이용하여 평면과 점 사이의 거리의 최댓값을 구한다.
점 P와 평면 사이의 거리가 최대일 때는 구의 중심 C 을 지나고 평면에 수직인 직선이 구와 만나는 두 점 중 평면과의 거리가 더 먼 점이 P일 때이다.
점 C 과 평면 사이의 거리는
× × ×
이므로 거리의 최댓값은
이다.
따라서 ×
156. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 직선과 평면의 방정식
기하와벡터 정답과 해설
평면 의 방정식을 구하면 삼각형 에서 ∙
점과 평면 사이의 거리 공식에 의해
을 만족하므로
방정식을 에 관하여 나타내면 ∣ ∣
이므로 따라서
∴
157. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 벡터의 내적에 관한 성질을 알고 선분의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
로 놓고 평면의 방정식에 대입하면
∴A
OA∙ OP OP∙ OP에서 OP ∙ AP 이다.
따라서 점 P는 선분 OA를 지름으로 하는 구 위의 점이고, 이 구의 중심의 좌표는 , 반지름의 길이는 이므로 구하는 최댓값은
158. [정답]
[풀이]
[출제의도] 평면과 평면의 위치관계와 정사영을 이용하여 도형과 관 련된 문제를 해결한다.
평면 에 의하여 정육면체가 잘린 단면은 그림과 같다.
두 평면 , 의 법선벡터가 각각 ,
이므로 두 평면이 이루는 각 에 대하여 ⋅ ⋅ cos , cos
오각형 HIJKL의 정사영이 오각형 OAJKC 이므로
cos
따라서 이므로
159. [정답] [풀이]
[출제의도] 좌표공간에서 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제 이다.
A B 이므로 AC BD
, 에서 CE DF ∴ EF
AE BF 이므로 □AEFB
× ×
이때, 구의 중심 에서 평면 에 이르는 거리 는
이므로
에서
또는
또는
따라서 모든 실수 의 값의 합은
161. [정답] ② [풀이]
주어진 구 의 방정식을 표준형으로 바꾸면
이므로 구의 중심은 P 이다.
PA
는 평면 에 평행하고 구에 접하는 평면의 법선벡터이다.
구하는 평면의 방정식을 으로 놓으면
구의 중심과 평면 사이의 거리는 구의 반지름의 길이와 같으므로
∣ ∣
∣ ∣
∴ 또는
이때, 점 A 를 지나는 평면 의 방정식은 이고, 구하는 평면의 방정식은
162. [정답]
[풀이]
[출제의도] 공간벡터의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.
구의 중심 C 에서 두 평면의 교선 에 내린 수선의 발을 H라 하면 H 이고 CH는 교선의 방향벡터 과 수직이 다. 따라서
CH⋅ ⋅
이므로 CH
CH
직각삼각형 CQH에서 cos∠QCH
∴ ∠QCH
∠PCH ∠QCH
이므로 ∠QCP
가 되어 삼각형 CPQ는 한 변 의 길이가 인 직각이등변삼각형이다.
×
∴