• 2 수학 영역 •
[ 형]
1 ② 2 ③ 3 ② 4 ④ 5 ③ 6 ⑤ 7 ④ 8 ① 9 ② 10 ① 11 ① 12 ③ 13 ② 14 ⑤ 15 ④ 16 ① 17 ⑤ 18 ③ 19 ③ 20 ④ 21 ⑤ 22 45 23 16 24 40 25 9 26 144 27 24 28 7 29 15 30 20
1. [ ] 지수방정식 계산하기
따라서
2. [출제의도] 수열의 극한 이해하기
lim
→ ∞
×
lim
→ ∞
3. [출제의도] 미분계수 이해하기
lim
→
lim
→
× ′ ×
4. [출제의도] 호도법을 이용하여 계산하기 부채꼴의 반지름의 길이를 라 하면 (부채꼴의 넓이)
× ∴
따라서 (부채꼴의 호의 길이) ×
5. [출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기 주어진 함수는 감소함수이므로
일 때, 최댓값 log
6. [출제의도] 삼각함수의 미분 이해하기
′ sin cos
′ sin cos
7. [출제의도] 다항함수의 극한 이해하기 주어진 조건에서 는 의 계수가 이므로
라 하자.
이므로 ∴
lim
→
lim
→
lim
→
∴ ,
따라서 이고
8. [출제의도] 적분과 미분의 관계 이해하기 주어진 등식의 양변에 을 대입하면
∴ 양변을 에 대하여 미분하면
따라서
9. [출제의도] 삼각방정식 이해하기
cos sin 에서
sin
sin sin sin
∴ sin
또는 sin
또는
또는
따라서 모든 실근의 합은
10. [출제의도] 함수의 극한 추론하기 두 점 P, Q 의 좌표가
P
, Q 이므로
,
lim
→
lim
→
lim
→
(∵ )
lim
→
lim
→
11. [출제의도] 로그부등식 이해하기
진수의 조건에서 이고 log ∴ loglog
≤ loglog ≤ ∴ ≤
∣ ≤
∴
∣
∩이면 ⊂이므로
≥ 이고 ≤ ∴ ≤ ≤ 자연수 는 ,,,이므로 개
12. [출제의도] 로그함수를 활용하여 문제해결하기
log log
log
이므로
log
log log
log
log
log,
따라서
13. [출제의도] 정적분 이해하기 이므로
14. [출제의도] 무한급수를 이용하여 추론하기 함수 의 그래프와 직선
의 그래프는
다음과 같다.
O
위 그림에서 , , , , ⋯
∴
∞
×
∞
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
⋯
lim
→∞
15. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 함수 를 라 하자.
곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기는 ′
∴ 접점의 좌표가 접선의 방정식은 이므로
따라서
16. [출제의도] 구분구적법을 이용하여 추론하기 구간 를 등분하면 번째 구간의 오른쪽 끝점의
좌표는
왼쪽에서 번째 직사각형의 가로의 길이는
,
세로의 길이는
∴
×
×
∴
따라서 ×
×
×
× ×
×
17. [출제의도] 함수의 연속성 추론하기 ㄱ. ∴ (참) ㄴ.
lim
→
lim
→
∴ (참)
ㄷ. 구간 의 , , 을 제외한 점에서
가 연속이므로 도 연속이다.
ⅰ) 일 때, 이고
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
∴ ⅱ) 일 때, 이고
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→ ∴ 연속 ⅲ) 일 때, 이고
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
∴ 불연속 불연속인 점은 개다. ∴ (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ [참고]
함수 의 그래프는 다음과 같다.
O
18. [ ] 등비급수를 활용하여 문제해결하기 그림 에서 새로 그려진 개의 원의 넓이의 합을
이라 하자.
정육각형 의 한 변의 길이가 이므로 그림 의 원의 반지름의 길이는 이고 이다.
정육각형 의 가장 긴 대각선들이 만나는 점을 O 라 하자.
정육각형 의 한 꼭짓점을 A이라 하고, 정육각형
의 변 중 점 A을 끝점으로 하는 한 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 , 중심을 O이라 하자.
정육각형 과 원 이 만나는 점을 A 이라 하고, 정육각형 의 각 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원 중 선분 OA과 만나는 원을 , 중심을 O 이라 하자.
두 원 , 의 반지름의 길이를 각각 ,
이라 하자.
다음은 그림 의 일부이다.
O
A
O
A
O
삼각형 OAO은 ∠OOA , ∠OAO 인 직각삼각형이고, OA , OO 이다.
삼각형 OA O 은 ∠OO A ,
∠OA O 인 직각삼각형이고, OA
O A
이다.
O A
그러므로 수열
은 첫째항이 이고 공비가
인 등비수열이다.
이므로
lim
→ ∞
따라서
, 이고
19. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기
ⅰ) ≥ 일 때
≥
≤ 또는 ≥
이므로
ⅱ) 일 때
이므로
∴ ≤ 는 ≥
구하는 넓이는
20. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기 ㄱ. ′ ′
′ ′ ∴(참) ㄴ. 구간 에서 ′
′ 이므로 함수 는 증가한다.
∴(거짓)
ㄷ. ×
′ ′ 을 만족시키는 의 값을 라 하자. 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
⋯ ⋯ ⋯
′
↘ 극소 ↗ ↗
함수 의 그래프의 개형은 다음과 같다.
O
방정식 은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
∴(참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ
21. [출제의도] 로그함수의 극한 문제해결하기 두 곡선 ln , 은 직선 에 대하여 대칭이고, 두 점 P , Q 는 기울기가 인 직선 위의 점이므로 직선 에 대하여 대칭이다.
두 점 P , Q 에 대하여 선분 PQ 의 중점을 M이라 하면 M
PM
∵
∴
OM
∴
ln
따라서
lim
→
lim
→
ln
22. [출제의도] 다항함수의 미분법 이해하기
′ 따라서 ′
23. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 이해하기
sin
cos
sin cos cos sin
cos sin cos cos
sin
따라서
이고
24. [출제의도] 지수함수의 미분법 이해하기
′
따라서 , 이고
25. [출제의도] 함수의 연속성 이해하기 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이므로
lim
→
lim
→ 이므로
lim
→
∴
lim
→
lim
→
lim
→
∴
따라서
26. [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기
∞
이 수렴하므로lim
→ ∞
이라 하면
lim
→ ∞
이므로
lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
27. [ ] 삼각함수의 그래프 추론하기 곡선 sin
와 직선 가
만나는 점을 구하면
sin
에서
≤
≤
이므로
의 값은
,
,
또는
또는
그러므로 만나는 점은
,
,
함수 sin
의 치역이 ∣ ≤ ≤
점 P 와 직선 사이의 거리를 라 하면 삼각형 PAB 의 넓이
× AB × 에서
AB 의 최댓값은 이고 ≤
의 최댓값은
× ×
따라서
28. [출제의도] 다항함수의 적분법을 활용하여 문제해결하기 시각 일 때 점 P의 위치가 원점이 되려면
이다.
따라서
29. [출제의도] 삼각함수의 극한 문제해결하기 그림과 같이 삼각형 ABD 의 내부의 반원의 중심을 O, 반지름의 길이를 라 하고, 삼각형 ADC 의 내부의 반원의 중심을 O, 반지름의 길이를 라 하자.
두 반원이 두 선분 AB , AC 와 접하는 점을 각각 H, H라 하자.
O D O C
B
A
H
H
삼각형 ADC 에서
AH AD sin, CH sin이므로
tan sin
∴ sintan 삼각형 ABD 에서
AH AD sin, AB tan,
BH tan sin
∠BOH 이므로
tan
tan sin
cos
∴ cos
lim
→ ×
lim
→ × sintan
cos
lim
→ sintan cos
cos cos
lim
→ sin
× tan
× sin cos
× ×
따라서
30. [출제의도] 정적분 문제해결하기 함수 는 에서 연속이므로
lim
→
lim
→
∴ ,
에서
ⅰ) 일 때
ⅱ) ≤ 일 때
ⅲ) ≥ 일 때
∴
≤
≥
′
′ 인 의 값은
이다.
함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
⋯
⋯
′
↘ 극소 ↗
함수 는
에서 최솟값을 가지므로
따라서
이고
[ 형]
1 ④ 2 ① 3 ③ 4 ② 5 ⑤ 6 ④ 7 ② 8 ⑤ 9 ③ 10 ④ 11 ① 12 ① 13 ⑤ 14 ② 15 ① 16 ④ 17 ⑤ 18 ③ 19 ③ 20 ③ 21 ② 22 45 23 15 24 20 25 9 26 8 27 216 28 26 29 300 30 30
1. [출제의도] 집합의 연산을 활용하여 계산하기
∪ 이므로 모든 원소의 합은
2. [출제의도] 로그의 성질을 활용하여 계산하기 log log log
3. [가형 2번과 동일]
4. [출제의도] 등비중항 이해하기
×
모든 항이 양수이므로
5. [출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기 유리함수
의 그래프의 점근선의
방정식은 , 이므로
,
∴
6. [출제의도] 부정적분 이해하기
(단, 는 적분상수)
∴ 따라서
7. [출제의도] 명제의 대우 이해하기 주어진 명제가 참이므로
대우 명제 ‘ 이면 이다.’가 참이다.
∴ 따라서
8. [출제의도] 등비급수의 수렴과 발산 이해하기 등비급수
∞
이 수렴하려면
∴
을 만족시키는 정수 는 , , , , 따라서 정수 의 개수는
9. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 점 P 의 시각 에서의 위치 가 일 때 시각 에서 점 P의 속도를 라 하면
점 P 가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는
이므로
따라서 (∵ )
10. [ ] 미분계수 이해하기
′
lim
→
′
11. [출제의도] 수열의 합 이해하기
이고 공비가 인 등비수열
의 일반항 이다. 이므로
×
12. [출제의도] 지수를 활용하여 문제해결하기 두 비행기 , 의 필요마력을 각각 , 날개의 넓이를 각각 , 라 하자.
이고, 이므로
이므로
∴
따라서
13. [출제의도] 합성함수 이해하기
∘
14. [출제의도] 함수의 극한 이해하기
lim
→
라 하면
lim
→
lim
→ 따라서
lim
→
×
15. [출제의도] 무리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기 그림과 같이 함수 의 그래프는 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이고 두 점 A , B 을 지난다.
직선
는 원점 O 와 점 B 를 지난다.
O
A
B
∆OAB
× ×
16. [출제의도] 수학적 귀납법을 활용하여 추론하기 (1) 일 때, (*)에서
(좌변)
(우변) ×
(좌변)(우변)이므로 (*)이 성립한다.
(2) ( ≥ )일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 ⋯
이다.
일 때, (*)이 성립함을 보이자.
⋯
⋯
×
따라서 일 때도 (*)이 성립한다.
(1), (2)에 의하여
≥ 인 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립한다.
∴
,
따라서 ×
17. [출제의도] 필요조건과 충분조건을 활용하여 추론하기 ㄱ. ⇔ ,
∴ 는 이기 위한 충분조건이다. (참) ㄴ. ⇔ ( , ) 또는 ( , )
또는 ⇔ ( , ) 또는 ( , ) 또는 ( , ) ∴ 는 이기 위한 충분조건이다. (참) ㄷ.
에서 또는 이므로 또는
∴ 는 이기 위한 충분조건이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ
18. [출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기 원 과 곡선 이 만나는 두 점은 , 이므로 두 점 사이의 거리 이고 원의 지름의 길이 이다.
∴
lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
19. [출제의도] 역함수를 활용하여 문제해결하기
, , , 이고
함수 의 역함수가 존재하므로 일대일대응이다.
그러므로 역함수 는
, , , 이므로
이다.
∴
,
따라서
20. [가형 18번과 동일]
21. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 주어진 그림을 꼭짓점 B 를 원점으로, 직선 BC 를 축, 직선 BA를 축으로 하는 좌표평면 위에 나타내면 다음과 같다.
B
A
F P
C Q
직선 AF 의 방정식은
포물선 ( )은 점 A 를 지나므로
× ,
포물선 과 직선
가
만나는 점의 의 좌표는 ,
점 P 의 좌표를
라 하면점 P
, 점 Q
이고삼각형 AQP 의 넓이를 라 하면
× ×
′
′ 에서 또는
의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
⋯
⋯
′
↗
↘따라서 는
에서 극대이면서 최대이므로
의 최댓값은
×
×
×
22. [가형 22번과 동일]
23. [출제의도] 수열의 합 이해하기
24. [ ] 함수의 극한 이해하기
lim
→
lim
→
lim
→
25. [가형 25번과 동일]
26. [출제의도] 집합의 개념 이해하기
이 되기 위해서는 ( , ≥ ) 또는 ( ≤ , )
∴ ≤ 또는 ≤ 그러므로 자연수 는 , 따라서 자연수 의 최댓값은
27. [출제의도] 지수법칙 이해하기
에서 양변에 을 곱하면
× ×
이므로
,
∴ ×
×
28. [출제의도] 등차수열을 활용하여 문제해결하기 주어진 이차방정식의 서로 다른 두 실근을 , 이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
,
∴ ⋯ ⋯⋯
㉠의 양변에 을 더하면
⋯
×
×
∴
29. [출제의도] 수열의 합 추론하기
함수 의 그래프는 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이고, 함수 의 그래프는 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 두 함수의 그래프와 축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계는 <그림1>과 같다.
O
<그림1>
O
㉠ ㉡
㉢
<그림2>
이 때, 함수 의 그래프는 함수
의 그래프를 축에 대하여 대칭이동한 후 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 <그림2>와 같이함수
의 그래프와 축, 축으로 둘러싸인 영역 ㉠의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수는 함수 의 그래프와 두 직선 , 으로 둘러싸인 영역 ㉢의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다.
그러므로 영역 ㉠과 영역 ㉡의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수는 영역 ㉡과 영역 ㉢의 좌표와
좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다.
축 위의 정수인 점은 , , ⋯, 이므로
개축 위의 정수인 점은 , , ⋯, 이므로 개
∴
따라서
×
× ×
×
[다른 풀이]
<그림1>에서 의 값에 대한 점의 개수는 아래의 표와 같다.
합
30. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 (가)에서 함수 가 , 에서 불연속이므로 함수 의 극솟값은 , 극댓값은 이고 함수 의 그래프는 다음과 같다.
O
(나)에서 함수 는
함수 는 모든 실수에서 연속이므로
lim
→ ,
lim
→
그러므로 , 이다.
따라서 함수 의 그래프의 개형은
<그림1> 또는 <그림2> 중 하나이다.
O
<그림1>
O
<그림2>
이때 (다)에서 이므로 함수 의 그래프는 <그림2>와 같다.
∴
′ 에서 또는 이므로 함수 는 에서 극댓값을 갖는다.
,
∴
따라서
× ×
