8
8.0 우리는 모두 미래 예언가
8.1 경우의 수 8.2 확률의 뜻 8.3 확률의 성질 8.4 확률의 계산
경우의 수와
확률
일기 예보, 운동 경기에서의 승률, 여론 조사, 상품의 불량률 등 앞으로 일어날 수 있는 여러 가지 경우를 예측하고 그 가능성을 수로 나타내는 것은 미래를 효과적으로 대비하고 합리적인 의사 결정을 하는 데 중요한 역할을 한다.
확률의 이론은 파스칼(Pascal, B., 1623~1662)과 페르마(Fermat, P., 1601~1665)가 게임에서 상금을 공정하게 분배하는 문제를 해결하는 과정에서 발전하게 되었다.
이 단원에서는 다양한 상황을 통해 확률의 의미와 기본 성질을 이해하고 확률을 구하는 방법을 배운다.
[출처: 정완상, 이야기로 아주 쉽게 배우는 확률과 통계 ]
각 면에 1에서 6까지의 수가 적힌 정육면체 주사위 한 개를 던질 때, 나올 수 있는 면의 가짓수를 구하 시오.
1
동전 한 개를 던질 때, 앞면이 나올 가능성을 수로 나타내시오.
2
오른쪽은 주희네 반 학생들이 1분 동안 줄넘기를 한 횟수를 조사하여 나타낸 표이다. 표 를 완성하시오.
3
줄넘기 횟수 (회) 학생
수 (명) 상대도수 0이상~ 20미만 2
20 ~ 40 9 40 ~ 60 11 60 ~ 80 2 80 ~100 1
합계 25
1분 동안의 줄넘기 횟수
우리는 모두 미래 예언가
우리는 일상에서 많은 순간 선택을 하게 됩니다. 예를 들어 영화를 보러 나가는 날 ‘어떤 옷 을 입을까?’, ‘무엇을 타고 갈까?’, ‘어떤 간식을 먹을까?’ 등과 같이 어떤 상황에서 나타날 수 있는 여러 경우를 생각해 보고 선택하게 됩니다.
이러한 선택은 자신의 경험을 바탕으로 할 때도 있지 만, 일기 예보에서 비가 올 가능성을 보고 우산을 준비 하거나, 농구 경기에서 자유투 성공률을 참고하여 득점 가능성을 예상하는 것과 같이 통계 자료의 분석을 바탕 으로 할 때도 있습니다.
또한, 운동 경기나 놀이를 할 때에도 정해진 규칙에 따라 일어날 수 있는 모든 경우를 생각한다면, 이길 가 능성을 더 높일 수 있을 것입니다.
이와 같이 어떤 일이 일어날 가능성을 예측하는 것은 불확실한 미래를 대비하기 위해 보다 나은 선택을 하는 데 도움을 줍니다. [출처: 폴 J. 나힌 (안재현 역), 당신이 10년 후에 살아 있을 확률은? ]
80
● 자유투 성공률이 30 %인 선수와 80 %인 선수가 자유투를 할 때, 득점을 더 많이 할 것으로 예상 되는 선수를 말해 보고 그 이유를 설명해 보자.
태도 및 실천
● 내일 일기 예보에서 강수 확률을 찾아보고, 강수 확률의 의미를 말해 보자.
나올 수 있는 놀이 방법은 모두 몇 가지인지 구해 보자.
사각형인 면이 나오는 경우는 모두 몇 가지인지 구해 보자.
활동 1
활동 2
목제 주령구
수학 사회통일신라 시대 유물인 목제 주령구는 6개의 사각형과 8개의 육각 형으로 이루어진 십사면체 모양의 주사위입니다. 이 주사위의 각 면에는 궁중 놀이를 즐길 때 사용되었던 서로 다른 놀이 방법이 한 개씩 적혀 있습니다. 목제 주령구를 던질 때 나올 수 있는 결과를 생각해 봅시다.`
목제 주령구를 던질 때, 나올 수 있는 결과는 무엇인가요?
목제 주령구를 던질 때, ‘사각형인 면이 나온다.’, ‘육각형인 면이 나온다.’ 등과 같 이 동일한 조건 아래에서 여러 번 반복할 수 있는 실험이나 관찰을 통해 얻어지는 결 과를 사건이라고 한다. 이때 사건이 일어날 수 있는 가짓수를 경우의 수라고 한다.
예를 들어 ‘사각형인 면이 나온다.’는 사건이 일어날 경우는 6가지이므로 이 사건이 일어나는 경우의 수는 6이다.
1
•사건 학│습│요│소
경우의 수
81
•사건의 뜻을 안다.•사건이 일어나는 경우의 수를 구할 수 있다.
학│습│목│표
한 개의 주사위를 던질 때, 물음에 답하시오.
⑴ 일어날 수 있는 사건을 2가지 말하시오.
⑵ ⑴에서 말한 각 사건이 일어날 수 있는 경우의 수를 구하시오.
1
문제
8.1 경우의 수 249
주머니 속에 1에서 7까지의 자연수가 각각 적힌 공 7개가 들어 있 다. 이 주머니에서 한 개의 공을 꺼낼 때, 2의 배수 또는 5의 배수 가 적힌 공이 나오는 경우의 수를 구하시오.
2
문제
1
2 3
4 5 6
7
혜린이네 학교에서는 박물관 3곳, 미술관 3곳, 전통시장 2곳 중 한 곳에서 체험 학습을 하려고 한다. 이때 박물관 또는 전통시장 중 한 곳에서 체험 학습을 하는 경우의 수를 구 하시오.
풀이│ 박물관에서 체험 학습을 하는 경우는 3가지이고, 전통시장에서 체험 학습을 하 는 경우는 2가지이다. 그런데 체험 학습 장소로 박물관과 전통시장을 동시에 선 택할 수는 없으므로 혜린이가 박물관 또는 전통시장에서 체험 학습을 하는 경우
의 수는 3+2=5이다. 5
예제
1
사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는 어떻게 구할 수 있나요?
정인이네 중학교 학생들은 방과 후 활동으 로 오른쪽과 같은 프로그램 중에서 한 가지 를 선택하여 신청할 수 있다.
오른쪽 프로그램에서 예술 방과 후 프로그 램을 선택할 수 있는 경우는 4가지이고, 체육 방과 후 프로그램을 선택할 수 있는 경우는 3가지이다. 그런데 예술 방과 후 프로그램과
체육 방과 후 프로그램을 동시에 선택할 수 없으므로 정인이가 예술 방과 후 프로그 램 또는 체육 방과 후 프로그램 중에서 한 가지를 선택하여 신청하는 경우의 수는 4+3=7이다.
일반적으로 사건 A와 사건 B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A가 일어나는 경 우의 수가 m이고, 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n이면, 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는
m+n 이다.
2
사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우의 수는 어떻게 구할 수 있나요?
서희는 송편을 만들기 위해 멥쌀, 쑥, 흑미, 단호박으로 만든 4종류의 반죽과 깨, 녹두로 만든 2종류의 소를 준비하 였다. 반죽 한 종류와 소 한 종류를 선택하여 송편을 만들 수 있는 경우의 수를 생각해 보자.
깨 깨 깨 깨
멥쌀 쑥 흑미 단호박
녹두 녹두 녹두 녹두
4종류의 반죽 각각에 대하여 2종류의 소 중 한 가지를 선택할 수 있으므로 반죽과 소를 선택하여 송편을 만들 수 있는 경우의 수는 4\2=8이다.
일반적으로 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m이고, 그 각각에 대하여 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n이면, 두 사건 A, B가 동시에 일어나는 경우의 수는
m\n 이다.
3
두 사람이 가위바위보를 할 때, 일어나는 경우의 수를 구하시오.
3
문제
다음 그림과 같이 A, B 2개의 홈이 있는 열쇠를 만들려고 한다. 각 홈은 파인 깊이를 상, 중, 하 3단계 중 한 단계로 선택할 수 있을 때, 만들 수 있는 열쇠의 종류는 모두 몇 가지 인지 구하시오.
A B
깊이 선택
풀이│ 2개의 홈 각각에 대하여 3단계 중 한 단계를 선택할 수 있으므로 열쇠를 만드는 경우는 다음과 같다.
A B A B A B
따라서 만들 수 있는 열쇠의 종류는 모두 3\3=9(가지)이다. 9가지 예제
2
8.1 경우의 수 251
0에서 4까지의 수가 각각 적힌 5장의 카드에서
1 2 3
0 4
2장을 뽑아 두 자리의 정수를 만들 수 있는 경 우의 수를 구하시오.
풀이│ 십의 자리에 오는 수는 0을 제외한 1, 2, 3, 4로 4가지이고, 그 각각에 대하여 일의 자리에 오는 수는 십의 자리에 온 수를 제외한 나머지 네 수 중의 하나이 어야 하므로 4가지이다.
2 3 1
4
1 3 2
4
1 2 3
4
1
0 0 0 0
2 4
3
` 따라서 두 자리의 정수를 만들 수 있는 경우의 수는 4\4=16이다.
16 예제
3
y`10 y`12 y`13 y`14
y`20 y`21 y`23 y`24
y`30 y`31 y`32 y`34
y`40 y`41 y`42 y`43
다음 대화를 읽고, ‘두 사건이 동시에 일어난다.’는 말의 의미에 대해 이야기해 보자.
의사소통 생각을 나누는
형민, 은비, 우석, 영미 4명의 학생이 학급 임원 후보에 올랐다. 네 명의 후보자 중에서 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 경우의 수를 구하시오.
4
문제
그럼 주사위 한 개를 두 번 잇달아 던지는 것은 다른 거야?
주사위 두 개를 한꺼번에 던지는 것을 말하는 거야.
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 동일한 조건 아래에서 여러 번 반복할 수 있는 실험 이나 관찰을 통해 얻어지는 결과를 이라고 한다.
⑵ 사건 A와 사건 B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m이고, 사건 B가 일어 나는 경우의 수가 n이면, 사건 A 또는 사건 B가 일 어나는 경우의 수는 이다.
⑶ 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m이고, 그 각각에 대하여 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n이면, 두 사건 A, B가 동시에 일어나는 경우의 수는 이다.
1
다음 그림과 같이 정인이네 집에서 문구점으로 가는 방법 이 3가지, 문구점에서 도서관으로 가는 방법이 5가지이다.
이때 정인이네 집에서 출발하여 문구점을 거쳐 도서관으 로 가는 경우의 수를 구하시오.
(단, 한 번 지나간 지점은 다시 지나가지 않는다.)
도서관 집 문구점
문구점
4
다음 차림표를 보고 음식을 주문하려고 할 때, 물음에 답 하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
⑴ 생과일 주스와 차 중에서 한 가지를 골라 주문하는 경우의 수를 구하시오.
⑵ 음료 중에서 한 가지와 쿠키 중에서 한 가지를 골라 주문하는 경우의 수를 구하시오.
6
과정을 다지는 문제3명의 학생 중에서 다음과 같은 방법으로 2명의 봉사 활동 도우미를 뽑는 경우의 수를 각각 구하고, 같은지 다른지 말하시오.
[방법 1] 교통정리 1명, 길 안내 1명 [방법 2] 거리 청소 2명
5
추론오른쪽 그림과 같이 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ 중에서 하나를 선 택하는 사다리 타기를 하여 상품을 받을 때, 상품으로 책 을 받을 수 있는 경우의 수를 구하시오.
2
ㄱ ㄴ ㄷ ㄹ ㅁ
책 펜 필통 책 펜
주머니 속에 1에서 8까지의 자연 수가 각각 적힌 공 8개가 들어 있 다. 이 주머니에서 한 개의 공을 꺼낼 때, 다음 사건이 일어나는 경우의 수를 구하시오.
⑴ 10의 약수가 적힌 공이 나온다.
⑵ 3의 배수 또는 7의 배수가 적힌 공이 나온다.
3
1 2
3 5 7 4 6
8
8.1 경우의 수 253
한 개의 동전을 30번 던져 앞면과 뒷면이 나온 횟수를 각각 기록해 보자.
반 학생들이 실험한 결과를 더하여 다음 표를 완성하고, 동전을 던진 횟수가 많아질수 록 앞면이 나온 상대도수와 뒷면이 나온 상대도수가 어떻게 변하는지 말해 보자.
(단, 상대도수는 반올림하여 소수점 아래 셋째 자리까지 나타낸다.)
던진 횟수 (번) 30 60 90 180 270 450 720
앞면이 나온 횟수 (번) 앞면이 나온 상대도수 뒷면이 나온 횟수(번) 뒷면이 나온 상대도수 활동 1
활동 2
확률의 뜻
82
• 확률의 개념을 이해한다.• 간단한 확률을 구할 수 있다.
학│습│목│표
축구 경기에서 공격 우선권 정하기
모둠활동다음을 보고, 동전 던지기 실험을 하여 동전의 앞면, 뒷면이 나올 가능성을 생각해 봅시다.
•확률 학│습│요│소
준비물: 동전, 계산기
동전을 던진 횟수가 많을수록 앞면이 나온 상대도수는 어떻게 변하나요?
다음 표는 생각 열기의 동전 던지기 실험 결과의 한 예이다.
던진 횟수 (번) 30 60 90 180 270 450 720
앞면이 나온 횟수 (번) 13 37 52 96 133 224 360
앞면이 나온 상대도수 0.433 0.617 0.578 0.533 0.493 0.498 0.5
뒷면이 나온 횟수 (번) 17 23 38 84 137 226 360
뒷면이 나온 상대도수 0.567 0.383 0.422 0.467 0.507 0.502 0.5
1
(앞면이 나온 상대도수) =(앞면이 나온 횟수)
(던진 횟수)
축구 경기를 할 때, 심판이 동전을 던져서 공격의 순서를 정하잖아?
그게 공정한 걸까?
앞면과 뒷면이 나올 가능 성이 같으니까 공정하다고
할 수 있지 않을까?
그럼 실험을 한번 해 보자!
앞의 표에서 앞면과 뒷면이 나온 상대도수를 그래프로 나타내면 다음과 같다.
60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720(던진 횟수) 0.4
0 0.5 0.6 (상대도수)
뒷면 앞면
이 그래프에서 동전을 던진 횟수가 많아질수록 앞면이 나온 상대도수와 뒷면이 나 온 상대도수는 각각 0.5에 가까워짐을 알 수 있다.
이와 같이 동일한 조건에서 실험이나 관찰을 여러 번 반복할 때, 반복 횟수가 많아 짐에 따라 어떤 사건 A가 일어나는 상대도수가 일정한 값에 가까워지면 이 일정한 값을 사건 A가 일어날 확률이라고 한다.
따라서 한 개의 동전을 던질 때, 앞면이 나올 확률은 0.5=1
2이라고 할 수 있다.
마찬가지로 뒷면이 나올 확률도 0.5=1 2이다.
다음은 한 개의 주사위를 여러 번 던져서 6의 눈이 나온 횟수를 기 록한 표이다. 물음에 답하시오.
던진 횟수 (번) 100 300 500 700 900 1000 6의 눈이 나온 횟수 (번) 14 53 77 120 150 167
상대도수
⑴ 6의 눈이 나온 상대도수를 구하여 위의 표를 완성하시오.
(단, 상대도수는 반올림하여 소수점 아래 셋째 자리까지 나타낸다.)
⑵ 위의 표에서 6의 눈이 나온 상대도수를 그래프로 나타내시오.
100 300 500 700 900 1000(던진 횟수)
0.1
0 0.2 (상대도수)
⑶ 6의 눈이 나올 확률을 ⑵의 그래프를 이용하여 말하시오.
1
문제
8.2 확률의 뜻 255
경우의 수를 이용하여 확률을 구할 수 있나요?
여러 번의 실험이나 관찰을 하지 않고도 경우의 수를 이용하여 확률을 구할 수도 있다. 예를 들어 한 개의 동전을 던질 때 일어나는 모든 경우는 앞면과 뒷면으로서 그 경우의 수는 2이고 앞면이 나오는 경우의 수는 1
이다. 이때 동전의 앞면과 뒷면이 나올 가능성은 모 두 같으므로 앞면이 나올 가능성은 1
2 이고, 이 값은 앞에서 상대도수로 구한 확률과 같다.
마찬가지로 한 개의 주사위를 던질 때, 1, 2, 3, 4, 5, 6의 눈이 나올 가능성은 모두 같으므로 6의 눈이 나올 확률은 1
6 이다.
일반적으로 어떤 실험이나 관찰에서 각 경우가 일어날 가능성이 같을 때, 일어나는 모든 경우의 수를 n, 사건 A가 일어나는 경우의 수를 a라고 하면 사건 A가 일어날 확률 p는
p=(사건 A가 일어나는 경우의 수) (일어나는 모든 경우의 수) =a
n 이다.
2
확률 p는 확률을 뜻하는 영 어 probability에서 첫 글자 를 의미하는 것이다.
상자 속에 1에서 20까지의 자연수가 각각 적힌 모양과 크기
7 1
3 6
10 9 5
8 12 15 13
14 11 17
20 18 2
4 19
16
가 같은 카드 20장이 들어 있다. 이 상자에서 한 장의 카드 를 임의로 꺼낼 때, 20의 약수가 적힌 카드가 나올 확률을 구하시오.
풀이│ 상자 속에서 한 장의 카드를 임의로 꺼낼 때, 일어나는 모든 경우는 1, 2, 3, y, 18, 19, 20
으로 20가지이고, 1에서 20까지의 자연수 중에서 20의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20
이므로 20의 약수가 적힌 카드가 나오는 경우는 6가지이다.
따라서 구하는 확률은 6 20= 3
10이다.
103 예제
1
1 2
← 앞면이 나오는 경우의 수
← 일어나는 모든 경우의 수
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 합이 4 이하일 확률을 구하시오.
3
문제
다음은 서영이네 모둠 학생들이 ‘한 개의 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은 1
2이다.’의 의미에 대해 설명한 것이다. 잘못된 부분을 찾아보고, 그 이유를 친구와 이야기해 보자.
의사소통 생각을 나누는
동전을 35번 던질 때 앞면이 17.5번 나와.
서영
동전을 10번 던지면 반드시 앞면이 5번 나와.
동현
동전을 1000번 던지면 500번 정도는 앞면이 나올 것이라고
기대할 수 있어.
수빈
동료 평가
•친구는 잘못된 부분과 그 이유에 대해 적절히 설명하였는가?
•친구는 나의 의견을 잘 경청하였는가?
1에서 15까지의 자연수가 각각 적힌 모양과 크기가 같은 공 15개 가 들어 있는 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때, 소수가 적힌 공이 나올 확률을 구하시오.
2
문제
15 5 14 3 7 10
1 2 6
4 9 12 11
8 13
8.2 확률의 뜻 257
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 동일한 조건에서 실험이나 관찰을 여러 번 반복할 때, 반복 횟수가 많아짐에 따라 어떤 사건 A가 일 어나는 상대도수가 일정한 값에 가까워지면 이 일 정한 값을 사건 A가 일어날 이라고 한다.
⑵ 어떤 실험이나 관찰에서 각 경우가 일어날 가능성 이 같을 때, 사건 A가 일어날 확률은
(사건 A가 일어나는 경우의 수)
{ }이다.
1
‘EAST SEA’의 각 알파벳이 하나씩 적힌 모양과 크기 가 같은 7장의 카드에서 한 장의 카드를 임의로 뽑을 때, 알파벳 E가 적힌 카드가 뽑힐 확률을 구하시오.
S T S
A A
E E
4
체육 시간에 A, B 두 모둠이 발야구 경기를 할 때, 두 모 둠의 대표 선수들이 가위바위보를 하여 비길 경우는 A 모둠에게 공격 우선권을 주고, 비기지 않을 경우는 B 모 둠에게 공격 우선권을 주기로 하였다. 이는 공정한 규칙 인지 아닌지 말하고 그 이유를 설명하시오.
5
추론주머니 속에 모양과 크기가 같은 파란 공 2개, 빨간 공 4개, 흰 공 x개가 들어 있다. 이 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때, 파란 공이 나올 확률이 1
5이라고 한다. 주 머니 속에 들어 있는 흰 공의 개수를 구하고, 그 풀이 과 정을 쓰시오.
6
과정을 다지는 문제오른쪽은 은미네 마을에 살고 있는 주민들의 나 이를 조사하여 나타낸 도수분포표이다. 은미네 마을 주민 중 한 명을 임 의로 택하였을 때, 나이 가 40세 이상 50세 미만 일 확률을 구하시오.
3
나이 (세) 도수 (명) 0이상~10미만 9 10 ~20 18 20 ~30 31 30 ~40 60 40 ~50 45 50 ~60 26 60 ~70 11
합계 200
은미네 마을 주민들의 나이 100원짜리 동전 1개와 500원짜리 동
전 1개를 동시에 던질 때, 다음을 구 하시오.
⑴ 모두 앞면이 나올 확률
⑵ 한 개만 앞면이 나올 확률
2
확인
1. A 주머니에 들어 있는 3가지 색의 공깃돌의 개수를 각각 반으로 줄여 만든 C 주머니에서 공 깃돌 한 개를 임의로 꺼낼 때, 다음 색의 공깃돌이 나올 확률을 구해 보자.
⑴ 빨간색 ⑵ 파란색 ⑶ 초록색
2. 1에서 구한 확률이 A 주머니에서 공깃돌 한 개를 임의로 꺼낼 때의 확률과 같은지 확인해 보자.
주머니 속의 확률
다음 그림과 같이 모양과 크기가 같은 빨간색 공깃돌 12개, 파란색 공깃돌 8개, 초록 색 공깃돌 4개가 들어 있는 A 주머니와 A 주머니에 들어 있는 3가지 색의 공깃돌의 개수를 각각 2배로 늘려 만든 B 주머니가 있다. 각 주머니에서 공깃돌 한 개를 임의로 꺼낼 때, 3가지 색의 공깃돌이 나올 확률을 각각 구하여 비교해 보자.
[A 주머니에서 공깃돌 한 개를 임의로 꺼낼 때]
A
(빨간색 공깃돌이 나올 확률)=12 24=1
2 (파란색 공깃돌이 나올 확률)= 8
24=1 3 (초록색 공깃돌이 나올 확률)= 4
24=1 6 [B 주머니에서 공깃돌 한 개를 임의로 꺼낼 때]
B
(빨간색 공깃돌이 나올 확률)=24 48=1
2 (파란색 공깃돌이 나올 확률)=16
48=1 3 (초록색 공깃돌이 나올 확률)= 8
48=1 6
즉, 공깃돌의 개수를 2배로 늘린 B 주머니에서 공깃돌 한 개를 임의로 꺼낼 때 각 색의 공깃돌이 나올 확률은 처음 주머니인 A 주머니에서 공깃돌 한 개를 임의로 꺼 낼 때 각 색의 공깃돌이 나올 확률과 같음을 알 수 있다.
동현
예를 통해서 각각의 확률을 확인해 볼까요?
선생님
여러 가지 색의 공깃돌이 들어 있는 주머니에서 각 색의 공깃돌의 수를 일정한 비율로 줄이거나 늘리면 공깃돌 한 개를 임의로 꺼낼 때 각 색의 공깃돌이 나올 확률도 변하나요?
8.2 확률의 뜻 259
상우네 반 학생 중에서 한 명을 임의로 뽑을 때, 김씨인 학생이 뽑힐 확률과 정씨인 학 생이 뽑힐 확률을 각각 구해 보자.
상우네 반 학생 중에서 한 명을 임의로 뽑을 때, 최씨인 학생이 뽑힐 확률과 상우네 반 학생이 뽑힐 확률을 각각 구해 보자.
활동 1
활동 2
확률의 성질
83
• 확률의 기본 성질을 이해한다.• 확률의 기본 성질을 이용하여 확률을 구할 수 있다.
학│습│목│표
우리 반 학생들의 성씨 조사
오른쪽은 중학생인 상우네 반 학생들의 성씨를 조사하여 나타낸 표입니다.
상우네 반 학생들의 성씨 분포를 생각해 봅시다.
절대로 일어나지 않는 사건의 확률과 반드시 일어나는 사건의 확률은 각각 얼마인가요?
생각 열기에서 상우네 반 학생 중에서 한 명을 임의로 뽑을 때, 최씨인 학생은 없 으므로 최씨인 학생이 뽑힐 확률은 0
25=0이다. 또, 모두 상우네 반 학생이므로 상우 네 반 학생이 뽑힐 확률은 25
25=1이다. 이와 같이 절대로 일어나지 않는 사건의 확률 은 0이고, 반드시 일어나는 사건의 확률은 1이다.
한편, 김씨, 박씨, 정씨인 학생이 뽑힐 확률을 각각 구하면 7 25, 3
25, 1
5이므로 모 두 0과 1 사이에 있는 수임을 알 수 있다.
일반적으로 어떤 실험이나 관찰에서 어떤 사건이 일어날 확률을 p라고 하면 0<p<1이다.
1
성씨 학생 수(명) 성씨 학생 수(명)
김 7 백 1
박 3 송 1
정 5 신 1
이 2 조 1
강 1 차 1
구 1 하 1
합계(명) 25
앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.
1. 어떤 사건이 일어날 확률을 p라고 하면 0<p<1이다.
2. 절대로 일어나지 않는 사건의 확률은 0이다.
3. 반드시 일어나는 사건의 확률은 1이다.
확률의 성질 ⑴
어떤 사건이 일어나지 않을 확률은 어떻게 구할 수 있나요?
생각 열기의 상우네 반 학생 중에서 한 명을 임의로 뽑을 때, 강씨인 학생이 뽑힐 확률은 1
25이다. 또, 강씨가 아닌 학생은 25-1=24(명)이므로 강씨가 아닌 학생이 뽑힐 확률은 24
25이다. 즉,
(강씨가 아닌 학생이 뽑힐 확률) =24 25 =1- 1
25
=1-(강씨인 학생이 뽑힐 확률) 임을 알 수 있다.
일반적으로 어떤 사건이 일어나지 않을 확률은 다음과 같다.
사건 A가 일어날 확률을 p라고 하면, 사건 A가 일어나지 않을 확률은 1-p이다.
확률의 성질 ⑵
2
상우네 반 학생 중 한 명을 임의로 뽑을 때 강씨일 확률 과 강씨가 아닐 확률의 합은 1이다.
2명이 가위바위보를 할 때, 승부가 날 확률을 구하시오.
2
문제
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 다음을 구하시오.
⑴ 나오는 두 눈의 수의 합이 6일 확률
⑵ 나오는 두 눈의 수의 합이 1일 확률
⑶ 나오는 두 눈의 수의 합이 2 이상일 확률
1
문제
8.3 확률의 성질 261
남학생 2명과 여학생 3명 중에서 2명의 대표를 뽑을 때, 여학생이 적어도 한 명 뽑힐 확 률을 구하시오.
4
문제
500원짜리 동전 1개와 100원짜리 동전 1개를 동시에 던질 때, 적어 도 한 개는 앞면이 나올 확률을 구하시오.
풀이│ 서로 다른 두 개의 동전을 동시에 던질 때, 일어나는 모든 경우의 수는
2\2=4이고, 적어도 하나는 앞면이 나오는 경우는 전체 경우에서 두 개 모두 뒷면이 나오는 경우를 제외하면 된다. 한편, 두 개 모두 뒷면이 나오는 경우는 1가지이므로 두 개 모두 뒷면이 나올 확률은 1
4 이다.
따라서 적어도 한 개는 앞면이 나올 확률은 1-(모두 뒷면이 나올 확률)=1-1
4=3
4 34
예제
1
500원 100원
앞면 앞면 뒷면 뒷면 앞면 뒷면
어느 회사의 제품 1000개를 조사하였더니 불량품 9개가 포함되어 있었다고 한다. 조사 한 제품 중에서 한 개를 임의로 선택할 때, 합격품일 확률을 구하시오.
3
문제
오른쪽 속담과 사자성어 속에 담긴 확률에 대하여 이 야기해 보고, 이와 같이 확률의 의미가 담긴 속담이나 사자성어를 더 찾아보자.
의사소통 생각을 나누는
백발백중 해가 서쪽에서 뜬다.
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 어떤 사건이 일어날 확률을 p라고 하면 p의 값의 범 위는 이다.
⑵ 절대로 일어나지 않는 사건의 확률은 이고, 반드 시 일어나는 사건의 확률은 이다.
⑶ 사건 A가 일어날 확률을 p라고 하면, 사건 A가 일 어나지 않을 확률은 이다.
1
한 개의 주사위를 던질 때, 6 이하의 눈이 나올 확률을 구 하시오.
2
다음과 같이 각각 3등분, 4등분한 원판 A, B의 바늘을 돌 려 바늘이 멈춘 후 가리키는 숫자를 읽는다. 바늘이 가리 키는 숫자가 서로 다를 확률을 구하고, 그 풀이 과정을 쓰 시오. (단, 바늘이 경계선을 가리키는 경우는 생각하지 않 는다.)
8 4
1 1
5 3 8
A B
6
과정을 다지는 문제서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 적어도 한 개는 짝수의 눈이 나올 확률을 구하시오.
4
오른쪽 그림과 같이 모양과 크기 가 같은 딸기 맛 사탕 3개와 포도 맛 사탕 2개가 들어 있는 주머니 속에서 사탕 한 개를 임의로 꺼낼 때, 다음을 구하시오.
⑴ 포도 맛 사탕을 꺼낼 확률
⑵ 사과 맛 사탕을 꺼낼 확률
3
캔 화분에서 봉선화의 발아율은 일반 화분에서의 발아율 70 %보 다 높은 80 %라고 한다. 1000개 의 캔 화분에 봉선화 씨앗을 1개 씩 뿌렸을 때, 발아가 되지 않을 것으로 예상되는 씨앗은 몇 개인 지 구하시오.
5
추론8.3 확률의 성질 263
행운을 잡아라!
민주가 1등 경품을 받을 수 있는 확률을 구해 보자.
민주가 2등 경품을 받을 수 있는 확률을 구해 보자.
활동 1
활동 2
확률의 계산
84
• 확률의 계산을 할 수 있다.학│습│목│표
민주가 1등 또는 2등 경품을 받을 수 있는 확률은 어떻게 구할 수 있나요?
행운권 100장 중에서 1등은 11, 77이 적힌 2장이고, 2등은 첫째 자리에는 5, 둘째 자리에는 0, 1, 2, y, 8, 9가 적힌 10장이다.
이때 1등과 2등 경품을 동시에 받을 수 없으므로 1등 또는 2등 경품을 받을 수 있 는 경우의 수는 2+10=12이다.
따라서 민주가 1등 또는 2등 경품을 받을 수 있는 확률은 2+10 100 = 12
100= 3 25이다.
1
어느 영화관에서는 오른쪽과 같이 선착순 100명 의 관람객을 대상으로 행운권을 한 장씩 뽑아 경 품을 받는 행사를 실시하였습니다. 준비된 100장 의 행운권 번호는 00, 01, 02, y,
98, 99로 이루어져 있습니다. 민 주가 행운권 한 장을 임의로 뽑 을 때, 경품을 받을 수 있는 확 률을 생각해 봅시다.
영화관 행운권 행사!!!
행운 번호
<행운권>
영화도 보고 경품도 받고! 선착순 100명 의 관람객에게 행운권 뽑기의 기회를!
번호 경품
1등 11, 77 영화 관람권 2매
2등 첫째 자리에 5 팝콘&음료 세트 교환권 1매
이것은 1등 경품을 받을 수 있는 확률 2 100= 1
50 과 2등 경품을 받을 수 있는 확률 10
100= 1
10의 합과 같다. 즉, 1
50+ 1
10=1+5 50 = 6
50= 3 25 이다.
이와 같이 동일한 실험이나 관찰에서 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A가 일어날 확률을 p, 사건 B가 일어날 확률을 q라고 하면 사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률은
p+q 이다.
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나온 두 눈의 수의 합이 3 또는 5일 확률을 구하시오.
풀이│ 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 각 주사위에서 나온 눈의 수를 순서쌍으로 나 타내면 나오는 모든 경우의 수는 6\6=36이다.
이 중에서 나온 두 눈의 수의 합이 3인 경우는 {1, 2}, {2, 1}의 2가지이므로 두 눈의 수의 합이 3일 확률은 2
36= 1 18 이다.
또, 나온 두 눈의 수의 합이 5인 경우는 {1, 4}, {2, 3}, {3, 2}, {4, 1}의 4가 지이므로 두 눈의 수의 합이 5일 확률은 4
36=1 9이다.
이때 두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 구하는 확률은 1 18+1
9=1 6 이다.
16 예제
1
오른쪽은 어느 중학교 학생 200명을 대상으로 교내 화단 설치 에 대한 의견을 조사하여 나타낸 그래프이다. 설문에 답한 학생 중 한 명을 임의로 선택할 때, 그 학생이 찬성 또는 적극 찬성 으로 응답했을 확률을 구하시오.
1
문제
적극 찬성 40명 적극 반대
15명
65명찬성 반대
45명
모르겠다35명
8.4 확률의 계산 265
오른쪽 그림과 같이 각 면에 1에서 8까지의 자연수가 적힌 정팔면체 주사위 1개와 각 면에 1에서 20까지의 자연수가 적힌 정이십면체 주사위 1개를 동시에 던질 때, 정팔면체 주사위는 짝수가 나오고 정이십면체 주사위는 3의 배수가 나올 확률을 구하시오.
풀이│ 정팔면체 주사위 1개를 던질 때 짝수가 나올 확률은 4 8=1
2이고, 정이십면체 주 사위 1개를 던질 때 3의 배수가 나올 확률은 6
20= 3 10이다.
따라서 두 사건은 서로 영향을 끼치지 않으므로 구하는 확률은 1 2\ 3
10= 3 20이다.
203 예제
2
사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률은 어떻게 구할 수 있나요?
동전 1개와 주사위 1개를 동시에 던질 때, 동전은 앞면이 나오고, 주사위는 1의 눈 이 나올 확률을 구해 보자.
동전 1개와 주사위 1개를 동시에 던질 때, 일어나는 모든 경우의 수는 2\6=12이다.
이때 동전은 앞면이 나오고 주사위는 1의 눈이 나오는 경우의 수는 1이므로 동전은 앞면이 나오고 주사위는 1의 눈이 나올 확률은 1\1
2\6= 1 12이다.
이것은 동전 1개를 던질 때 앞면이 나올 확률 1
2과 주사위 1개를 던질 때 1의 눈이 나올 확률 1
6의 곱과 같다. 즉, 1
2\1
6=1\1 2\6= 1
12 이다.
이와 같이 두 사건 A, B가 서로 영향을 끼치지 않을 때, 사건 A가 일어날 확률을 p, 사건 B가 일어날 확률을 q라고 하면 사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률은
p\q 이다.
2
다음 문제에서 안에 수를 써넣어 문제를 만들어 보고, 자신의 풀이 방법을 친구와 이야기해 보자.
의사소통 생각을 나누는
유리그릇에 모양과 크기가 같은 딸기 맛 사탕 개, 포도 맛 사탕 개, 사과 맛 사탕 개가 들어 있다. 이 유리그릇에서 눈을 감고 사탕 한 개를 꺼낼 때, 딸기 맛 사탕 또는 사과 맛 사탕이 나올 확률을 구하시오.
어느 양궁 선수가 화살을 한 번 쏘아 과녁판의 10점을 맞힐 확 률이 80`%라고 한다. 이 선수가 화살을 두 번 쏘아 모두 10점을 맞힐 확률은 몇 %인지 구하시오.
(단, 첫 번째 활쏘기의 결과는 두 번째 활쏘기에 영향을 끼치지 않는다.)
2
문제
동료 평가
•친구의 풀이 방법이 적 절한가?
8.4 확률의 계산 267
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A 가 일어날 확률을 p, 사건 B가 일어날 확률을 q라 고 하면 사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률은
이다.
⑵ 두 사건 A, B가 서로 영향을 끼치지 않을 때, 사건 A가 일어날 확률을 p, 사건 B가 일어날 확률을 q 라고 하면 사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률 은 이다.
1
어느 농구 선수의 자유투 성공률은 70`%이다. 이 선수가 자유투를 두 번 던질 때, 두 번 모두 성공할 확률은 몇 % 인지 구하시오. (단, 첫 번째 자유투의 결과는 두 번째 자 유투에 영향을 끼치지 않는다.)
5
추론다음 그림과 같이 A 주머니에는 모양과 크기가 같은 파 란 공 4개, 노란 공 2개가 들어 있고, B 주머니에는 모양 과 크기가 같은 파란 공 4개, 노란 공 4개가 들어 있다. A 주머니와 B 주머니에서 공을 한 개씩 임의로 꺼낼 때, 2개 모두 같은 색일 확률을 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
A B
6
과정을 다지는 문제한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 처음에는 5 이상의 눈이 나오고, 다음에는 소수의 눈이 나올 확률을 구하시오.
3
1에서 100까지의 자연수가 각각 적힌 모양과 크기가 같은 100장의 카드를 뒤집어 놓고, 이 중에서 한 장을 임의로 뽑을 때, 홀수 또는 10의 배수가 적힌 카드가 뽑힐 확률을 구하시오.
4
오른쪽은 어느 중학교 학생 200 명을 대상으로 혈액형을 조사 하여 나타낸 그래프이다. 이 학 교 학생 중에서 한 명을 임의로 선택할 때, 그 학생의 혈액형이 B형 또는 AB형일 확률을 구하 시오.
2
A형 B형 68명
54명 56명O형
AB형 22명
전통 향토 음식 이름 맞히기
● 다음 문제의 답이 적혀 있는 사다리를 순서대로 타고 올라가면서 답과 짝 지어진 글 자를 나열할 때, 완성되는 전통 향토 음식의 이름을 맞혀 보자.
1
모양과 크기가 같은 빨간색 색연필만 들어 있는 필통에서 색연필 한 자루를 임의 로 꺼낼 때, 빨간색 색연필이 나올 확률을 구하시오.2
1에서 10까지의 수가 각각 적힌 모양과 크기가 같은 10장의 카드에서 한 장을 임 의로 뽑을 때, 24의 약수가 적힌 카드가 나올 확률을 구하시오.3
해가 서쪽에서 뜰 확률을 구하시오.4
두 주사위 A, B를 동시에 던질 때, A 주사위는 3의 배수의 눈이 나오고, B 주사 위는 소수의 눈이 나올 확률을 구하시오.5
두 부품 A, B가 불량품일 확률이 각각 1 100, 133일 때, 부품 A도 불량품이 아니 고, 부품 B도 불량품이 아닐 확률을 구하시오.
6
모양과 크기가 같은 빨간 공 3개, 노란 공 2개, 파란 공 5개가 들어 있는 주머니에 서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때, 노란 공 또는 파란 공이 나올 확률을 구하시오.1 (뱅)
8 (구) 출발
0 (콧)
1 (메)
1 2 3 4 5
6
17 (판)5 6 (뱅)
3 5 (밀)
1 8 (도)
1 6 (등)
4 5 (리) 1
10 (탕) 7
10 (기)
24 25 (치) 1
3300 (이)
8.4 확률의 계산 269
각 면에 1에서 12까지의 자연수가 적혀 있는 정십이면체 주사위를 한 개 던질 때, 3의 배수가 나오는 경우의 수를 구하시오.
01
사건 A가 일어날 확률을 p라고 할 때, 다음 보기에서 옳 은 것을 모두 고르시오.
ㄱ. p는 (일어나는 모든 경우의 수)
(사건 A가 일어나는 경우의 수)이다.
ㄴ. p의 값의 범위는 0<p<1이다.
ㄷ. 사건 A가 반드시 일어나는 사건일 때, p=1이다.
ㄹ. 사건 A가 절대로 일어나지 않는 사건일 때, p=0이다.
ㅁ. 사건 A가 일어나지 않을 확률은 p-1이다.
보기
06
8
경우의 수와 확률어느 샌드위치 가게에는 빵 2종류, 토핑 4종류, 드레싱 3종류 중에서 각각 하나씩 선택하여 샌드위치를 주문할 수 있다. 샌드위치를 주문할 수 있는 경우의 수를 구하시오.
04
3개의 자음 ㄱ, ㄷ, ㅅ과 2개의 모음 ㅏ, ㅗ가 있다. 자음 한 개와 모음 한 개를 짝 지어 글자를 만드는 경우의 수를 구하시오.
03
다음은 어느 생태 공원의 안내 지도이다. 안내 지도의 길 을 따라 공원 정문에서 곤충관까지 가는 경우의 수를 구 하시오. (단, 한 번 지나간 지점은 다시 지나가지 않는다.)
곤충관 공원 식물관
정문
05
다음 그림과 같이 직사각형을 가로 또는 세로로 3등분하 고 빨강, 파랑, 노랑의 세 가지 색을 한 번씩만 사용하여 삼색기를 만들 때, 만들 수 있는 삼색기를 그려 보고, 경우 의 수를 구하시오. (단, 풀이 과정을 자세히 쓰시오.)
02
서술형1에서 5까지의 자연수가 각각 적힌
5 4
2 3
모양과 크기가 같은 5장의 카드가 있
1
다. 이 중에서 2장을 임의로 뽑을 때, 다음을 구하시오.
⑴ 두 수의 합이 짝수일 확률
⑵ 두 수의 차가 4 이하일 확률
07
민희가 아침 운동을 할 확률이 25 %일 때, 2일 중 하루만 아침 운동을 할 확률을 구하시오.
11
길이가 각각 3`cm, 4`cm, 5`cm, 7`cm인 막대 4개가 있 다. 이 중에서 3개의 막대를 임의로 뽑을 때, 삼각형이 만 들어질 확률을 구하시오.
08
서로 다른 두 개의 주사위 A, B를 동시에 던질 때, A는 홀수의 눈이 나오고 B는 5 이상의 눈이 나올 확률을 구하 시오.
09
한 개의 주사위를 두 번 던져서 처음에 나온 눈의 수를 x, 나중에 나온 눈의 수를 y라고 할 때, x+2y=7일 확률을 구하시오. (단, 풀이 과정을 자세히 쓰시오.)
12
서술형오른쪽은 어느 지역의 9월 한 달 동안의 일교차를 조 사하여 나타낸 것이다. 9월 중 어느 한 날을 임의로 선 택할 때, 조사한 지역에서 그 날의 일교차가 12`!C 이상일 확률을 구하시오.
10
일교차 (!C) 날 수 (일) 4이상~ 6미만 2 6 ~ 8 4 8 ~10 3 10 ~12 10 12 ~14 9 14 ~16 2
합계 30
한 달 동안의 일교차
단원 마무리 271
자기 평가
점검 항목 도달 정도
미흡 보통 우수
학습 내용
경우의 수를 구할 수 있는가?
확률의 개념을 이해하고, 간단한 확률을 구할 수 있는가?
확률의 기본 성질을 이해하였는가?
확률의 계산을 할 수 있는가?
학습 태도
수업 시간에 성실히 참여하였는가?
문제를 풀 때 끈기 있게 도전하였는가?
복습과 예습을 꼼꼼히 하였는가?
친구의 의견을 존중하고 경청하였는가?
●이 단원을 공부하면서 알게 된 점과 어려웠던 점은 무엇인지 써 보자.
서현이는 다음과 같이 각각 3등분, 4등분, 6등분한 세 원 판 A, B, C를 만들고 각 원판의 바늘을 20번씩 돌려서 바 늘이 멈춘 후 가리키는 숫자를 모두 기록하였다. 서현이 는 깜빡 잊고 어느 기록이 어느 원판의 바늘을 돌린 결과 인지 적어 놓지 않았다. 각각의 기록이 나올 가능성이 가 장 큰 원판을 고르고, 그 이유를 설명하시오. (단, 바늘이 경계선을 가리키는 경우는 생각하지 않는다.)
1 1 2
2
2 3
3
1
1 2
2 3 2
A B C
기록 1 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2 기록 2 2, 3, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 2,
3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 2 기록 3 1, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 2, 3, 2,
1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 1
14
진현이와 진희는 각각 주사위를 던져서 나온 눈의 수가 같으면 주사위를 다시 던지고, 나온 눈의 수가 다르면 눈 의 수가 작은 사람이 이긴다고 한다. 주사위 던지기를 하 여 세 번째에 승부가 결정될 확률을 구하시오.
13
문제 해결 창의 UP
창의 융합 프로젝트
설날 놀이의 하나인 윷놀이는 4개의 윷가락을 던져 말판 위에서 말을 움직이는 놀이이다. 말이 움직이는 칸수는 평평한 면이 나온 윷가락의 개수와 둥근 면이 나 온 윷가락의 개수에 따라 도(1칸), 개(2칸), 걸(3칸), 윷(4칸), 모(5칸)로 결정된다.
움직인 칸에 상대편의 말이 있으면 그 말을 출발 지점으로 다시 보낼 수 있으며, 이 를 말을 잡는다고 한다.
동전이나 주사위와 달리 윷을 던질 때에는 각 면이 나올 가능성이 같지 않다고 알려져 있다. [출처] •박진경・박홍선, 윷의 확률 추정에 대하여 •한국민속대백과사전, 2018
윷놀이의 확률
수학 사회포트폴리오 평가
•이 단원을 학습한 후 스스로 해결하기 및 단원 마무리 문제 해결, 자기 평가 작성, 창의+융합 프로젝트 과제 해결 등 모든 활동 결과를 확인하고 점검하였는가?
똑같이 생긴 네 개의 윷가락을 동시에 던질 때, ‘도’가 나오는 경우와 그 확률 을 구하면 다음 표와 같다. 이를 이용하여 ‘개’가 나오는 경우를 나타내고 그 확률을 구해 보자. (단, 윷가락의 평평한 면이 나오는 경우를 ◇, 둥근 면이 나오는 경우를 ◆로 나타내고, 평평한 면이 나올 확률은 0.6, 둥근 면이 나올 확률은 0.4로 계산한다.)
사건 경우 확률
도
◆◆◆◇
◆◆◇◆
◆◇◆◆
◇◆◆◆
0.4×0.4×0.4×0.6=0.0384 0.4×0.4×0.6×0.4=0.0384 0.4×0.6×0.4×0.4=0.0384 0.6×0.4×0.4×0.4=0.0384
개
모두 더하면 0.1536
1
오른쪽 그림과 같이 말판 위에 서영이와 준영 이의 말이 있을 때, 서영이가 윷을 한 번 던져 준영이의 말을 잡을 확률을 구해 보자. (단, 서 영이는 출발 지점에서 새로운 말을 출발시킬 수 있다.)
2
서영 준영
출발
창의 + 융합 프로젝트 273
