The Complete Response of RL and RC Circuits

(1)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 1

Chapter 8 The Complete Response of RL and RC Circuits

Chapter 8 Chapter 8

The Complete Response of The Complete Response of RL RL and and RC RC Circuits Circuits

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 2

Ch. 8 The Complete Response of RL and RC Circuits

- 미분방정식 : 캐패시터와 인덕터가 포함된 회로의 기술에 사용 - 1개의 캐패시터 또는 1개의 인덕터로 구성된 회로 : 1차 미분방정식(1차 회로)

Figure 8.0-1

A plan for analyzing first-order circuits. (a) First, separate the energy storage elements from the rest of the circuit. (b) Next, replace the circuit connected to a capacitor by its Thévenin equivalent circuit, or replace the circuit connected to an inductor by its Norton equivalent circuit.

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1차 회로 예

입력

출력 (Response)

- 회로입력이 정현파Æ 정상상태 출력 정현파 - 주파수 일치

- 스위치 동작 전, 정상상태의 출력 (캐패시터 전압)

( ¹⁰⁰⁰ ) ^,

cos )

( t = B t + φ

v t < 0

스위치 동작 순간의 캐패시터 전압은 ?

( ) ^φ

cos ) 0

( B

v

_c

=

과도상태 정상상태

스위치 동작 후의 커패시터 전압 표현식

( δ )

τ

+ +

= Ke ⁻ M t

t v

t

1000 cos )

(

(2)

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Complete response = natural response + forced response Complete Response = Transient Res. + Steady-state Res.

입력을 영으로 둘 때,

1차 미분방정식의 일반해 미분방정식의 특이해

- 1차 회로의 완전응답은 초기조건에 의해 결정 - 초기조건이 주어진 시각

τ ⁰ t t

Ke

− −

=

자연응답 ^τ

t

Ke ⁻

= 자연응답

- 상수 K 는 초기조건에 의해 결정

t

0

t = v t = Ke ⁻

^τ

+ M ( t + δ )

t

c ( ) cos 1000

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입력전압이 1) 상수인 경우 2) 지수함수인 경우 3) 정현파 입력인 경우를 고려

Step 1 : 회로가 변화되기 이전의 강제응답을 구함 (초기조건) Step 2 : 회로가 동작한 이후의 강제응답

Step 3 : 완전응답을 구하기 위해 강제응답 + 자연응답 자연응답은 초기조건을 사용.

1차 회로의 완전응답을 얻기 위한 계획

O

S

t V

V ( ) =

τ

) /

( _O ^t

S

t V e

V

= ⋅ ⁻

( ω

+

θ )

⋅

=

V Cos t t

V

S() O

장의 구성 장의 구성

8.0 개요

8.1 설계문제

8.2 신호와 통신

8.3 상수 입력에 대한 1차 회로 응답

8.4 순차스위칭

8.5 1차 회로의 안정성

8.6 단위계단 전원

8.7 비 상수 입력에 대한 1차 회로 응답

8.8 미분 연산자

8.9 검증 예제

8.10 설계문제

(3)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 7

Figure 8.1-1

(a) A printer connected to a laptop computer. (b) Two circuits connected by a cable and (c) an equivalent circuit.

8.1 Design Challenge 8.1 Design Challenge

RG58 Cable : r = 0 . 54 [ Ω / m ] ] / [ 88 pF m c =

송신기의 출력전압

V

OH

V

OL

논리 1: 논리 0:

TTL 사용 시 : V

OH

= 2 . 4 [ V ] V

OL

= 0 V . 4 [ ]

수신기의 입력전압 ] [ 0 . 2 V

V

IH

= V

IL

= 0 V . 8 [ ]

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Figure 8.1-2 Voltages that occur during a transition from a logic 0 to a logic 1.

지연시간

Δt 송신율

2개의 TTL 회로가 RG58 케이블로 연결될 경우 지연시간이 2[ns]보다 작게 하기위한 케이블의 길이는?

8.2 Signals and Communications 8.2 Signals and Communications

- 전기회로의 주된 응용분야 : 에너지 전달, 메시지 전달 - 신호의 전달방법은 시각마다 변화되는 전압 또는 전류 : 전화기 - 각종 신호의 종류

)

0

( t V v =

0 , 0 ) ( t = t <

v 0 , ) ( t = V

0

t >

v

0 , 0 ) ( t = t <

v

0 , ) ( t = V

₀

e

⁻

t >

v

^at

직류

Step

Decaying exponential

0 , 0 ) ( t = t <

v 0 , ) (

t

=

Kt t

≥

v

1 0

, 0 ) ( t V t t v = < <

elsewhere t v

( ) = 0 ,

(

ω

+

θ

)

= V t t v ( )

0

sin

Ramp

Pulse

Sinusoid

(4)

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Figure 8.2-1

Common forms of electrical signals shown on the screen of an oscilloscope.

Courtesy of Panasonic Industrial Co.

전기통신 발전 연대표는 표 8.2-2를 참조

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 11

Figure 8.2-2

(a) An analog signal and the corresponding sampled signal.

(b) A digital signal obtained by encoding the sampled signal.

- analog signal and digital signal examples

Figure 8.2-3

(a) A signal is sent from the transmitter to the receiver using a cable.

(b) The cable is modeled as a first-order circuit.

(5)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 13

Figure 8.3-1

(a) A first-order circuit containing a capacitor.

(b) After the switch closes, the circuit connected to the capacitor is replaced by its Thévenin equivalent circuit.

8.3 The Response of a First-Order Circuit to a Constant Input 8.3 The Response of a First-Order Circuit to a Constant Input

후, 일정한 값의 입력이 인가될 때 1차 회로의 완전 해를 구한다.

t 0

스위치 동작이전에는 정상상태

t

0

: 스위치 동작 순간

s

oc V

R R V R

3 2

3 = +

2 3 3 2

R R

R R _TH R

= +

테브난 등가회로

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) ( )

( v t

dt C d t i =

) ( ) ( )

( )

( v t v t

dt C d R t v t i R

V

_OC _TH _TH

 +



 



=  +

=

C R

V C R

t t v dt v d

TH OC TH

= + ( ) ) (

(8.3-1)

First order differential equation KVL

1차 미분 방정식의 다른 예 1차 미분 방정식의 다른 예

R

2

I

sc

= V

^S

3 2

R R

TH

R

= +

) ( )

( i t

dt L d t v =

) ( ) ( ) ) (

( i t

R t dt i L d t R i

t I v

TH TH

SC

= + = +

SC TH

TH

I

L t R L i t R dt i

d ( ) + ( ) =

(8.3-2)

First order differential equation

KCL

노튼 등가회로

(6)

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C R

V C R

t t v dt v

d

TH OC TH

= + ( ) ) (

SC TH

TH

I

L t R L i t R dt i

d ( ) + ( ) =

t K t x dt x

d + =

τ ) ) ( (

- τ : Time constant 1차 미분방정식의 해(변수분리형)

1차 미분방정식의 해(변수분리형)

τ τ ⁽ ⁾ )

( K x t

dt t

dx = −

τ τ

dt x K

dx =

− dt D

K x

dx = − +

− ∫

∫ _τ _τ ¹

적분상수

( ^x − ^K ) = − ^t + ^D τ τ ¹

ln ^t ^D ^t _D

e e e K

x − τ =

⁻^τ⁺

=

⁻^τ

⋅

1 1

τ ^Ae τ ^t

K

x = + ⁻

1차 미분방정식의 표준형

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 17

τ ^Ae

τ

^t

K

x = + ⁻ 여기서 A는 회로의 초기조건으로부터 구한다.

t=0 의 순간에서

A K Ae K

x ( 0 ) = τ + ⁻ ^τ ⁰ = τ +

[ τ ] ^τ

τ x K e ^t

K t

x ( ) = + ( 0 ) − ⁻

τ K x A = ( 0 ) −

(8.3-4)

τ K t x x ( ∞ ) =

t

lim ₋ _> _∞ ( ) =

[ ^x ^x ] ^e

^τ

^t

x t

x ( ) = ( ∞ ) + ( 0 ) − ( ∞ )

⁻

시정수(Time Constant) 오랜 시간 경과후

응답에서 Time Constant를 구하는 방법 : 앞의 해를 미분하면

[ ^x ^x ] ^e ^τ

^t

_τ [ ^x ^x ] ^e ^τ

^t

dt x d dt t d dt x

d ( ) = ( ∞ ) + ( 0 ) − ( ∞ ) ⁻ = − 1 ( 0 ) − ( ∞ ) ⁻

[ ⁽ ⁰ ⁾ ⁽ ⁾ ]

) 1 (

0 ∞

−

=

x x t

dt x d

t

τ

0 ) (

) 0 ( ) (

=

−

= ∞

t

t dt x d

x

τ x

_(8.3-5)

[ ^x ^x ] ^e ^τ

^t

x t

x ( ) = ( ∞ ) + ( 0 ) − ( ∞ ) ⁻

(7)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 19

Figure 8.3-3

A graphical technique for measuring the time constant of a first-order circuit.

식(8.3-4)의 그래프

0 ) (

) 0 ( ) (

=

−

= ∞

t

t dt x d

x τ x

[ τ ]

^τ

τ x K e

^t

K t

x ( ) = + ( 0 ) −

⁻

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 20

1차 미분방정식의 해를 이용한 RC 회로의 적용

) ( ) ( t v t

x =

C R

_TH

τ = R C

K V

TH

=

OC

식(8.3-4)에 대입

[ τ ]

^τ

τ x K e

^t

K t

x ( ) = + ( 0 ) −

⁻

[ ^OC ] ^R ^t ^C

OC v V e

^TH

V t

v ( ) = + ( 0 ) − ⁻

^(8.3-6)

완전응답 강제응답 자연응답

) 0 ( ) ( , 0 v t v

t = =

OC

v V

V t v

t = 5 τ , ( ) = 0 . 9933 + 0 . 0067 ( 0 ) ≅ C R

V C R

t t v dt v d

TH OC TH

= + ( ) ) (

1차 미분방정식의 해를 이용한 RL 회로의 적용

) ( ) ( t i t

x = τ = L R

TH

SC TH

R I K

=

L

식(8.3-4)에 대입

[ ^τ ] ^τ

τ x K e

^t

K t

x ( ) = + ( 0 ) − ⁻

[ SC ] ^R ^L ^t

SC

TH

e I i I t

i ( ) = + ( 0 ) − ⁻

^(8.3-7)

완전응답 강제응답 자연응답

SC TH

TH

I

L t R L i t R dt i

d ( ) + ( ) =

(8)

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Figure 8.3-4

(a) A first-order circuit and (b) an equivalent circuit that is valid after the switch opens. (c) A plot of the complete response, v(t), given in Eq.

8.3-8.

Example 8.3-1 Example 8.3-1

스위치가 개방된 후의 커패시터 전압?

개방 후 50[ms] 시점의 커패시터 전압은?

Sol.

상황 : 커패시터에 2[V]의 전압이

일정하게 유지. (초기조건) v ( 0 ) = 2 [ V ] ]

[ 8 V

V

_oc

= R

_TH

= 10 [ k Ω ]

] [ 20 ] [ 10 20 10 2 10

10

³ ⁶ ³

s ms

C

R

_TH

= × × × = × =

=

⁻ ⁻

τ

식(8.3-6)을 사용 ^v ⁽ ^t ⁾ ⁼ ^V

^OC

⁺ [ ^v ⁽ ⁰ ⁾ ⁻ ^V

^OC

] ^e

⁻^R^TH^t^C

] [ 6 8 )

( t e ²⁰ ¹⁰

³

V v

t

×

−

− −

=

] [ 51 . 7 6 8 ) 05 . 0

(

³

3 10 20

10 50

V e

v = −

⁻

=

−

×

− ×

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Figure 8.3-4

(c) A plot of the complete response, v(t), given in Eq. 8.3-8.

] [ 6 8 )

( t e ²⁰ ¹⁰

³

V v

t

× −

−

=

] [ 51 . 7 6 8 ) 05 . 0

(

³

3

10 20

10 50

V e

v = −

⁻

=

−

×

− ×

직접 해석 직접 해석

) ( )

( v t

dt C d t i =

) ( ) ( )

( )

( v t v t

dt C d R t v t i R

V

_OC _TH _TH

 +



 



=  +

=

C R

V C R

t t v dt v

d

TH OC TH

= + ( ) ) (

] [ 2 ) 0

( V

v =

1) 초기조건

2) 회로방정식

(9)

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(

OC

)

TH

V t C v t R dt v

d = − 1 ( ) − )

(

( ^v ^t ^V

OC

) ^dv ^t ^R

TH

^C ^dt

) 1 ) (

(

1 = −

−

C R

V C R

t t v dt v d

TH OC TH

= + ( ) ) (

( ^v ^t ^V

OC

) ^dv ^t ^R

TH

^C ^dt ^D

+

−

− = ∫

∫ ₍ ₎ ¹ ⁽ ⁾ ¹ ( ^v ^t ^V ) _R _C ^t ^D

TH

OC

= − +

− 1

) ( ln

C t R t D

C D R C t R

OC e

^TH

e

^TH

e A e

^TH

V t v

1 1

1 )

( − = ⁻ ⁺ = ⁻ = ⁻

C t R

OC A e

^TH

V t v

1 )

( = + ⁻

초기조건을 대입하여 계수 A를 구함 2 = V

_OC

+ A e

0

6 8 2 − = −

= A

C t R

_TH

e t

v

1

6 8 )

( = −

⁻

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 26

Figure 8.3-5

(a) A first-order circuit and (b) an equivalent circuit that is valid after the switch closes. (c) A plot of the complete response, i(t), given by Eq.8-3-9.

Example 8.3-2 Example 8.3-2

스위치 동작 후의 인덕터 전류?

인덕터 전류가 2[mA]에 도달하는 시간?

Sol.

상황 : 인덕터 초기전류 (초기조건) i ( 0 ) = 0 [ A ] ]

[ 4 mA

I

_SC

= R

TH

= 1000 [ Ω ]

] [ 5 ] [ 10 5 1000 / 10 5

/ R

³ ⁶

s s

L

_TH

µ

τ = = ×

⁻

= ×

⁻

=

식(8.3-7)을 사용

SC

[

SC

]

^R^L^t

TH

e I i I t

i ( ) = + ( 0 ) − ⁻

[ ] ⁰ ⁴ ⁴ ¹ ^[ ^]

4 )

( t e ⁵ ¹⁰

⁶

e ⁵ ¹⁰

⁶

mA

i

t t

 





 



 −

=

− +

= ⁻ ^×

⁻

⁻ ^×

⁻

] [ 1

4 )

( t e ⁵ ¹⁰

⁶

mA i

t

 





 



 −

= ⁻ ^×

⁻

 





 



 −

= 4 1

⁻⁵^×¹⁰⁻⁶

2

t

e 에서 t 를 구하면



 



× 

−

= ⁻

2 ln 1 10

5 ⁶

t

] [ 47 . 3 ] [ 10 47 .

3 × ⁶

s

=

µ s

= ⁻

(10)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 28

Figure 8.3-6

(a) A first-order circuit. The equivalent circuit for (b) t< 0 and (c) t > 0.

Example 8.3-3 Example 8.3-3

스위치가 닫힌 후, 커패시터의 전압?

초기조건 등가회로

] [ 2 . 7 60 12 40 ) 60 0

( V

v × =

= +

] [ 8 60 12 30

60 V

V

TH

× =

= +

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 29

스위치 동작 후의 등가회로

] [ 8 V

V

oc

= R

_TH

= 20 [ k Ω ]

] [ 40 ] [ 10 40 10 2 10

20

³ ⁶ ³

s ms

C

R

TH

= × × × = × =

=

⁻ ⁻

τ

식(8.3-6)을 사용 v ( t ) = V OC + [ v ( 0 ) − V OC ] e ⁻ ^R

^TH

^t ^C

] [ 8

. 0 8 )

( t e

⁴⁰¹⁰

³ V

v

t

×

−

=

Figure 8.3-7

(a) A first-order circuit. The equivalent circuit for (b) t< 0 and (c) t > 0.

Example 8.3-4 Example 8.3-4

스위치가 닫힌 후, 인덕터의 전류?

초기조건

] [ 10 300 40 ) 12 0

(

³

A

i = = ×

⁻

] [ 10 200 60 12

3

A I

_SC

= = ×

⁻

60 mA

(11)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 31

] [ 10 200 60

12

3

A

I

SC

= = ×

−

R

TH

= 200 [ Ω ] ] [ 25 ] [ 10 25 200 / 10 5

/ R

³ ⁶

s s

L

TH

µ

τ = = ×

⁻

= ×

⁻

=

식(8.3-7)을 사용 ⁱ ( ^t ) = ^I

^SC

+ [ ⁱ ( 0 ) − ^I

^SC

] ^e

⁻^R^L^TH^t

[ ⁴⁰ ⁶⁰ ] ^[ ^] ⁶⁰ ²⁰ ^[ ^]

60 )

( t e ²⁵ ¹⁰

⁶

mA e ²⁵ ¹⁰

⁶

mA

i

t t

−

− ×

−

=

− +

=

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 32

Figure 8.3-8

(a) A first-order circuit, (b) the circuit after the switch opens, and (c) the equivalent circuit after the switch opens.

Example 8.3-5 Example 8.3-5

초기조건

] [ 2 ) 0

(

V

v

=

4V

스위치 개방 후의 전류?

1) 커패시터의 전압을 구한다.

2) 입력과 커패시터 전압에 의한 마디방정식 또는 메시방정식으로부터 전류를 구한다.

] [ 4 60 8 60

60 V

V

_TH

× =

= +

] [ 60 60 30 60

60 60 + × + = Ω

= k

R

_TH

] [ 4 V V

_OC

=

] [ 120 ] [ 10 120 10 2 10

60

³ ⁶ ³

s ms

C

R

_TH

= × × × = × =

=

⁻ ⁻

τ

식(8.3-6)을 사용 ^v

(

^t

)=

^V

^OC+

[ ^v

(0)−

^V

^OC

] ^e

⁻^R^TH^t^C

] [ 2

4 )

( t e ¹²⁰ ¹⁰

³

V v

t

×

−

− −

=

마디전압 해석법 적용

4V

(12)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 34

] [ 2

4 )

( t e ¹²⁰ ¹⁰

³

V v

t

×

−

− −

=

10 0 30

) ( 10 60 10 60

8 3 3

3 =

× + − + ×

×

− v v v t

v

a a a

마디방정식

[ ⁽ ⁾ ] ⁰

2 8 + + − =

− v v v t

v

a a a

10

3

4 120

) 2 (

2 + 1 = − ⁻ ^×

⁻

=

t

a

v t e

v

] [ 7 . 16 7 . 10 66 60 4

10 ) 60

(

³

3

10 120 3

10 120

3 e A

v e t i

t t

a ⁻

µ

−

− ×

−

× =

 





 



 −

× =

=

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 35

Example 8.3-6 Example 8.3-6

스위치가 개방된 후의 커패시터 전압?

개방 후 50[ms]일 때의 커패시터 전압?

Sol)

상황 : 커패시터에 2[V]의 전압이

일정하게 유지. (초기조건) v ( 0 ) = 2 [ V ] ]

[ 8 V

V

_oc

= R

_TH

= 10 [ k Ω ]

] [ 20 ] [ 10 20 10 2 10

10

³ ⁶ ³

s ms

C

R

_TH

= × × × = × =

=

⁻ ⁻

τ

식(8.3-6)을 사용 ^v

(

^t

)=

^V

^OC+

[ ^v

(0)−

^V

^OC

] ^e

⁻^R^TH^t^C

] [ 6 8 )

( t e ²⁰ ¹⁰

³

V v

t

×

−

− −

=

] [ 51 . 7 6 8 ) 05 . 0

(

³

3

10 20

10 50

V e

v = −

⁻

=

−

×

− × 스위치가 t=50[ms]에서

개방하는 것을 제외하고는 예제 8.3.1과 동일

] [ 6 8 )

( t e

²⁰¹⁰³

V v

t

× −

−

=

] [ 51 . 7 6

8 ) 05 . 0

(

³

3

10 20

10 50

V e

v = −

⁻

=

−

×

− ×

(13)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 37

Example 8.3-7 Example 8.3-7

스위치 동작 후의 인덕터 전류?

인덕터 전류가 2[mA]에 도달하는 시간?

Sol.

상황 : 인덕터 초기전류 (초기조건) i ( 0 ) = 0 [ A ] ]

[ 4 mA

I

SC

= R

TH

= 1000 [ Ω ]

] [ 5 ] [ 10 5 1000 / 10 5

/ R

³ ⁶

s s

L

_TH

µ

τ = = ×

⁻

= ×

⁻

=

식(8.3-7)을 사용

SC

[

SC

]

^R^L^t

TH

e I i I t

i ( ) = + ( 0 ) − ⁻

[ ] ⁰ ⁴ ⁴ ¹ ^[ ^]

4 )

( t e ⁵ ¹⁰

⁶

e ⁵ ¹⁰

⁶

mA

i

t t

 





 



 −

=

− +

= ⁻ ^×

⁻

⁻ ^×

⁻

스위치가 t=10[us]에서 개 방하는 것을 제외하고는 예제 8.3.2와 동일

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 38

[ ] ⁰ ⁴ ⁴ ¹ ^[ ^]

4 )

( t e

⁵¹⁰⁶

e

⁵¹⁰⁶

mA

i

t t

 





 



 −

=

− +

=

⁻^× ⁻ ⁻^× ⁻

 





 



 −

= 4 1 ⁻ ⁵ ^× ¹⁰

⁻⁶

2

t

e

 

 



× 

−

=

⁻

2 ln 1 10

5

⁶

t

] [ 47 . 3 ] [ 10 47 .

3 ×

⁶

s = µ s

=

⁻

Figure E 8.3-1

Exercise 8.3-1 Exercise 8.3-1

] [ 3 ) 0

( V

v = V

OC

= 2 R

TH

= 8

초기조건

] [ 10 4 . 0 10 05 . 0

8 ⁶ ⁶ s

C

R

_TH

= × × ⁻ = × ⁻

τ = [

OC

]

^R^t^C

OC

v V e

^TH

V t

v

()= + (0)− ⁻

[ ] ^e ^τ ^t ^e ^τ ^t

t

v ( ) = 2 + 3 − 2

⁻

= 2 +

⁻

(14)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 40

Exercise 8.3-2 Exercise 8.3-2

Figure E 8.3-2

초기조건

] [ 3 / 1 ) 0

( A

i =

= 2 V

OC

= 8 R

TH

] [ 75 . 0 4 / 3 8 / 6

/ R s

L

TH

= = =

τ =

등가회로

] [ 4 /

1 A

I

SC

=

[

SC

]

^R^L^t

SC

TH

e I i I t

i

()= + (0)− ⁻

[ ] ^e ^τ

^t

^e ^τ

^t

t i

−

⋅ +

=

− +

= 1 / 4 1 / 3 1 / 4 1 / 4 1 / 12 )

(

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 41

Exercise 8.3-3 Exercise 8.3-3

Figure E 8.3-3

초기조건

] [ 1 . 1040 0 160

120 10 40 16

10 16

10 12 16

10 ) 0

( A

i =

= + + +

× +

=

스위치 동작 후 등가회로

] [ 5 . 0 40 / 20

/ R s

L

_TH

= =

τ =

[

SC

]

^R^L^t

SC

TH

e I i I t

i

()= + (0)− ⁻

[ ] ^e ^τ ^t ^e ^τ ^t

t

i ( ) = 0 . 3 + 0 . 1 − 0 . 3 ⁻ = 0 . 3 − 0 . 2 ⋅ ⁻

Exercise 8.3-4 Exercise 8.3-4

Figure E 8.3-4

초기조건

] [ 12 ) 0

( V

v =

스위치 동작 후의 회로

= 12

V

OC

R

TH

= 200

] [ 10 4 10 20

200

⁶ ³

s

C

R

TH

= × ×

−

= ×

−

= τ

[

^OC

]

^R^t^C

OC

v V e

^TH

V t

v

()= + (0)− ⁻

[ ¹² ¹² ] ¹² ^[ ^]

2 1 )

( t e V

v

t

=

− +

= ⁻ ^τ

(15)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 43

Exercise 8.3-5 Exercise 8.3-5

Figure E 8.3-5

Sol.

1) 스위치가 동작한 후의 인덕터 전류를 구하고 2) 옴법칙을 활용하여 전압을 구한다.

초기조건 i ( 0 ) = 0

스위치 동작 후 등가회로

9[V]

5[Ω]

45[Ω]

1/5[A]

] [ 9 / 5 45 / 25

/ R s

L

TH

= =

τ =

[ ⁰ ⁰ ^. ² ] ⁰ ^. ² ⁰ ^. ² ^[ ^]

2 . 0 )

( t e e A

i

t t

τ τ

−

⋅

−

=

− +

=

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 44

[ ⁰ ⁰ ^. ² ] ⁰ ^. ² ⁰ ^. ² ^[ ^]

2 . 0 )

( t e e A

i

t t

τ

τ ⁻

−

⋅

−

=

− +

=

] [ 8

2 . 5 0 25 9 ) 2 . 0 2 . 0 ( 40

25 ) ( 40 ) (

V e

e e

dt t di i t v

t

t t

τ

τ τ

−

+

=

×

× +

⋅

−

×

= +

×

=

Exercise 8.3-6 Exercise 8.3-6

Figure E 8.3-6

Sol.

1) 인덕터 전류 2) 전압

(1) 초기조건

] [ 5 . 0 ) 0

( A

i =

(2) 스위치 동작 후의 등가회로

] [ 600 60

100 V

v

_OC

= × =

(16)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 46

] [ 10 15625 . 0 640 / 1 . 0

/ R

³

s

L

TH

= = ×

−

τ =

(3) 시정수 (4) 전류 해

[ ] ^e ^τ

^t

^e ^τ

^t

t i

−

+

=

− +

= 0 . 09375 0 . 5 0 . 09375 0 . 09375 0 . 40625 )

(

(5) 전압 구하기

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 47

τ

t

e t

i ( ) = 0 . 09375 + 0 . 40625 ⁻

] [ 5 . 97 5 . 37

40625 . 1 0 . 0 1 640 . 0 ) 40625 . 0 09375 . 0 ( 400

1 . 0 ) ( 400 ) (

V e

e e

dt t di i t v

t

t t

τ

τ τ

−

=

− ×

× + +

×

= +

×

=

] [ 10 15625 . 0 640 / 1 . 0

/ R

³

s

L

TH

= = ×

−

τ =

Figure 8.4-1

(a) A circuit with sequential switching. (b) The equivalent circuit before t= 0. (c) The equivalent circuit for 0 < t < l ms. (d) The equivalent circuit after t = 1 ms.

8.4 Sequential Switching 8.4 Sequential Switching

동일 회로 내에서, 다른 시각에 동작하는 2개 이상의 스위치 동작

10 ) (

t

=

i

10 ) 0 ( ) 0 (⁺=

i

⁻ =

i

(17)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 49

Sol.

] [ 1 0 < t < ms

= 0 I

SC

] [ 10 ) 0 ( ) 0

( i A

i

⁺

=

⁻

=

= 2 R

TH

] [ 1 ] [ 10 1 2 / 10

2 × ³ = × ³ s = ms

= ⁻ ⁻

τ

[ ¹⁰ ⁰ ] ¹⁰ ^[ ^]

0 )

( t e e A

i

t t

τ τ

−

=

− +

=

t=1[ms] 에서 회로 변화 Æ 이 때의 상태 조건(초기조건)이 요구

] [ 68 . 3 10 ) 1

( ⁰ ^. ⁰⁰¹

001 . 0

A e

i = ⁻ =

초기조건

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 50

] [ 68 . 3 ) 1 ( ) 1

( i A

i + = − =

] [ 1 < t ms

= 0

I

SC

R

TH

= 1

] [ 2 ] [ 10 2 1 / 10

2 × ³ = × ³ s = ms

= ⁻ ⁻

τ

[ ³ ^. ⁶⁸ ⁰ ] ³ ^. ⁶⁸ ^[ ^]

0 )

( t e e A

i

t t

τ τ

−

=

− +

=

초기조건

Figure 8.4-2

Current waveform for t≥ 0. The exponential has a different time constant for 0 ≤ t < t1 and for

] [ 68 . 3 )

( t e A

i

t

τ

−

= ] [ 10 )

( t e A

i

t τ

−

= τ = ^{1 ms} ^[ ^]

] [

= 2 ms

τ

(18)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 52

Figure 8.4-3 A comparator.

= ) (t

v _O ^V

^H

^v ⁺ ^{> v} ⁻

− + < v v V

L 비교기(Comparator)의 동작 비교기(Comparator)의 동작

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 53

Figure 8.4-4

A comparator is used to compare the capacitor voltage, vc(t), to a threshold voltage, VT.

1차 회로를 사용한 비교기

) 0

C

(

T

A

V v

V > >

초기 가정 :

= ) (t

v

_O ^H ^C ^T

V t v V ( ) >

T C

L

v t V

V ( ) <

[ ^C ^A ] ^τ ^t

A

C t V v V e

v ( ) = + ( 0 ) − ⁻

비교기의 출력이 변화되는 시각계산 t

1

[ ^C ⁽ ⁰ ⁾ ^A ] ^τ ^t

¹

A

T V v V e

V

−

− +

=

 

 





−

= −

A T

A C

V V

V t v ( 0 )

1 τ ln ^(8.4-1)

(19)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 55

Figure 8.4-5

The initial capacitor voltage is vc(0) = 1.667 volts, and the comparator output is to switch from VL= 0 to VH= 5 volts at time t1= 1 ms.

Exam. 8.4-1 Exam. 8.4-1

] 3 [ 667 5 . 1 ) 0

( V

v

_C

= =

에서 출력이 변화하기 위한 R?

] [

1

1 ms

t =

Sol. 식 (8.4-1)을 사용

001 . 0 ) 2 ln(

5 10 3 / 10

5 3 / ln 5 10 ) 1

0 ln (

⁶ ⁶

1

  = × =

 

−

× −

×

 =



 





−

= − R

⁻

R

⁻

V V

V t v

A T

A

τ

C

R에 대해서 풀면 1 . 44 [ ]

10 ) 2 ln(

10 1

6 3

Ω

× =

= × ⁻ ₋ k

R

[

C

⁽ ⁰ ⁾

A

] ^τ

^t¹

A

T

V v V e

V = + − ⁻

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 56

Figure 8.4-6

A comparator is used to compare the resistor voltage, vR(t), to a threshold voltage, VT.

Exam. 8.4-2 Exam. 8.4-2

) (t v

R

v

T

) 0

L

(

T

A

V Ri

V > >

일 때, 비교기 출력전압이 바뀌는 시각은?

Sol. v

_R

( t ) = Ri

_L

( t )

Lt R A L A

L

e

R i V R t V

i 

⁻



 



 −

+

= ( 0 )

) (

t

1

은 Ri

_L

( t ) = V

_T

일 때의 시각

(

L

⁽ ⁰ ⁾

A

)

^L^R^t¹

A

T

V Ri V e

V = + −

⁻



 





−

= −

A T

A L

V V

V Ri R t

₁

L

ln (0)

Exercise 8.4-1 Exercise 8.4-1

] [ 5 . 1 ) 0

(

V

v

c =

비교기 출력이 t

1

=1[ms]에서 변화되기 위한 V

T

값은?

Sol.

[ ⁽ ⁰ ⁾ ] ⁵ [ ¹ ^. ⁵ ⁵ ]

³ ⁶

² ^. ⁸⁸ ^[ ^]

3 1

10 1 10 2

10 1

V e

e V v V V

t A C A

T = + − = + −

⁻

=

−

×

− −

τ

(20)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 58

Exercise 8.4-2 Exercise 8.4-2

Figure E 8.4-2

] [ 1 ) 0

(

mA

i

L =

비교기 출력이 t

1

=10[ms]에서 변화되기 위한 L 값은?

Sol.

_



 



 



 



 −

+

=

×

= A L ^A ⁻^L^R^t

L

R

e

R i V R t V i t

v

() 300 () 300 (0)

5 . 500 1

10 5 500 1

300 5 ³ ⁵⁰⁰¹⁰¹⁰³=



 



 



 



× − +

= ⁻

e

⁻^L ^×⁻

] [ 51 . 8 5 10 500

5 5 . 0 ln 5

5

500 10 5 1

500 5 300

5 . 1 ln

5

3 3

H

L

=



 





−

× −

×−

=













−

×

−

= −

−

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 59

8.5 Stability of First-Order Circuits 8.5 Stability of First-Order Circuits

1차 회로의 자연응답 ^τ

t

n

t Ke

x ( ) = ⁻

1차 회로의 완전 응답 = 자연응답 + 강제응답 x ( t ) = x

_n

( t ) + x

_f

( t )

자연응답

: 자연응답은 영으로 수렴 Æ 안정

∞

→

>0,

t

τ

∞

→

<0,

t

τ

: 자연응답은 무한값으로 발산 Æ 불안정

안정된 1차 회로의 설계 = = > 0

TH C L R TH

τ R

회로 구성에 있어서 등가저항은 음의 값을 가질 수도 있다 : 연산증폭기, 트랜지스터 등의 종속전원이 포함된 회로

Figure 8.5-1

(a) A first-order circuit containing a dependent source. (b) The circuit used to calculate the initial condition.

(c) The circuit used to calculate V_oc. (d) The circuit used to calculate R_TH.

Exam. 8.5-1 Exam. 8.5-1

종속전원이 포함된 회로에서 스위치 동작 후의 커패시터 전압을 구하라?

Sol.

초기조건 계산 등가회로

초기조건계산Æ 테브난 등가회로Æ 정상응답

종속전류원

마디에서 KCL 적용

0 ) ( 2 ) ( t − i t = i

0 ) 0 ( = i

] [ 12 ) 0

( V

v =

(21)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 61

Figure 8.5-1

(a) A first-order circuit containing a dependent source. (b) The circuit used to calculate the initial condition.

(c) The circuit used to calculate Voc. (d) The circuit used to calculate RTH.

스위치 동작 후 테브난 등가회로

v

OC _{루프의 전압방정식}

i i

i + × × − = − × ×

×

= 5 10

³

10 10

³

( ) 5 10

³

12 ] [ 10 4 .

2 ³ A

i = − × ⁻

] [ 24 10 10 )

( i ³ V

v

_OC

= − × × =

종속전원이 있을 경우 등가저항은?

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 62

등가저항을 구하기 위한 등가회로

외부전원인가

T TH

V

T

I R =

전압방정식 : ⁵ ^× ¹⁰

³

ⁱ ⁺ ( ¹⁰ ^× ¹⁰

³

) ^× ⁽ ^I

^T

⁺ ⁱ ⁻ ² ⁱ ⁾ ⁼ ⁰ ^{i 2} ⁼ ^I

^T

( ¹⁰ ^× ¹⁰ ³ ) ^× ( ⁺ ⁻ ² ) ( ) ⁼ ⁻ ^× ¹⁰ ^× ¹⁰ ³

=

T T

T

I i i I

V

] [ 10 10 × ³ Ω

−

=

T

TH

V

T

I

R 등가저항이 음수로 됨

Æ 불안정한 회로

10

3

12 20

24 )

( = − ^×

⁻

t

e t

v

회로가 불안정할 경우 강제응답을 정상상태 응답으로 간주하는 것은 적절하지 못함

] [ 24 10 10 )

( i ³ V

v

_OC

= − × × = ] [ 10 10 × ³ Ω

−

=

T

TH

V

T

I

R

(22)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 64

Figure 8.5-2

(a) A first order circuit containing a dependent source. (b) The circuit used to calculate the Thévenin resistance of the part of the circuit connected to the capacitor.

Exam 8.5-2 Exam 8.5-2

이 회로가 안정하기 위한 종속전원의 계수 B=?

회로의 시정수는 20[ms]가 되도록 설계.

Sol.

초기조건은 앞의 예제와 동일 테브난 등가저항 계산으로부터 해를 구한다.

테브난 등가저항 계산을 위한 회로

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 65

전압방정식

:

5 × 10

³

i + V

T

= 0

₃

5× 10

−

= V

^T

i

종속전원 상위마디에 KCL 0

10 10

³

− = + × +

− i Bi V

T

I

T

10 0 10

1 10 5

1

3

 − =



 



 + ×

×

−

T T

I B V

B B V I

R

T TH T

2 3

10 10

1 10 5

1 1

³

3

−

= ×

 

 



 + ×

× −

=

등가저항이 양의 값이 되기 위한 조건은

B < 3 / 2

시정수 20[ms]의 조건으로부터

] [ 10 10 10 2

10 20 3

6 3 = × Ω

× ×

=

= ₋ ⁻

R

TH

C τ

3 3

10 2 10 3

10 10 = ×

−

= ×

R

_TH

B B = 1

결과적으로 B=1 이면 회로는 안정하게 동작한다.

(23)

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 67

Figure 8.6-1

Application of a constant-voltage source at t = t0using two switches both acting at t= t0.

8.6 The Unit Step Source 8.6 The Unit Step Source

t 0

t < Output = 0 t 0

t > Output = 1 ^{단위계단함수}

 



>

= <

−

0 0

0 1

) 0

( t t

t t t

t

u (8.6-1)

t=t

0

에서는 크기가 정의되지 않으며, 순간적으로 0Æ1로 변함.

Figure 8.6-2

Unit step forcing function. u(t −t0).

t 0

t <

t 0

t >

= 0 v

V 0

v =

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 68

Figure 8.6-1

Application of a constant-voltage source at t = t0using two switches both acting at t= t0.

) ( )

( t V u t t ₀

v = _O −

Figure 8.6-3

Single-switch equivalent circuit for the step voltage source.

Figure 8.6-4

Symbol for the step voltage source of magnitude V0applied at t = t0.

계단 전압원 기호

• 계단응답

회로의 초기조건은 영 상태에서 계단 전압원이 공급될 때의 회로 응답

The Complete Response of RL and RC Circuits

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 1

Chapter 8