부정정구조 : 반력의 수가 평형방정식의 수 보다 많은 경우

제 10 장 부정정 보

10.1 소개

부정정구조 : 반력의 수가 평형방정식의 수 보다 많은 경우

부정정구조의 해석을 위해서는 평형방정식 이외에

적합방정식/힘-변위 방정식을 이용한 추가적인 조건식 필요

10.2 부정정 보의 형태

(a): 평형식 3 개, 미지의 반력 4 개

평형식의 수를 초과하는 반력의 수  부정정 차수

* 중첩법

그림 (a) : 원구조물

 모든 하중이 수직하중인 경우

평형식 2 개, 미지의 반력 3 개  1 차 부정정

R

가 여분력  이완구조물은 캔틸레버

M

가 여분력  이완구조물은 단순보

 양단고정보

평형식 3 개, 미지의 반력 6 개  3 차 부정정

B 점의 3 개의 반력 이완  캔틸레버

양단 모멘트와 B 점 수평력 이완  단순보

 수직하중만 작용하는 양단고정보

평형식 2 개, 미지의 반력 4 개  2 차 부정정

 연속보

평형식 3 개, 반력 4 개

 1 차 부정정

R

를 여분력으로 선택

 단순보

R 를 여분력으로 선택

10.3 처짐 곡선의 미분방정식 해석

처짐곡선의 미분방정식 적분; 미지수는 적분상수 및 미지의 반력.

 예제 10-1

문제

처짐곡선의 2 계 방정식을 풀어서 보의 반력, 전단력, 굽힘모멘트, 기울기, 처짐을 구하기

풀이

미지의 반력 3 개 ( R

, R

, M

)

평형식 2 개  1 차 부정정

R

를 여분력으로 선택하고 평형방정식을 풀면,

2

2

A B A B

R  qL  R M  qL  R L

2 2 2

2 2 2

A A B B

qx qL qx

EIv   M  R x  M   qLx  R x   R L 

2

2 2 3

2 2 2 6

B

B

R x

qLx qL x qx

EIv      R Lx   C

3 2

3 2 2 4

1 2

6 6 4 2 24

B B

R x R Lx

qLx qL x qx

EIv       C x  C

미지수: C

, , C

R

; 3 개의 경계조건이 필요함.

(0) 0, (0) 0, ( ) 0 v  v   v L 



3

0, 0,

B

8

C  C  R  qL _ 5

8 , 8

A A

qL qL

R  M 

5

A

8

V  R  qx  qL  qx

2 2 2

5

2 8 8 2

A A

qx qLx qL qx

M  R x  M    

max

(0) 5

8 V  V  qL

2

 

5 9

, 0

8 128 8

pos neg

L qL qL

M  M      M  M  

 

Note: ^{M L}  ^{/ 4}  ^{ 0}

2 2

( 6 15 8 )

48

v qx L Lx x

  EI    _,

(3

5 2

)

48

v qx L Lx x

  EI  



가 발생하는 점 x

_은 v  0 혹은  6 L

 15 Lx  8 x

 0 _

15 33

0.5785 x   16 L  L

4 4 4

max

( )

(39 55 33) 0.005416

65.536 184.6

qL qL qL

v x EI EI EI

      

변곡점: 0

4 M      L

  ^{으로부터,}

4 4

0

( / 4) 5 0.002441 2048

qL qL

v L EI EI

    

마지막으로

3

'( ) 48

B

v L qL

   EI

 예제 10-2

문제

처짐곡선의 4 계 방정식을 풀어서 보의 반력, 전단력, 굽힘모멘트, 기울기, 처짐을 구하기

풀이

미지의 반력 4 개 ( R

, , , ) R

M

M

평형식 2 개  2 차 부정정

대칭조건을 경계조건으로 사용할 수 있음 : ,

A B

2

R  R  P M  M

M

를 여분력으로 선택.

'''' 0 (0 / 2) EIv    q   x L

EIv   C

_(i)

1 2

EIv   C x  C _(j)

2 1

2 3

2

EIv   C x  C x  C _(k)

3 2

1 2

3 4

6 2

C x C x

EIv    C x  C _(l)

미지수: C

, , , , C

C

C

M

; 5 개의 조건이 필요함.

(1) 보의 좌측부분에서 전단력은 R

 P / 2

 (i) 식으로부터 C

 P / 2

(2) 좌측 지지점의 모멘트 M (0)   M

 (j) 식으로부터 C

  M

(3) 좌측 지지점의 기울기  (0)  0

 (k)식으로부터 C

 0

(4) 보의 중앙점에서의 기울기  ( / 2) L  0 _(대칭성)

 (k)식으로부터

A B

8

M  M  PL

(5) 좌측 지지점의 처짐  (0)  0

 (l)식으로부터 C

 0

요약하면,

, ,

0,

0

2

8

P PL

C  C   M   C  C  / 2 (0 / 2)

EIv    V P   x L , (0 / 2)

2 8

Px PL

EIv   M     x L

( 2 ) (0 / 2) 8

v Px L x x L

   EI    ,

2

(3 4 ) (0 / 2) 48

v Px L x x L

  EI   

3 max

( / 2)

PL 192

v L EI

   

변곡점은 M x ( )  0 _{인 점, 즉} x  L / 4 _{에서 발생}

3 0

( / 4)

384 v L PL

    EI _(Note:

max

2

   ₎

10.4 중첩법

1) 부정정 차수를 알아내어 여분력을 선택하여 이완구조물 구성 2) 평형방정식을 세움

3) 원래 하중과 여분력이 각각 이완구조물에 작용한다고 가정

4) 두 하중시스템의 처짐을 중첩하여 이완구조물의 처짐을 구함

5) 여분력 지점에서의 기하학적 조건으로 적합방정식을 세움

6) 여분력을 계산하고, 나머지 미지량을 구함



R

를 여분력으로 할 경우

평형방정식으로부터

2

2

A B A B

R  qL  R M  qL  R L

B 점에서의 지지점을 제거하여 이완구조물 구성.

등분포하중만에 의한 B 점의 처짐 :

4

( )

8

qL

  EI (부록 G-1-경우 1/4) 여분력에 의한 B 점의 처짐 :

3

( )

3

B B

R L

  EI (부록 G-1-경우 1/4) 적합방정식

3 4

1 2

( ) ( ) 0

8 3

B

B B B

R L qL

EI EI

        _ 3

B

8 R  qL

5

8 , 8

A A

qL qL

R  M 



M

를 여분력으로 할 경우 평형방정식으로부터

2 , 2

A A

A B

M M

qL qL

R R

L L

   

A 점에서의 회전을 제거하여 이완구조물 구성.

등분포하중만에 의한 A 점의 회전 :

3

( )

24

qL

  EI (부록 G-2-경우 1/7) 여분력에 의한 A 점의 회전 :

( )

3

A A

M L

  EI (부록 G-2-경우 1/7)

적합방정식

3

1 2

( ) ( ) 0

24 3

A

A A A

M L qL

EI EI

        _

A

8

M  qL

 예제 10-3

문제: 중첩법을 이용하여 보의 모든 지점의 반력 구하기

풀이

R

를 여분력으로 선택 평형식으로부터

2

B

A C

R  R  qL  R

등분포하중만에 의한 B 점의 처짐

4 4

1

5 (2 ) 5 ( )

384 24

B

q L qL

EI EI

   (부록 G-2-경우 1)

여분력에 의한 B 점의 처짐

3 3

(  )  R

(2 ) L  R L

(부록 G-2-경우 4)

 예제 10-4

문제: 중첩법을 이용하여 양단의 반력/모멘트, 하중 작용점의 처짐 

_구하기

풀이

2 차부정정: M

, M

를 여분력으로 선택

평형식으로부터

Pb M

M

,

Pa M

M

R R

L L L L L L

     

적합방정식은

1 2 3

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

A A A A

B B B B

   

   

   

     



하중 P 로 인한 보 양단의 회전각 (표 G-2-경우 5)

1 1

( ) ( )

( ) , ( )

6 6

A B

Pab L b Pab L a

LEI LEI

  ^   ^

여분력 모멘트 M

로 인한 보 양단의 회전각 (표 G-2-경우 7)

2 2

( ) , ( )

3 6

A A

A B

M L M L

EI EI

   

여분력 모멘트 M

로 인한 보 양단의 회전각 (표 G-2-경우 7)

3 3

( ) , ( )

6 3

B B

A B

M L M L

EI EI

   

적합방정식은

( )

3 6 6

( )

6 3 6

A B

A B

M L M L Pab L b

EI EI LEI

M L M L Pab L a

EI EI LEI

   

  

  





2 2

2

,

A B

Pab Pa b

M M

L L

 

Note: 양단고정보의 지지점에서의 반력을 고정단 모멘트(Fixed End Moment), 고정단 힘(Fixed End Force) 라고 부름. 구조해석에서 중요한 의미

D 점에서의 처짐도 각각의 하중에 의한 처짐을 중첩하여 구함

2 2 3 3

1 2 3 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 6 6 3

A B

D D D D

M ab M ab

Pa b Pa b

L b L a

LEI LEI LEI L EI

            

보의 중앙점에 하중이 작용할 때

위 식들에 a   b L / 2 _{를 대입하면}

앞선 예제에서 구한 결과와 일치

즉 ,

8 2

A B A B

PL P

M  M  R  R 

3 C

192

PL

  EI

 예제 10-5

문제: 고정단 모멘트 / 고정단 힘 (지지점에서의 반력모멘트, 반력) 구하기

풀이

등분포하중의 요소 q dx 에 대한 해석은 예제 10-4 의 결과를 중첩하여 구할 수 있다.

즉,

2 2

2

,

A B

Pab Pa b

M M

L L

  _에서

P  q dx _, a  x _, b  L  x

2 2

2 2

( ) ( )

A

,

qx L x dx qx L x dx

dM dM

L L

 

 

2

2 2 2

2 0

( )

(6 8 3 )

12

a

A A

q qa

M dM x L x dx L aL a

L L

       

또한,

2 2

3

( 2 ),

( 2 )

A B

Pb Pa

R L a R L b

L L

    _에서 P  q dx _, a  x _, b  L  x

2 2

3 3

( ) ( 2 ) (3 2 )

A

,

q L x L x dx qx L x dx

dR dR

L L

  

 

2 3 2 3

3 0

( ) ( 2 )

(2 2 )

2

a

A A

q qa

R dR L x L x dx L a L a

L L

        

3 2

3 0

(3 2 )

(2 )

2

a

B B

q qa

R dR x L x dx L a

L L

      

보의 전체 길이에 작용하는 등분포 하중

a  L 를 앞에서 구한 식에 대입하면,

2

12 , 2

A B A B

qL qL

M  M  R  R 

중앙점의 처짐

4 4 4

1 2

( ) ( ) 5

384 96 384

C C C

qL qL qL

EI EI EI

       

Note: 단순보의 경우의 1/5  고정된 양단에 의한 강성증가 효과를 의미함

 예제 10-6

문제: 장력 T 구하기

풀이:

장력 T 를 여분력으로 선택하고 이완구조물 구성 등분포하중만에 의한 C 점의 처짐 :

4

( )

4

b b

qL

  E I (예제 9-9)

장력 T 에 의한 C 점의 상향처짐 :

3 2

( ) 2

C

3

b b

TL

  E I (문제 9.8-5/문제 9.9-3) 장력 T 의한 케이블의 신장량 : (

)

c c

Th

  E A

적합조건 ( 

)

 ( 

)

 ( 

)

_

4 3

2

4

3

qL TL Th

E I  E I  E A

4 3

3

8 12

c c

c c b b

qL E A T  L E A hE I



Note: 이 예제의 경우는 미지의 내력을 여분력으로 사용하였다.

*10.6 보 끝단에서의 길이방향 변위

- 굽힘에 의하여 수평 방향의 길이변화가 발생함 - 그 영향이 미소하므로 보통 무시함

- 구하는 방법과 중요성의 판단법에 대한 고려

 곡률수축

2 2 2

( ds )  ( dx )  ( dv )

2

2 2

( ) ( ) 1 dv

ds dx dv dx

dx

 

       

2 2

1 dv 1 dv 1

ds dx dx dx dx

dx dx

 

     

                  

Note:

2 3

1 1 1 if 1

2 8 16 2

t t t t

t t

         

따라서

2 2

1 1

1 1

2 2

dv dv

ds dx dx dx

dx dx

     

                  

곡률수축

2

0

1 2

L

dv

L AB dx

   ^   ^   dx ^  

 수평반력

- 보의 양단의 움직임이 억제되면 (그림-c)  수평반력 H 가 발생함 - 이 힘 H 에 처짐을 곱한 만큼 굽힘모멘트의 크기를 변화시킴.

- 복합적인 상황으로 인해 정확한 해석은 어려움 (예제)

단순보의 처짐곡선의 근사식:

4 x L ( x )

v L

 

 

이 경우

8

3L

  

수평력은

2 2

8 3

EA EA

H L L

 

 

축응력은

2 2

8

t

3

H E

A L

   

 일반적 유의사항