The Complete Response of Circuits with Two Energy Storage

(1)

2007-10-01

부경대학교 전기제어공학부

1

Chapter 9 The Complete Response of Circuits with Two Energy Storage

Elements

CH. 9 The Complete Response of Circuits with Two Energy Storage Elements

Preview

2 개의 에너지 저장소자가 포함된 회로의 완전응답 Second-Order Differential Equation으로 표시

1) The Direct Method 2) The Operator Method 3) The State Variable Method

2 개 이상의 소자가 있는 경우에도 적용가능

(2)

2007-10-01

3

9.1 Design Challenge

9.2 Communications and Power Systems

9.3 Differential Equation for Circuits with Two Energy Storage Elements 9.4 Solution of the Second-order Differential Equation – Natural Response 9.5 Natural Response of the Unforced Parallel RLC Circuit

9.6 Natural Response of the Critically Damped Unforced Parallel RLC Circuit 9.7 Natural Response of an Underdamped Unforced Parallel RLC Circuit 9.8 Forced Response of an RLC Circuit

9.9 Complete Response of an RLC Circuit 9.10 State Variable Approach to Circuit Analysis 9.11 Roots in the Complex Plan

9.12 Verification Example

9.13 Design Challenge Solution : Auto Airbag Igniter 9.14 Summary

9.1 Design Challenge : Auto Airbag Igniter

초기에 커패시터에 에너지를 저장

진자를 이용하여 저장된 에너지를 저항에 전달– 에어백 확장 저항 R에서 발산되는 에너지는 1[J] 이상

점화시간 0.1[sec] 이내

(3)

2007-10-01

5 Figure 9.2-1 Electrical system.

9.2 Communications and Power Systems

Figure 9.2-2

Marconi with the receiving apparatus used at Signal Hill, 1901. Courtesy of the IEEE Center for the History of Electrical Engineering.

통신시스템

전력시스템

통신시스템 목표: 왜곡되지 않은 신호의 올바른 전달 전력시스템 목표: 에너지 손실을 줄여 효율적인 에너지 전송

전기시스템의 내부에는 에너지 저장소자(인덕턴스와 커패시턴스) 포함

(4)

2007-10-01

7 Figure 9.3-1 An RLC circuit with a current source.

9.3 Differential Equation for Circuits with Two Energy Storage Elements

v

마디방정식

i s

dt C dv R i

v + + =

^(9.3-1)

dt L di

v =

^(9.3-2)

i s

dt L di dt C d dt i di R

L  =



 

 + 

+ i _s

dt i LC d dt i

di R

L + + ² ₂ =

Second order Differential Equation (9.3-3) 직접법

직접법을 이용하여2계 미분방정식을 구하는 방법

1) 첫번째와 두번째 변수 를 선택한다. : 캐패시터 전압이나 인덕터 전류 2) 1계 미분 방정식을 구한다.(식 9.3-1)

3) 또 다른 변수에 대한1계 미분 방정식을 구한다. (식 9.3-2) 4) 위의2 방정식을 이용하여 2계 미분방정식을 구한다. (식 9.3-3)

(5)

2007-10-01

9 Figure 9.3-2 An RLC series circuit.

직접법

루프에KVL을 적용

v s

iR dt v

L di + + =

dt C dv i =

v s

dt R C dv dt v

v

LC d ² ₂ + + =

v s

v LC LC dt dv L R dt

v

d 1 1

2 2

= +

+

^(9.3-5)

변수 설정 : 인덕터 전류, 커패시터 전압

Figure 9.3-3 Circuit with two inductors

연산자법 메시방정식

( i i ) R v s

dt

L di 1 + 1 − 2 =

1 ( 2 1 ) ⁰

2 2 + i − i R =

dt L di

미분연산자를 적용

( ^L ¹ ^s ⁺ ^R ) ⁱ ¹ ⁻ ⁱ ² ^R ⁼ ^v ^s ( 2 ) 2 ⁰

1 + + =

− i R R L s i

크래머공식

( )

( ) ^L ^L ^s ^Rv ^R ( ^L ^L ) ^s

R s L R

R R

s L

R v R s L

i ^s

s

2 1 2 2 1 2

1 1

2

0 +

= + +

−

− +

=

v s

R i R i si

L 1 1 + 1 − 2 =

2 0

2 2

1 + + =

− i R i R L si

변수 설정 : 인덕터 전류

(6)

2007-10-01

11 ( ^L ^L ) ^s

R s L L

i Rv ^s

2 1 2 2 1

2 = + + { ^L ¹ ^L ² ^s ² ⁺ ^R ( ^L ¹ ⁺ ^L ² ) ^s } ⁱ ² ⁼ ^Rv ^s

( )

v s

L L i R L s

L L L s R

2 1 2 2

1 2

2 1 =

 



 

 + +

( )

v s

L L i R L s

L L L i R s

2 1 2 2 1

2 1 2

2

+ + =

( )

v s

L L

R dt

di L L

L L R dt

i d

2 1 2 2 1

2 1 2 2

2 + + =

^(9.3-15)

표9.3-2 2계(차) 미분방정식을 구하는 연산자법

Example 9.3-1

전류

i

₂ 에 대한 미분방정식을 구하라.

Sol) 메시방정식 :

( )

v s

dt i i i 1 + d ¹ − ² =

2 ( ) ₃ ₀

2 2 2

1 − + + =

− i

dt di dt

i i d

( i i ) v s

s

i 1 + 1 − 2 =

2 − s ( i 1 − i 2 ) + si 2 + ³ i 2 = ⁰

( ) ⁻ ⁺ ( ⁺ ) ⁼

(7)

2007-10-01

13 ( s + 2 ) i 1 − si 2 = v s

( ² ³ ) 2 ⁰

1 + + =

− s i s i

( ) ( )

( ² ³ ) ⁷ ⁶

2 0 2

2 2

+

= + +

−

− +

= s s

sv

s s

s v s

i ^s

s

크래머공식 적용

(9.3-16)

( ^s ² ⁺ ⁷ ^s ⁺ ⁶ ) ⁱ ² ⁼ ^sv ^s

dt i dv dt

di dt

i

d _s

= +

+ 2 2

2 2 2

6

7

^(9.3-18)

Figure 9.3-5

The RLC circuit for Example 9.3-2.

Example 9.3-2

전압 에 대한 미분방정식을 구하라.

v

Sol) 마디방정식

0

1

= +

− +

dt C dv R i

v v

_s

dt v L di

Ri + =

1

R

Csv v R i

v

_s

= +

+ ( ^R + ^Ls ) ⁱ = ^v

Ls R v v R Cs R i v v R Cs

s

+ +

 

 



 +

=

 +



 



 +

1 1 1

1 1

v

s

Ls v R s R

CR  =



 





+ +

+

1 ¹

1

(8)

2007-10-01

15 v

s

Ls v R s R

CR  =



 





+ +

+

1 ¹

1 ( )

[ R + Ls + CR

1

R + Ls s + R

1

] v = ( R + Ls ) v

s

v

s

L CR

Ls v R

L CR

R s R L CR

R CR s L

1 1

2 1

 = +



 



 + + + +

v

s

v s dt

dv dt

v d

3 3 3

3 3

3 3 3 2 2

10 10 1 10

10 1 10

10 10

10 10 10

−

+ + = +

×

× + +

( ) ^v ^dv _dt ^s ^v ^s

dt dv dt

v

d

₂

1001 1001 10

³

1000

2

+

=

× +

+

Exercise 9.3-1

(9)

2007-10-01

17 Figure E 9.3-2

Exercise 9.3-2

Figure E 9.3-3

Exercise 9.3-3

(10)

2007-10-01

19 9.4 Solution of the Second-Order Differential Equation – The Natural Response

)

0 (

2 1 2

2 a x f t

dt a dx dt

x

a d + + =

- 2개 이상의 에너지 저장소자가 있는 회로 : 2계 미분방정식

0 1 2 , a , a a

) (t f

상수 입력(강제함수)

- 완전응답 : 자연응답 + 강제응답

f

n x

x t x ( ) = +

0 0

2 1 2

2 n + n + a x n =

dt a dx dt

x a d

- 자연응답

(9.4-2)

0 0

2 1 2

2 n + n + a x n =

dt a dx dt

x a d

- 자연응답은 1계 미분방정식의 경우와 유사하게 지수함수로 표현

st

n Ae

x =

^(9.4-3)

(9.4-3) (9.4-2)

0 0

1 2

2 s Ae ^st + a sAe ^st + a Ae ^st = a

0 0

1 2

2 s + a s + a =

a

특성방정식 ^(9.4-5)

(11)

2007-10-01

21 Figure 9.4-1

Oliver Heaviside (1850–1925).

Photograph courtesy of the Institution of Electrical Engineers.

0 0

1 2

2 s + a s + a = a

2차 방정식의 근

2 0 2 2 1 1

1 2

4 a

a a a

s − a + −

=

2 0 2 2 1 1

2 2

4 a

a a a

s − a − −

=

(9.4-6)

(9.4-7)

t s t

s

n A e A e

x = ₁ ¹ + ₂ ²

자연응답 :

(9.4-8) 선형미분방정식일 경우 위의 자연응답이 성립

특성방정식의 근은 자연응답의 특성을 결정

Figure 9.4-2

Circuit of Example 9.4-1.

Example 9.4-1

i 2

1) 미분방정식

2) 자연응답

Sol.) 메시방정식

( ) i v s

dt i + di − =

+ 1 2

1 2 4

4 8 − 4 ₁ + 4 ₂ + ² = 0

dt i di i

( 2 s + 12 ) i 1 − 4 i 2 = v s − ⁴ i 1 + ( s + ⁴ ) i 2 = ⁰

(12)

2007-10-01

23 ( 2 s + 12 ) i 1 − 4 i 2 = v s

( ⁴ ) ⁰

4 ₁ + + ₂ =

− i s i

( )

( ) ² ²⁰ ³²

4 4 4

4 12

2 0 4

12 2

2 2

+

= + +

−

− +

= s s

v

s s

v s

i

^s

s

( ² ^s

²

⁺ ²⁰ ^s ⁺ ³² ) ⁱ

²

⁼ ⁴ ^v

^s

( ^s

²

⁺ ¹⁰ ^s ⁺ ¹⁶ ) ⁱ

²

⁼ ² ^v ^s

특성방정식

0 16

2

10 = + + s s

( ^s ⁺ ² )( ^s ⁺ ⁸ ) ⁼ ⁰

8 , 2 −

−

= s

연산자로 표시된 미분방정식

자연응답

t t

n n n

e A e

A i i i

8 2 2 1

2 1

−

− +

= +

=

특성방정식의 근 : 특성근 또는 자연주파수 시정수 = 특성근의 역수

Exercise 9.4-1

i

s

dt C dv R i

v + + =

1

dt v L di

Ri + =

i

s

sv v i

= +

+ 4

1 4 ( 6 + ^s ) ⁱ = ^v

i

s

s v v

s =

+ +

 

 



 +

6 4 1 4 1

i

s

s v

s  =



 





+ +

+ 6

1 4 1 4 1

( )

특성방정식

(13)

2007-10-01

25 Figure E 9.4-2

Exercise 9.4-2

9.5 Natural Response of the Unforced Parallel RLC Circuit

Figure 9.5-1 Parallel RLC circuit.

1 0

= + + ∫ − ∞ dt

C dv L vd

R

v ^t

τ

0 )

0 1 (

0 + + =

+ _L ∫ ^vd ⁱ ^C ^dv _dt

R

v ^t

τ

마디방정식

(9.5-1)

1 0 1

2 2 + + v =

L dt dv R dt

v C d

0 )

0 1 (

0   =

 

+ +

+ _L ∫ ^vd ⁱ ^C ^dv _dt

R v dt

d ^t

τ

(9.5-2) 2계 미분방정식

(14)

2007-10-01

27 1 0 1

2 2

= +

+ v

L dt dv R dt

v

C d ₂ 1 1 0

= +

+ s LC

s RC

특성방정식

1 2 2

2 2 , 1

1 2

4 1 1

2 1

 





 



  −



 



± 

= −

 

 



− 

 

 





− ±

= RC RC LC

LC RC

s RC

특성근

(9.5-4) (9.5-5)

2 0 2 2

,

1 = − α ± α − ω

s

자연응답

s t s t

n n

n v v A e A e

v =

₁

+

₂

=

₁

¹ +

₂

²

^(9.5-6)

(9.5-7)

2 0 2 2

,

1 = − α ± α − ω

s

RC 2

= 1

α ω ⁰ ⁼ ¹ _LC

^{공진주파수}(resonant frequency)

특성방정식의 근

(1) 일 때, 실수 2개의 근 과제동 (over damping) (2) 일 때, 실수 1개의 근 임계제동 (critical damping) (3) 일 때, 2개의 복소근 부족제동 (under damping)

2 0

2 ω

α >

2 0

2 ω

α =

2 0

2 ω

α <

(15)

2007-10-01

29 t s t

s

n A e A e

v =

₁

¹ +

₂

²

자연응답에서 계수는 ?

초기조건 :

v ( 0 ), i ( 0 )

^{라고 할 때,}

2 ) 1

0 ( A A

v _n = +

^(9.5-9)

0 )

0 1 (

0 + + =

+ _L ∫ ^vd ⁱ ^C ^dv _dt

R

v ^t τ

식(9.5-1)에 초기조건을 적용

) 0 0 ) (

0 ) ( 0

( + + =

dt C dv R i

v

0 ) ( ) 0 (

=

= dt t

t dv dt

dv

과제동 RLC 회로의 응답

) 0 0 ) (

0 ) ( 0

( + + =

dt C dv R i

v

C i RC v dt

dv ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )

−

=

^(9.5-10)

식(9.5-6)(자연응답식)을 미분하면

t s t

s

n A e A e

v =

₁

¹ +

₂

² ^dv _dt ⁿ ⁽ ^t ⁾ _t ₌ ₀ ⁼ ^A ¹ ^s ¹ ⁺ ^A ² ^s ² ⁼ ^dv _dt ⁿ ⁽ ⁰ ⁾

C i RC s v

A s

A ( 0 ) ( 0 )

2 2 1

1

+ = − −

(9.5-12)

2 ) 1

0 ( A A

v _n = +

(9.5-9)

2 식으로부터 계수를 구함.

(16)

2007-10-01

31 Example 9.5-1

] [ 3 /

2 Ω

=

R L = 1 H [ ] C = 1 / 2 [ F ] ]

[ 10 ) 0

( V

v = i ( 0 ) = 2 [ A ]

> 0

t v ( t ) = ?

Sol.

1 0 1

2 2

= +

+ v

L dt dv R dt

v C d

1 0

2 1

= +

+ s LC

s RC

회로의 미분방정식

특성방정식

0 )

0 1 (

0 + + =

+ _L ∫ ^vd ⁱ ^C _dt ^dv

R

v ^t

τ

0 2

2

+ s 3 + = s

특성근 :

2 ,

2 1

,

1 = − −

s

t t

t s t

s

n A e A e A e A e

v =

₁ ¹

+

₂ ²

=

₁ ⁻

+

₂ ⁻²

자연응답 :

계수값 찾기 :

1) 초기조건으로부터

v ( 0 ) = 10 [ V ] v _n ( 0 ) = A ₁ + A ₂ = 10

2) 자연응답 식(9.5-13)의 미분

(9.5-14) (9.5-13)

t

n A e t A e

dt

dv 2

2 1 ⁻ − 2 ⁻

−

= dt

A dv dt A

dv

t

n ₁ 2 ₂ ( 0 )

0 =

−

=

(17)

2007-10-01

33 0 )

0 1 (

0 + + =

+ _L ∫ ^vd ⁱ ^C ^dv _dt

R

v ^t

τ

) 0 0 ( 2 ) 1 0 2 (

) 0 (

3 + + =

dt i dv

v

34 ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 3 0

( = − v − i = − dt

dv

초기의 회로방정식으로부터

34 2 ₂

1 − = −

− A A

2) 자연응답 식(9.5-13)의 미분

t

n A e t A e

dt

dv 2

2 1 ⁻ − 2 ⁻

−

= dt

A dv dt A

dv

t

n ( 0 )

2 ₂

1 0

=

−

=

2 10

1 + A = A

34 2 ₂

1 − = −

− A A

1 = − 14 A

2 = 24 A

t t

n e e

v = − 14

⁻

+ 24

⁻²

자연응답 :

Figure 9.5-2

Response of the RLC circuit of Example 9.5-1.

(18)

2007-10-01

35 Figure 9.5-2 Response of the RLC circuit of Example 9.5-1.

Exercise 9.5-1

] [ 6 Ω

=

R L = 7 H [ ] C = 1 / 42 [ F ] ]

[ 0 ) 0

( V

v = i ( 0 ) = 10 [ A ]

> 0

t v ( t ) = ?

(19)

2007-10-01

37 Figure E 9.5-2 Smoke detector.

Exercise 9.5-2

] [ 0 ) 0

( V

v =

] [ 1 ) 0

( A

i =

9.6 Natural Response of the Critically Damped Unforced Parallel RLC Circuit

2 0

2 ω

α =

^{일 때 발생.}

RC 2

= 1

α 1 LC

0

=

2 ω

1 s

s =

t s t

s t

s

n A e A e A e

v =

₁ ¹

+

₂ ²

=

₃ ¹

자연응답 : (9.6-1)

2 1

3 A A

A = +

* 미정계수는 1개이나, 만족해야 할 초기조건은 2개

따라서 식(9.6-1)은 완전한 자연응답이 아님을 의미 2개의 미정계수가 포함된 해가 요구

(20)

2007-10-01

39 t s

n g t e

x = ( )

¹ ^{해를 가정하면}

g ( t ) = A ₂ + A ₁ t

위의 응답을 원래의 미분방정식에 대입하여 초기조건을 적용하면 미정계수 2개를 구할 수 있다.

( ) ^s ^t

n A t A e

v =

₁

+

₂ ¹ ^(9.6-2)

특성방정식이 중근인 경우 자연응답은 식(9.6-2)와 같이 정의

예 :

] [ 1 Ω

=

R L = 1 H [ ] C = 1 / 4 [ F ] ]

[ 5 ) 0

( V

v = i ( 0 ) = − 6 [ A ]

> 0

t v ( t ) = ?

1 0 1

2 2

= +

+ v

L dt dv R dt

v

C d 2 1 1 0

= +

+ s LC

s RC

특성방정식

0 )

0 1 (

0 + + =

+ _L ∫ ^vd ⁱ ^C ^dv _dt

R

v ^t

τ

(21)

2007-10-01

41 ( ) ^t

n A t A e

v =

₁

+

₂ ⁻²

자연응답 :

계수값 찾기 :

v ( 0 ) = 5 [ V ] 5 )

0 ( = A ₂ = v _n

2) 식(9.6-3)의 미분

0 4

2

+ s 4 + =

s

^{특성근 :}

s 1 , 2 = − ²

( ) ^t

n A e t A t A e

dt

dv ₂

2 1 2

1 ⁻ − 2 + ⁻

=

(9.6-3)

] [ 6 ) 0

( A

i = −

( ² ) ¹ ²

1 0

2 0

) 2 0

( A A A A

dt dv dt

dv

t

n = = − + = −

=

0 )

0 1 (

0 + + =

+ _L ∫ ^vd ⁱ ^C ^dv _dt

R

v ^t

τ

) 0 0 ( 4 ) 1 0 ( ) 0

( + + =

dt i dv

v

[ ⁽ ⁰ ⁾ ⁽ ⁰ ⁾ ] ⁴

) 4 0

( = − v − i = dt

dv

초기의 회로방정식으로부터

] [ 1 Ω

=

R L = 1 H [ ] C = 1 / 4 [ F ] ]

[ 5 ) 0

( V

v = i ( 0 ) = − 6 [ A ]

( ⁰ ) ² ⁴

) 2 0 (

2 1 2 1

0 =

−

= +

−

=

A A A dt A

dv dt

dv

t n

5 )

0 ( = A ₂ = v _n

14 2

4 ₂

1 = + A =

A

(22)

2007-10-01

43 ( ) ^t ( ) ^t

n A t A e t e

v =

₁

+

₂ ⁻²

= 14 + 5

⁻²

자연응답 :

Figure 9.6-1

Critically damped response of the parallel RLC circuit.

9.7 Natural Response of an Underdamped Unforced Parallel RLC Circuit

2 0

2 ω

α <

^{일 때 발생.}

RC 2

= 1

α 1 LC

0

= ω

t s t

s

n A e A e

v =

₁ ¹

+

₂ ²

자연응답 : (9.7-1)

2 0 2 2

,

1 = − α ± α − ω

s

(23)

2007-10-01

45 2 2

0 α

ω

ω d = −

 제동공진주파수

RC 2

= 1

α

^{ 제동계수}

2 2 0 2

,

1 = − α ± j ω − α

s s 1 , 2 = − α ± j ω d

t s t

s

n A e A e

v =

₁ ¹

+

₂ ²

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

( ^j ^t ^j ^t )

t

t j t t

j t

t j t

j n

d d

e A e

A e

e e A e

e A

e A e

A v

ω α ω

α ω α ω

ω α ω

α

− −

−

− +

−

+

=

+

=

+

=

2 1

자연응답

(9.7-2)

( ^j ^t ^j ^t )

t

n e A e

^d

A e

^d

v =

⁻^α 1 ^ω

+

2 ⁻ ^ω

Euler identity

t j

t

e

^±

^j ^ω ^t = ^cos ω ± ^sin ω

을 적용

( ) ( )

[ ]

( ) ( )

[ Â Â ^t ^j Â Â ^t ]

e

t j t A

t j

t A

e v

d d

t

d d

t n

ω ω

α α

sin cos

2 1 2

1

2 1

− + +

=

− +

+

=

−

(9.7-4)

여기서

[ ^B ^t ^B ^t ]

e

v _n =

⁻

^α ^t

1

^cos ω _d +

2

^sin ω _d

가 공액복소수일 경우

2 1 , A

A B

₁

, B

₂ 는 반드시 실수로 된다.

(9.7-5)

(24)

2007-10-01

47 [ ^B ^t ^B ^t ]

e

v _n =

⁻

^α ^t

1

^cos ω _d +

2

^sin ω _d

계수는 초기조건에 의해서 결정

2 1

, B

B ^v ⁽ ⁰ ⁾ ⁱ ⁽ ⁰ ⁾

자연응답의 특성 : 감쇠 진동하는 파형으로 예상

2 2

0 α

ω ω d = −

RC 2

= 1

α

_{감쇠속도를 결정}

진동주파수 결정

2 1

, B

B

구하는 법

[ ^B ^t ^B ^t ]

e

v _n =

⁻

^α ^t

1

^cos ω _d +

2

^sin ω _d v _n ( 0 ) = B

1 2

1

, B

B

^{구하는 법}

초기조건

B

2 _는

dt dv ( 0 )

에서 유도됨.

[ ^B ^t ^B ^t ] ^e [ ^B ^t ^B ^t ]

dt e dv

d d

t d

d d

d

n =

⁻

^α t −

1

ω ^sin ω +

2

ω ^cos ω − α

⁻

^α

1

^cos ω +

2

^sin ω

B dv _n B

α ω −

=

(25)

2007-10-01

49 C i RC v dt

dv ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )

−

=

식(9.5-10)을 활용하면

1 2

0

B dt B

dv

d t

n = ω − α

=

C i RC B v

B _d ( 0 ) ( 0 )

1

2

ω − α = − −

)

1

0 ( B

v _n =

Example 9.7-1

] [ 3 / 25 Ω

=

R L = 0 . 1 [ H ] C = 1 mF [ ] ]

[ 10 ) 0

( V

v = i ( 0 ) = − 0 . 6 [ A ]

> 0

t v

_n

( t ) = ?

Sol)

1 0 1

2 2

= +

+ v

L dt dv R dt

v

C d 2 + 1 + 1 = 0

s LC s RC

회로의 미분방정식

특성방정식

0 )

0 1 (

0 + + =

+ _L ∫ ^vd ⁱ ^C ^dv _dt

R

v ^t τ

0 10000

2 + 120 s + =

s

(26)

2007-10-01

51 0 10000

2 + 120 s + =

s

t s t

s

n A e A e

v =

₁

¹ +

₂

²

자연응답 : 특성근 :

j d

j

s = − ± − = − 60 ± 80 = − α ± ω 2

40000 120

120 ²

2 , 1

[ ]

[ ^B ^t ^B ^t ]

e

t B

e v

t

d d

t n

80 sin 80

cos

sin cos

2 1

60 2 1

+

=

+

=

−

^α

ω ω

계수값 구하기 :

v ( 0 ) = 10 [ V ]

2)

[ ^B ^t ^B ^t ]

e

v _n =

⁻⁶⁰

^t

₁

cos 80 +

₂

sin 80 10

) 0

( = B ₁ = v _n

[ ] [ ]

1 2 1 2

2 0 1

2 1

0

60 80

sin cos

cos sin

B B B B

t B

e t B

t B

dt e dv

d

d t d

t d

d d

d t t

n

−

=

−

=

+

− +

−

=

⁻ ⁻ ₌

=

α ω

ω ω

α ω ω ω

ω ^α

α

(27)

2007-10-01

53 0 )

0 1 (

0 + + =

+ _L ∫ ^vd ⁱ ^C ^dv _dt

R

v ^t τ

초기회로방정식

R = 25 / 3 [ Ω ] L = 0 H . 1 [ ] C = 1 mF [ ] ]

[ 10 ) 0

( V

v = i ( 0 ) = − 0 . 6 [ A ]

에 회로의 초기상태를 적용하면

) 0 0 10 ( 6 . 3 0 / 25

) 0

( ₃

= +

− ⁻

dt dv

v ( 0 ) 120 ( 0 ) 600 600

−

= +

−

= v

dt dv

600 60

80

₂ ₁

1 2

0

−

=

−

=

−

=

B B B dt B

dv

d t

n ω α

10 )

0 ( = B ₁ = v _n

2 = 0 B

[ ^t ^t ] ^e ^t

e

v _n = ⁻ ⁶⁰ ^t 10 cos 80 + 0 × sin 80 = 10 ⁻ ⁶⁰ ^t cos 80 최종응답

Figure 9.7-1 Natural response of the underdamped parallel RLC circuit.

[ ^t ^t ] ^e ^t

e

v _n = ⁻ ⁶⁰ ^t 10 cos 80 + 0 × sin 80 = 10 ⁻ ⁶⁰ ^t cos 80

제동진동의 주기

] 2 [

s T

d

d ω

= π

(28)

2007-10-01

55 Exercise 9.7-1

] [ 5 . 62 Ω

=

R L = 10 mH [ ] C = 1 F [ µ ] ]

[ 10 ) 0

( V

v = i ( 0 ) = 80 [ mA ]

> 0

t v

_n

( t ) = ?

9.8 Forced Response of an RLC Circuit

- 강제응답은 2계 미분방정식을 만족, 또한 임의 상수는 불포함 - 강제응답은 강제함수와 같은 형태

)

0 (

2 1 2

t f x dt a a dx dt

x

d + + =

^(9.8-1)

x f

)

0 (

2 1 2

t f x dt a a dx dt

x d

f f

f + + =

- 강제응답을 다음과 같이 가정 :

(9.8-2)

(29)

2007-10-01

57

Table 9.8-1

Assumed Solution Forcing Function

K Kt Kt

2

t K ^sin ω Ke

⁻

at

A B At +

C Bt At

²

+ +

t B

t

A ^sin ω + ^cos ω Ae

⁻

at

Figure 9.8-1

Circuit for Examples 9.8-1 and 9.8-2.

Example 9.8-1

] [ 8 e

²

A i _s =

⁻

^t

] [ 6 Ω

=

R L = 7 H [ ] C = 1 / 42 [ F ]

= ? i

f

Sol)

마디에 대한 전류방정식

1 ( 0 ) 0

0 + + =

+ +

− ⁱ ^s _R ^v _L ∫ ^t ^vd ^τ ⁱ ^C ^dv _dt

i s

dt C dv R i

v + + =

(30)

2007-10-01

59 i s

dt C dv R i

v + + =

dt L di v =

i s

dt i di R L dt

i

LC d 2 + + =

2 i s

i LC LC dt di RC dt

i

d 1 1 1

2 2

= + +

각 소자의 값 및 전원전류를 대입하면.

e t

dt i di dt

i

d 2

2 2

48 6

7 + = ⁻

+

강제응답 가정

t

f Be

i =

⁻²

계수 B는 이 값을 미분방정식에 대입하여 구함.

t t

t

t Be Be e

Be ² 14 ² 6 ² 48 ²

4 ⁻ − ⁻ + ⁻ = ⁻

− 12

= B

] [ 12 e ² A i _f = − ⁻ ^t

Example 9.8-2

]

0

[ A I i _s =

] [ 6 Ω

=

R L = 7 H [ ] C = 1 / 42 [ F ]

= ? i

f

Sol) 입력이 상수이므로 강제응답도 상수.

1) 미분방정식

2) 정상상태 회로를 고려

i _f = I

₀

[ A ]

(31)

2007-10-01

61

미분방정식으로부터 구하면

2 0 2

6 6

7 i I

dt di dt

i

d + + =

D

i _f =

강제응답을 상수로 가정하면

6 0

0 + + D = I

]

0

[ A I i _f =

강제함수에 의한 회로의 강제 응답은 자연응답보다 쉽게 구해짐을 알 수 있다.

i s

i LC LC dt di RC dt

i

d 1 1 1

2 2 + + =

I 0

D =

i s

dt i di dt

i

d ² ₂ + 7 + 6 = 6

^(9.8-9)

강제함수가 자연응답의 성분 중 하나의 형태와 같은 특수한 경우를 고려

0 6

2 + s 7 + =

s ( )( ^s ^{+ s} ¹ ⁺ ⁶ ) ⁼ ⁰

자연응답은

t t

n A e A e

i =

₁ ⁻

+

₂ ⁻⁶ ^(9.8-10)

If,

t

s e

i = 3

⁻⁶ ^{인 경우를 고려하면}

강제응답은

i _f = B e

⁻⁶

^t

^(9.8-11)

으로 가정할 수 있고, 계수 B는

(32)

2007-10-01

63 i s

dt i di dt

i

d ₂ 7 6 6

2 = +

+ i ^f = B e

⁻⁶

^t

0 18

6 42

36 Be ⁻ ⁶ ^t − Be ⁻ ⁶ ^t + Be ⁻ ⁶ ^t = e ⁻ ⁶ ^t =

자연응답과는 다른 형태의 강제응답이 요구

t

f Bt e

i = ⁻ ⁶

새로운 형태의 강제응답을 가정

(9.8-12)

t

f Bt e

i = ⁻ ⁶

i s

dt i di dt

i

d ₂ 7 6 6

2 = + +

18 5

18 6 42 7 36 6 6

18 6

) 42 7

( ) 36 6

( 6

18 6

) 6 (

7 ) 6 (

6 6

6 6 6

6 6

=

−

= +

− + +

−

= +

− +

−

= +

−

× +

−

B

Bt Bt B Bt B B

e Bte

Bte Be

Be

e Bte

Bte Be

Bte dt Be

d

t t

t

t t

t

f t e

i 18 ₋ ⁶

−

=

(33)

2007-10-01

65

강제함수가 자연응답 성분의 하나와 같은 형태일 경우

1

x n

1 n p

f t x

x =

강제응답 :

p는 자연응답과 같지 않은 가장 작은 승수를 사용 자연응답 :

Exercise 9.8-1 v s

dt v dv dt

v

d ₂ + 5 + 6 =

2 v s = 8 v _s = 3 e

⁻

^t v s = 2 e

⁻²

^t

= ?

v f

(34)

2007-10-01

67 Exercise 9.8-2

i s

dt i di dt

i

d ₂ 9 20 6

2 = +

+ i _s = 6 + 2 t

= ? i f

9.9 Complete Response of an RLC Circuit

완전응답 = 자연응답 + 강제응답

v s

v LC LC dt dv L R dt

v

d 1 1

2 2

= +

+

] [ 5 Ω

=

R L = 1 H [ ] C = 1 / 6 [ F ]

v s

dt v dv dt

v

d ₂ 5 6 6

2 = +

+

(9.9-1)

(35)

2007-10-01

69

1) 자연응답

v s

dt v dv dt

v

d ₂ 5 6 6

2 = +

+ s ² + s 5 + 6 = 0 s = − 2

− 3

= s

t t

n A e A e

v = ₁ ⁻ ² + ₂ ⁻ ³

2) 강제응답

t

f B e

v = ⁻

전원과의 비교

t t

t

t Be Be e

Be

⁻

− 5

⁻

+ 6

⁻

= 4

⁻

= 2 B

t

f e

v = 2 ⁻

t

s e

v = ⁻ 3 2

3) 완전응답

t t t

f

n v A e A e e

v

v = + = ₁ ⁻ ² + ₂ ⁻ ³ + 2 ⁻

계수는 초기조건을 이용하여 구함.

v ( 0 ) = 10

] / [ ) 2 0

( V s

dt

dv = −

10 2 )

0 ( = A ₁ + A ₂ + = v

) 2 0 2 ( 3 2 ₁ ₂

0 −

=

−

=

= dt

A dv dt A

dv

t 1 = 24

A A ₂ = − 16

] [ 2 16

24 e ² e ³ e V

v = ⁻ ^t − ⁻ ^t + ⁻ ^t

(36)

2007-10-01

71 Figure 9.9-1

Circuit of example 9.9-1.

Example 9.9-1

? ) ( t = v

Sol) 먼저 회로로부터 초기조건

] [ 6 ) 0

( V

v =

] [ 1 ) 0

( A

i =

Figure 9.9-2

Circuit of Example 9.9-1 at t = 0

⁻

.

미분방정식

4 + + = 0

− i

dt C dv v v _s

dt L di i R v = 2 +

e t

dt i

v + dv + 4 = 6 ⁻ ³

dt i di v = 6 +

e t

dt i dt i di d dt

i di 4 6 ³

6 6 + = ⁻

 

 

  + + +

i d di ²

마디 a 에서 KCL

The Complete Response of Circuits with Two Energy Storage

2007-10-01

1

Chapter 9