0 8 정적분

1

^{-1 ⑴} :)2 f(x)dx=:)2 F'(x)dx

=[F(x)]2)

=F(2)-F(0)

=5-3=2

⑵ :_3@ f(t)dt=:_3@ F'(t)dt

=[F(t)]3_@

=F(3)-F(-2)

=9-9=0

1

^{-2 ⑴} :)3 f(x)dx=:)3 F'(x)dx

=[F(x)]3)

=F(3)-F(0)

=21-0=21

⑵ :_2! f(t)dt=:_2! F'(t)dt

=[F(t)]2_!

=F(2)-F(-1)

=4-1=3

2

^{-1 ⑴} :)2 x³dx=[;4!;x⁴]2)=4

⑵ :_3@(3t²+2t)dt =[t³+t²]3_@

=36-(-4)=40

2

^{-2 ⑴} :!2 5x⁴dx=[x⁵]2!=32-1=31

⑵ :_3!(3t²-4t)dt =[t³-2t²]3_!

=9-(-3)=12

4

^-2 :)2`(6x²-2x+3)dx=[2x³-x²+3x]2)

=16-4+6

=18

5

^-1 :)2`(3x<sup>2</sup>-1)dx+:@3`(3x²-1)dx

=:)3`(3x²-1)dx

=[x³-x]3)

=27-3=24

5

^-2 :_2!(3x²+1)dx+:@3`(3x²+1)dx

=:_3!(3x²+1)dx

=[x³+x]3_!

=27+3-(-1-1)

=32

6

^{-1 ⑴} :_1!(x⁵-4x³+3)dx

=:_1! x⁵dx-4:_1! x³dx+3:_1! dx

=6:)1 dx

=6[x]1)=6

⑵ :_2@(-x³-4x+3)dx

=-:_2@ x³dx-4:_2@ xdx+3:_2@ dx

=6:)2 dx

=6[x]2)=12

6

^{-2 ⑴} :_1!(10x⁴-9x³+3x)dx

=10:_1! x⁴dx-9:_1! x³dx+3:_1! xdx

=20:)1 x⁴dx

=20 [;5!;x⁵]1)=4

⑵ :_2@(4x⁵-x³-4x+5)dx

=4:_2@ x⁵dx-:_2@ x³dx-4:_2@ xdx+5:_2@ dx

=10:)2 dx

=10[x]2)=20

기출

기초 테스트

2

본문 106~109 쪽

1 -1 ⑴ 2 ⑵ 0 1 -2 ⑴ 21 ⑵ 3 2 -1 ⑴ 4 ⑵ 40 2 -2 ⑴ 31 ⑵ 12 3 -1 ⑴ 0 ⑵ 1 3 -2 ⑴ 0 ⑵ -;2#;

4 -1 f '(x)=3x³-4x-2 4 -2 f '(x)=x³-3x²-2

5 -1 3 5 -2 4

6 -1 6 6 -2 4

7 -1 24 7 -2 24

8 -1 ⑴ 3 ⑵ 12 8 -2 ⑴ 28 ⑵ 15

9 -1 20 9 -2 0

10 -1 2 10 -2 :ª2¦:

11 -1 ;2%; 11 -2 8 12 -1 -16 12 -2 54

52

^{III. 적분}

3

^{-1 ⑴} :#3`(x²-2x)dx=0

⑵ :!0`(4x<sup>3</sup>-2)dx=-:)1`(4x³-2)dx

=-[x⁴-2x]1)=1

3

^{-2 ⑴} :@2`(5x²-3x)dx=0

⑵ :@^-1(2x³-3x²+1)dx

=-:_2!(2x³-3x²+1)dx

=-[;2!;x⁴-x³+x]2_!

=-{2-;2!;}=-;2#;

4

^{-1 f '(x)=};dë[;:_/#(3t³-4t-2)dt

=3x³-4x-2

4

^{-2 f '(x)=};dë[;:_/#(t³-3t²-2)dt

=x³-3x²-2

5

^-1 :A/ f(t)dt=x²-2x-3의 양변에 x=a를 대입하면 :Aa f(t)dt=a²-2a-3

a²-2a-3=0, (a-3)(a+1)=0

∴ a=3 (∵ a>0)

5

^-2 :A/ f(t)dt=x²-4x-5의 양변에 x=a를 대입하면 :Aa f(t)dt=a²-4a-5

a²-4a-5=0, (a-5)(a+1)=0

∴ a=-1 또는 a=5

따라서 구하는 실수 a의 값의 합은 -1+5=4

6

^-1 :A/ f(t)dt=x²-2x의 양변에 x=a를 대입하면 :Aa f(t)dt=a²-2a

a²-2a=0, a(a-2)=0

∴ a=2 (∵ a+0)

:@/ f(t)dt=x²-2x의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=2x-2

∴ f(a+2)=f(4)=6

6

^-2 :A/ f(t)dt=x²+2x-3의 양변에 x=a를 대입하면 :Aa f(t)dt=a²+2a-3

a²+2a-3=0, (a-1)(a+3)=0

∴ a=1 (∵ a>0)

:!/ f(t)dt=x²+2x-3의 양변을 x에 대하여 미분 하면 f(x)=2x+2

∴ f(a)=f(1)=4

7

^-1 :)3`(3x²-4x+5)dx =[x³-2x²+5x]3)

=27-18+15=24

7

^-2 :)3`(3x²+2x-4)dx =[x³+x²-4x]3)

=27+9-12=24

8

^{-1 ⑴} :_2!(x+2)dx+:_2!(x-2)dx

=:_2!(x+2+x-2)dx

=:_2! 2xdx

=[x²]2_!

=4-1=3

⑵ :_2!(3x+2)dx-:_2!(3x-2)dx

=:_2!(3x+2-3x+2)dx

=:_2! 4dx

=[4x]2_!

=8-(-4)=12

8

^{-2 ⑴} :_3!(x²+2x)dx+:_3!(2x²-2x)dx

=:_3!(x²+2x+2x²-2x)dx

=:_3! 3x²dx

=[x³]3_!

=27-(-1)=28

⑵ :_2!(x²+2)dx-:_2!(x²-3)dx

=:_2!(x²+2-x²+3)dx

=:_2! 5dx

=[5x]2_!

=10-(-5)=15

11

^-2 :)3 3x|x-2|dx

=:)2 3x(2-x)dx+:@3 3x(x-2)dx

=:)2`(6x-3x<sup>2</sup>)dx+:@3`(3x²-6x)dx

=[3x²-x³]2)+[x³-3x²]3@

=4+4=8

12

^-1 :_2@(7x³-3x²+2x)dx

=:_2@(-3x²)dx

=2:)2`(-3x²)dx

=2[-x³]2)=-16

12

^-2 :_3#(7x⁵-3x³+3x²-5x)dx

=:_3# 3x²dx

=2:)3 3x²dx

=2[x³]3)=54

교과서

기본 테스트

3

본문 110~113 쪽

01 ② 02 4 03 ④ 04 :Á2°: 05 ③ 06 ③ 07 ③ 08 ③ 09 :Á3¦: 10 ① 11 ⑴ 2x-3 ⑵ (x+1)(3x²-1) 12 ② 13 2 14 ④ 15 ① 16 ⑤ 17 ④ 18 극댓값: 0, 극솟값: -;3$; 19 ② 20 ④ 21 2 22 6 23 f(x)=3x²+2x-4

01

^{:!3`(x2-2x-1)dx=[;3!;x3-x2-x]3!}

=9-9-3-{;3!;-1-1}

=-;3$;

02

:_0@ x(x+2)(x-2)dx=:_0@(x³-4x)dx

=[;4!;x⁴-2x²]0_@

=-(4-8)=4

9

^-1 :!2`(3x<sup>2</sup>-2x+1)dx+:@3`(3x²-2x+1)dx

=:!3`(3x²-2x+1)dx

=[x³-x²+x]3!

=27-9+3-(1-1+1)

=20

9

^-2 :)1`(x<sup>2</sup>-2x)dx+:!3`(x²-2x)dx

=:)3`(x²-2x)dx

=[;3!;x³-x²]3)

=9-9=0

10

^-1 :_0!(5x³-3x²+2)dx-:!0`(5x³-3x²+2)dx

=:_0!(5x³-3x²+2)dx+:)1`(5x³-3x²+2)dx

=:_1!(5x³-3x²+2)dx

=:_1!(-3x²+2)dx

=2:)1`(-3x²+2)dx

=2[-x³+2x]1)

=2

10

^-2 :_0!(2x³+3x²-1)dx-:@0`(2x³+3x²-1)dx

=:_0!(2x³+3x²-1)dx+:)2`(2x³+3x²-1)dx

=:_2!(2x³+3x²-1)dx

=[;2!;x⁴+x³-x]2_!

=8+8-2-{;2!;-1+1}

=:ª2¦:

11

^-1 :)3`|x-1|dx

=:)1`(1-x)dx+:!3`(x-1)dx

=[x-;2!;x²]1)+[;2!;x²-x]3!

=;2!;+2

=;2%;

54

^{III. 적분}

03

:_a!(x-1)dx=[;2!;x²-x]a_!

=14a2²-a-{;2!;+1}=0 a²-2a-3=0, (a-3)(a+1)=0

∴ a=3 (∵ a+-1)

04

^{:)3 113}_x+1^{x3 dx+:)3 113}_x+1^{1 dx}

=:)3 1124xx+1³+1 dx

=:)3 111111113(x+1)(xx+1²-x+1) dx

=:)3`(x²-x+1)dx

=[;3!;x³-;2!;x²+x]3)

=9-;2(;+3=:Á2°:

05

^{:)3`|x2-4|dx=:)2`(4-x2)dx+:@3`(x2-4)dx}

=[4x-;3!;x³]2)+[;3!;x³-4x]3@

=:Á3¤:+;3&;=:ª3£:

06

:!3 f(x)dx-:$3 f(y)dy

=:!3 f(x)dx+:#4 f(x)dx

=:!4 f(x)dx=:!4`(2x+1)dx

=[x²+x]4!=18

07

^{:_2!(x+1)3dx-:_2!(x-1)3dx}

=:_2!{(x+1)³-(x-1)³}dx

=:_2!{x³+3x²+3x+1-(x³-3x²+3x-1)}dx

=:_2!(6x²+2)dx

=[2x³+2x]2_!

=16+4-(-2-2)=24

08

^{:)1`(4x3+2x-1)dx+:!3`(4x3+2x-1)dx}

=:)3`(4x³+2x-1)dx

=[x⁴+x²-x]3)

=81+9-3=87

09

:_2! f(x)dx=:_0!(-2x)dx+:)2`(x²+x)dx

=[-x²]0_!+[;3!;x³+;2!;x²]2)

=1+:Á3¢:=:Á3¦:

10

:!3`{2f(x)-g(x)}dx=2:!3 f(x)dx-:!3 g(x)dx

=2_3-:!3 g(x)dx=8

∴ :!3 g(x)dx=-2

11

^⑴ ;dë[;:)/`(2t-3)dt=2x-3

⑵ ;dë[;:_/@(t+1)(3t²-1)dt=(x+1)(3x²-1)

12

:A/ f(t)dt=x²-4x+4의 양변에 x=a를 대입하면 :Aa f(t)dt=a²-4a+4

a²-4a+4=0, (a-2)²=0

∴ a=2

13

:_/! f(t)dt=x³+ax+3의 양변에 x=-1을 대입 하면

:_-!1 f(t)dt=-a+2 -a+2=0

∴ a=2

14

:@/ f(t)dt=x³+ax-2의 양변에 x=2를 대입하면 :@2 f(t)dt=2a+6

2a+6=0

∴ a=-3

이때 :@/ f(t)dt=x³-3x-2의 양변을 x에 대하여 미분하면

f(x)=3x²-3

∴ f(2)=9

15

:!/ f(t)dt=x²-x+a의 양변에 x=1을 대입하면 :!1 f(t)dt=a

∴ a=0

이때 :!/ f(t)dt=x²-x의 양변을 x에 대하여 미분 하면

f(x)=2x-1

∴ a+f(1)=0+1=1

16

^f(x)=3x2+2:)1 f(t)dt에서 :)1 f(t)dt=a yy ㉠ 라 하면 f(x)=3x²+2a 이를 ㉠에 대입하면 :)1`(3t²+2a)dt=a [t³+2at]1)=a, 1+2a=a

∴ a=-1

따라서 f(x)=3x²-2이므로 f(3)=25

17

F'(x)=f(x)라 하면 limx Ú1 113x-1 :!/ 1 f(t)dt=lim

x Ú1 111111F(x)-F(1)x-1

=F'(1)=f(1)

=2-4+5

=3

18

^f(x)=:)/ t(t-2)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=x(x-2)

f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2

x y 0 y 2 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극대이므로 극댓값은 f(0)=:)0 t(t-2)dt=0

또 x=2에서 극소이므로 극솟값은 f(2)=:)2 t(t-2)dt

=:)2`(t²-2t)dt

=[;3!;t³-t²]2)

=;3*;-4=-;3$;

19

^f(0)=:_3# (x+5)dx

=5:_3# dx=10:)3 dx

=10[x]3)

=10_3=30

f(1)=:_3# (x+5)xdx=:_3# (x²+5x)dx

=:_3# x²dx

=2:)3 x²dx

=2[;3!;x³]3)

=2_9=18

f(2)=:_3# (x+5)x²dx=:_3# (x³+5x²)dx

=5:_3# x²dx

=10:)3 x²dx

=10[;3!;x³]3)

=10_9=90

∴ f(0)+f(1)+f(2) =30+18+90

=138

20

:!/ f(t)dt=xf(x)-2x³+3x²의 양변을 x에 대하여 미분하면

f(x)=f(x)+xf '(x)-6x²+6x xf '(x)=6x²-6x

∴ f '(x)=6x-6

∴ f(x)=:` f '(x)dx=:`(6x-6)dx

=3x²-6x+C yy ㉠

또 :!/ f(t)dt=xf(x)-2x³+3x²의 양변에 x=1을 대입하면

:!1 f(t)dt=f(1)+1

즉 f(1)+1=0이므로 f(1)=-1

㉠에서 f(1)=3-6+C=-1 ∴ C=2

∴ f(x)=3x²-6x+2 ㄱ. f(0)=2

ㄴ. f(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1이므로 함수 f(x)는 x=1에서 최솟값 -1을 갖는다.

ㄷ. xf(x)=3x³-6x²+2x

이때 g(x)=3x³-6x²+2x라 하면 g '(x)=9x²-12x+2

방정식 g '(x)=0의 판별식을 D라 하면 1D4=(-6)²-9_2=18>0

따라서 g '(x)=0은 서로 다른 두 실근을 가지므 로 함수 g(x), 즉 xf(x)는 극댓값과 극솟값을 갖 는다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

56

^{III. 적분}

21

:!3`|x(x-2)|dx

=:!2`{-x(x-2)}dx+:@3 x(x-2)dx

=:!2`(2x-x<sup>2</sup>)dx+:@3`(x²-2x)dx

=[x²-;3!;x³]2!+[;3!;x³-x²]3@

=;3@;+;3$;=2

22

^{:)1`(x3+3x2+2)dx-:)- 1`(t3+3t2+2)dt}

=:)1`(x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>+2)dx-:)- 1`(x³+3x²+2)dx

=:)1`(x³+3x²+2)dx+:_0!(x³+3x²+2)dx

=:_1!(x³+3x²+2)dx

=:_1!(3x²+2)dx

=2:)1`(3x²+2)dx

=2[x³+2x]1)=6

23

:)1 f(x)dx=k yy ㉠ 라 하면 f(x)=3x²+2x+2k 이를 ㉠에 대입하면

:)1`(3x²+2x+2k)dx=k [x³+x²+2kx]1)=k 1+1+2k=k

∴ k=-2

따라서 구하는 함수는 f(x)=3x²+2x-4

1 ⑴ f(x)=x²+x+1, f(x)=x²+x+2

⑵ 풀이 참조 ⑶ f(x)=x²+x 2 ⑴ 400 ⑵ 8 J

3 ⑴ ;2!7^; ⑵ ;5°4;

4 ⑴ 8t+121013⁵ t²-12106⁶ t³+C (단, C는 적분상수)

⑵ 7.9412 kcal/(kg´¾)

창의력·융합형·서술형·코딩

본문 114~115 쪽

1

^{⑴ f(x)=}:` f '(x)dx=:`(2x+1)dx

=x²+x+C (단, C는 적분상수)

따라서 철수가 생각한 집합에 속하는 함수는 f(x)=x²+x+1, f(x)=x²+x+2 등이 있다.

⑵ f(x)=x²+x+1일 때, f(2)-f(0)=7-1=6 f(x)=x²+x+2일 때, f(2)-f(0)=8-2=6

따라서 구한 f(2)-f(0)의 값이 서로 같다.

⑶ f(x)=x²+x+C에서 f(0)=0을 만족시키는 함수 f(x)는 f(0)=C=0에서 f(x)=x²+x이다.

따라서 철수와 영희가 생각한 집합에 동시에 속하는 함수는 f(x)=x²+x이다.

2

^⑴ 40=(0.3-0.2)k 40=0.1k

∴ k=400

⑵ W=:)^0.4-0.2 f(t)dt

=:)^0.2400tdt

=[200t²])^0.2=8 (J)

3

^{⑴ F=}11111111124⁸ :)3`{-0.3(t²-12t)}dt

=1111111358 [-0.1t³+1.8t²]3)

=1113.58 =;2!7^;

⑵ F=11111111118 :)1`2`{-0.3(t²-12t)}dt

=1111111238 [-0.1t³+1.8t²])¹²

=1186.48 =;5°4;

4

^⑴ :`H(t)dt=:`[8+12101⁵(26t-1.8t²)]dt

=:`{8+121026⁵ t-121018⁶ t²}dt

=8t+121013⁵ t²-12106⁶ t³+C

(단, C는 적분상수)

⑵ 11124100-20 :1 20

100H(t)dt

=;8Á0; [8t+121013⁵ t²-12106⁶ t³]

20 100

=;8Á0;_635.296=7.9412

따라서 구하는 산소의 비열의 평균값은 7.9412 kcal/(kg´¾)이다.

1

^-1 :)1`|-3x(x-1)|dx=:)1`(-3x²+3x)dx

=[-x³+;2#;x²]1)=;2!;

1

^-2 :_0@|-x(x+2)|dx=:_0@(-x²-2x)dx

=[-;3!;x³-x²]0_@=;3$;

2

^{-1 곡선 y=x2+1과 x축 및 두}

O 1 2 y

x y=x@+1 직선 x=1, x=2로 둘러싸

인 도형은 오른쪽 그림의 색 칠한 부분과 같으므로 구하 는 넓이는

:!2`|x²+1|dx

=:!2`(x²+1)dx

=[;3!;x³+x]2!=:Á3¼:

2

^{-2 곡선 y=-x2}+4와 x축의 교점의 x좌표는 -x²+4=0, -(x+2)(x-2)=0

∴ x=-2 또는 x=2

O 1

-2 -1 2

y

x y=-x@+4

곡선 y=-x²+4와 x축 및 두 직선 x=-1, x=1 로 둘러싸인 도형은 오른 쪽 그림의 색칠한 부분과 같으므로 구하는 넓이는

:_1!|-x²+4|dx=:_1!(-x²+4)dx

=[-;3!;x³+4x]1_!=:ª3ª:

3

^-1 :_1!|x²+3x|dx

=:_0!(-x²-3x)dx+:)1`(x²+3x)dx

=[-;3!;x³-;2#;x²]0_!+[;3!;x³+;2#;x²]1)=3 교과서 개념

확인 테스트

본문 118~119 쪽

1

1 -1 ;2!; 1 -2 ;3$; 2 -1 :Á3¼: 2 -2 :ª3ª:

3 -1 3 3 -2 2 4 -1 ;6!; 4 -2 ;6!;

5 -1 ⑴ 6 ⑵ 10 5 -2 ⑴ 1 ⑵ 3 6 -1 5 6 -2 :Á3¤:

09 ^{정적분의 활용} 3

^-2 :_1!|-x²+2x|dx

=:_0!(x²-2x)dx+:)1`(-x²+2x)dx

=[;3!;x³-x²]0_!+[-;3!;x³+x²]1)=2

4

^{-1 곡선 y=x2-2x와 직선}

x y y=x@-2x

y=x-2 -1O

-2

1 2

y=x-2의 교점의 x좌표는

x²-2x=x-2, x²-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0

∴ x=1 또는 x=2 따라서 구하는 넓이는 :!2`{(x-2)-(x²-2x)}dx

=:!2`(-x²+3x-2)dx

=[-;3!;x³+;2#;x²-2x]2!=;6!;

4

^{-2 곡선 y=-x2+2x와 직선}

x y

y=-x@+2x y=x

O 1

1 2

y=x의 교점의 x좌표는

-x²+2x=x, x²-x=0 x(x-1)=0

∴ x=0 또는 x=1 따라서 구하는 넓이는

:)1`{(-x<sup>2</sup>+2x)-x}dx=:)1`(-x²+x)dx

=[-;3!;x³+;2!;x²]1)=;6!;

5

^{-1 ⑴} t=0에서의 위치가 x=0이므로 t=2에서 점 P의 위치는

0+:)2`(2t+1)dt=[t²+t]2)=6

⑵ :!3`(2t+1)dt=[t²+t]3!=10

5

^{-2 ⑴} t=0에서의 위치가 x=5이므로 t=2에서 점 P의 위치는

5+:)2`(2t-4)dt=5+[t²-4t]2)=1

⑵ :!4`(2t-4)dt=[t²-4t]4!=3

6

^-1 :)3`|2t-2|dt

t v{t}

O -2 4

1 3

=:)1`(-2t+2)dt

+:!3`(2t-2)dt

=[-t²+2t]1)+[t²-2t]3!=5

58

^{III. 적분}

6

^-2 :)3`|4t-2t²|dt

t v{t}

O

-6

2 3

=:)2`(-2t²+4t)dt

+:@3`(2t²-4t)dt

=[-;3@;t³+2t²]2)+[;3@;t³-2t²]3@

=:Á3¤:

기출

기초 테스트

2

본문 120~123 쪽

1 -1 12 1 -2 :ª6£: 2 -1 32 2 -2 ;6!;

3 -1 ;2!; 3 -2 ;1#2&; 4 -1 16 4 -2 :ª3ª:

5 -1 ;2(; 5 -2 ;2(; 6 -1 ;3*; 6 -2 9 7 -1 9 7 -2 15 8 -1 1 8 -2 :Á;3);¼:

9 -1 36 9 -2 :ª3ª: 10 -1 16 10 -2 :£6Á:

11 -1 ;3$; 11 -2 27 12 -1 25 m 12 -2 49 m

1

^{-1 곡선 y=x2+3과 x축 및 두}

O

-1 2

y

x y=x@+3 직선 x=-1, x=2로 둘러

싸인 도형은 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같으므로 구 하는 넓이는

:_2!|x²+3|dx

=:_2!(x²+3)dx

=[;3!;x³+3x]2_!=12

1

^{-2 곡선 y=x2}+x와 x축의 교점의 x좌표는 x²+x=0, x(x+1)=0

∴ x=-1 또는 x=0 곡선 y=x²+x와 x축 및 두

O -1 1 2

y

x y=x@+x 직선 x=1, x=2로 둘러싸

인 도형은 오른쪽 그림의 색 칠한 부분과 같으므로 구하 는 넓이는

:!2`|x²+x|dx

=:!2`(x²+x)dx

=[;3!;x³+;2!;x²]2!=:ª6£:

2

^{-1 곡선 y=3x2-12와 x축의 교}

-2 O

-12 2 y

x y=3x@-12

점의 x좌표는 3x²-12=0, 3(x+2)(x-2)=0

∴ x=-2 또는 x=2 따라서 구하는 넓이는

:_2@|3x²-12|dx=:_2@(-3x²+12)dx

=[-x³+12x]2_@=32

2

^{-2 곡선 y=-x2+3x-2와}

x

y=-x@+3x-2

1 2

O

y

x축의 교점의 x좌표는 -x²+3x-2=0, -(x-1)(x-2)=0

∴ x=1 또는 x=2 따라서 구하는 넓이는

:!2`|-x<sup>2</sup>+3x-2|dx=:!2`(-x²+3x-2)dx

=[-;3!;x³+;2#;x²-2x]2!

=;6!;

3

^-1 y =x(x+1)(x-1)

x y

-1 O 1

y=x{x+1}{x-1}

=x³-x

따라서 구하는 넓이는 :_1!|x(x+1)(x-1)|dx

=:_1!|x³-x|dx

=:_0!(x³-x)dx+:)1`(-x³+x)dx

=[;4!;x⁴-;2!;x²]0_!+[-;4!;x⁴+;2!;x²]1)

=;4!;+;4!;=;2!;

3

^-2 y =x(x+2)(1-x)

x

y y=x{x+2}{1-x}

-2 O 1

=-x³-x²+2x 따라서 구하는 넓이는 :_1@|x(x+2)(1-x)|dx

=:_1@|-x³-x²+2x|dx

=:_0@(x³+x²-2x)dx+:)1`(-x³-x²+2x)dx

=[;4!;x⁴+;3!;x³-x²]0_@+[-;4!;x⁴-;3!;x³+x²]1)

=;3*;+;1°2;=;1#2&;

4

^{-1 곡선 y=x2-4x와 x축의}

O -2 2 4

y

x y=x@-4x 교점의 x좌표는

x²-4x=0, x(x-4)=0

∴ x=0 또는 x=4 곡선 y=x²-4x와 x축 및 두 직선 x=-2, x=2로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그

림의 색칠한 부분과 같으므로 구하는 넓이는 :_2@|x²-4x|dx

=:_0@(x²-4x)dx+:)2`(-x²+4x)dx

=[;3!;x³-2x²]0_@+[-;3!;x³+2x²]2)

=:£3ª:+:Á3¤:=16

4

^{-2 곡선 y=x2+2x와 x축의}

O -2 -1

2 y

x y=x@+2x 교점의 x좌표는

x²+2x=0, x(x+2)=0

∴ x=-2 또는 x=0 곡선 y=x²+2x와 x축 및 두 직선 x=-1, x=2로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그

림의 색칠한 부분과 같으므로 구하는 넓이는 :_2!|x²+2x|dx

=:_0!(-x²-2x)dx+:)2`(x²+2x)dx

=[-;3!;x³-x²]0_!+[;3!;x³+x²]2)

=;3@;+:ª3¼:=:ª3ª:

5

^{-1 곡선 y=x2+1과 직선}

1 x

-2 O 3

1

y y=x@+1

y=-x+3

y=-x+3의 교점의 x좌 표는

x²+1=-x+3, x²+x-2=0, (x-1)(x+2)=0

∴ x=-2 또는 x=1 따라서 구하는 넓이는

:_1@{(-x+3)-(x²+1)}dx

=:_1@(-x²-x+2)dx

=[-;3!;x³-;2!;x²+2x]1_@=;2(;

5

^{-2 곡선 y=x2}-1과 직선 y=x+1의 교점의 x좌표는 x²-1=x+1, x²-x-2=0, (x+1)(x-2)=0

∴ x=-1 또는 x=2

따라서 구하는 넓이는

2 x -1 O

-1 y

y=x@-1 y=x+1

:_2!{(x+1)-(x²-1)}dx

=:_2!(-x²+x+2)dx

=[-;3!;x³+;2!;x²+2x]2_!

=;2(;

6

^-1 두 곡선 y=x²-2x,

3 x O 1

y y=x@-2x

y=-x@+6x-6

y=-x²+6x-6의 교점의

x좌표는

x²-2x=-x²+6x-6, x²-4x+3=0,

(x-1)(x-3)=0

∴ x=1 또는 x=3 따라서 구하는 넓이는

:!3`{(-x²+6x-6)-(x²-2x)}dx

=:!3`(-2x²+8x-6)dx

=[-;3@;x³+4x²-6x]3!=;3*;

6

^-2 두 곡선 y=x²-2x,

2 x -1 O

y y=x@-2x

y=-x@+4

y=-x²+4의 교점의 x좌

표는

x²-2x=-x²+4, x²-x-2=0, (x+1)(x-2)=0

∴ x=-1 또는 x=2 따라서 구하는 넓이는

:_2!{(-x²+4)-(x²-2x)}dx

=:_2!(-2x²+2x+4)dx

=[-;3@;x³+x²+4x]2_!=9

7

^-1 t=0에서의 위치가 x=3이므로 t=2에서 점 P의 위 치는

3+:)2`(4-t)dt=3+[4t-;2!;t²]2)=9

7

^-2 t=0에서의 위치가 x=3이므로 t=3에서 점 P의 위 치는

3+:)3`(2t+1)dt=3+[t²+t]3)=15

8

^-1 t=1에서 t=2까지 점 P의 위치의 변화량은 :!2`(2t-2)dt=[t²-2t]2!=1

60

^{III. 적분}

8

^-2 t=1에서 t=3까지 점 P의 위치의 변화량은 :!3`(2t²+4t)dt=[;3@;t³+2t²]3!=:Á;3);¼:

9

^-1 t=1에서 t=4까지 점 P가 움직인 거리는 :!4` |t<sup>2</sup>+2t|dt=:!4`(t²+2t)dt

=[;3!;t³+t²]4!=36

9

^-2 t=1에서 t=3까지 점 P가 움직인 거리는 :!3` |-t<sup>2</sup>+4t|dt=:!3`(-t²+4t)dt

=[-;3!;t³+2t²]3!=:ª3ª:

10

^{-1 v(t)=2t2}-4t=2t(t-2)

t 4 2 O

따라서 출발 후 t=4까지 점 P가 v{t}

움직인 거리는 :)4`|2t²-4t|dt

=:)2`(-2t²+4t)dt

+:@4`(2t²-4t)dt

=[-;3@;t³+2t²]2)+[;3@;t³-2t²]4@

=;3*;+:¢3¼:=16

10

^{-2 v(t)=t2}-3t=t(t-3)

t 4 3 O 1

v{t}

따라서 t=1에서 t=4까지 점 P가 움직인 거리는 :!4 |t²-3t|dt

=:!3`(-t²+3t)dt

+:#4`(t²-3t)dt

=[-;3!;t³+;2#;t²]3!+[;3!;t³-;2#;t²]4#

=:Á3¼:+:Á6Á:=:£6Á:

11

^-1 점 P의 속도가 0일 때 점 P가 정지하므로 v(t)=t²-2t=0에서 t(t-2)=0

∴ t=0 또는 t=2

따라서 t=0에서 t=2까지 점 P가 움직인 거리는 :)2 |t²-2t|dt=:)2`(-t²+2t)dt

=[-;3!;t³+t²]2)=;3$;

11

^-2 점 P의 속도가 0일 때 점 P가 정지하므로 v(t)=3t²-6t-9=0에서 3(t+1)(t-3)=0

∴ t=3 (∵ t¾0)

따라서 t=0에서 t=3까지 점 P가 움직인 거리는 :)3`|3t<sup>2</sup>-6t-9|dt=:)3`(-3t²+6t+9)dt

=[-t³+3t²+9t]3)=27

12

^-1 :)3`|20-10t|dt

t v{t}

2 3 O -10 20

=:)2`(20-10t)dt

+:@3`(-20+10t)dt

=[20t-5t²]2)+[-20t+5t²]3@

=20+5=25 (m)

12

^-2 :)4`|29.4-9.8t|dt

t v{t}

3 4 O

29.4

-9.8

=:)3`(29.4-9.8t)dt

+:#4`(-29.4+9.8t)dt

=[29.4t-4.9t²]3)

+[-29.4t+4.9t²]4#

=44.1+4.9=49 (m)

교과서

기본 테스트

3

본문 124~127 쪽

01 ;2(; 02 ③ 03 ③ 04 :Á6»: 05 ② 06 24 07 ④ 08 ;3!; 09 ② 10 4 11 f(x)=;4#;x²(x-2)² 12 ;3!; 13 -;2(;

14 ③ 15 2 16 ② 17 :£3°: 18 145`m 19 ⑤ 20 3 21 ② 22 ;2(; 23 ;3@;

24 50

01

^{곡선 y=-x2-3x와 x축의}

x y

-3

O y=-x²-3x

교점의 x좌표는

-x²-3x=0, -x(x+3)=0

∴ x=-3 또는 x=0 따라서 구하는 넓이는

:_0#(-x²-3x)dx=[-;3!;x³-;2#;x²]0_#=;2(;

06

^{두 곡선}

x=-2O x=2 2 y

x y=4x@+2 y=x@

y=4x²+2, y=x²과 두 직선 x=-2, x=2로 둘러싸인 도형의 넓이는 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같으므로 구하는 넓이는

:_2@{(4x²+2)-x²}dx=:_2@(3x²+2)dx

=[x³+2x]2_@=24

07

두 곡선 y=x², y=4x²과 직

O 1 -1

-2 2

y

x y=4x@

y=4

선 y=4로 둘러싸인 도형의 y=x@

넓이는 오른쪽 그림의 색칠 한 부분과 같으므로 구하는 넓이는

2à :)1`(4x<sup>2</sup>-x<sup>2</sup>)dx +:!2`(4-x²)dx¡

=2:)1 3x²dx+2:!2`(4-x²)dx

=2[x³]1)+2[4x-;3!;x³]2!=2+:Á3¼:=:Á3¤:

08

^{y=x2+1에서 y'=2x}

이때 x=1에서의 접선의 기울기는 2이므로 점 (1, 2) 에서의 접선의 방정식은

y-2=2(x-1) ∴ y=2x

따라서 오른쪽 그림에서 색칠 ^y

x O 1 2 y=x²+1

y=2x

한 부분의 넓이는 :)1`{(x²+1)-2x}dx

=:)1`(x²-2x+1)dx

=[;3!;x³-x²+x]1)=;3!;

09

^y=x2-2x+k=(x-1)²+k-1의 그래프의 대칭 축은 x=1이므로 B는 x=1에 의하여 이등분된다.

이때 A：B=1：2에서 A=1B2이므로 :)1`(x²-2x+k)dx

x y

O

y=x@-2x+k

x=1 B A

=[;3!;x³-x²+kx]1)

=k-;3@;=0

∴ k=;3@;

02

^{곡선 y=x2}(2-x)와 x축의 교

y=x²{2-x}

x y

O 2

점의 x좌표는 x²(2-x)=0

∴ x=0 또는 x=2 따라서 구하는 넓이는

:)2 x²(2-x)dx=:)2`(2x²-x³)dx

=[;3@;x³-;4!;x⁴]2)=;3$;

03

곡선 y=-x(x-a)와 x축의 교점의 x좌표는 -x(x-a)=0

∴ x=0 또는 x=a

0ÉxÉa에서 y¾0이므로 곡선 y=-x(x-a)와 x 축으로 둘러싸인 도형의 넓이는

:)a`|-x(x-a)|dx=:)a`(-x²+ax)dx

=[-;3!;x³+;2A;x²]a)=13a6³ 따라서 13a6³=:£3ª:이므로 a³=64 ∴ a=4

04

함수 y=f(x)의 그래프는 오

x y

2 1

2 1 O -1

y=f{x}

른쪽 그림과 같으므로 구하는 넓이는

:_1!(x+1)dx

+:!2`(-x²+x+2)dx

=[;2!;x²+x]1_!+[-;3!;x³+;2!;x²+2x]2!

=2+;6&;=:Á6»:

05

^{두 곡선 y=x2+4x-3,}

y=-x²+3의 교점의 x좌 표는

x²+4x-3=-x²+3, x²+2x-3=0, (x-1)(x+3)=0

∴ x=-3 또는 x=1 따라서 구하는 넓이는

:_1#{(-x²+3)-(x²+4x-3)}dx

=:_1#(-2x²-4x+6)dx

=[-;3@;x³-2x²+6x]1_#=:¤3¢:

y

1 x -3 y=x@+4x-3

y=-x@+3 O

62

^{III. 적분}

14

시각 t에서의 점 P의 위치를 x라 하면 x=0+:)t`(2t-t²)dt

=[t²-;3!;t³]t)=-;3!;t³+t²

점 P가 다시 원점을 통과할 때 x=0이므로 -;3!;t³+t²=0, t²(t-3)=0

∴ t=0 또는 t=3

따라서 t=3일 때 점 P는 다시 원점으로 되돌아온다.

15

시각 t에서의 점 P의 위치를 x라 하면 x=0+:)t`(-3t²+6t)dt

=[-t³+3t²]t)=-t³+3t² 점 P의 좌표가 4일 때 x=4이므로 -t³+3t²=4, t³-3t²+4=0 (t+1)(t-2)²=0

∴ t=2 (∵ t¾0)

따라서 t=2일 때 점 P의 좌표가 4이다.

16

^v(t)=-3t2+60t=-3(t-10)²+300

따라서 자동차는 10초 후에 속도가 최대가 되므로 최 대가 되는 지점과 지점 P 사이의 거리는

:)¹⁰(-3t²+60t)dt =[-t³+30t²])¹⁰

=2000 (m)

17

:)5`|v(t)|dt

t v{t}4

4 5 2 O

-5

=:)2`|2t|dt+:@5`|-t²+4t|dt

=:)2 2t dt+:@4`(-t<sup>2</sup>+4t)dt +:$5`(t²-4t)dt

=[t²]2)+[-;3!;t³+2t²]4@+[;3!;t³-2t²]5$

=4+:Á3¤:+;3&;=:£3°:

18

v(t)=50-10t=0에서 t=5

따라서 물체는 던진 지 5초 후에 최고 높이에 도달하 므로 그때의 높이는

20+:)5`(50-10t)dt =20+[50t-5t²]5)

=20+125=145 (m)

19

:)6`|v(t)|dt=;2!;_1_1+;2!;_(1+2)_(3-1) +;2!;_2_(5-3)+;2!;_1_(6-5)

=6

10

^{곡선 y=x2}-2x와 직선 y=ax의 교점의 x좌표는 x²-2x=ax, x²-(a+2)x=0

x{x-(a+2)}=0

∴ x=0 또는 x=a+2 오른쪽 그림에서 색칠한 부분

y=ax

x y

O

y=x@-2x

a+2

의 넓이가 36이므로 :)^a+2{ax-(x²-2x)}dx

=:)^a+2{-x²+(a+2)x}dx

=[-;3!;x³+131a+22 x²]a)⁺²

=13112(a+2)6 ³

즉 13112(a+2)6 ³=36에서

(a+2)³=216, a+2=6 ∴ a=4

11

^{f(x)=ax2(x-2)2} (a>0)이라 하면 :)2 ax²(x-2)²dx

=:)2`(ax⁴-4ax³+4ax²)dx

=[;5A;x⁵-ax⁴+;3$;ax³]2)=;1!5^;a 즉 ;1!5^;a=;5$;이므로 a=;4#;

따라서 구하는 함수는 f(x)=;4#;x²(x-2)²

12

두 함수 y=f(x)와

O y

x 1 1

y=f{x}

y=g{x}

y=x y=g(x)의 그래프는 직선

y=x에 대하여 대칭이므 로 두 함수의 그래프의 교 점의 x좌표는 y=f(x)와 직선 y=x의 교점의 x좌표 와 같다.

즉 x²=x에서 x²-x=0, x(x-1)=0

∴ x=0 또는 x=1

이때 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)로 둘러싸인 도형 의 넓이는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 도 형의 넓이의 2배와 같으므로 구하는 넓이는

2:)1`(x-x²)dx=2[;2!;x-;3!;x³]1)

=2_;6!;=;3!;

13

t=0에서의 위치가 x=0이므로 t=3에서 점 P의 위 치는

0+:)3`(t-t²)dt=[;2!;t²-;3!;t³]3)=-;2(;

문서에서 정답과 해설 (페이지 51-64)