0 6 방정식과 부등식, 속도와 가속도

따라서 함수 f(x)는 x=5에서 극댓값 277, x=9에 서 극솟값 245를 가지므로 구하는 극댓값과 극솟값 의 차는

277-245=32

3

⑴ 직육면체의 밑면의 한 변의 길이는

18-2_2=14 (cm), 높이는 2 cm이므로 구하는 부피는

14²_2=392 (cm³)

⑵ 직육면체의 밑면의 한 변의 길이는 (18-2a) cm, 높이는 a cm이므로 구하는 부피는

(18-2a)²_a=4a³-72a²+324a (cm³)

⑶ f(a)=4a³-72a²+324a로 놓으면

f '(a)=12a²-144a+324=12(a-3)(a-9) f '(a)=0에서 a=3 (∵ 0<a<9)

열린구간 (0, 9)에서 함수 f(a)의 증가와 감소를 표 로 나타내면 다음과 같다.

a 0 y 3 y 9

f '(a) + 0

-f(a) ↗ 극대 ↘

따라서 f(a)는 a=3일 때 극대이면서 최대이므로 직육면체의 부피가 최대가 되도록 하려면 잘라내는 정사각형의 한 변의 길이가 3 cm이어야 한다.

4

⑴ 도넛 1개의 가격을 200원 인상하면 하루 판매량은 2², 즉 4개 감소한다.

따라서 구하는 하루 평균 판매액은 (1000+200)_(100-4)=115200 (원)

⑵ 도넛 1개의 가격을 100x원 인상하면 하루 판매량이 x²개 감소하므로 하루 평균 판매액은

(1000+100x)(100-x²)

=-100x³-1000x²+10000x+100000 (원)

⑶ f(x)=-100x³-1000x²+10000x+100000으로 놓으면

f '(x) =-300x²-2000x+10000

=-100(3x-10)(x+10) f '(x)=0에서 x=:Á3¼: (∵ x>0)

열린구간 (0, ¦)에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x 0 y :Á3¼: y

f '(x) + 0

-f(x) ↗ 극대 ↘

이때 f(x)는 x=:Á3¼:일 때 최댓값 f {:Á3¼:}을 가지므 로 하루 평균 판매액을 최대로 하려고 할 때 도넛의 가격은

1000+100_:Á3¼:=:¢;;¼3¼;;¼:

따라서 적당한 도넛의 가격은 1300원이다.

1

^{-1 f(x)=x3-3x2+1이라 하면}

f '(x)=3x²-6x=3x(x-2) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내고 y=f(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다.

x y 0 y 2 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 1 ↘ -3 ↗

오른쪽 그림에서 함수 ^y

O 2 x

y=f{x}

-3

y=f(x)의 그래프는 x축과 1

서로 다른 세 점에서 만나므 로 방정식 x³-3x²+1=0 의 서로 다른 실근의 개수는 3이다.

1

^{-2 f(x)=2x3+3x2-2라 하면}

f '(x)=6x²+6x=6x(x+1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내고 y=f(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다.

x y -1 y 0 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ -1 ↘ -2 ↗

오른쪽 그림에서 함수 y=f(x) y _y=f{x}

-1 -1 -2

O x

의 그래프는 x축과 한 점에서 만나므로 방정식

2x³+3x²-2=0의 서로 다른 실근의 개수는 1이다.

2

^{-1 f(x)=2x3-3x2+2라 하면}

f '(x)=6x²-6x=6x(x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1

반닫힌 구간 [0, ¦)에서 함수 f(x)의 증가와 감소 를 표로 나타내고 y=f(x)의 그래프를 그리면 다음 과 같다.

x 0 y 1 y

f '(x) 0 - 0 +

f(x) 2 ↘ 1 ↗

즉 함수 f(x)는 x=1에서 극 소이면서 최소이다.

y

x y=f{x}

O 1 2 1

f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내고 y=f(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다.

x y -1 y 1 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 3 ↘ -1 ↗

오른쪽 그림에서 함수 ^y

O -1-1 1

3

1 x y=f{x}

y=f(x)의 그래프는 x축과 서로 다른 세 점에서 만나므 로 방정식 x³-3x+1=0의 서로 다른 실근의 개수는 3 이다.

1

^{-2 f(x)=2x3-3x2+1이라 하면}

f '(x)=6x²-6x=6x(x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내고 y=f(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다.

x y 0 y 1 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 1 ↘ 0 ↗

오른쪽 그림에서 함수 y=f(x) ^y _y=f{x}

1

O 1 x

의 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서 만나므로 방정식 2x³-3x²+1=0의 서로 다른 실근의 개수는 2이다.

2

^{-1 2x3-3x2}-12x-a=0에서 2x³-3x²-12x=a이 므로 주어진 방정식의 실근의 개수는 함수

y=2x³-3x²-12x의 그래프와 직선 y=a의 교점 의 개수와 같다.

f(x)=2x³-3x²-12x라 하면

f '(x)=6x²-6x-12=6(x+1)(x-2) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내고 y=f(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다.

x y -1 y 2 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 7 ↘ -20 ↗

y

O 7

-1

-20

2 x

y=f{x}

y=a

x¾0일 때, 함수 f(x)의 최솟값은 f(1)=1이므로 f(x)=2x³-3x²+2¾0

따라서 x¾0일 때, 부등식 2x³¾3x²-2가 성립한다.

2

^{-2 f(x)=x3-x2-x+2라 하면}

f '(x)=3x²-2x-1=(3x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-;3!; 또는 x=1

반닫힌 구간 [0, ¦)에서 함수 f(x)의 증가와 감소 를 표로 나타내고 y=f(x)의 그래프를 그리면 다음 과 같다.

x 0 y 1 y

f '(x) - 0 +

f(x) 2 ↘ 1 ↗

즉 함수 f(x)는 x=1에서 극 소이면서 최소이다.

x¾0일 때, 함수 f(x)의 최솟값은 f(1)=1이므로 f(x)=x³-x²-x+2¾0

따라서 x¾0일 때, 부등식 x³-x²-x+2¾0이 성 립한다.

3

^-1 점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v=13dxdt=6t+1, a=13dvdt=6

따라서 t=2에서 점 P의 속도와 가속도는 v=6_2+1=13, a=6

3

^-2 점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v=13dxdt=10t-3, a=13dvdt=10

따라서 t=3에서 점 P의 속도와 가속도는 v=10_3-3=27, a=10

y

x y=f{x}

O 1 2 1

-;3!;

1

^{-1 f(x)=x3-3x+1이라 하면}

f '(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1) 기출

기초 테스트

2

^{본문 82~83 쪽}

1 -1 3 1 -2 2

2 -1 -20<a<7 2 -2 -16<a<16 3 -1 k<-2 또는 k>2 3 -2 k=-16 또는 k=16

4 -1 0 4 -2 -4'2

5 -1 속도: 1, 가속도: 6 5 -2 속도: -11, 가속도: -12

6 -1 3 6 -2 1

40

^{II. 미분}

따라서 주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖게 하 는 실수 a의 값의 범위는 -20<a<7

2

^{-2 x3}-12x-a=0에서 x³-12x=a이므로 주어진 방 정식의 실근의 개수는 함수 y=x³-12x의 그래프와 직선 y=a의 교점의 개수와 같다.

f(x)=x³-12x라 하면

f '(x)=3x²-12=3(x+2)(x-2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=2

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내고 y=f(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다.

x y -2 y 2 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 16 ↘ -16 ↗

y

-2 O

-16 16

2 x

y=f{x}

y=a

따라서 주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖게 하 는 실수 a의 값의 범위는 -16<a<16

3

^-1 주어진 곡선과 직선이 한 점에서 만나려면 방정식 x³-x=2x+k, 즉 x³-3x=k yy ㉠ 가 오직 하나의 실근을 가져야 한다.

f(x)=x³-3x라 하면

f '(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내고 y=f(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다.

x y -1 y 1 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 2 ↘ -2 ↗

y

-1 O

-2 2

1 x

y=f{x}

y=k

y=k

방정식 ㉠이 오직 하나의 실근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k가 오직 한 점에서 만나야 하므로

k<-2 또는 k>2

3

^-2 주어진 곡선과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 방정식 x³-8x=4x+k, 즉 x³-12x=k yy ㉠ 가 서로 다른 두 개의 실근을 가져야 한다.

f(x)=x³-12x라 하면

f '(x)=3x²-12=3(x+2)(x-2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=2

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내고 y=f(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다.

x y -2 y 2 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 16 ↘ -16 ↗

y

-2O

-16 16

2 x

y=f{x}

y=k

y=k

방정식 ㉠이 서로 다른 두 개의 실근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k가 서로 다른 두 점에 서 만나야 하므로

k=-16 또는 k=16

4

^{-1 f(x)=x3}-3x+2-p라 하면 f '(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1

반닫힌 구간 [0, ¦)에서 함수 f(x)의 증가와 감소 를 표로 나타내면 다음과 같다.

x 0 y 1 y

f '(x) - 0 +

f(x) -p+2 ↘ -p ↗

즉 함수 f(x)는 x=1에서 극소이면서 최소이다.

x¾0일 때 f(x)¾0이어야 하므로 -p¾0 ∴ pÉ0

따라서 구하는 실수 p의 최댓값은 0이다.

4

^{-2 f(x)=x3-6x-p라 하면}

f '(x)=3x²-6=3(x+'2)(x-'2) f '(x)=0에서 x=-'2 또는 x='2

반닫힌 구간 [0, ¦)에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x 0 y '2 y

f '(x) - 0 +

f(x) -p ↘ -p-4'2 ↗

즉 함수 f(x)는 x='2에서 극소이면서 최소이다.

x¾0일 때 f(x)¾0이어야 하므로 -p-4'2¾0 ∴ pÉ-4'2

따라서 구하는 실수 p의 최댓값은 -4'2이다.

01

^2x3-6x-a=0에서 2x³-6x=a이므로 주어진 방 정식의 실근의 개수는 함수 y=2x³-6x의 그래프와 직선 y=a의 교점의 개수와 같다.

f(x)=2x³-6x라 하면

f '(x)=6x²-6=6(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내고 y=f(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다.

x y -1 y 1 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 4 ↘ -4 ↗

y

-1 O

-4 4

1 x

y=f{x}

y=a

y=a

따라서 주어진 방정식의 실근이 오직 하나이기 위한 실수 a의 값의 범위는 a<-4 또는 a>4

02

^2x3-6x+k=0에서 -2x³+6x=k이므로 주어진 방정식의 실근의 개수는 함수 y=-2x³+6x의 그래 프와 직선 y=k의 교점의 개수와 같다.

f(x)=-2x³+6x라 하면

f '(x)=-6x²+6=-6(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내고 y=f(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다.

x y -1 y 1 y

f '(x) - 0 + 0

-f(x) ↘ -4 ↗ 4 ↘

y

-1O

-4 4

1 x

y=f{x}

y=k

따라서 주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖게 하 는 실수 k의 값의 범위는 -4<k<4

03

주어진 곡선과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 방정식 x³-2x=x+k, 즉 x³-3x=k yy ㉠ 가 서로 다른 두 개의 실근을 가져야 한다.

5

^-1 점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v=13dxdt=3t²-2, a=13dvdt=6t

따라서 t=1에서 점 P의 속도와 가속도는 v=3_1-2=1, a=6_1=6

5

^-2 점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v=13dxdt=-3t²+1, a=13dvdt=-6t

따라서 t=2에서 점 P의 속도와 가속도는 v=-3_4+1=-11, a=-6_2=-12

6

^-1 점 P의 시각 t에서의 속도를 v라 하면 v=13dxdt=3t²-27

t>0이고 점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로

v=3t²-27=3(t+3)(t-3)=0에서 t=3 따라서 점 P는 t=3일 때 운동 방향을 바꾼다.

6

^-2 점 P의 시각 t에서의 속도를 v라 하면 v=13dxdt=3t²-3

t>0이고 점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로

v=3t²-3=3(t+1)(t-1)=0에서 t=1 따라서 점 P는 t=1일 때 운동 방향을 바꾼다.

교과서

기본 테스트

3

^{본문 84~87 쪽}

01 a<-4 또는 a>4 02 -4<k<4 03 k=-2 또는 k=2 04 -1<a<0 05 2 06 -1 07 풀이 참조

08 풀이 참조 09 a¾24 10 10 11 -'3<k<'3 12 -8 13 ① 14 ② 15 -6 16 2 17 0 18 ;2!;<t<4 19 속도: 15.3 m/s, 가속도: -0.9 m/s²

20 ⑤ 21 1초 22 2

23 시간: 10초, 움직인 거리: 45 m 24 20 m

42

^{II. 미분}

함수 g(x)의 증가와 감소를 표로 나타내고 y=g(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다.

x y -1 y 1 y

g '(x) + 0 - 0 +

g(x) ↗ 4 ↘ 0 ↗

오른쪽 그림에서 함수 ^y

-1O 4 2

1 x

y=g{x}

y=g(x)의 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서 만나므 로 방정식 x³-3x+2=0, 즉 f(x)=-3의 서로 다른 실근의 개수는 2이다.

06

^f(x)=ax3+bx2+cx+d(a, b, c, d는 상수, a+0) 라 하면 f(0)=0이므로 d=0

f '(x)=3ax²+2bx+c

주어진 그래프에서 f '(-2)=0, f '(1)=0이므로 f '(x)=3a(x+2)(x-1) (a>0)

또 f '(0)=-2이므로 -6a=-2 ∴ a=;3!;

따라서 f '(x)=(x+2)(x-1)=x²+x-2이므로 b=;2!;, c=-2

∴ f(x)=;3!;x³+;2!;x²-2x

x y -2 y 1 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ :Á3¼: ↘ -;6&; ↗

함수 y=f(x)의 그래프 ^y

-2O 1 x y=f{x}

-;6&;

:Á3¼:

y=k

는 오른쪽 그림과 같으므 로 방정식 f(x)=k가 서 로 다른 세 실근을 갖도 록 하는 k의 값의 범위는 -;6&;<k<:Á3¼:

따라서 구하는 정수 k의 최솟값은 -1이다.

07

f(x)=xÝ`+2x²-8x+5라 하면

f '(x)=4x³+4x-8=4(x-1)(x²+x+2) f '(x)=0에서 x=1

함수 f(x)의 증가와 감소를 x y 1 y

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ 0 ↗

표로 나타내면 오른쪽과 같

다. 따라서 f(x)는 x=1에서

최솟값 0을 가지므로 모든 실수 x에 대하여 f(x)¾0 이다. 즉 모든 실수 x에 대하여 부등식

xÝ`+2x²+5¾8x가 성립한다.

08

f(x)=3xÝ`-4x³+1이라 하면 f '(x)=12x³-12x²=12x²(x-1) f(x)=x³-3x라 하면

f '(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내고 y=f(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다.

x y -1 y 1 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 2 ↘ -2 ↗

y

-1O

-2 2

1 x

y=f{x}

y=k

y=k

방정식 ㉠이 서로 다른 두 개의 실근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k가 서로 다른 두 점에 서 만나야 하므로

k=-2 또는 k=2

04

^{4x3-3x-a=0에서}

4x³-3x=a

f(x)=4x³-3x라 하면

f '(x)=12x²-3=3(2x+1)(2x-1) f '(x)=0에서 x=-;2!; 또는 x= ;2!;

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내고 y=f(x) 의 그래프를 그리면 다음과 같다.

x y -;2!; y ;2!; y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 1 ↘ -1 ↗

y

-;2!;O

-1 1

x y=f{x}

y=a

;2!;

함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=a의 교점의 x좌표 가 한 개는 음수, 두 개는 서로 다른 양수가 되도록 하 는 실수 a의 값의 범위는 -1<a<0

05

f(x)=-3에서 x³-3x-1=-3이므로 x³-3x+2=0

g(x)=x³-3x+2라 하면

g'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1) g'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1

f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y 0 y 1 y

f '(x) - 0 - 0 +

f(x) ↘ 1 ↘ 0 ↗

따라서 f(x)는 x=1에서 최솟값 0을 가지므로 모든 실수 x에 대하여 f(x)¾0이다.

즉 모든 실수 x에 대하여 부등식 3xÝ`¾4x³-1이 성립 한다.

09

f(x)=xÝ`-6x²-8x+a라 하면

f '(x)=4x³-12x-8=4(x+1)²(x-2) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -1 y 2 y

f '(x) - 0 - 0 +

f(x) ↘ a+3 ↘ a-24 ↗

따라서 f(x)는 x=2에서 최솟값 a-24를 가지므로 모든 실수 x에 대하여 f(x)¾0이 성립하려면 a-24¾0

∴ a¾24

10

^{f(x)=x3-5x2+3x+k로 놓으면}

f '(x)=3x²-10x+3=(3x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=;3!; 또는 x=3

반닫힌 구간 [0, ¦)에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x 0 y ;3!; y 3 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) k ↗ k+;2!7#; ↘ k-9 ↗

따라서 f(x)는 x=3에서 최솟값 k-9를 가지므로 x¾0일 때 f(x)>0이 성립하려면

k-9>0 ∴ k>9

따라서 구하는 정수 k의 최솟값은 10이다.

11

^{f(x)=x4-4k3x+27로 놓으면}

f '(x)=4x³-4k³=4(x-k)(x²+kx+k²) f '(x)=0에서 x=k

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y k y

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ -3kÝ`+27 ↗

따라서 f(x)는 x=k에서 최솟값 -3kÝ`+27을 가지 므로 모든 실수 x에 대하여 f(x)>0이 성립하려면 -3kÝ`+27>0

kÝ`-9<0, (k²+3)(k²-3)<0 (k²+3)(k+'3)(k-'3)<0

∴ -'3<k<'3

12

^{f(x)=x3-2x2-4x-p로 놓으면}

f '(x)=3x²-4x-4=(3x+2)(x-2) f '(x)=0에서 x=-;3@; 또는 x=2

반닫힌 구간 [0, ¦)에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x 0 y 2 y

f '(x) - 0 +

f(x) -p ↘ -p-8 ↗

따라서 f(x)는 x=2에서 최솟값 -p-8을 가지므로 x¾0일 때 f(x)¾0이 성립하려면

-p-8¾0 ∴ pÉ-8

따라서 구하는 실수 p의 최댓값은 -8이다.

13

h(x)=f(x)-g(x)라 하면

h(x) =xÝ`+x²-6x-(-2x²-16x+a)

=xÝ`+3x²+10x-a

h'(x)=4x³+6x+10=2(x+1)(2x²-2x+5) h'(x)=0에서 x=-1

-2ÉxÉ0에서 함수 h(x)의 증가와 감소를 표로 나 타내면 다음과 같다.

x -2 y -1 y 0

h'(x) - 0 +

h(x) -a+8 ↘ -a-6 ↗ -a

따라서 h(x)는 x=-1에서 최솟값 -a-6을 가지 므로 -2ÉxÉ0일 때 h(x)>0이 성립하려면 -a-6>0

∴ a<-6

14

h(x)=f(x)-g(x)라 하면

h(x) =xÝ`+3x³-2x²-9x-(3x³+4x²-x+a)

=xÝ`-6x²-8x-a

h'(x)=4x³-12x-8=4(x+1)²(x-2) h'(x)=0에서 x=-1 또는 x=2

함수 h(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -1 y 2 y

h'(x) - 0 - 0 +

h(x) ↘ -a+3 ↘ -a-24 ↗

따라서 h(x)는 x=2에서 최솟값 -a-24를 가지므 로 모든 실수 x에 대하여 h(x)¾0이 성립하려면

44

^{II. 미분}

-a-24¾0 ∴ aÉ-24

따라서 구하는 실수 a의 최댓값은 -24이다.

15

점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v=13dxdt=3t²-18t+27, a=13dvdt=6t-18 3t²-18t+27=3에서

3t²-18t+24=0, t²-6t+8=0 (t-2)(t-4)=0 ∴ t=2 또는 t=4

따라서 점 P의 속도가 처음으로 3이 되는 순간은 t=2 일 때이고, 이때의 가속도는

a=6_2-18=-6

16

점 P의 시각 t에서의 속도를 v라 하면 v=13dxdt=12-6t

점 P가 운동 방향을 바꿀 때의 속도는 0이므로 12-6t=0에서 t=2

17

점 P가 원점에 있을 때의 시각을 구하면 t³-4t²+4t=0에서 t(t-2)²=0

즉 점 P가 출발한 후 다시 원점을 지나는 순간은 t=2 일 때이다.

점 P의 속도를 v라 하면 v=13dxdt=3t²-8t+4 이므로 t=2일 때의 속도는 v=3_4-8_2+4=0

18

두 점 P, Q의 속도를 각각 vP, vQ라 하면 vP=f '(t)=4t-2, vQ=g '(t)=2t-8

두 점 P, Q가 서로 반대 방향으로 움직이면 vPvQ<0 이므로

(4t-2)(2t-8)<0, (2t-1)(t-4)<0

∴ ;2!;<t<4

19

제동을 건 지 t초 후의 열차의 속도를 v, 가속도를 a라 하면

v=13dxdt=-0.9t+18, a=13dvdt=-0.9 따라서 제동을 건 지 3초 후의 열차의 속도는 -0.9_3+18=15.3 (m/s)

이고, 가속도는 -0.9 m/s²이다.

20

두 점 P, Q의 속도를 각각 vP, vQ라 하면 vP=f '(t)=t²+4, vQ=g '(t)=4t

두 점 P, Q의 속도가 같아지는 시각을 구하면 t²+4=4t에서 t²-4t+4=0

(t-2)²=0 ∴ t=2

t=2에서의 두 점 P, Q의 위치는 각각 f(2)=;3*;+8-;3@;=10, g(2)=8-10=-2 이므로 두 점 P, Q 사이의 거리는

|10-(-2)|=12 따라서 a=2, b=12이므로 a+b=14

21

t초 후의 공의 속도를 v라 하면 v=13dxdt=10-10t

최고 높이에 도달하는 순간의 속도는 0이므로 10-10t=0에서 t=1 (초)

22

^f(x)=x3+ax2+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면 f '(x)=3x²+2ax+b

조건 ㈎에서 f(0)=c=2, f '(0)=b=0

이때 방정식 | f(x)|=2의 서로 다른 실근의 개수가 4이려면 y=| f(x)|의 그래 ^y

O 2

x y=|f{x}|

y=2

프와 직선 y=2가 오른쪽 그 림과 같이 서로 다른 네 점에 서 만나야 하므로 함수 y=| f(x)|의 그래프는 오 른쪽 그림과 같아야 한다.

즉 함수 y=f(x)의 극솟값은 -2이다.

f '(x)=3x²+2ax=x(3x+2a)

이므로 f '(x)=0에서 x=0 또는 x=-;3@;a 따라서 f {-;3@;a}=-2에서

{-;3@;a}³+a{-;3@;a}²+2=-2

;2¢7;a³+2=-2, a³=-27 ∴ a=-3 따라서 f(x)=x³-3x²+2이므로 f(3)=27-3_9+2=2

23

제동을 건 지 t초 후의 열차의 속도를 v라 하면 v=13dxdt=-0.9t+9

열차가 정지할 때의 속도는 0이므로 -0.9t+9=0 ∴ t=10 (초)

따라서 열차가 정지할 때까지 움직인 거리는 -0.45_100+9_10=45 (m)

24

t초 후의 공의 속도를 v라 하면 v=13dxdt=20-10t

최고 높이에 도달하는 순간의 속도는 0이므로 20-10t=0에서 t=2 (초)

따라서 공이 올라간 최고 높이는 20_2-5_4=20 (m)

1

⑴ f(t)=-t³+at²+bt+20에서 f '(t)=-3t²+2at+b t=4에서 극댓값 20을 가지므로

f(4)=20에서 -64+16a+4b+20=20

∴ 4a+b=16 yy ㉠ 또 f '(4)=0에서 -48+8a+b=0

∴ 8a+b=48 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=8, b=-16

∴ f(t)=-t³+8t²-16t+20

⑵ f '(t)=-3t²+16t-16=-(3t-4)(t-4) f '(t)=0에서 t=;3$; 또는 t=4

함수 f(t)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

t 0 y ;3$; y 4 y

f '(t) - 0 + 0

-f(t) 20 ↘ :ª2¥7¢: ↗ 20 ↘

t y=f{t}

O 4

y 20

:ª2¥7¢:

;3$;

y=k

따라서 이륙 후 높이가 k인 순간이 3번 있을 때 k의 값의 범위는 :ª2¥7¢:<k<20

⑶ 이륙 후 높이가 k인 순간이 2번 있을 때는 k=:ª2¥7¢:

2

⑴ f '(x)=6x²-6x=6x(x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1

반닫힌 구간 [0, ¦)에서 함수 f(x)의 증가와 감소 를 표로 나타내면 다음과 같다.

x 0 y 1 y

f '(x) 0 - 0 +

f(x) a ↘ a-1 ↗

즉 x¾0일 때 함수 f(x)는 x=1에서 극소이면서 최 소이므로 최솟값은 a-1이다.

1 ⑴ f(t)=-t³+8t²-16t+20 ⑵ :ª2¥7¢:<k<20 ⑶ :ª2¥7¢:

2 ⑴ a-1 ⑵ a¾1 ⑶ 1

3 ⑴ 시간: 3초, 높이: 45 m ⑵ -30 m/s 4 ⑴ 2t m ⑵ x=:Á3¼:t ⑶ :Á3¼: m/s

창의력·융합형·서술형·코딩

^{본문 88~89 쪽} ⑵ x¾0일 때 f(x)¾0이 성립하려면 (f(x)의 최솟값)¾0이어야 하므로 a-1¾0 ∴ a¾1 yy ㉠

⑶ x¾0일 때 -2x³+3x²Éa, 즉 2x³-3x²+a¾0을 만족시키는 실수 a의 최솟값은 ㉠에서 1이다.

3

t초 후의 물 로켓의 속도를 v라 하면 v=145dhdt=-10t+30

⑴ 최고 높이에 도달하는 순간의 속도는 0이므로 -10t+30=0에서 t=3 (초)

따라서 물 로켓이 최고 높이에 도달하는 데 걸리는 시간은 3초이고 이때의 높이는

-5_9+30_3=45 (m)

⑵ 물 로켓이 지면에 떨어질 때의 높이는 0이므로 -5t²+30t=0에서 -5t(t-6)=0

∴ t=6

따라서 t=6일 때의 속도는 -10_6+30=-30 (m/s)

4

^{⑴ 2t m}

⑵ 오른쪽 그림에서

B E C

D A

x`m 4.5`m

1.8`m

△ABC»△DEC이므로 4.5 : 1.8=x : ECÌÌÕ

∴ ECÕ=1341.84.5_x=;5@;x x=BEÕ+ECÕ이므로

x=2t+;5@;x, ;5#;x=2t ∴ x=:Á3¼:t

⑶ 수현이의 그림자 끝이 움직이는 속도를 v라 하면 v=12dxdt=:Á3¼: (m/s)

46

^{II. 미분}

문서에서 정답과 해설 (페이지 39-51)