제9장

제9장

최적화분석

제9장

최적화분석

l 최적화분석 l 최적화분석

u 개요 (introduction) u 개요 (introduction)

è

목적균형(goal equilibrium)

어떤 경제단위(가계, 기업 또는 경제 전체)의 관점에서 최적상태를 정의하고, 균형을 달성하기 위해 의도적으로 노력하는 것

è

비목적균형(non-goal equilibrium)

어떤 대립되는 힘들이 상호작용하여 균형상태를 실현함. 즉, 특정 목적을 달성하기 위하여 일부 개인들의 의식적 노력의 결과가 아닌 것(예 : 시장모형에서 수요와 공급)

è

목적균형(goal equilibrium)

어떤 경제단위(가계, 기업 또는 경제 전체)의 관점에서 최적상태를 정의하고, 균형을 달성하기 위해 의도적으로 노력하는 것

è

비목적균형(non-goal equilibrium)

어떤 대립되는 힘들이 상호작용하여 균형상태를 실현함. 즉, 특정 목적을 달성하기 위하여 일부 개인들의 의식적 노력의 결과가 아닌 것(예 : 시장모형에서 수요와 공급)

l 최적화분석 l 최적화분석

u 최적값과 극값 u 최적값과 극값

è

최적값과 극값(optimum and extreme values) - 경제학은 선택의 학문(science of choice)임.

특정 기준을 바탕으로 많은 대안적 방법(생산수준 및 생산요소의 결정 등) 중에서 최선의 대안을 선택

®

최적화의 문제 (problem of optimization)

- 경제학에서 보편적인 선택기준은 극대화(maximizing) 하는 목적이나 극소화(minimizing)하는 목적임.

maximizing something, such as profit, utilities etc.

minimizing something, such as cost etc.

è

최적값과 극값(optimum and extreme values) - 경제학은 선택의 학문(science of choice)임.

특정 기준을 바탕으로 많은 대안적 방법(생산수준 및 생산요소의 결정 등) 중에서 최선의 대안을 선택

®

최적화의 문제 (problem of optimization)

- 경제학에서 보편적인 선택기준은 극대화(maximizing) 하는 목적이나 극소화(minimizing)하는 목적임.

maximizing something, such as profit, utilities etc.

minimizing something, such as cost etc.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 최적값과 극값 u 최적값과 극값

è

최적값과 극값(optimum and extreme values)

-

경제학에서는 극대화와 극소화의 문제를 일반적으로 최적화의 문제라고 함

.

- 최적화의 문제(problem of optimization)

주어진 여건하에서 원하는 것을 극대화 또는 원하지 않는 것을 극소화하는 것으로 경제주체가 주어진

여건하에서 목적의 극대화 또는 극소화를 달성하는데 여러 가지 대안 중 최선의 대안을 찾는 것이 최적화 문제의 본질임.

è

최적값과 극값(optimum and extreme values)

-

경제학에서는 극대화와 극소화의 문제를 일반적으로 최적화의 문제라고 함

.

- 최적화의 문제(problem of optimization)

주어진 여건하에서 원하는 것을 극대화 또는 원하지 않는 것을 극소화하는 것으로 경제주체가 주어진

여건하에서 목적의 극대화 또는 극소화를 달성하는데 여러 가지 대안 중 최선의 대안을 찾는 것이 최적화 문제의 본질임.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 최적값과 극값 u 최적값과 극값

è

최적화모형의 설정

- 최적화문제를 구성함에 있어서 우선, 목적함수(objective function)를 설정해야 함.

목적함수란 바람직한 극대값 또는 극소값을 가져오는 선택변수(choice variable)를 설정하는 것임.

• 종속변수(dependent variable)=목적 : 극대화 또는 극소화의 대상

• 독립변수(independent variable)=선택변수 : 최적화 대상의 크기를 선택할 수 있는 대상

è

최적화모형의 설정

- 최적화문제를 구성함에 있어서 우선, 목적함수(objective function)를 설정해야 함.

목적함수란 바람직한 극대값 또는 극소값을 가져오는 선택변수(choice variable)를 설정하는 것임.

• 종속변수(dependent variable)=목적 : 극대화 또는 극소화의 대상

• 독립변수(independent variable)=선택변수 : 최적화 대상의 크기를 선택할 수 있는 대상

l 최적화분석 l 최적화분석

u 최적값과 극값 u 최적값과 극값

è

최적화모형의 설정

- 예 : 어떤 기업이 생산기술과 시장수요가 주어졌을 때 이윤극대화 산출량수준의 선택

p(Q)=TR(Q)-TC(Q) : 목적함수

여기서 p는 종속변수로 극대화 대상이며, Q는 이 함수의 (유일한) 선택변수(그 자체가 극대값 또는 극소값일 필요는 없음)임.

- 따라서 최적화문제는 위의 예에서와 같이 이윤(p)을 극대화하는 산출량(Q)의 수준을 선택하는 것임.

è

최적화모형의 설정

- 예 : 어떤 기업이 생산기술과 시장수요가 주어졌을 때 이윤극대화 산출량수준의 선택

p(Q)=TR(Q)-TC(Q) : 목적함수

여기서 p는 종속변수로 극대화 대상이며, Q는 이 함수의 (유일한) 선택변수(그 자체가 극대값 또는 극소값일 필요는 없음)임.

- 따라서 최적화문제는 위의 예에서와 같이 이윤(p)을 극대화하는 산출량(Q)의 수준을 선택하는 것임.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법 u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법

è

상대적 극값 및 절대적 극값(relative and absolute extreme) - 목적함수 y=f(x)가 일반함수 형태로 표시

- 상대적 극값 : 극대, 극소(국지적 극값; local extreme) - 절대적 극값 : 최대, 최소(전역적 극값; global extreme)

è

상대적 극값 및 절대적 극값(relative and absolute extreme)

- 목적함수 y=f(x)가 일반함수 형태로 표시

- 상대적 극값 : 극대, 극소(국지적 극값; local extreme) - 절대적 극값 : 최대, 최소(전역적 극값; global extreme)

l 최적화분석 l 최적화분석

u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법 u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법

è

상대적 극값 및 절대적 극값(relative and absolute extreme) - [그림 9.1](a)와 같이 상수함수이면 y를 극대화 또는

극소화하기 위한 x값을 선택한다는 것은 의미없음.

- [그림 9.1](b)의 함수는 강증가함수임. 만약 이 함수의 정의역이 비음실수집합이라면(x³0) 유일한 극대값은 존재하지 않음. 그러나 D점(y축 절편)은 함수의 치역 에서 절대적(=전역적) 극소임.

- [그림 9.1](c)의 E점과 F점은 상대적(=국지적) 극점임.

상대적 극점이란 그 점의 근방에서 극값을 의미함.

è

상대적 극값 및 절대적 극값(relative and absolute extreme)

- [그림 9.1](a)와 같이 상수함수이면 y를 극대화 또는 극소화하기 위한 x값을 선택한다는 것은 의미없음.

- [그림 9.1](b)의 함수는 강증가함수임. 만약 이 함수의 정의역이 비음실수집합이라면(x³0) 유일한 극대값은 존재하지 않음. 그러나 D점(y축 절편)은 함수의 치역 에서 절대적(=전역적) 극소임.

- [그림 9.1](c)의 E점과 F점은 상대적(=국지적) 극점임.

상대적 극점이란 그 점의 근방에서 극값을 의미함.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법 u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)

- 이제부터 어떤 함수의 도함수를 그 함수의 1계도함수 라고 함. 왜냐하면 함수 y=f(x)가 주어지면 1계도함수 f¢(x)는 그 함수의 극값을 탐색하는데 중요한 역할을 함.

- 이것은 함수의 상대적 극값이 x=x₀에서 이루어진다면

⑴

f¢(x)가 존재하지 않거나

또는 ⑵ f¢(x₀)=0이 됨.

즉, 이는

뾰족점에서는 극값이 존재하지만 도함수는 정의되지 않음

. 함수가 연속이고 곡선이 매끄러우면 상대적 극값은 1계도함수의 값이 0인 곳에서 발생함.

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)

- 이제부터 어떤 함수의 도함수를 그 함수의 1계도함수 라고 함. 왜냐하면 함수 y=f(x)가 주어지면 1계도함수 f¢(x)는 그 함수의 극값을 탐색하는데 중요한 역할을 함.

- 이것은 함수의 상대적 극값이 x=x₀에서 이루어진다면

⑴

f¢(x)가 존재하지 않거나

또는 ⑵ f¢(x₀)=0이 됨.

즉, 이는

뾰족점에서는 극값이 존재하지만 도함수는

정의되지 않음

. 함수가 연속이고 곡선이 매끄러우면 상대적 극값은 1계도함수의 값이 0인 곳에서 발생함.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법 u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)

- [그림 9.2](a)에서 점 A와 점 B는 y의 상대적 극값임.

그러나 도함수는 정의되지 않음[뾰족점(꼭지점)].

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)

- [그림 9.2](a)에서 점 A와 점 B는 y의 상대적 극값임.

그러나 도함수는 정의되지 않음[뾰족점(꼭지점)].

l 최적화분석 l 최적화분석

u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법 u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)

- [그림 9.2](b)에서 점 C와 점 D는 모두 극값을 나타냄.

각 극점에서 곡선의 기울기는 0, 즉 f¢(x₁)=0, f¢(x₂)=0 - 또한 이것은 그 기울기가 0이 아닐 때 상대적 극소와

상대적 극대는 가질 수 없음을 의미함.

- 이 때문에 연속적이고 매끄러운 함수의 경우 f¢(x)=0은 상대적 극점(극대 또는 극소)을 갖기 위한 필요조건 (전제조건)이 됨.

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)

- [그림 9.2](b)에서 점 C와 점 D는 모두 극값을 나타냄.

각 극점에서 곡선의 기울기는 0, 즉 f¢(x₁)=0, f¢(x₂)=0 - 또한 이것은 그 기울기가 0이 아닐 때 상대적 극소와

상대적 극대는 가질 수 없음을 의미함.

- 이 때문에 연속적이고 매끄러운 함수의 경우 f¢(x)=0은 상대적 극점(극대 또는 극소)을 갖기 위한 필요조건 (전제조건)이 됨.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법 u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test) [상대적 극값에 대한 1계도함수 검증법]

만약 x=x₀에서 함수 f(x)의 1계도함수 f¢(x)=0이면 x=x₀에서 함수값 f(x₀)는

⑴ 만약 x의 값이 점 x₀의 바로 왼쪽에서 바로 오른쪽 으로 통과할 때 도함수 f¢(x)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 변하면 상대적 극대임.

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test) [상대적 극값에 대한 1계도함수 검증법]

만약 x=x₀에서 함수 f(x)의 1계도함수 f¢(x)=0이면 x=x₀에서 함수값 f(x₀)는

⑴ 만약 x의 값이 점 x₀의 바로 왼쪽에서 바로 오른쪽 으로 통과할 때 도함수 f¢(x)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 변하면 상대적 극대임.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법 u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test) [상대적 극값에 대한 1계도함수 검증법]

⑵ 만약 x의 값이 점 x₀의 바로 오른쪽에서 바로 왼쪽 으로 통과할 때 도함수 f¢(x)의 부호가 음(-)에서

양(+)으로 변하면 상대적 극소임.

⑶ 만약 x값이 점 x₀의 바로 왼쪽과 바로 오른쪽에서 도함수 f¢(x)의 부호가 같다면 상대적 극대도 상대적 극소도 아님(변곡점).

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test) [상대적 극값에 대한 1계도함수 검증법]

⑵ 만약 x의 값이 점 x₀의 바로 오른쪽에서 바로 왼쪽 으로 통과할 때 도함수 f¢(x)의 부호가 음(-)에서

양(+)으로 변하면 상대적 극소임.

⑶ 만약 x값이 점 x₀의 바로 왼쪽과 바로 오른쪽에서 도함수 f¢(x)의 부호가 같다면 상대적 극대도 상대적 극소도 아님(변곡점).

l 최적화분석 l 최적화분석

u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법 u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test) - 따라서 다음 graph의 J점은 극대도 극소도 아님.

이러한 점을 변곡점(inflection point)이라 함.

- 변곡점의 특징은 그 점에서(원시함수가 아니라) 도함수가 극값(극대 또는 극소)에 도달함.

- 이상을 정리하면 함수 y=f(x)가 연속미분가능할 때 최적화의 1계도함수 검증법에 의하면 f¢(x)=0는 상대적 극값의 필요조건이 됨. 즉, 상대적 극값은 반드시 정지값 이지만 정지값은 상대적 극값이 아닐 수 있음(변곡점).

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test) - 따라서 다음 graph의 J점은 극대도 극소도 아님.

이러한 점을 변곡점(inflection point)이라 함.

- 변곡점의 특징은 그 점에서(원시함수가 아니라) 도함수가 극값(극대 또는 극소)에 도달함.

- 이상을 정리하면 함수 y=f(x)가 연속미분가능할 때 최적화의 1계도함수 검증법에 의하면 f¢(x)=0는 상대적 극값의 필요조건이 됨. 즉, 상대적 극값은 반드시 정지값 이지만 정지값은 상대적 극값이 아닐 수 있음(변곡점).

l 최적화분석 l 최적화분석

u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법 u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)

l 최적화분석 l 최적화분석

u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법 u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test) 예 1 : 함수 y=f(x)=x³-12x²+36x+8의 상대적 극값은?

- 우선, 이 함수의 도함수를 구하면 f¢(x)=3x²-24x+36 - 임계값을 구하기 위하여 이 도함수를 0으로 놓으면

3x²-24x+36=0 [¬ f¢(x)=0] : 3(x-6)(x-2)=0

- 위 다항식을 인수분해 또는 근의 공식을 적용하면

x₁*=6 [이 점에서 f¢(6)=0이고, f(6)=8 : 상대적 극소]

x₂*=2 [이 점에서 f¢(2)=0이고, f(2)=40 : 상대적 극대]

- 따라서 f¢(6)=f¢(2)=0이므로 이 2개의 x값이 임계값임.

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test) 예 1 : 함수 y=f(x)=x³-12x²+36x+8의 상대적 극값은?

- 우선, 이 함수의 도함수를 구하면 f¢(x)=3x²-24x+36 - 임계값을 구하기 위하여 이 도함수를 0으로 놓으면

3x²-24x+36=0 [¬ f¢(x)=0] : 3(x-6)(x-2)=0

- 위 다항식을 인수분해 또는 근의 공식을 적용하면

x₁*=6 [이 점에서 f¢(6)=0이고, f(6)=8 : 상대적 극소]

x₂*=2 [이 점에서 f¢(2)=0이고, f(2)=40 : 상대적 극대]

- 따라서 f¢(6)=f¢(2)=0이므로 이 2개의 x값이 임계값임.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법 u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test) 함수 y=f(x)=x³-12x²+36x+8의 graph

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test) 함수 y=f(x)=x³-12x²+36x+8의 graph

l 최적화분석 l 최적화분석

u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법 u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test) - 앞의 함수를 [그림 9.4]를 통해 살펴보면 x=6 근방에서

x<6일 때 f¢(x)<0이고, x>6일 때 f¢(x)>0임.

따라서 그 점에 대응하는 함수값 f(6)=8은 상대적 극소값임.

- 그리고 x=2 근방에서 x<2일 때 f¢(x)>0이고, x>2일 때 f¢(x)<0임.

따라서 그 점에 대응하는 함수값 f(2)=40은 상대적 극대값임.

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test) - 앞의 함수를 [그림 9.4]를 통해 살펴보면 x=6 근방에서

x<6일 때 f¢(x)<0이고, x>6일 때 f¢(x)>0임.

따라서 그 점에 대응하는 함수값 f(6)=8은 상대적 극소값임.

- 그리고 x=2 근방에서 x<2일 때 f¢(x)>0이고, x>2일 때 f¢(x)<0임.

따라서 그 점에 대응하는 함수값 f(2)=40은 상대적 극대값임.

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u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법 u 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)

예 2 : 평균비용함수 AC=f(Q)=Q²-5Q+8의 상대적 극값?

- 우선, 이 함수의 도함수를 구하면 f¢(Q)=2Q-5 - 임계값을 구하기 위하여 f¢(Q)=0으로 놓으면

2Q-5=0 [¬ f¢(Q)=0], Q*=2.5 (유일한 임계값)

- 1계도함수 검증법을 이용하기 위하여, 예를 들어 Q=

2.4 및 2.6을 대입하면 f¢(2.4)=-0.2(<0)이고 f¢(2.6)=

0.2(>0)임. 따라서 정지값 f(2.5)=1.75는 상대적 극소 - U자형 곡선이므로 상대적 극소는 절대적 극소도 됨.

è

1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)

예 2 : 평균비용함수 AC=f(Q)=Q²-5Q+8의 상대적 극값?

- 우선, 이 함수의 도함수를 구하면 f¢(Q)=2Q-5 - 임계값을 구하기 위하여 f¢(Q)=0으로 놓으면

2Q-5=0 [¬ f¢(Q)=0], Q*=2.5 (유일한 임계값)

- 1계도함수 검증법을 이용하기 위하여, 예를 들어 Q=

2.4 및 2.6을 대입하면 f¢(2.4)=-0.2(<0)이고 f¢(2.6)=

0.2(>0)임. 따라서 정지값 f(2.5)=1.75는 상대적 극소 - U자형 곡선이므로 상대적 극소는 절대적 극소도 됨.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

도함수의 도함수(derivative of derivative)

1계도함수 f¢(x)를 미분한 결과를 함수 f의 2계도함수 (second or second derivative)라고 함.

- f²(x) : 여기서 2중 프라임기호는 f(x)가 x에 대하여 두 번 미분한 것을 의미함. 또한 2중 프라임기호 뒤 (x)는 2계도함수가 다시 x의 함수임을 나타냄.

- : 이 표기법은 2계도함수가 사실상 를 의미한다는 것에서 유래.

따라서 기호의 분자에 d², 분모에 dx²이 나타남.

è

도함수의 도함수(derivative of derivative)

1계도함수 f¢(x)를 미분한 결과를 함수 f의 2계도함수 (second or second derivative)라고 함.

- f²(x) : 여기서 2중 프라임기호는 f(x)가 x에 대하여 두 번 미분한 것을 의미함. 또한 2중 프라임기호 뒤 (x)는 2계도함수가 다시 x의 함수임을 나타냄.

- : 이 표기법은 2계도함수가 사실상 를 의미한다는 것에서 유래.

따라서 기호의 분자에 d², 분모에 dx²이 나타남. d²y

dx²

dy dx d

dx

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

도함수의 도함수(derivative of derivative)

미분가능성의 조건만 충족된다면 2계도함수 또한 x의 함수이므로 이것을 x에 대하여 미분할 수 있으며,

그 결과로 3계도함수도 얻을 수 있음. 이러한 과정을 통하여 3계도함수로부터 4계도함수가 얻어지고,

다시 이러한 과정이 계속될 수 있음(®고계도함수).

f²¢(x), f⁽⁴⁾(x), L, f⁽ⁿ⁾(x) [상첨자를 ( )로 묶음]

또는 , , L,

è

도함수의 도함수(derivative of derivative)

미분가능성의 조건만 충족된다면 2계도함수 또한 x의 함수이므로 이것을 x에 대하여 미분할 수 있으며,

그 결과로 3계도함수도 얻을 수 있음. 이러한 과정을 통하여 3계도함수로부터 4계도함수가 얻어지고,

다시 이러한 과정이 계속될 수 있음(®고계도함수).

f²¢(x), f⁽⁴⁾(x), L, f⁽ⁿ⁾(x) [상첨자를 ( )로 묶음]

또는 d³y , , L, dx³

d⁴y dx⁴

dⁿy dxⁿ

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

도함수의 도함수(derivative of derivative)

예 1 : 다음 함수의 1계에서 5계까지의 도함수?

y=f(x)=4x⁴-x³+17x²+3x-1 - 각 계도함수는 다음과 같음.

f¢(x)=16x³-3x²+34x+3 f²(x)=48x²-6x+34

f²¢(x)=96x-6 f⁽⁴⁾(x)=96 f⁽⁵⁾(x)=0

è

도함수의 도함수(derivative of derivative)

예 1 : 다음 함수의 1계에서 5계까지의 도함수?

y=f(x)=4x⁴-x³+17x²+3x-1 - 각 계도함수는 다음과 같음.

f¢(x)=16x³-3x²+34x+3 f²(x)=48x²-6x+34

f²¢(x)=96x-6 f⁽⁴⁾(x)=96 f⁽⁵⁾(x)=0

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

도함수의 도함수(derivative of derivative)

- 앞의 예에서 각각의 도함수는 바로 전의 도함수보다 한 차수 낮은 다항함수가 됨.

- 또한 상수의 도함수가 되는 5계도함수는 모든 x값에 대하여 0이 됨.

- 여기서 두 가지 유의할 점은 다음과 같음.

⑴ 식 f⁽⁵⁾(x)=0와 f⁽⁵⁾(x₀)=0[x₀일 때만 0]는 다름.

⑵ f⁽⁵⁾(x)=0는 5계도함수가 존재하지 않는다는 의미가 아니라 그것은 실제로 존재하며 그 값은 0을 의미

è

도함수의 도함수(derivative of derivative)

- 앞의 예에서 각각의 도함수는 바로 전의 도함수보다 한 차수 낮은 다항함수가 됨.

- 또한 상수의 도함수가 되는 5계도함수는 모든 x값에 대하여 0이 됨.

- 여기서 두 가지 유의할 점은 다음과 같음.

⑴ 식 f⁽⁵⁾(x)=0와 f⁽⁵⁾(x₀)=0[x₀일 때만 0]는 다름.

⑵ f⁽⁵⁾(x)=0는 5계도함수가 존재하지 않는다는 의미가 아니라 그것은 실제로 존재하며 그 값은 0을 의미

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

도함수의 도함수(derivative of derivative)

예 2 : 다음 유리함수의 1계에서 4계까지의 도함수?

y=g(x)=x/(1+x) (여기서 x¹-1)

- 이 도함수들은 몫의 미분법칙을 사용하거나 또는 함수형태를 x(1+x)^-1로 바꾼 후 곱의 미분법칙을 적용

g¢(x)=(1+x)^-2 (여기서 x¹-1) g²(x)=-2(1+x)^-3 (여기서 x¹-1) g²¢(x)=6(1+x)^-4 (여기서 x¹-1) g⁽⁴⁾(x)=-24(1+x)^-5 (여기서 x¹-1)

è

도함수의 도함수(derivative of derivative)

예 2 : 다음 유리함수의 1계에서 4계까지의 도함수?

y=g(x)=x/(1+x) (여기서 x¹-1)

- 이 도함수들은 몫의 미분법칙을 사용하거나 또는 함수형태를 x(1+x)^-1로 바꾼 후 곱의 미분법칙을 적용

g¢(x)=(1+x)^-2 (여기서 x¹-1) g²(x)=-2(1+x)^-3 (여기서 x¹-1) g²¢(x)=6(1+x)^-4 (여기서 x¹-1) g⁽⁴⁾(x)=-24(1+x)^-5 (여기서 x¹-1)

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

도함수의 도함수(derivative of derivative)

- 앞의 원시함수 g(x)와 마찬가지로 모든 도함수들도 그 자체가 x의 함수임.

- 그러나 x의 값이 특정하게 주어지면 이 도함수들은 특정한 값을 가짐.

- 예를 들어 앞의 유리함수의 경우 x=2일 때 2계도함수 값을 계산하면 g²(2)=-2(3)^-3=-2/27가 됨.

- 따라서 각 계도함수값을 구하려면, 우선 각 계도함수를 구하고 난 후 그 다음에 특정한 값을 대입해야 함.

è

도함수의 도함수(derivative of derivative)

- 앞의 원시함수 g(x)와 마찬가지로 모든 도함수들도 그 자체가 x의 함수임.

- 그러나 x의 값이 특정하게 주어지면 이 도함수들은 특정한 값을 가짐.

- 예를 들어 앞의 유리함수의 경우 x=2일 때 2계도함수 값을 계산하면 g²(2)=-2(3)^-3=-2/27가 됨.

- 따라서 각 계도함수값을 구하려면, 우선 각 계도함수를 구하고 난 후 그 다음에 특정한 값을 대입해야 함.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

2계도함수의 의미해석

-

도함수 f¢(x)는 함수 f(x)의 변화율의 크기

를 나타냄. 따라서 2계도함수 f²은 1계도함수 f¢의 변화율의 척도임.

즉, 2계도함수는 원시함수 f의 변화율의 변화율을 의미 - 독립변수 x가 x=x₀에서 미세하게 증가하는 경우

1계도함수 f¢(x₀)>0는 함수값이 증가함을 의미 1계도함수 f¢(x₀)<0는 함수값이 감소함을 의미

- 반면, 2계도함수 f²(x₀)>0는 곡선의 기울기가 증가함을, 2계도함수 f²(x₀)<0는 곡선의 기울기가 감소함을 의미

è

2계도함수의 의미해석

-

도함수 f¢(x)는 함수 f(x)의 변화율의 크기

를 나타냄. 따라서 2계도함수 f²은 1계도함수 f¢의 변화율의 척도임.

즉, 2계도함수는 원시함수 f의 변화율의 변화율을 의미 - 독립변수 x가 x=x₀에서 미세하게 증가하는 경우

1계도함수 f¢(x₀)>0는 함수값이 증가함을 의미 1계도함수 f¢(x₀)<0는 함수값이 감소함을 의미

- 반면, 2계도함수 f²(x₀)>0는 곡선의 기울기가 증가함을, 2계도함수 f²(x₀)<0는 곡선의 기울기가 감소함을 의미

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u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

2계도함수의 의미해석

1계도함수와 2계도함수에 의한 판정법

è

2계도함수의 의미해석

1계도함수와 2계도함수에 의한 판정법

1계도함수

f¢(x₀)>0 함수값이 증가 : 기울기값 + (우상향) f¢(x₀)<0 함수값이 감소 : 기울기값 - (우하향)

2계도함수

f²(x₀)>0 곡선의 기울기가 (점점) 증가 f²(x₀)<0 곡선의 기울기가 (점점) 감소

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

2계도함수의 의미해석

- x=x₀에서 1계도함수가 양(+)이고, 동시에 2계도함수도 양(+)이면 그 점에서 곡선의 기울기는 양(우상향)이고, 또한 점점 증가하고 있음(가파라짐)을 의미함.

(f¢(x₀)>0, f²(x₀)>0)

- 마찬가지로 1계도함수가 양(+)이고, 2계도함수가 음(-)이면 곡선의 기울기는 양(우상향)이지만 점점 감소하고 있음(완만해짐)을 의미함.

(f¢(x₀)>0, f²(x₀)<0)

è

2계도함수의 의미해석

- x=x₀에서 1계도함수가 양(+)이고, 동시에 2계도함수도 양(+)이면 그 점에서 곡선의 기울기는 양(우상향)이고, 또한 점점 증가하고 있음(가파라짐)을 의미함.

(f¢(x₀)>0, f²(x₀)>0)

- 마찬가지로 1계도함수가 양(+)이고, 2계도함수가 음(-)이면 곡선의 기울기는 양(우상향)이지만 점점 감소하고 있음(완만해짐)을 의미함.

(f¢(x₀)>0, f²(x₀)<0)

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

2계도함수의 의미해석

- 이에 반해 x=x₀에서 1계도함수가 음(-)이고, 2계도함수가 양(+)이면 그 점에서 곡선의 기울기는 음(우하향)이고, 또한 점점 증가하고 있음(완만해짐)을 의미함.

(f¢(x₀)<0, f²(x₀)>0)

- 1계도함수가 음(-)이고, 동시에 2계도함수도 음(-)이면 곡선의 기울기는 음(우하향)이면서 점점 감소하고 있음(가파라짐)을 의미함.

(f¢(x₀)<0, f²(x₀)<0)

è

2계도함수의 의미해석

- 이에 반해 x=x₀에서 1계도함수가 음(-)이고, 2계도함수가 양(+)이면 그 점에서 곡선의 기울기는 음(우하향)이고, 또한 점점 증가하고 있음(완만해짐)을 의미함.

(f¢(x₀)<0, f²(x₀)>0)

- 1계도함수가 음(-)이고, 동시에 2계도함수도 음(-)이면 곡선의 기울기는 음(우하향)이면서 점점 감소하고 있음(가파라짐)을 의미함.

(f¢(x₀)<0, f²(x₀)<0)

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

2계도함수의 의미해석

è

(a) 강오목(strictly concave), (b) 강볼록(strictly convex) - 강오목(강볼록)곡선상의 임의 두 점을 연결한 직선은

그 곡선의 아래쪽(위쪽)에 위치함(직선상의 두 점 제외).

è

2계도함수의 의미해석

è

(a) 강오목(strictly concave), (b) 강볼록(strictly convex) - 강오목(강볼록)곡선상의 임의 두 점을 연결한 직선은

그 곡선의 아래쪽(위쪽)에 위치함(직선상의 두 점 제외).

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u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

2계도함수의 의미해석

[그림 9.5]에서 포물선상의 1계 및 2계도함수의 부호

è

2계도함수의 의미해석

[그림 9.5]에서 포물선상의 1계 및 2계도함수의 부호

x의 위치 1계도함수 및 2계도함수의 부호 포물선상의 점

x=x₁ f¢(x₁)>0 f²(x₁)<0 점 A x=x₂ f¢(x₂)=0 f²(x₂)<0 점 B x=x₃ f¢(x₃)<0 f²(x₃)<0 점 C x=x₄ f¢(x₄)<0 f²(x₄)>0 점 D x=x₅ f¢(x₅)=0 f²(x₅)>0 점 E x=x₆ f¢(x₆)>0 f²(x₆)>0 점 F

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

2계도함수의 의미해석

-

1계도함수는 곡선의 기울기(slope)

를 나타내는 반면, 2계도함수는 곡선의 곡률(curvature : 굽은 상태)을 나타냄.

è

2계도함수의 의미해석

-

1계도함수는 곡선의 기울기(slope)

를 나타내는 반면, 2계도함수는 곡선의 곡률(curvature : 굽은 상태)을 나타냄.

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u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

하나의 응용(an application) - 2차함수 형태가 다음과 같음.

y=ax²+bx+c (a¹0)

이 2차함수의 1계도함수 dy/dx=f¢(x)=2ax+b이고, 2계도함수 d²y/dx²=f²(x)=2a임.

- 2계도함수는 항상 계수 a와 동일한 대수 부호를 가짐.

- 계수 a가 양(+)이면 2차함수는 U자형 강볼록곡선, 계수 a가 음(-)이면 역U자형 강오목곡선이 됨.

-

이 함수의 상대적 극값은 또한 절대적 극값이 됨

.

è

하나의 응용(an application)

- 2차함수 형태가 다음과 같음.

y=ax²+bx+c (a¹0)

이 2차함수의 1계도함수 dy/dx=f¢(x)=2ax+b이고, 2계도함수 d²y/dx²=f²(x)=2a임.

- 2계도함수는 항상 계수 a와 동일한 대수 부호를 가짐.

- 계수 a가 양(+)이면 2차함수는 U자형 강볼록곡선, 계수 a가 음(-)이면 역U자형 강오목곡선이 됨.

-

이 함수의 상대적 극값은 또한 절대적 극값이 됨

.

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u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임

- 일정금액을 선불로 지급(게임의 비용)하고, 주사위를 던져서 홀수이면 $10를 받고, 짝수이면 $20를

받는다면 두 결과의 확률은 같으므로 이득의 기대값 expected value of payoff : EV)은

EV=0.5´$10+0.5´$20=$15

- 만약 게임의 비용(또는 몫의 기대값)이 $15이면

이 게임은 공정한 게임(공정한 내기)이라 할 수 있음.

è

위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임

- 일정금액을 선불로 지급(게임의 비용)하고, 주사위를 던져서 홀수이면 $10를 받고, 짝수이면 $20를

받는다면 두 결과의 확률은 같으므로 이득의 기대값 expected value of payoff : EV)은

EV=0.5´$10+0.5´$20=$15

- 만약 게임의 비용(또는 몫의 기대값)이 $15이면

이 게임은 공정한 게임(공정한 내기)이라 할 수 있음.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임 - 그러나 게임의 실제결과는 알 수 없으므로

위험기피자(risk-averser)는 게임을 멀리(포기)함.

- 한편, 이 경우 위험선호자(risk-lover)는 게임을 즐김.

- 이와 같이 위험에 대한 다양한 태도는 사람들의 효용함수 차이에서 발생함.

è

위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임 - 그러나 게임의 실제결과는 알 수 없으므로

위험기피자(risk-averser)는 게임을 멀리(포기)함.

- 한편, 이 경우 위험선호자(risk-lover)는 게임을 즐김.

- 이와 같이 위험에 대한 다양한 태도는 사람들의 효용함수 차이에서 발생함.

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u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임

è

여기서 x는 소득(또는 이득), U(x)는 소득의 효용수준임.

è

위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임

è

여기서 x는 소득(또는 이득), U(x)는 소득의 효용수준임.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임

- 만약 잠재적 게임자가 [그림 9.6](a)에서처럼 강오목 효용함수 U=U(x)를 가진다면 이 사람의 경제적 의사 결정은 첫째, 게임을 하지 않고 게임의 비용 $15를 절약하여 곡선상의 점 A에서 효용수준 U($15)를 얻음.

둘째, 게임을 함으로써 기대효용 EU=0.5´U($10)+0.5

´U($20)만큼 얻음. 즉, 이는 M과 N 높이의 평균으로 선분 MN상의 중간점 B의 높이로 측정됨. 따라서 점 B는 점 A보다 낮으므로 게임을 하지 말아야 함.

è

위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임

- 만약 잠재적 게임자가 [그림 9.6](a)에서처럼 강오목 효용함수 U=U(x)를 가진다면 이 사람의 경제적 의사 결정은 첫째, 게임을 하지 않고 게임의 비용 $15를 절약하여 곡선상의 점 A에서 효용수준 U($15)를 얻음.

둘째, 게임을 함으로써 기대효용 EU=0.5´U($10)+0.5

´U($20)만큼 얻음. 즉, 이는 M과 N 높이의 평균으로 선분 MN상의 중간점 B의 높이로 측정됨. 따라서 점 B는 점 A보다 낮으므로 게임을 하지 말아야 함.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임

- 한편, 잠재적 게임자가 [그림 9.6](b)에서처럼 강볼록 효용함수 U=U(x)를 가진다면 이 사람의 경제적 의사 결정은 첫째, 게임을 하지 않고 게임의 비용 $15를 절약하여 곡선상의 점 A¢에서 효용수준 U($15)를 얻음.

둘째, 게임을 함으로써 기대효용 EU=0.5´U($10)+0.5

´U($20)만큼 얻음. 즉, 이는 선분 M¢N¢상의 중간점 B¢의 높이로 측정됨. 따라서 점 B¢는 점 A¢보다 위쪽에 위치하므로 적극적으로 게임을 하려고 함.

è

위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임

- 한편, 잠재적 게임자가 [그림 9.6](b)에서처럼 강볼록 효용함수 U=U(x)를 가진다면 이 사람의 경제적 의사 결정은 첫째, 게임을 하지 않고 게임의 비용 $15를 절약하여 곡선상의 점 A¢에서 효용수준 U($15)를 얻음.

둘째, 게임을 함으로써 기대효용 EU=0.5´U($10)+0.5

´U($20)만큼 얻음. 즉, 이는 선분 M¢N¢상의 중간점 B¢의 높이로 측정됨. 따라서 점 B¢는 점 A¢보다 위쪽에 위치하므로 적극적으로 게임을 하려고 함.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수와 고계도함수 u 2계도함수와 고계도함수

è

위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임

- 도박(또는 주식, 펀드 투자)은 공정한 게임이 아니므로, 즉 도박장의 게임에서 매 번 승률이 50% 이하이고 또한 주식과 펀드인 경우도 정보독점 및 조작 등으로

인해 실패할 확률이 매우 높음.

- 그러나 우리의 일상에서는 일반적으로 위험을 선호 하는 경우가 훨씬 성공 가능성이 매우 높음. 왜냐하면 성공에 대한 이득(benefit)에 비하여 성공에 대한 비용 (cost : 시간투자 및 노력 등)이 매우 적게 소요됨.

è

위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임

- 도박(또는 주식, 펀드 투자)은 공정한 게임이 아니므로, 즉 도박장의 게임에서 매 번 승률이 50% 이하이고 또한 주식과 펀드인 경우도 정보독점 및 조작 등으로

인해 실패할 확률이 매우 높음.

- 그러나 우리의 일상에서는 일반적으로 위험을 선호 하는 경우가 훨씬 성공 가능성이 매우 높음. 왜냐하면 성공에 대한 이득(benefit)에 비하여 성공에 대한 비용 (cost : 시간투자 및 노력 등)이 매우 적게 소요됨.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

2계도함수 검증법(second derivative test) [상대적 극값에 대한 2계도함수 검증법]

만약 x=x₀에서 함수 f의 1계도함수가 f¢(x₀)=0이라면 x₀에서의 함수값 f(x₀)는

⑴ 만약 x₀에서 2계도함수의 값이 f²(x₀)<0이면 상대적 극대임.

⑵ 만약 x₀에서 2계도함수의 값이 f²(x₀)>0이면 상대적 극소임.

è

2계도함수 검증법(second derivative test) [상대적 극값에 대한 2계도함수 검증법]

만약 x=x₀에서 함수 f의 1계도함수가 f¢(x₀)=0이라면 x₀에서의 함수값 f(x₀)는

⑴ 만약 x₀에서 2계도함수의 값이 f²(x₀)<0이면 상대적 극대임.

⑵ 만약 x₀에서 2계도함수의 값이 f²(x₀)>0이면 상대적 극소임.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

2계도함수 검증법(second derivative test) 예 1 : 다음 함수의 상대적 극값을 구하라.

y=f(x)=4x²-x

- 1계도함수 및 2계도함수는 다음과 같음.

f¢(x)=8x-1 및 f²(x)=8

- 이제 f¢(x)=0으로 놓고 그 방정식을 풀면 (유일한)

임계값 x*=1/8임. 이로부터 (유일한) 정지값 f(1/8)=-1/16 - 2계도함수가 양(+)이므로 그 극값은 극소값이 되며

함수가 U자형이므로 상대적 극소는 또한 절대적 극소임.

è

2계도함수 검증법(second derivative test) 예 1 : 다음 함수의 상대적 극값을 구하라.

y=f(x)=4x²-x

- 1계도함수 및 2계도함수는 다음과 같음.

f¢(x)=8x-1 및 f²(x)=8

- 이제 f¢(x)=0으로 놓고 그 방정식을 풀면 (유일한)

임계값 x*=1/8임. 이로부터 (유일한) 정지값 f(1/8)=-1/16 - 2계도함수가 양(+)이므로 그 극값은 극소값이 되며

함수가 U자형이므로 상대적 극소는 또한 절대적 극소임.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

2계도함수 검증법(second derivative test) 예 2 : 다음 함수의 상대적 극값을 구하라.

y=g(x)=x³-3x²+2

- 1계도함수 및 2계도함수는 다음과 같음.

g¢(x)=3x²-6x 및 g²(x)=6x-6

- 이제 g¢(x)=0으로 놓고 얻은 2차방정식을 풀면 임계값 x₁*=2 및 x₂*=0임. 이로부터 대응하는 2개의 정지값은

g(2)=-2 [g²(2)=6>0이므로 극소]

g(0)=2 [g²(0)=-6<0이므로 극대]

è

2계도함수 검증법(second derivative test) 예 2 : 다음 함수의 상대적 극값을 구하라.

y=g(x)=x³-3x²+2

- 1계도함수 및 2계도함수는 다음과 같음.

g¢(x)=3x²-6x 및 g²(x)=6x-6

- 이제 g¢(x)=0으로 놓고 얻은 2차방정식을 풀면 임계값 x₁*=2 및 x₂*=0임. 이로부터 대응하는 2개의 정지값은

g(2)=-2 [g²(2)=6>0이므로 극소]

g(0)=2 [g²(0)=-6<0이므로 극대]

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

필요조건 대 충분조건(necessary versus sufficient condition) - 기울기가 0이라는 조건인 f¢(x)=0은 1계도함수 검증법

뿐만 아니라 2계도함수 검증법에서도 필요조건의 역할 - 이 조건은 1계도함수에 근거를 두고 있기 때문에 흔히

1계조건(first-order condition)이라 함.

- 그리고 1계조건이 x=x₀에서 만족되고 f²(x₀)의 부호가 음(양)이면 정지값 f(x₀)가 상대적 극대(극소)로 입증 되기에 충분함. 이 충분조건은 2계도함수에 기초하기 때문에 흔히 2계조건(second-order condition)이라 함.

è

필요조건 대 충분조건(necessary versus sufficient condition) - 기울기가 0이라는 조건인 f¢(x)=0은 1계도함수 검증법

뿐만 아니라 2계도함수 검증법에서도 필요조건의 역할 - 이 조건은 1계도함수에 근거를 두고 있기 때문에 흔히

1계조건(first-order condition)이라 함.

- 그리고 1계조건이 x=x₀에서 만족되고 f²(x₀)의 부호가 음(양)이면 정지값 f(x₀)가 상대적 극대(극소)로 입증 되기에 충분함. 이 충분조건은 2계도함수에 기초하기 때문에 흔히 2계조건(second-order condition)이라 함.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

필요조건 대 충분조건(necessary versus sufficient condition) - 1계조건은 상대적 극대 또는 극소이기 위한 필요조건

이지만 충분조건은 아님(왜냐하면 변곡점 때문).

- 한편, f²(x₀)가 임계값 x₀에서 음(양)이라는 2계조건은 상대적 극대(극소)이기 위한 충분조건이지 필요조건 은 아님.

- 상대적 극값에 대한 2계 필요조건은 약부등식으로 표시 해야 함. 즉, 정지값 f(x₀)가 상대적 극대(극소)이기 위한 필요조건은 f²(x₀)£0[f²(x₀)³0]임.

è

필요조건 대 충분조건(necessary versus sufficient condition) - 1계조건은 상대적 극대 또는 극소이기 위한 필요조건

이지만 충분조건은 아님(왜냐하면 변곡점 때문).

- 한편, f²(x₀)가 임계값 x₀에서 음(양)이라는 2계조건은 상대적 극대(극소)이기 위한 충분조건이지 필요조건 은 아님.

- 상대적 극값에 대한 2계 필요조건은 약부등식으로 표시 해야 함. 즉, 정지값 f(x₀)가 상대적 극대(극소)이기 위한 필요조건은 f²(x₀)£0[f²(x₀)³0]임.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

필요조건 대 충분조건(necessary versus sufficient condition) 함수 y=f(x)가 상대적 극점이기 위한 조건

* 1계 필요조건이 충족된 후 적용 가능

è

필요조건 대 충분조건(necessary versus sufficient condition) 함수 y=f(x)가 상대적 극점이기 위한 조건

* 1계 필요조건이 충족된 후 적용 가능

조 건 극 대 극 소

1계 필요조건 f¢(x₀)=0 f¢(x₀)=0

2계 필요조건* f²(x₀)£0 f²(x₀)³0 2계 충분조건* f²(x₀)<0 f²(x₀)>0

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization) - 경제학에서 이윤을 극대화하기 위해서는 기업은 한계

수입(MR)과 한계비용(MC)이 일치하도록 산출량을 결정해야 함.

- 총수입함수 R=R(Q)와 총비용함수 C=C(Q)가 주어지면 이 함수들로부터 다음의 이윤함수(목적함수)를 도출

p=p(Q)=R(Q)-C(Q)

- 이윤극대화 산출량 수준을 구하기 위하여 극대의 1계 필요조건이 만족되어야 함.

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization) - 경제학에서 이윤을 극대화하기 위해서는 기업은 한계

수입(MR)과 한계비용(MC)이 일치하도록 산출량을 결정해야 함.

- 총수입함수 R=R(Q)와 총비용함수 C=C(Q)가 주어지면 이 함수들로부터 다음의 이윤함수(목적함수)를 도출

p=p(Q)=R(Q)-C(Q)

- 이윤극대화 산출량 수준을 구하기 위하여 극대의 1계 필요조건이 만족되어야 함.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization) - 즉, dp/dQ=0을 구하면 그 결과는 다음과 같음.

dp/dQºp¢(Q)=R¢(Q)-C¢(Q)

=0 « R¢(Q)=C¢(Q)

- 최적산출량(균형산출량) Q*는 방정식 R¢(Q*)=C¢(Q*), 즉 MR=MC조건 만족 : 이윤극대화 1계조건

- 그러나 1계조건은 최대이윤일 수도 있고 최소이윤일 수도 있음.

- 따라서 2계조건을 검토해야 함.

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization) - 즉, dp/dQ=0을 구하면 그 결과는 다음과 같음.

dp/dQºp¢(Q)=R¢(Q)-C¢(Q)

=0 « R¢(Q)=C¢(Q)

- 최적산출량(균형산출량) Q*는 방정식 R¢(Q*)=C¢(Q*), 즉 MR=MC조건 만족 : 이윤극대화 1계조건

- 그러나 1계조건은 최대이윤일 수도 있고 최소이윤일 수도 있음.

- 따라서 2계조건을 검토해야 함.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization) - 이제 1계도함수를 Q에 대해 미분하면 2계도함수를

구할 수 있음.

d²p/dQ²ºp²(Q)=R²(Q)-C²(Q)

£0 « R²(Q)£C²(Q) : 2계 필요조건

- 여기서 R²(Q*)=C²(Q*)만으로는 이윤극대화조건으로 확실하지 않음(왜냐하면 이윤이 극소일 수도 있음).

- 따라서 최선의 방법은 극대이기 위한 2계 충분조건인 R²(Q*)<C²(Q*)를 만족하는 상황임.

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization) - 이제 1계도함수를 Q에 대해 미분하면 2계도함수를

구할 수 있음.

d²p/dQ²ºp²(Q)=R²(Q)-C²(Q)

£0 « R²(Q)£C²(Q) : 2계 필요조건

- 여기서 R²(Q*)=C²(Q*)만으로는 이윤극대화조건으로 확실하지 않음(왜냐하면 이윤이 극소일 수도 있음).

- 따라서 최선의 방법은 극대이기 위한 2계 충분조건인 R²(Q*)<C²(Q*)를 만족하는 상황임.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization) 이를 정리하면 이윤극대화 1계조건인 한계수입(MR)과

한계비용(MC)이 일치(MR=MC)하는 산출량 Q*에서 2계 충분조건인 MR의 변화율이 MC의 변화율보다 작으면 [R²(Q*)<C²(Q*)] 그 산출량수준에서 이윤이 극대화됨을 의미함.

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization) 이를 정리하면 이윤극대화 1계조건인 한계수입(MR)과

한계비용(MC)이 일치(MR=MC)하는 산출량 Q*에서 2계 충분조건인 MR의 변화율이 MC의 변화율보다 작으면 [R²(Q*)<C²(Q*)] 그 산출량수준에서 이윤이 극대화됨을 의미함.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization)

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization)

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization) - 예 3 : 총수입함수와 총비용함수가 다음과 같음.

R(Q)=1,200Q-2Q²

C(Q)=Q³-61.25Q²+1,528.5Q+2,000 그러면 이윤함수는 다음과 같음.

p(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q³+59.25Q²-328.5Q-2,000 여기서 dp/dQ=0을 구하면 그 결과는 다음과 같음.

dp/dQ=-3Q²+118.5Q-328.5=0

=-3(Q-3)(Q-36.5)=0

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization) - 예 3 : 총수입함수와 총비용함수가 다음과 같음.

R(Q)=1,200Q-2Q²

C(Q)=Q³-61.25Q²+1,528.5Q+2,000 그러면 이윤함수는 다음과 같음.

p(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q³+59.25Q²-328.5Q-2,000 여기서 dp/dQ=0을 구하면 그 결과는 다음과 같음.

dp/dQ=-3Q²+118.5Q-328.5=0

=-3(Q-3)(Q-36.5)=0

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization) 따라서 이윤함수의 임계값은 Q=3 및 Q=36.5임.

그러나 2계도함수가 다음과 같음.

d²p/dQ²=-6Q+118.5

여기서 Q=3일 때 d²p/dQ²>0, Q=36.5일 때 d²p/dQ²<0 결국, 이윤극대화 산출량 Q*=36.5임.

한편, Q=3인 경우는 이윤이 극소화됨.

그리고 Q*를 이윤함수에 대입하면 극대이윤은 p*=p(36.5)=16,318.44(원)

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization) 따라서 이윤함수의 임계값은 Q=3 및 Q=36.5임.

그러나 2계도함수가 다음과 같음.

d²p/dQ²=-6Q+118.5

여기서 Q=3일 때 d²p/dQ²>0, Q=36.5일 때 d²p/dQ²<0 결국, 이윤극대화 산출량 Q*=36.5임.

한편, Q=3인 경우는 이윤이 극소화됨.

그리고 Q*를 이윤함수에 대입하면 극대이윤은 p*=p(36.5)=16,318.44(원)

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization) 이상의 방법과 달리 MR=MC조건을 이용하여 구하면

MR=R¢(Q)=1,200-4Q

MC=C¢(Q)=3Q²-122.5Q+1,528.5

위 식을 MR-MC=0으로 놓고 다시 정리하면 -3Q²+118.5Q-328.5=0

따라서 이후의 계산은 앞의 과정을 따르면 됨.

è

이윤극대화조건(conditions for profit maximization) 이상의 방법과 달리 MR=MC조건을 이용하여 구하면

MR=R¢(Q)=1,200-4Q

MC=C¢(Q)=3Q²-122.5Q+1,528.5

위 식을 MR-MC=0으로 놓고 다시 정리하면 -3Q²+118.5Q-328.5=0

따라서 이후의 계산은 앞의 과정을 따르면 됨.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.) - 3차함수 graph는 항상 두 개의 굴곡을 가지기 때문에

3차함수는 총비용곡선을 묘사하는데 적합함.

- 그러나 3차함수가 경제적 의미를 가지려면 그 함수의 기울기가 모든 점에서 양(산출량이 증가하면 총비용도 항상 증가해야 함)이어야 하는 반면, 3차함수 graph는 기울기가 음이 되는 부분을 포함할 수도 있음.

- 따라서 3차함수를 그대로 총비용함수로 사용하는 데 문제가 있음.

è

3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.) - 3차함수 graph는 항상 두 개의 굴곡을 가지기 때문에

3차함수는 총비용곡선을 묘사하는데 적합함.

- 그러나 3차함수가 경제적 의미를 가지려면 그 함수의 기울기가 모든 점에서 양(산출량이 증가하면 총비용도 항상 증가해야 함)이어야 하는 반면, 3차함수 graph는 기울기가 음이 되는 부분을 포함할 수도 있음.

- 따라서 3차함수를 그대로 총비용함수로 사용하는 데 문제가 있음.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.) 함수 y=f(x)=x³-12x²+36x+8의 graph

è

3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.) 함수 y=f(x)=x³-12x²+36x+8의 graph

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.) - 3차함수가 다음과 같음.

C=C(Q)=aQ³+bQ²+cQ+d

여기서 위의 함수를 총비용함수로 사용하기 위해서는 총비용곡선이 아래로 구부러지는 것을 방지하기

위해서 파라미터 a, b, c, d들에 대해 적절한 제한을 가해야 함.

- 우선, 한계비용함수(MC)가 모든 점에서 양이어야 함.

MC=C¢(Q)=3aQ²+2bQ+c (>0)

è

3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.) - 3차함수가 다음과 같음.

C=C(Q)=aQ³+bQ²+cQ+d

여기서 위의 함수를 총비용함수로 사용하기 위해서는 총비용곡선이 아래로 구부러지는 것을 방지하기

위해서 파라미터 a, b, c, d들에 대해 적절한 제한을 가해야 함.

- 우선, 한계비용함수(MC)가 모든 점에서 양이어야 함.

MC=C¢(Q)=3aQ²+2bQ+c (>0)

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.)

è

3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.)

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.) - MC곡선상의 모든 점에서 양이 되려면(앞의 그림에서

가로축의 위쪽에 위치하려면) 이 포물선은 U자형이 되어야 함.

- 만약 포물선이 역U자형이라면 MC곡선상의 모든 점이 양이기 위해서는 2상한까지 연장해야 가능함.

- 따라서 Q²항의 계수가 양이어야 함(a>0).

è

3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.) - MC곡선상의 모든 점에서 양이 되려면(앞의 그림에서

가로축의 위쪽에 위치하려면) 이 포물선은 U자형이 되어야 함.

- 만약 포물선이 역U자형이라면 MC곡선상의 모든 점이 양이기 위해서는 2상한까지 연장해야 가능함.

- 따라서 Q²항의 계수가 양이어야 함(a>0).

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.) - MC의 극소값(MC_min)은 C²(Q)=0에서 결정됨.

C²(Q)=6aQ+2b=0

- 위의 조건을 충족하는 산출량 Q*는 다음과 같음.

Q*=-2b/6a=-b/3a

- 위 식에서 산출량 Q*는 음이 될 수 없으므로 b는 결코 양(a>0이므로)이 될 수 없음(따라서 b<0).

è

3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.) - MC의 극소값(MC_min)은 C²(Q)=0에서 결정됨.

C²(Q)=6aQ+2b=0

- 위의 조건을 충족하는 산출량 Q*는 다음과 같음.

Q*=-2b/6a=-b/3a

- 위 식에서 산출량 Q*는 음이 될 수 없으므로 b는 결코 양(a>0이므로)이 될 수 없음(따라서 b<0).

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.) - 이제 MC를 극소화하는 산출량 Q*를 대입하면 MC_min을

구할 수 있음.

MC_min=3a(-b/3a)²+2b(-b/3a)+c=(3ac-b²)/3a

- MC_min이 양의 값을 갖기 위해서는 3ac-b²>0(즉, b²<3ac) 이어야 함.

- 또한 MC_min이 양의 값을 갖기 위해서는 c도 양이어야 함.

- 따라서 총비용함수의 계수들은 다음의 제약하에 놓임.

a>0, b<0, c>0, d>0, b²<3ac

è

3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.) - 이제 MC를 극소화하는 산출량 Q*를 대입하면 MC_min을

구할 수 있음.

MC_min=3a(-b/3a)²+2b(-b/3a)+c=(3ac-b²)/3a

- MC_min이 양의 값을 갖기 위해서는 3ac-b²>0(즉, b²<3ac) 이어야 함.

- 또한 MC_min이 양의 값을 갖기 위해서는 c도 양이어야 함.

- 따라서 총비용함수의 계수들은 다음의 제약하에 놓임.

a>0, b<0, c>0, d>0, b²<3ac

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선 - 경제학에서 일반적으로 한계수입곡선은 음의 기울기를

갖는 것으로 그려짐(불완전경쟁하에서만).

- 그러나 한계수입곡선의 기울기가 부분적 또는 전반적 으로 양이 될 수 있는 가능성을 배제할 수 없음.

- 평균수입함수 AR=f(Q)가 주어지면 한계수입함수는 다음과 같음.

MR=f(Q)+Qf¢(Q) ¬ TR=AR(=P)×Q=f(Q)×Q

è

양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선 - 경제학에서 일반적으로 한계수입곡선은 음의 기울기를

갖는 것으로 그려짐(불완전경쟁하에서만).

- 그러나 한계수입곡선의 기울기가 부분적 또는 전반적 으로 양이 될 수 있는 가능성을 배제할 수 없음.

- 평균수입함수 AR=f(Q)가 주어지면 한계수입함수는 다음과 같음.

MR=f(Q)+Qf¢(Q) ¬ TR=AR(=P)×Q=f(Q)×Q

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선 - 그러면 한계수입곡선의 기울기는 MR=f(Q)+Qf¢(Q)의

도함수로 나타낼 수 있음.

dMR/dQ=MR¢=f¢(Q)+f¢(Q)+Qf²(Q)=2f¢(Q)+Qf²(Q) - 평균수입곡선이 음의 기울기(우하향)를 가지면 2f¢(Q)

항은 확실히 음(-)임.

- 그러나 Qf²(Q)항은 한계수입곡선의 2계도함수의 부호 에 따라, 즉 한계수입곡선 형태가 강오목인지, 선형인지 또는 강볼록인지 여부에 따라 음, 0 또는 양이 됨.

è

양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선 - 그러면 한계수입곡선의 기울기는 MR=f(Q)+Qf¢(Q)의

도함수로 나타낼 수 있음.

dMR/dQ=MR¢=f¢(Q)+f¢(Q)+Qf²(Q)=2f¢(Q)+Qf²(Q) - 평균수입곡선이 음의 기울기(우하향)를 가지면 2f¢(Q)

항은 확실히 음(-)임.

- 그러나 Qf²(Q)항은 한계수입곡선의 2계도함수의 부호 에 따라, 즉 한계수입곡선 형태가 강오목인지, 선형인지 또는 강볼록인지 여부에 따라 음, 0 또는 양이 됨.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선 - 만약 한계수입곡선이 전반적 또는 특정 부분에서

강볼록이라면 (양인) Qf²(Q)항이 (음인) 2f¢(Q)항보다 더 크다면 한계수입곡선의 기울기는 전반적 또는

부분적으로 양이 될 수도 있음.

è

양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선 - 만약 한계수입곡선이 전반적 또는 특정 부분에서

강볼록이라면 (양인) Qf²(Q)항이 (음인) 2f¢(Q)항보다 더 크다면 한계수입곡선의 기울기는 전반적 또는

부분적으로 양이 될 수도 있음.

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선 예 4 : 평균수입함수가 다음과 같음.

AR=f(Q)=8,000-23Q+1.1Q²-0.018Q³

- 이 함수는 불완전경쟁하 기업에 적절한 한계수입곡선 으로 음의 기울기를 가짐.

MR=f(Q)+Qf¢(Q)=8,000-46Q+3.3Q²-0.072Q³ - 여기서 한계수입곡선의 기울기는 다음과 같음.

dMR/dQ=MR¢=-46+6.6Q-0.216Q²

è

양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선 예 4 : 평균수입함수가 다음과 같음.

AR=f(Q)=8,000-23Q+1.1Q²-0.018Q³

- 이 함수는 불완전경쟁하 기업에 적절한 한계수입곡선 으로 음의 기울기를 가짐.

MR=f(Q)+Qf¢(Q)=8,000-46Q+3.3Q²-0.072Q³ - 여기서 한계수입곡선의 기울기는 다음과 같음.

dMR/dQ=MR¢=-46+6.6Q-0.216Q²

l 최적화분석 l 최적화분석

u 2계도함수 검증법(second derivative test) u 2계도함수 검증법(second derivative test)

è

양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선 - 앞 식은 Q²의 계수가 음인 2차함수이므로 Q에 대해

역U자형 곡선임.

- 만약 이 곡선의 일부가 가로축의 위쪽에 위치하면 한계수입곡선의 기울기는 양의 값을 가짐.

- 이제 dMR/dQ=0이라 놓고 해를 구하면 Q₁=10.76, Q₂=19.79임.

- 이것은 개구간 (Q₁, Q₂) 사이에 있는 생산수준에서 한계수입곡선은 양의 기울기를 갖게 됨을 의미함.

è

양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선

- 앞 식은 Q²의 계수가 음인 2차함수이므로 Q에 대해 역U자형 곡선임.

- 만약 이 곡선의 일부가 가로축의 위쪽에 위치하면 한계수입곡선의 기울기는 양의 값을 가짐.

- 이제 dMR/dQ=0이라 놓고 해를 구하면 Q₁=10.76, Q₂=19.79임.

- 이것은 개구간 (Q₁, Q₂) 사이에 있는 생산수준에서 한계수입곡선은 양의 기울기를 갖게 됨을 의미함.