관로에서의 유체의 흐름 Chapter 12

관로에서의 유체의 흐름 Chapter 12

난류의

12-1 7승근법칙

난류에 대한 속도분포와 전단응력을 나타내는 초기의 식으 로서 대표적인 것에 Blasius에 의하여 얻어진 7승근법칙이 있다. 식(8-5)를 식 (8-2)에 대입하면

τ₀= 0.316 (2 RVρ/μ)^0.25

ρV²

8 =0.0332 μ^1/4 R^-1/4 V ^7/4 ρ^3/4 (8-19)

을 얻는다. 식(8-5)는 Reynolds수가 3,000< R<100,000의 범위에서 성립하므로 위의 식도 이 범위 내에서 성립함은 물 론이다.

그림 8-8에 보인 바와 같이 관벽에서 거리 y 떨어져 있는

곳의 유속을 v, 중심선에서의 유속을 v_c라고 하였을 때 속도 분포는 다음의 식으로 표시될 수 있는 것으로 Blasius는 가 정하였다.

v

v_c ⁼

(

)

관내의 평균유속을 V 라고 하면 식, (3-7)에 의하여

VπR²=⌠⌡

0

R v_c

(

)

를 얻는다 이것을 적분하고 정리하면. V

v_c ⁼

2

(m+1)(m+2) (8-21)

이다 위의 식을 식. (8-20)에 대입하면 다음을 얻는다. V= 2

(m+1)(m+2)v

(

)

이것을 식(8-19)에 대입하면

τ_o=0.0332

[

]

또한 Blasius는 벽면에서의 전단응력 τ₀는 속도분포와 유 체의 물리적인 성질에 의해서만 변화하며, 관의 크기 R의 영

향은 받지 않는다고 가정하였다. 이 가정을 받아들인다면 위

의 식에서 R의 지수는 0이 되어야 하므로 식(8-20)의 지수 m을 결정할 수가 있다.

즉, -1 4+7

4m=0, m=1 7 이것을 식(8-20)에 대입하면

v

v_c ⁼

(

)

이다. 이것을 난류속도분포의 7승근법칙(乘根法則, seventh 이라고 말한다 이 식은 실험결과와 잘 일치하기 때 root law) .

문에 널리 이용되어 온 식이다.

식(8-21)에 m=1/7을 대입하면

V/v_c=49/60 (8-23)

을 얻는다 따라서 이 식을 식. (8-19)에 대입하고 정리하면 다음의 식을 얻는다.

τ_o=0.0464

(

)

[ 12-1] 7승근법칙을 사용하여 마찰 계수 벽면에서의 전단응력 중심선에서의 속도 관의 중심선, , , 에서 30 mm 떨어진 곳에서 속도를 계산하라.

앞 예제로부터

[Sol] V=1.25 m/ sec , R=94,000,

f=0.316/(94,000)^1/4=0.018, 1.25

v_c ⁼ 49

60, v_c= 1.53 m/ sec v

1.53 =

(

)

(

)

2 = 0.357 kg_f/m²

(SI단위)τ₀ = 0.357×9.81 = 3.502Pa

위의 결과를 앞 절의 예제와 비교하여 보라.

원형이 아닌 관에서의 관마찰 12-2

실제 공업용으로 사용되는 관의 단면은 원형관뿐만은 아니 며 직사각형 타원형관 등도 사용된다 원형단면이 아닌 통로, . 에서 흐름이 일어 날 경우의 수두손실을 원형의 반지름에 대 응하는 상등반경(相等半徑)인 수력반경(水力半徑)의 개념을 사용하여 원형관의 결과를 이용할 수 있다 이미 절. 6-7에서 정의한 바와 같이 수력반경 R_h이란 통로단면의 접수주변(接

길이를 )

水周邊 P, 단면적을 A라고 하면, R_h=A/P이다.

따라서 지름, d인 원관의 수력반경은 R_h=d/4이므로 d=4R_h 이다. 즉 비원형관에서는 4R_h를 원에 대응하는 등가지름

이라고 생각할 수 있다 (equivalent diameter) .

이 값을 Darcy 식인 식(8-1)과 Reynolds수에 대입하면

다음을 얻는다.

h_L= f 4

l R_h

V²

2g ^, R= V(4R_h)ρ

μ = V(4R_h) ν

위의 식을 이용하여 비원형관에서 수두손실을 구할 수 있 다.

예제 표준대기압

[ 12-2] , 15℃의 공기가 3 m/ sec 의 평균 속도로 360 mm×300 mm 의 매끈한 직사각형 통풍통속을 흐르고 있다.

600 m사이에서 수두손실과 이 사이에서 압력의 강하량을 계산하라.

[Sol] R_h= 0.36×0.3

2×0.36+2×0.30 =0.082 m R= 3×4×0.082

14.56×10^-6 =6.76×10⁴

그림 8-4의 Moody 선도로부터 f=0.019이므로

h_L= 0.196× 600

4×0.082 × (3)²

2×9.81 = 16.45 m Δp= 16.45 ×1.226 = 20.17 kg_f/m²

(SI단위)ΔP = 20.17×9.81 = 197.87Pa

관마찰의 실험식 12-3

실제 관마찰의 계산에는 많은 실험식이 이용된다 이들 실.

험식은 대개 난류상태하의 물의 흐름을 실험하여 얻은 것이 기 때문에 물 이외의 유체에 대하여는 신뢰성이 적다.

와 는 대략의 추정을 위해서 관의 마찰계수로 Dupit Chezy

써 f =0.03을 주고 있다 이 값은 주철관의 경우에 적용될. 수 있으며 관로문제에서 대략의 값을 추정하는데 많이 이용, 된다.

대표적인 것으로 Hagen-Williams의 식이 있으며 이 식은, 미국에서 널리 사용되고 있고 다음과 같다.

V=0.8494C_hω R_h^0.63S^0.54

여기에서 V는 평균유속, R_h는 수력반경, S는 단위길이당 의 수두손실을 나타낸다. C_hw는 조도계수(粗度係數)이며 표

에 표시한 바와 같다

8-2 .

관로내의 평균유속을 나타내는 실험식으로서 Reynolds수 가 높은 영역에서 사용될 수 있는 다음과 같은 Manning의 식이 있다.

V= 1

C_m R_h^2/3 S^1/2

여기에서 C_m은 조도계수이며 이에 대한 대표적인 값도 표, 에

8-2 C_hw와 같이 표시하였다.

표 8-2 Hagen-Williams 와 Manning의 조도계수

관의 종류 C_hw C_m

유 리 관

목관 매끈한 것( ) 주철관

(

)

강관

(

)

콘크리이트관

140~150 120 130~140

80~100

95~110 120~140

0.009~0.012 0.010~0.014 0.010~0.013

0.010~0.013 0.013~0.018 0.012~0.016

예제 지름

[ 12-3] 300 mm의 신품 주철관에서 물이 흐르 고 있다. 단위 길이당의 수두손실이 0.01 m로 계측되었다.

관내의 평균유속을 Hagen-Williams식과 Manning식으로 계 산하라.

식을 사용하기 위해 표 에서

[Sol] Hagen-Williams 8-2

C _{h w}=130을 취하면

V=0.8494×130×

(

)

(

)

Manning C_hw=0.012를 취하면

V= 1

0.012

(

)

(

)