점성유체의 흐름 Chapter 2

점성유체의 흐름 Chapter 2

경계층 2-1

그림 6-5에 표시한 바와 같은 물체의 표면 또는 경계벽면 에 따라 흐르는 흐름을 생각하자. 실제유체에는 점성이 있기 때문에 벽면에서는 유체가 점착(粘着)하고 속도는 0 이 된다.

점성의 영향은 벽면에서 점차 멀리까지 미친다. 그러나 벽면 에서 면에 수직방향으로 어떤 거리 떨어진 곳에서는 유체는 일정한 속도 v₀ 을 갖는다 즉 벽면에 수직방향으로 속도가. 0 에서 v₀ 까지 변화하는 영역이 있다 이와 같이. 속도구배 가 있는 영역을 Prandtl은 경계층(boundary layer)이라고 명 명(命名)하였다.

그림 6-5

은 년에 유선형물체와 흐름에 평행한 평판 등 Prandtl 1904

의 마찰저항을 설명하는데 이 경계층의 개념을 제안하였다.

그 개념의 기본점은 흐름의 마찰양상은 경계층에 한정되며, 경계층 밖에서는 유체의 점성은 작용하지 않는다는 것이다.

즉 경계층 밖의 흐름은 마찰이 없고 비회전이라는 것이다.

경계층내의 흐름상태가 층류이면 이 경계층(境界層)은 층류 경계층(laminar boundary layer)이라고 불리우며, 흐름의 상 태가 난류이면 난류경계층(turbulent boundary layer)이라고 불리운다.

흐름이 난류인 경우에는 그림 6-5에 표시한 속도 v 는 그 점에서의 시간적 평균속도를 나타낸다.

이를테면 원관 속의 흐름을 생각해 보자 속도분포는 관벽. 에서 0 이고 점차 증가해서 관의 중심에서 최대가 되는 변화 를 한다 만약. Reynods수가 2, 100 보다 작은 흐름이면 이 흐름은 층류일 것이므로 관벽에서 관 중심까지의 전영역은 층류경계층이라 할 수 있다.

만약 Reynolds수가 4, 000 보다 큰 흐름이면 원관속의 흐 름의 상태는 관입구에서 유체의 교란상태 및 관벽의 거침 상 태 등에 따라 달라지나 보통의 경우 난류가 될 것이므로 이 경우 관속의 영역은 난류경계층이라 말 할 수 있다.

그러나 관벽에 극히 가까운 부분의 유체입자의 속도는 0 에 가깝게 된다 그러므로 관내의 전영역이 난류라 할지라도. 관벽에 극히 가까운 부분에는 층류막(層流膜, laminar film) 또는 아층(亞層, sublayer)이라고 불리우는 엷은 층인 층류영 역이 있게 된다 이것은. Stanton에 의해서도 실험적으로 증 명되고 있다.

원관내의 흐름 (1)

종구형(鐘口形) 입구를 가진 원관에 유입하는 점성유체의 흐름을 생각해 보자 그림. 6-6에 표시한 바와 같이 관의 입 구에서 속도분포는 균일에 가깝다 그러나 하류로 감에 따라.

점성작용으로 감속되는 유체의 층인 경계층은 점차 두꺼워져 어느 위치에 가면 중심선에서 합치게 된다 관내를 흐르는 유. 량은 일정하므로 관벽부근에서 감속에 의한 유량감소를 보충 하기 위하여 관중심부근의 핵심부(core)의 유속은 점차 증가 하게 된다 그러므로 속도분포는 관입구에서 경계층이 합치는. 사이의 각 단면에서 변화하게 되며 경계층이 합친 하류의 각, 단면에서는 속도분포는 일정하게 된다.

전자의 흐름을 미확립흐름(unestablished flow), 후자의 흐 름을 확립흐름(established flow), 관입구에서 미확립흐름 구 역 사이의 거리를 입구길이(entrance length or inlet length)라고 말한다.

미확립흐름 확립흐름

핵심

경계층

경계층 동일속도분포

미확립흐름 확립흐름

핵심

경계층

경계층 동일속도분포

그림 6-6(a)

핵심

미확립 확립

층류막 난류 난류경계층

층류경계층

핵심

미확립 확립

층류막 난류 난류경계층

층류경계층

그림 6-6(b)

실험에 의하면 입구길이는 관지름의 50 배의 길이에 걸쳐 서 이루어진다. 그러나 종구형 입구를 갖는 관에서는 높은

수에서 관지름의 약

Reynolds 20 배의 길이에 걸쳐서 이루어

지며, Reynolds수가 감소하면 그 길이는 점차 감소한다.

경계층 밖의 흐름인 핵심부는 마찰이 없는 이상유체로 취 급될 수 있으므로 핵심부의 속도들이 알려지면 Bernoulli의 방정식으로 압력강하를 구할 수 있다 그림. 6-6의 (a)는 확 립흐름이 층류인 경우를, (b)는 난류일 경우를 보여 준다.

평판상의 경계층 (2)

그림 6-7은 균일한 속도 V_o로 운동하는 유체 속에 흐름 에 평행하게 놓인 평판상의 경계층을 보여 준다 평판의 전단. A 에서는 평판에 접한 유체의 입자만이 평판에 점착하고 속 도는 0 이 되며 그 밖의 유체는 균일한 속도, V_o 로 운동한 다 전단에서 어떤 거리 떨어진 하류. B 에서는 평판과 접한 유체의 입자는 역시 평판에 점착하고 있는 속도는 0 이나 바 로 근접한 유체의 입자는 전단 A 에서 B 까지 흐르는 사이 에 점착한 유체와의 사이의 마찰력으로 균일한 속도 V_o 보 다 작은 어떤 속도까지 감속된다.

층류영역

천이영역

난류영역

층류막 x

층류영역

천이영역

난류영역

층류막 x

그림 6-7

평판에서 더욱 떨어진 외측의 유체입자도 또한 균일한 속

도 V_o 보다 감속되나 점성의 영향이 그만큼 늦어짐으로 그 속도는 평판에 가까운 입자의 속도보다는 크다 이와 같이 점. 성에 의한 마찰력의 영향은 평판에서 점차 멀리까지 미치나 어느 거리이상 떨어진 곳에서는 이를테면 점 D 에서는 유체 의 속도는 거의 균일한 속도 V_o 가 된다. 또한 속도구배도 극히 작아 거의 0 이 된다 따라서 그곳에서는 점성에 의한. 마찰력의 영향은 무시할 수가 있으며 그 점보다 먼 곳에 있 는 유체는 비점성인 이상유체로 생각할 수가 있다.

하류의 점 C 에서는 각 유체의 입자는 점 B 에서의 속도 보다 더욱 감속되어 마찰력의 영향도 더 멀리까지 미쳐 경계 층의 두께도 증가한다. 즉 경계층은 평판에 따라 하류에 갈 수록 두꺼워진다.

경계층은 유체의 점성작용인 마찰력에 의해서 유체가 물체 표면근처에서 감속됨으로써 생기는 층이므로 그 두께는 유체 의 점성이 클 수록 크다. 반면 균일속도가 크면 감속되는 정 도가 작아질 것이므로 균일속도가 큰 흐름의 경계층의 두께 는 얇아진다. 이와 같이 흐름의 균일속도가 크고 유체의 점성 이 작을 수록 경계층의 두께는 얇아지므로 경계층에서 흐름 의 특성을 정의하는데 Reynolds수를 사용할 수 있다.

수가 클수록 경계층의 두께는 얇아지며

Reynolds , Reynolds

수가 작을 수록 두꺼워진다.

평판에서 경계층의 흐름도 원관 내의 흐름과 같이 층류로 부터 난류로 천이한다 천이는 불연속적. (不連續的)으로 일어 나지 않으며 어느 영역사이에서 일어난다. 이 영역(嶺域)을 천이영역(transition region)이라고 부르며 이 영역에서는 흐, 름은 층류 반 난류 반의 상태가 된다.

실험결과에 의하면 평판에서의 임계 Reynolds수는 R_xc = Vx/ν = 500, 000 이다 여기에서. x 는 평판의 선단에 서 천이가 일어나는 점까지의 평판에 따르는 수평거리이고, V 는 유체의 균일속도를 나타낸다 이 값보다 낮은 값의 부. 분에서는 층류경계층이 일어나고 이 값보다 높은 값의 부분, 에서는 난류경계층이 형성된다.

관입구에서 경계층에 대한 임계 Reynolds수는 평판에 대 한 값보다는 약간 크고 600, 000으로 취할 수 있다.

박리 2-2

흐름의 방향으로 압력의 상승이 있는 경우에는 벽면(壁面) 을 따라 흐르는 유체의 입자는 점성작용으로 전진이 방해되 는 외에 압력상승을 극복하면서 흘러가야 한다 어떤 위치까. 지는 유체입자는 압력의 강하영역(降下領域)에서 축적한 운동 에너지로 전진을 계속한다 그러나 운동에너지는 유체의 점성. 으로 인한 마찰 때문에 소모되고 전진속도는 점차 감소한다.

압력상승이 더욱 계속하면 벽면 가까이에 있는 유체입자는 압력상승에 이기지 못하고 흐름은 정지한다 정지한 유체의. 입자는 압력이 낮은 쪽으로 흐르게 되므로 그림 6-8에 보인 바와 같이 점 P 에서 물체의 표면으로부터 이탈(離脫)해 버 린다 이와같이. 경계층의 흐름이 벽면에서 이탈하는 현상을 박리(剝離, separation)라고 말한다.

박리점 P 에서는 (dv/dy)_{y= 0} = 0 이 된다. 박리점보다 하류에서는 (dv/dy)_{y= 0} < 0 이 되어 후류에서는 와류가 발 생한다.

그림 6-8

반면 흐름의 하류를 향해서 압력의 강하가 있을 경우에는 유체의 속도는 하류를 향해서 점차 증가하게 된다 그러므로. 이와 같은 경우에는 유체입자는 벽면에서 마찰로 인해서 에 너지의 일부가 소모되어도 운동에너지의 증가로 박리현상은 일어나지 않는다.

따라서 실제유체의 흐름에서 유체의 가속운동은 효율적인 과정이며 감속운동은 비효율적인 과정이다 수축노즐속에서, . 또는 잠겨 있는 물체의 전방부의 벽면에 따라서 유체에 가속 운동이 일어 날 때에는 양의 압력구배가 따르고 경계층을 안 정시켜 에너지손실을 작게 한다 반면 유체의 감속운동은 음. 의 압력구배를 형성하고 경계층이 불안정하게 되어 박리와 와류의 형성으로 에너지의 손실을 크게 한다.

위에 말한 것은 터빈과 원심펌프의 최대효율의 차이를 설 명하는데 이용할 수 있다 터빈에서는 흐름의 통로는 주로 수. 축(收縮)하므로 유체의 흐름은 가속된다 그러나 펌프에서는. 이와 반대이다 터빈의 최대효율은. 94% 에까지 도달하나 원 심펌프의 최대효율은 87% 정도 밖에 되지 않는다 이러한. 차는 흐름에서의 가속과 감속의 효율성을 입증한다.

박리는 층류경계층에서도 또는 난류경계층에서도 발생한다.

난류경계층에서는 유체입자의 혼합작용(混合作用)으로 속도가 큰 외측에서 속도가 작은 내측으로 운동에너지가 공급되므로 층류경계층에서의 경우보다 박리하기가 어렵다.

에너지식과 운동량방정식의 수정 2-3

실제유체(實在流體)의 흐름에 에너지식을 적용할 경우 단면 의 평균속도를 이용한 속도수두 V ²

2g 은 단면의 각 점을 통 과하는 단위중량당의 유체가 갖는 운동에너지의 평균치라야 한다 실제유체에서는 점성의 영향으로 벽면에서는 유체가 점. 착하여 유속은 0 이고 벽면에서 멀어질 수록 유속은 점차, 증가하는 속도분포를 형성한다.

층류 난류

(a) (b)

그림 6-9

그림 6-9는 평행벽면내에서 일어나는 층류와 난류의 속도 분포를 비교하여 표시한 것이다 난류의 속도분포는 유체입자. 의 혼합작용으로 운동량이 수송되기 때문에 층류에 비하여 균일분포에 가깝다 이 때문에 벽면 근처에서는 속도구배가. 커져 마찰저항이 증가한다 따라서. 난류의 경우에는 층류의 경우보다 압력강하는 증가한다.

위에서와 같이 속도분포의 형성으로 유동단면의 각 점을 통과하는 단위중량당의 유체가 갖는 속도수두의 평균치는

V ²

2g ^{이 되지는 않는다}. 그러나 이 운동에너지 평균치를 α V ²

2g ^{으로 표시해 줄 수는 있다. α 는 수정계수} (correction factor) 이다.

그림 6-10

그림 6-10에서 미소유관내를 운동하는 유체의 운동에너지는,

(dQ) γv ²

2g ^{= ρ}v ³dA/2

이므로 이것을 전단면적에 관해서 적분하면 그 단면적을 단 위시간에 통과하는 유체의 총운동에너지를 얻는다 지금 단면. 을 통과하는 유체의 평균속도를 V, 유량을 Q 라고 하면 수 정계수 α 는 다음의 식으로부터 얻을 수 있다.

Qγ

(

)

Av³dA

α = 1 V²

⌠⌡

Av³dA

⌠⌡

Av dA

(6-6)

같은 방법으로 속도분포를 형성하고 있는 단면의 운동량 유속도 β( ρQV) 로 표시해 줄 수 있고 수정계수는 다음의 식으로부터 얻을 수 있다.

β = 1 V

⌠⌡

Av²dA

⌠⌡

Av dA

(6-7)

식(6-6) 및 (6-7)로 표시되는 수정계수는 속도분포가 균일 할 경우 α = β = 1 이며 균일하지 않을 경우 실험에 의하면, 1 보다 약간 큰 값이 되고 α>β>1 이다 이것으로 속도분포. 가 층류보다 균일에 가까운 난류에서는 수정계수가 1에 접근 하리라고 추정할 수 있다.

실제(實際)흐름은 난류의 경우가 대부분이고 층류일 경우, 에도 압축성을 무시할 수 있는 흐름이라면 속도수두는 방정식의 다른 항에 비하여 비교적 작으며 또한

Bernoulli ,

실제 공학문제에서 1 보다 약간 큰 수정계수의 값을 곱해 주 어야 할 정도의 정밀도를 요구하지 않는다는 등의 여러 이유 로 수정계수는 1 로 간주한다.

예제 거리

[ 2-1] 2R 떨어져 있는 무한히 큰 두 평판이 그림 6-10과 같은 통로를 만들고 포물선 속도분포를 형성하 고 있다 최대유속은. v_c 이다 유량. q, 수정계수 α 및 β 를 계산하라.

통로의 중심선에서 속도

[Sol] v 인 어떤 임의의 위치까지

의 거리를 r, 미소요소의 면적을 dA 라고 하면, dA = dr 이다 또한 포물선의 방정식은. v = v _c( 1 -r ²/R²) 이므로

q = 2⌠⌡

R

0 v_c

(

)

α =

2⌠⌡

R

0 v_c³

(

)

(

)

54

35 = 1.543

β =

2⌠⌡

R

0 v_c²

(

)

(

)

6

5 = 1.200 이다.

이들 수정계수의 값으로부터 정확한 속도수두는 V²/ 2g 보다 54% 가 크고 정확한 운동량유속은, ρQ V 보다 20%

가 크다는 것을 알 수 있다 따라서 이와 같은 유동문제에서. 는 이들 수정계수가 요구하는 결과에 영향을 주지 않는다는 뒷받침이 없는 한 에너지식과 운동량의 식을 통용할 때, 수 정계수를 고려하여야 한다.