관로에서의 유체의 흐름 Chapter 10

관로에서의 유체의 흐름 Chapter 10

(Fluid Flow in Pipes)

원관내에서의 수두손실 10-1

물 기름 등을 관로로 수송하는데 있어서 관내를 통과하는, , 유속 유량 및 에너지손실 등을 추정하는 것은 관로의 성능, 향상 또는 수송원이 되는 펌프의 특성 등을 결정할 경우 기 본적인 문제가 된다.

곧은 원관내를 유체가 흐를 때 마찰에 의한 수두손실은 속 도수두와 원관길이에 비례하며, 관의 지름에 반비례한다는 것 이 많은 실험에 의해서 알려져 있다.

즉, h_l= Δp

γ =f l d

V²

2g ^(8-1)

여기에서 Δp 는 원관의 길이 l 사이에서 압력의 강하를 나 타내며, f 는 관의 거칠음(roughness), 유속 관의 지름 및, 유동유체의 점성계수에 따라 정해지는 비례상수인 마찰계수 (friction factor)이다. 위의 식은 Darcy-Weisbach식 또는

식

Darcy 이라고 불리며, 곧은 원관의 마찰에 의한 수두손실을 추정하는데 사용하는 기본식이다.

마찰계수(摩擦係數)를 실험으로 구하기 위해서는 그림 8-1 에 표시한 바와 같은 장치를 사용한다.

그림과 같이 거리 l 떨어져 있는 두 점에서 정압을 측정할 수 있는 피에조미터를 세워 수두손실 h_L를 구하고 동시에, 벤츄리계로써 유량 Q를 계측한다. 그러면 V= Q

π(d)²/4이므 로 식(8-1)에 의해서 마찰계수가 결정된다.

식(6-13)을 관벽에서 전단응력 τ₀로 고쳐 쓰고 이 식에 식 을 대입하면

(8-1)

τ_o=f ρ V²/8 (8-2)

을 얻는다. 이 식은 마찰계수 밀도 및 유속과 전단응력과의, 관계를 나타내는 기본식이다. 이 식을 변형하면

v_★= τ₀/ρ=V f/8 (8-3)

이다. f 는 무차원의 계수이므로 v_★ 는 속도의 차원을 갖는

다. 따라서 v_★ 을 마찰속도(friction velocity)라고 정의한 다. 마찰속도는 벽전단응력과 유체의 밀도만을 포함하는 속 도이므로 흐름의 상태나 벽면의 거칠음에 관계없이 적용할 수 있다.

예제 물이 내경

[ 10-1] 150 mm의 원관 속을 4.6 m/ sec 의 속도를 흐르고 있다 원관. 50 m사이에서 8.76 m의 수두손실 이 실측되었다 이 관의 마찰계수. f 와 마찰속도 v_★ 를 계산 하라.

[Sol] 8.76 =f ⁵⁰ 0.15

(4.6)²

2×9.81, f=0.024 v_★=4.6 0.024/8=0.25 m/ sec

마찰계수 10-2

관벽과 유체와의 사이의 마찰응력 τ_o 는 관의 지름을 d, 관내의 평균속도를 V, 흐르고있는 유체의 밀도를 ρ, 유체의 점성계수를 μ, 관벽의 거칠음의 평균높이를 e로 표시하였을 때 절 7-2의 1 에서 차원해석을 통해 다음의 식을 얻었었다.

즉, τ₀= ρ V² F '(R,e/d) (7-23)

여기에서 R=Vdρ/μ (또는 Vd/ν), e/d는 상대조도(相對粗度, 이며 이들을 변수로 하는 함수 relative roughness) ,

F'( R,e/d)는 실험에 의해서 결정되는 상수계수임을 기술하였 다. 즉 기하학적으로 상사 관벽의 거칠음까지 포함 하고( ) , 수가 같은 원관내의 흐름은 역학적으로 상사가 된 Reynolds

다.

식(8-2)와 식(7-23)을 비교함으로써 다음 식과 같이 얻을 수 있다.

f=F ''( R,e/d)

그림 8-2는 어떤 거칠음을 갖는 원관의 f 를 실험적으로 측정하여 얻은 결과이다. 이 원관과 상대조도 e/d 가 같은 모든 원관의 마찰계수는 상사법칙에 따라 그림 8-2에 의해서 결정될 수 있다.

그림 8-2와 같은 표면의 거칠음을 매개변수로한 마찰계수 의 실험치의 표시방법은 Stanton(1914)에 의해서 처음으로 사용되었기 때문에 이와 같은 방법으로 표시된 도표를

선도 라고 부른다

Stanton (Stanton diagram) .

그림 8-3은 Nikuradse가 지름을 알 수 있는 균일한 모래 알을 관벽에 발라 인공적으로 거칠음을 만들어 실험한 계통 적인 실험결과이다.

원관내의 흐름이 층류인 임계Reynolds수 2,100이하에서는 수두손실은 표면의 거칠음에 영향을 받지 않으며 마찰계수는 다음 절에서 유도되는 식 f = 64/R 의 단일곡선과 일치한다.

원관내의 흐름이 난류일 경우에는 극히 거친 관에서는 마찰 계수는 Reynolds수가 증가함에 따라서 증가하나 상대조도 e/d 에 대해서 Reynolds수가 어떤 일정한 값 이상이 되었을 경우에는 마찰계수는 Reynolds수에 무관계한 일정한 값을 유지한다. 마찰계수의 최저곡선은 매끈한 관을 실험함으로써 얻을 수 있다. 그러나 Reynolds수가 증가하면 매끈한 관의 곡선으로부터 이탈하며 다음에 마찰계수는 증가하여 수가 충분히 클 경우에는 일정한 값에 도달한다

Reynolds .

이 특성은 관벽의 거치름을 구하는데 이용된다.

이 실험을 통해서 Nikuradse(1933)는 난류에서 매끈한 관 에 대한 마찰계수를 5,000<R<50,000에 대하여 다음의 실험 식을 유도하였다.

1

f = -0.80+2.0 log R f (8-4)

이에 대하여 Blasius(1913)는 3,000<R<100,000에 대하여 f = 0.316/ R^0.25 (8-5)

를 주고 있다. 또한 난류에서의 거치른 관에 대하여 는

Nikuradse 1

f =1.14+2.0 log d

e ^(8-6)

를 유도하고 있다 이 식으로 완전히 거치른 관의 마찰계수는. R 에 무관계하고 표면의 거칠음에 의해서 결정될 수 있음을 알 수 있다.

예제 수

[ 10-2] Reynolds 80,000으로 내경 76 mm의 원 관 속을 40 ℃의 물이 흐르고 있다. 관벽이 지름 0.15 mm 의 균일한 모래알로 발라져 있다고 가정하고 관의 길이 500 m사이에서 생길 수두손실을 계산하라. 만약 이 관이 매 끈하다면 그 때의 수두손실은 얼마가 되겠는가?

[Sol] R=80,000, e/d= 0.15/76 = 0.00194이므로 그림 8-3 으로부터 f≅ 0.021 을 얻는다. ν =6.59×10^{- 7}m²/ sec (부록Ⅰ 참조)

80,000= V×0.076

6.59×10^-7, V=0.694 m/ sec h_L=0.021× 500

0.076 × (0.694)²

2×9.81 =3.39 m

매끈한 관일 경우에는 3,000<R<100,000 이므로 f= 0.316

(80,000)^0.25 =0.0188

그림 8-3을 이용해서도 같은 값을 얻을 수 있으며,

따라서, h_L=

(

)

10-3 Colebrook

상품관(商品管)의 거치름은 인공적인 거치름과는 완전히 다 르기 때문에 Nikuradse의 실험결과를 상품관에 직접 적용할 수는 없다. Colebrook은 충분히 높은 Reynolds수에서는 어 떠한 거치름의 관도 마찰계수는 R 에 따라서 변화하지 않는 거의 일정한 값을 갖는다는 Nikuradse의 실험결과와 실험식 을 이용해서 상품관의 거치름 e 를 측정하는 동시에 상품관 에 적용할 수 있는 실험식을 유도하였다.

1

f^{-2 log} d

e =1.14-2 log

[

]

표 8-1은 상품관의 거치름을 표시한다.

표 8-1 상품관의 거치름

관의 종류 거칠음 평균치 e(mm) 공업용강관

(

)

주철관 아스팔트칠( ) 아연도금철관

주철관



 



신품 녹쓴것 이끼낀것 목관

콘크리스트관

(

)

병접관

0.05 0.2 0.05~0.20

0.15 0.3~0.4 1.0~1.5 1.5~3.0 0.2~1.0 0.3~0.8 1.0~2.0 1.0~10.0

는 의 식을 기초로 하여 상품관에 사용할 Moody Colebrook

수 있는 마찰계수를 정하는 도표를 Stanton 선도의 형식으로 그림 8-4와 같이 작성하였다. 이 선도를 Moody 선도 라고 도 부른다.

예제

[ 10-3] 20℃의 공기를 지름 500 mm의 공업용강관을 사용하여 유량 660 m³/ min 을 수송할 때 100 m의 길이에서 수 두손실과 압력강하를 계산하라.

관속의 평균속도는

[Sol] V= 660/60

π

4(0.5)²

=56.02 m/ sec

20℃ 의 공기의 동점성계수는 표 1-10에 의해서 ν = 15.01×10^{- 6}m²/ sec 이다.

그러므로 Reynolds수는 R= 56.02×0.5

15.01×10^-6 =1.87×10⁶

공업용강관의 거치름은 표 8-1에서 e=0.05 mm이므로 상대 조도는 e/d= 0.05/500 =0.0001이다.

선도에 의해서 마찰계수를 구하면

Moody f=0.0128이 된

다 따라서. , h_L=0.0128×100

0.5 × (56.02)²

2×9.81 =409.47 m Δp= 409.47×1.205 = 493.41 kg_f/m²= 0.049 kg_f/cm²

(SI단위)493.41×9.81 = 4.840kPa