10장 불량률관리도와 불량개수관리도
김남형 가천대학교 응용통계학과
nhkim@gachon.ac.kr
계수형 관리도
불량품(nonconformings)과 결함(nonconformities)에 대 한 관리
장점
데이터 수집 용이
비용과 시간이 절약
공정 전반의 품질수준 파악에 효과적
여러 항목들을 동시에 관리할 수 있음계수형 관리도의 종류
Data 종류
Control
Chart 설명
계수치
P
(불량률 관리도)
불량비율을 알고 싶을 때, 표본크기가 다양하고, 보통 50개 이상일 때
np
(불량개수 관리도)
불량개수를 알고 싶을 때, 표본크기가 일정하고, 보통 50개 이상일 때
C
(결점수 관리도)
결점의 수를 알고 싶을 때, 표본크기가 일정할 때U
(단위당 결점수 관리도)
단위당 결점 수를 알고 싶을 때, 표본크기가 일정하지 않을 때
제1절 불량률(p)관리도
•
양적인 측정이 불가능하여 계수치로만 나타낼 수 밖에 없는 경우
제품을 양품과 불량품으로 분류할 경우
불량품(nonconforming unit) : 적어도 하나의 결함을 가지 는 제품 제대로 작동하지 않는 공구
시동이 안 걸리는 자동차
고객이 좋아하지 않는 서비스
불량률 관리도 표본의 불량률(𝑝𝑝̂)을 타점
불량률(p) 관리도
p관리도를 효과적으로 이용하기 위해서는 데이터가 충분히 층별로 모아져야 함.
검사개수 n과 불량개수 pn은 알고 있어야 함
사용목적 평균품질수준을 결정하는데 사용. 합격․불합격과 같은 계수치의 의 미로써 공정능력을 알 수 있게 함.
경영자로 하여금 평균과 비교해서 어떤 변화(증가/감소)가 일어나게 되는지를 쉽게 알 수 있게 함
제품품질 개선.
작업자와 경영자 개인의 품질활동 성과를 평가.
관리도를 적용하기 위해 예비적인 조사분석.
고객에게 인도하기 전 제품의 허용기준을 결정.
표본불량률(proportion nonconforming)
크기 n의 표본을 임의로 골라 검사하였을 때 불량품이 x 개였다고 할 때 표본불량률
모집단 불량률 p의 안정상태 여부 판단
표본 크기는 보통 몇 백개 단위의 큰 표본 정확성 있는 비율 구할 수 있음이항확률변수 X
X : 표본의 불량품 수
불량품의 수는 이항확률변수라 할 수 있음
평균=np
분산=np(1-p)표본비율 의 분포
평균 =
분산 =
표준편차 =표본비율 의 분포 평균 = 모비율(p) 표준편차 =
단, 모비율 p ≈
불량률 (p) 관리도 관리상한 =
중심선 =
𝑝𝑝̅ + 3 𝑝𝑝̅(1 − 𝑝𝑝̅) 𝑛𝑛
𝑝𝑝̅
𝑝𝑝̅(1 − 𝑝𝑝̅)
<표1> 표본불량률
표본 번호
표본
크기 x 불량률
(p)
표본 번호
표본
크기 x 불량률
(p)
1 100 3 0.03 11 100 3 0.03
2 100 5 0.05 12 100 8 0.08
3 100 12 0.12 13 100 10 0.10
4 100 10 0.10 14 100 8 0.08
5 100 6 0.06 15 100 5 0.05
6 100 5 0.05 16 100 7 0.07
7 100 7 0.07 17 100 3 0.03
8 100 3 0.03 18 100 11 0.11
9 100 2 0.02 19 100 7 0.07
10 100 9 0.09 20 100 13 0.13
합계 2,000 137 1.37 평균 0.0685( )
중심선= = 0.0685
표본비율의 평균
관리상한(UCL) = 0.1443
중심선(CL) = 0.0685
관리하한(LCL) = 0[예제1]
p관리도. 청바지를 만드는 L기업. 높은 품질 유지위하여 생산공정 모니터하는 p관리도 작성하고자 함.
모집단의 불량률은 알 수 없음. 임의로 20 표본, 청바지 (n=100). 자료는 <표2>와 같을 때 공정관리를 위한 p 관리 도 작성<표2> 불량률
표본 번호
표본 크기
불량 개수 (x)
불량률 (p)
표본 번호
표본 크기
불량 개수 (x)
불량률 (p)
1 100 1 0.01 11 100 2 0.02
2 100 4 0.04 12 100 0 0
3 100 2 0.02 13 100 1 0.01
4 100 2 0.02 14 100 2 0.02
5 100 1 0.01 15 100 1 0.01
6 100 4 0.04 16 100 2 0.02
<풀이>
CL= = 0.025
p 관리도
0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
불량률(p) UCL=0.066 CL=0.022 LCL=0
그런데, 표본번호 10이 불량률 0.08로 관리상한을 초과하 므로, 그 원인을 찾아서 교정하여 표본번호 10을 제거하 고 다시 계산한다.중심선(CL)= = 0.022
공정관리를 위한 p관리도
관리상한(UCL)= 0.066
중심선(CL) = 0.022
관리하한(LCL)= 0p관리도
10번째 데이터 제거0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
불량률(p) UCL=0.066 CL=0.022 LCL=0
표본크기가 다를 때
표본 번호
표본 크기
불량 개수 (x)
불량률 (p)
표본 번호
표본 크기
불량 개수 (x)
불량률 (p)
1 170 8 0.047 11 240 11 0.046
2 170 5 0.029 12 185 9 0.049
3 170 10 0.059 13 270 13 0.048 4 170 12 0.071 14 270 16 0.059 5 200 11 0.055 15 230 10 0.043
6 230 15 0.065 16 250 9 0.036
7 85 4 0.047 17 200 6 0.030
8 80 5 0.063 18 310 14 0.045
9 80 0 0.000 19 310 16 0.052
10 120 6 0.050 20 200 10 0.050
표본크기가 다를 때
표본마다 관리한계선을 달리한다.
표준화된 p관리도를 사용한다.
𝑝𝑝̂ 대신 다음과 같은 표준점수를 타점 𝑧𝑧 = (𝑝𝑝̂ − 𝑝𝑝̅)/ 𝑝𝑝̅(1 − 𝑝𝑝̅)/𝑛𝑛
이 때 관리한계선은 ±3
표본 크기의 평균을 사용하여 근사한계선 정한다.p 관리도(표본크기 다를 때)
-0.020 0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
불량률(p) UCL
CL LCL
표본마다 관리한계선을 달리한 경우
p 관리도(표본크기 다를 때)
표준화된 p관리도를 사용한 경우
-2.000 -1.000 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000
z UCL CL LCL
p 관리도(표본크기 다를 때)
표본 크기의 평균(197)을 사용한 경우
-0.020 0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
불량률(p) UCL
CL LCL
p 관리도의 표본크기
경제적인 측면과 통계적인 측면 함께 고려
통계적인 측면만을 고려한 기준 세가지
기준1
표본을 100번 뽑을 때 불량품수가 한 개 이상인 표본이 적어도 90번 정도는 나오도록 표본 크기를 정한다.𝑃𝑃 𝑋𝑋 ≥ 1 ≥ 0.9
예제: 공정불량률이 p=0.02인 공정에서 표본을 100번 뽑을 때 불 량품수가 한 개 이상인 표본이 적어도 90번 정도는 나오도록 하려 면 표본의 크기는 얼마가 되어야 하는가?
풀이: 이항분포의 Poisson 근사 이용𝑃𝑃 𝑋𝑋 ≥ 1 = 1 − 𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 0 = 1 − exp −𝑛𝑛𝑝𝑝 ≥ 0.9
np ≥ ln (10)
n ≥ ln (10)/𝑝𝑝 n ≥ 2.302580.02 = 115.129
표본크기는 116이상이어야 함.
기준2
공정불량률이 d 만큼 증가하였을 때 1회의 표집으로 이를 탐 지할 확률이 0.5이상이 되어야 한다.𝑃𝑃 𝑝𝑝 + 𝑑𝑑 ≥ 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 ≥ 0.5 즉,
𝑃𝑃 𝑝𝑝 ≥ 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 − 𝑑𝑑 ≥ 0.5
이 관계를 만족하려면 UCL-d ≤CL이어야 한다. 따라서 𝑑𝑑 ≥ 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 − 𝑈𝑈𝑈𝑈 = 3 𝑝𝑝 1 − 𝑝𝑝 /𝑛𝑛
예제: 공정불량률이 p=0.02에서 0.05로 증가할 때, 1회의 표집으 로 이를 탐지할 확률이 0.5이상이 되게 하려면, 표본의 크기는 얼 마가 되어야 하는가?
풀이: d=0.03 이므로 n ≥ 3d
2
𝑝𝑝 1 − 𝑝𝑝 = 3 0.03
2
0.02 1 − 0.02 = 196
표본크기는 196이상이어야 함.
기준3
불량률 관리도에서 품질향상을 탐지할 수 있으려면 LCL이 0보 다 커야 한다. 즉𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 = 𝑝𝑝 − 3 𝑝𝑝 1 − 𝑝𝑝
𝑛𝑛 > 0 이로부터
n > 9 1 − 𝑝𝑝 /𝑝𝑝
예제: p=0.02일 때 불량률 관리도에서 품질향상을 탐지할 수 있으 려면 표본 크기가 얼마가 되어야 하는가?
풀이:n > 9 1 − 𝑝𝑝 /𝑝𝑝 = 9 1 − 0.02 /0.02 =441
표본크기는 441 보다 커야 함.
제2절 불량개수(np) 관리도
표본의 크기 n이 매번 일정할 때 사용
불량품의 개수를 세어 타점
사용이 간편
관리도의 의미는 p관리도와 동일불량품 개수의 분포
모비율 p이고 표본크기 n일 때, 불량품 개수 X는 이항확률 변수
기대값 = np
표준편차 = 𝑛𝑛𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)
단, 모비율 p를 모를 땐 표본비율의 평균 𝑝𝑝̅로 대치할 수 있음불량개수 (np) 관리도 관리상한 =
중심선 =
𝑛𝑛𝑝𝑝̅ + 3 𝑛𝑛𝑝𝑝̅(1 − 𝑝𝑝̅)
𝑛𝑛𝑝𝑝̅
<표3> 불량품개수
37
표본 번호
표본 크기
불량 개수 (x)
불량률 (p)
표본 번호
표본 크기
불량 개수 (x)
불량률 (p)
1 100 3 0.03 11 100 3 0.03
2 100 5 0.05 12 100 8 0.08
3 100 12 0.12 13 100 10 0.10
4 100 10 0.10 14 100 8 0.08
5 100 6 0.06 15 100 5 0.05
6 100 5 0.05 16 100 7 0.07
7 100 7 0.07 17 100 3 0.03
8 100 3 0.03 18 100 11 0.11
9 100 2 0.02 19 100 7 0.07
10 100 9 0.09 20 100 13 0.13
합계 2,000 137 1.37
평균 6.85
(𝑥𝑥̅)
0.0685 (𝑝𝑝̅)
