Chap 2 . The Mathematics of Wave Motion
1-차원 진행파(1-
dimensional propagating waves
)이동하는 파는 위치와 시간의 함수로 나타낸다. 만일 끈(string) 위에서 x축을 따라 움직이는 파 가 있다면 그 파의 함수는 다음과 같이 표현한다.
이동하는 파의 함수 표기법: f x t( , ) (2.1) 0
t 면 t를 내포하지 않는 함수가 되며 이때 정지한 파(stationary wave)의 모양을 그릴 수 있 고, 그 모습(profile)이 시간과 공간을 따라 그대로 움직인다.
Stationary function: ( , ) |x t t0 f x( , 0) f x( ) (2.2)
2.1 상대운동( Relative motion )에 의한 파동의 분석
끈에서 파동(disturbance)은 2-차원으로 일어나지만 변수가 하나인 방향으로 진행하므로 1-차원 파(one dimensional wave)라 하고, 호수에서 평면적으로 진행하는 파의 파동은 3-차원 이지만 진행은 2-차원에서 일어나므로 2-차원 파(two dimensional wave)라 한다.
공간에서 진행하는 파를 기술하기 위하여 상대운동을 1-차원에서 분석하고 이것을 3-차원으로 확장하도록 하자.
S: 정지 기준좌표 계(Stationary reference frame)
'
S : S계에 대해 v의 속력으로 움직이는 상대좌 표 계(Relatively moving reference frame) 정지좌표 S계에서 S'계를 바라다 보았을 때 S'
계는 파의 속력 v로 x축을 따라 우측 그림과 같 이 이동한다고 생각한다. 그러면 t시간 동안 S'
계는 S계에 대해 vt만큼 이동할 것이다.
정지좌표 S계에서 속력 v v( 0)로 x축을 따라 이동하는 1-차원 파를 표시하면
( , )x t f x vt( )
(2.3)
( , )x t f t( x v/ )
(2.4)
위와 같은 방법으로 x방향으로 진행하는 파는 다음과 같다.
( , )x t f x vt( )
(2.5)
( , )x t f t( x v/ )
(2.6)
'
S 계는 파와 같은 속력으로 움직이기 때문에 파는 정지한 파로 보이며, S'계에서 파의 모습은 수식 (2.2)의 t가 없는 파형으로 변환된다. 이와 달리 S 계에서는 파가 v의 속력으로 움직이는 것이 관측되지만 그 파의 모습(profile)은 S'계의 정지한 파와 같다.
'
S 계에서의 파의 표시: f x( ') (2.7)
'
S 계와 S계 사이의 좌표에 대한 Galilean transformation: x' x vt (2.8)
여기서 S'계가 S계에 대해 움직이는 속력 v는 일정.
1-차원 파동 방정식의 유도
(2.8)을 편미분: x' x v t (2.9)
위의 미분은 다음의 두 가지 경우를 생각할 수 있다.
(a) t는 일정할 때 x와 x'의 변화율: '
( x )t 1 '
x x
x
(2.10)
(b) x가 일정(고정)할 때 x'의 시간에 대한 증가율(속력): ' ( x )x
t v
(2.11)
(2.7)을 x와 t로 각각 편미분(partial derivative)하고 (2.10)과 (2.11)을 적용한다.
( ') '
( )
t '
f x x f
x x x x
(2.12)
( ') '
( )
x '
f x x f
t x t v x
(2.13)
(2.12)를 (2.13)에 대입하면
( )x v( )t
t x
(2.14)
(2.3)의 1-차원 파동함수(wave function)에 대한 공간과 시간의 일차 미분은 (2.14)의 관계에 있 다. 2차 미분에 의한 파동 미분방정식을 얻으려면 (2.12)와 (2.13)을 x와 t로 다시 편미분한다.
이때 미분 결과에 (2.10)과 (2.11)을 적용한다.
2 2
2 2
( ) ( ) '
t '
f x f
x x x x x x x
(2.15)
2 2 2
2 2
2 2 2
( ) ( ) '
x '
f x f f
v v v
t t x x t x t x
(2.16)
(2.15)를 (2.16)에 대입하면
2 2
2 2 2
1
x v t
(2.17)
(2.17)은 1-차원 미분 파동방정식(1-dimensional differential wave equation)이다. 이것을 3- 차원 미분 파동방정식으로 확장하면
2 2
2 2
1 v t
(2.18)
여기서 2은 Laplacian operator로 직각좌표에서는
2 2 2
2
2 2 2
x y z
모든 진행파(traveling wave or propagating wave)는 (2.17) 또는 (2.18)을 만족하여야 하며, 식 이 성립하지 않으면 그 파는 진행파가 아니다. (2.17)의 일반해(general solution)는 다음과 같다.
1 ( ) 2 ( )
C f x vt C g x vt
(2.19)
여기서 C1과 C2는 상수(constant)
1 ( )
C f x vt 는 오른쪽, C g x vt2 ( )는 왼쪽으로 이동하는 파이다. 자연현상은 오른쪽과 왼쪽으로 진행하는 파가 동시에 일어나며 만나는 곳에서는 겹치기(superposition)가 일어난다.
※ 미분연습: 다음을 미분함으로써 위에 적용된 일반적인 미분방법을 익히도록 한다.
(예 1) sin 'x , x'ax22라 하자. ( )x 를 x에 대해 미분하라. 여기서 a는 상수이다.
2 2
(sin ') '
cos ' ( 2) 2 cos( 2)
'
d d x dx d
x ax ax ax
dx dx dx dx
(예 2) ( , )x t sin(ax2bxt2ct2)이고 x와 t에 대하여 각각 편미분하라. 여기서 a b c, , 는
상수이다.
2 2
'
x ax bxtct 이라 하면 sin 'x
2 2 2 2
(sin ') '
( ) cos ' ( 2 ) (2 ) cos( 2 )
t '
x x
x ax bxt ct ax bt ax bxt ct
x x x x
2 2 2 2
(sin ') '
( ) cos ' ( 2 ) ( 4 ) cos( 2 )
x '
x x
x ax bxt ct bx ct ax bxt ct
t x t t
2.2 조화파동( Harmonic Waves )
Sine 또는 cosine으로 표시되는 파들은 연산하면 다시 sine 이나 cosine으로 표시되며 이러한 파 들을 sinusoidal waves 또는 조화파동(harmonic waves)이라 한다. 따라서 조화파동은 sine 또는 cosine인 주기함수이다.
간단한 형태의 조화파동: ( , )x t Asin(kxt) (2.20) A: 진폭(Amplitude)
k: 각 파수(Angular wave number)
: 각 진동수(Angular frequency)
주기함수(periodic function)의 표기법
(a) 주기함수에서 공간주기(spatial period)는 (파장: wavelength)로 표기한다.
( , )x t (x , )t
(2.21)
(b) 주기함수에서 시간주기(temporal period)는 또는 T로 표기한다.
( , )x t ( ,x t )
(2.22)
조화파동에 나타나는 값들의 관계식
조화파동을 ( , )x t Asin(kxt)라 하면, 이것은 주기함수이므로
( , )x t Asin(kx t) Asin[(kx t) 2 ]
(2.23)
(a) 공간주기(spatial period) 의 적용
sin( ) sin[ ( ) ] sin[( ) ]
A kxt A k x t A kxt k (2.24)
(2.23)과 (2.24)를 비교하면,
2 2
k k
, 단위: [rad / m] (2.25)
k는 단위길이당 있는 파수에 원의 각을 나타내는 2 radian을 곱한 양이다.
(b) 시간주기(temporal period) 의 적용
sin( ) sin[ ( )] sin[( ) ]
A kxt A kx t A kxt (2.26)
(2.23)과 (2.26)을 비교하면,
2 2
, 단위: [s] (2.27)
(c) 주파수(frequency): 1초 동안에 진동하는 파의 수이며 주기의 역수.
f 1
, 단위: [1/ sHz :Hertz] (2.28)
(d) 파수(wave number): 단위길이당의 파의 수이며 파장의 역수.
1
, 단위: [1/ m] (2.29)
(e) 각 파수(angular wave number): 단위길이당 파장의 수를 각으로 표시한 양.
k 2
단위: [rad / m] (2.30)
(f) 각 주파수 (angular frequency): 주파수를 각으로 나타낸 것.
2 f , 단위: [rad / s] (2.31)
(g) 파의 진행속도
v f, 단위: [m / s] (2.32)
파동에 관련된 수들의 요약
f 1
, 2 f , 2
k
, v f, h
p , Ehf (2.33)
여기서 h는 Planck constant.
진행하는 조화파동의 여러 표기법
( , )x t Asin(kx t) Asin (k x vt)
(2.34)
( , ) sin2 ( ) sin 2 (x t)
x t A x ft A
(2.35)
( , ) sin 2 ( ) sin 2 (x )
x t A x ft A f t
v (2.36)
위상과 위상속도(Phase and Phase velocity)
일반적인 조화파동의 표기법: ( , )x t y x t( , ) Asin(kx t ) (2.37)
위상(phase): sine 이나 cosine 함수 내의 전체변수(argument)를 위상이라 한다. 즉
kx t
, 단위: [rad] (2.38)
: 초기위상 또는 시작 각(initial phase or epoch angle)
위상속도(파의 속도) v f 의 증명: (2.32)를 증명하기 위하여 위상 kx t constant인
지점이 시간의 변화에 어떻게 움직여 가는지를 관찰한다.
constant
kx t : 2
0 2 /
dx f
kdx dt v f
dt k
(2.39)
2.3 벡터의 복소수( Complex ) 표기법
x축은 실수 y축은 허수좌표(imaginary coordinate)로 나타내어 표기 하고 이를 이용하여 벡터들을 연산한다.
복소수 평면에서 수의 표기: z x iy (2.40)
이것을 극 좌표(polar coordinates)로 나타내면
cos
xr (2.41)
sin
yr (2.42)
(cos sin )
zr i (2.43)
Euler formula: ei cosisin and ei cosisin (2.44) (2.43)은 오일러 공식에 의해 극 좌표로 다음과 같이 전환된다.
zrei (2.45)
는 복소수 z의 위상 각(phase angle)이라 하고, r은 z의 크기(magnitude) 또는 동경 (modulus)이라 하며 복소수의 값이다.
| | ( *)1/ 2
r z zz (2.46)
여기서 z*는 z의 공액 복소수(complex conjugate)이다.
* i
z x iy re (2.47)
극 좌표로 벡터를 표시하면 곱과 나누기를 계산하기가 대단히 편리해 진다.
(예) z1 r e1 i1, z2 r e2 i2
두 수의 곱: z z1 2 r r e1 2 i( 1 2), 두 수의 나누기: 1 1
2 2
1 2
( )
z r i
z r e
(2.40)의 실수부분과 허수부분의 표시는 다음과 같은 방법을 자주 사용한다.
Re( ) Im( )
z z i z (2.48)
실수(real) 부분의 표기법: 1
Re( ) ( *)
z 2 zz (2.49)
허수(imaginary) 부분의 표기법: 1
Im( ) ( *)
z 2 z z
i (2.50)
극 좌표로 표시된 조화파동의 형태는 두 조화파동 즉 sine과 cosine이 동시에 존재하므로 조건에 맞는 것을 골라 사용한다. 이때 위에 소개된 방법이 사용될 수 있다.
Re ( )z rcos, Im( )z rsin (2.51)
(a) 실수부분(real part)을 사용한 조화파동의 형태
( )
( , )r t Re[Aei k r t ] Re[Aei] Acos(kr t )
(2.52)
(b) 허수부분(imaginary part)을 사용한 조화파동의 형태
( )
( , )r t Im[Aei k r t ] Im[Aei] Asin(kr t )
(2.53)
2.4 3 -차원 파동방정식( 3 - Dimensional Wave Equations )
파의 종류
(a) 종파(longitudinal wave): 진행방향(wave vector 방향)으로 진동하며 진행하는 파.
(예) 음파 및 지진파
(b) 횡파(transverse wave): 진행하는 방향에 수직으로 진동하는 파.
(예) 빛, 파도, 새끼줄 위에서의 파동
아래 그림에서 파는 z방향으로 진행하고 진동은 z축에 수직인 평면 속에서 일어난다. 이 평면을 진동평면(plane of vibration)이라 하며 이 평면에서만 진동하는 파를 linear or plane polarized wave라 한다.
진동평면의 기운 각은 일정하므로 z축을 따라 이동하는 파는 다음과 같이 기술할 수 있다.
( , ) x( , )i y( , ) j
E z t E z t E z t (2.54)
3-차원 파의 일반적인 표현: E r t( , )Eoexp[ (i k r t)] (2.55)
평면파(Plane waves)
Wave front: 어떤 주어진 시간에 위상이 같은 점을 연결하는 면.
평면파는 wave front가 평면을 이루는 파로 그 면은 파의 진행방향 과 수직이다. 따라서 어떤 점 ro를 포함하는 면이 평면파 평면이라면 그 평면에 임의의 방향 r로 향하는 rro와 wave 벡터 k의 내적
은 0이다. 즉 파의 평면은 wave 벡터 k와 수직이다.
평면파의 일반 형태는 r k constant로 모든 평면에 대해
( )r Aeik r
은 일정하다.
파동 방정식 (a) 평면파 방정식
평면파를 기술하려면 직각좌표(Cartesian coordinates)를 사용한다.
Laplacian operator:
2 2 2
2
2 2 2
x y z
(2.56)
평면파 방정식:
2 2
2 2
1 v t
(2.57)
2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) 1
x y z v t
평면 진행파(propagating wave)의 방정식의 일반해(general solution)는 다음과 같다.
1 2
( , )r t C f r( k vt) C g r( k vt)
(2.58)
여기서 k은 wave vector k의 단위벡터(unit vector)이다.
(b) 구형파(Spherical waves) 방정식
광원(source)으로부터 구면으로 퍼져나가는 파를 구형파라 한다. 구형파를 기술하려면 구좌표를 사용한다.
구좌표(Spherical coordinates) 표시법: xrsin cos , yrsin sin , zrcos Laplacian operator:
2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1
( ) (sin ) ( )
sin sin
r r r r r r
(2.59)
※ (2.59)의 유도는 부록 I 을 참조할 것.
구면파는 단지 거리 r에만 의존하고, 와 에는 등방적(symmetrical)으로 독립(independent)
이므로 각에 의존하는 변화가 없다. 따라서 Laplace 방정식은
2 2
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
( , )r t (r ) (2r r ) (r )
r r r r r r r r
(2.60)
2 2 2
2
2 2 2 2 2
1 1 1
(r )
v t r r v t
(2.61)
(2.61)의 일반해는 다음과 같이 기술된다.
1 2
( , )r t 1[C f r( vt) C g r( vt)]
r (2.62)
앞의 항은 원점으로부터 바깥쪽으로 퍼져 나가는(divergent) 파이고 뒤의 항은 구의 원점으로 수 렴하는(convergent) 구형파를 각각 나타낸다.
(예) Harmonic spherical wave: ( , ) Acos( )
r t kr t
r or ( , ) Re[A i k r( t)]
r t e
r
여기서 A는 소스강도(source strength) 또는 진폭(amplitude)이라 하며, 거리에 따른 진폭의 변 화가 위의 그림에 나타나 있다.
(c) 원통파(Cylindrical waves) 방정식
파가 원통처럼 퍼져나갈 때 이러한 파를 원통파라 하며 원통좌표 (cylindrical coordinates)를 사용하여 기술한다.
원통좌표 표시법: xcos, ysin, zz Laplacian operator:
2 2
2
2 2 2
1 1
( ) ( )
r z
(2.63)
원통파는 단지 거리 에만 의존하고, 와 z에는 등방적(symmetrical) 으로 독립(independent)이므로 각에 변화가 없다. 따라서 파동방정식은
2
2 2
1 1
( ) ( )
r v t
(2.64)
이며 해는 Bessel 방정식 형태로 나타난다.
※ Bessel function은 10 장에서 공부.
연습 문제
2.1 ( , )x t f x t( ', )로 표시되는 함수가 다음과 같은 방법으로 치환되어 있다. 본문 식 (2.12) 이하에서 제시된 방법을 이용하여 ( , )x t 를 x와 t에 대해 각각 편미분하라.
2 2
( , )x t x' 2t
, x'sin(2x3 )vt
2.2 (a) ( , )x t Asin (k x vt )는 진행파(propagating wave)임을 증명하라. (b) Exponential로 표현되는 아래 두 개의 파의 곱과 합이 각각 진행파가 되는지 판별하라.
1
( )
( , )x t Aeik x vt
, 2( , )x t Aeik x vt( )
2.3 다음 두 파동함수의 (a) 주파수, (b) 파장 (c) 주기 (d) 위상속도 (e) 운동방향을 각각 구하여 라. 여기서 시간 t의 단위는 s, 거리 x의 단위는 m이다.
1 4sin 2 (0.2x 3 )t
2
sin(7 3.5 ) 2.5
x t
2.4 다음과 같은 파동함수가 있다. t / 2와 t3 / 4 일 때 z0에서 파동함수의 진폭은 얼 마인가? 여기서 는 주기이다.
( , )z t Acos[ (k z vt) ]
2.5 복소수의 허수부분이 다음과 같이 표시될 수 있음을 보여라. 여기서 z x iy이다.
* 2 z z
i
2.6 Euler 공식을 이용하여 다음을 계산하라.
(a) sin3
(b) cos4
※ 1
sin ( )
2
i i
e e
i
, 1
cos ( )
2
i i
e e
2.7 원점으로부터 두 벡터의 끝 점이 A x y( ,1 1), B x y( ,2 2)에 각각 놓여 있다. 두 점 사이의 거 리를 복소수 평면에서 구하라. A(2,3), B(3, 4)일 때 두 점 사이의 실제거리는 얼마인가?
2.8 SI 단위로 표현된 다음의 파에 대한 속력을 구하여라.
6 14
( , )y t Acos (3 10 y 9 10 t)
2.9 다음의 함수에서 A는 상수이다. 이 함수가 파동(wave)을 나타내는가? 이 대답에 대한 너의 합리적인 설명을 부연하라.
( , )y t (y vt A)
2.10 다음 중 어떤 것이 진행파를 나타내는 수식 인지를 결정하라.
(a) ( , )y t Exp(a y2 2b t2 22abty)
(b) ( , )z t Asin(az2bt2)
(c) ( , ) sin 2 (x t) x t A
a b
(d) ( , )x t Acos 2 (2 tx)
2.11 Microwave oven에서 사용되는 파의 파장은 10cm이며 파의 속도는 빛의 속도 c이다.
주파수(frequency), 주기(period), 각 파수(angularwave number) 및 각 주파수(angular
frequency)를 각각 구하여라. 그리고 Radio 파의 frequency는 f 1.5 10 Hz 7 이다. 이에 대한 주기, 각 파수 및 각 주파수를 각각 구하여라.
2.12 주파수가 6 10 Hz 14 인 빛이 있다. (a) 이 빛에 대해 위상 차가 30o인 가장 짧은 거리는 얼 마인가? (b) 한 주어진 점에서 10 s6 동안에 얼마만한 위상변위(phase shift)가 일어나는가? (c) 그 시간 동안에 몇 개의 파가 지나가는가?
2.13 de Broglie의 가설에 의하면 운동하는 모든 입자의 파장은 Planck 상수 h6.63 10 34J s
를 운동량으로 나눈 값이다. 1.0 m / s로 움직이는 6.0 kg의 돌의 파장은 얼마인가?
