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Orthogonality 직교성

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Academic year: 2022

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(1)

직교성

Orthogonality

Keon M. Lee

(2)

 벡터의 내적 (inner product)

 벡터의 크기 (norm)

 벡터 간의 거리

 직교 벡터

 피타고라스 정리와 직교

 직교 여공간

 직교 기저 (orthogonal basis)

 직교 정사영

 직교 행렬

 직교 변환

(3)

벡터의 내적(inner/dot product)

 내적(inner product)

(4)

벡터 내적의 성질

(5)

벡터의 크기(norm)

 벡터 u의 크기(norm)

 u의 크기 = 원점에서 u까지의 거리

 벡터 크기(norm)의 정의

 만족해야 할 성질

 L1 norm

 L2 norm (Euclid norm)

 p-norm

 infinity norm

(6)

행렬의 크기 (norm)

 행렬의 크기 (norm)

 벡터 norm 정의 확장

 Induced norm

 Frobenius norm

(7)

벡터의 크기(norm)

 단위 벡터

 크기가 1인 벡터

 벡터 v의 정규화(normalization)

 v로 부터 단위벡터 u를 구하는 것

(8)

벡터간 거리(distance)

 벡터 u와 v간의 거리

(9)

직교 벡터 (orthogonal vectors)

 원점과 다른 두 점을 지나는 두 직선이 수직일 조건

(10)

직교 벡터

 만약 이면, Rn 공간에서 벡터 u와 v는 서로 직교(orthogonal) 한다고 한다.

 이기 때문에, Rn 공간에서 영벡터는 모든 벡터와 직교한다.

(11)

피타고라스 정리(Theorem of Pythagoras)

 두 벡터 u와 v가 직교하는 필요충분조건은 이다.

(12)

직교 여공간(Orthogonal Complement)

 W의 직교 여공간 ( : W perpendicular, W perp)

 부분공간 W에 직교하는 모든 벡터의 집합

 부분공간 W에 직교하는 벡터

• W에 있는 모든 벡터들과 직교하는 벡터

(13)

직교하는 부공간(Orthogonal Subspaces)

 mxn 행렬 A의 부공간(subspace)

 x가 Nul A의 원소이면, x는 A의 각 행벡터와 직교

Ax = 0

 A의 행벡터는 행공간을 생성하므로, x는 A의 각 행(row)과 직교

 A를 AT로 변환하고, Col A = Row AT 성질 이용

(14)

벡터 내적과 각도

 벡터간의 각도

(15)

직교 집합

 직교집합(orthogonal set)

 직교 기저(orthogonal basis)

 직교집합이면서 기저(basis)인 벡터의 집합

 직교 기저를 사용한 벡터 y의 선형결합 표현은 유일

(16)

직교기저를 이용한 좌표 변환

(17)

직교정사영 (orthogonal projection)

 직교 정사영

 L 위로 x의 직교 정사영(Orthogonal projection of x onto L)

(18)

직교정사영 (orthogonal projection)

 u위로의 y의 직교 정사영

y에서 L까지의 거리 :

(19)

정규 직교 기저(orthonormal basis)

 정규 직교 기저

 단위 벡터인 직교집합(orthonormal set)으로 구성된 기저(basis)

(20)

정규직교 열벡터(orthonormal column vectors)

 정규직교 열(column) 벡터로 구성된 행렬

 U  UTU = I

그러므로, UTU= I이면 열벡터 는 정규직교이다.

(21)

정규직교 변환

 정규직교(orthonormal) 열벡터로 구성된 행렬 U  Rmxn 에 의한 벡터 x, y  Rn 의 변환

Norm preserving property (크기 유지 성질)

(22)

직교변환과 직교행렬

 직교변환(orthogonal transformation)

 선형변환(linear transformation} T: Rn  Rn으로

||T(x)|| = ||x|| (norm preserving)인 성질을 만족하는 것

 직교행렬(orthogonal matrix) A  Rnxn

 모든 x  Rn에 대해서, ||Ax|| = ||x||을 만족하는 정방(square) 행렬 (n개의 정규직교 열벡터로 구성된 행렬)

 정규 직교행렬 (orthonormal matrix)라고 하지 않음

회전변환

(23)

부분공간 위의 직교정사영

 Rn 공간에 있는 벡터 y의 부분공간 W로의 직교 정사영 𝒚 = (orthogonal projection y onto W)

𝒚 는 𝒚 − 𝒚 가 W에 직교하는 유일한 벡터

𝒚 는 W에 속하는 벡터들 중에서 𝒚 에 가장 가까운 유일한 벡터

(24)

직교분해(orthogonal decomposition)

 직교분해 정리 (Orthogonal decomposition theorem)

 W가 Rn의 부분공간일 때, Rn의 벡터 y의 표현

𝒚 는 W에 속하고, z는 W에 직교

 {u1, u2, …, up}가 W의 직교기저(orthogonal basis)인 경우

(25)

직교분해(orthogonal decomposition)

 직교분해 정리 (증명)

 {u1, u2, …, up}가 W의 직교기저(orthogonal basis)라고 가정

 z의 직교 증명

u1는 u2, …, up에 직교하므로

• 따라서 z는 u1과 직교

• 마찬가지로 u2, …, up와도 직교

• z는 W에 속하는 모든 벡터들에 직교

(26)

직교분해(orthogonal decomposition)

 직교분해 정리 (증명)

 {u1, u2, …, up}가 W의 직교기저(orthogonal basis)

 직교분해의 유일성(uniqueness) 증명

 인 또 다른 𝒚 1, z1의 존재 가정

(27)

직교분해(orthogonal decomposition)

 y의 직교정사영

 서로 직교하는 일차원 부분공간들 위로의 y의 정사영의 합으로 표현가능

(28)

직교분해

(29)

최적근사 정리

 W의 원소들에 의한 y의 최적근사 𝒚

(the best approximation to y by the elements of W)

 W : Rn의 부분공간

 y : Rn에 속하는 임의의 벡터

𝒚 : W 위로의 y의 직교정사영 y에 가장 가까운 W의 점

(30)

최적근사 정리

 W의 원소들에 의한 y의 최적근사

 직교정사영이 최적근사에 해당

• W에서 과 다른 v를 선택

(31)

최적근사 정리

 W의 가장 가까운 점과 y의 거리

거리:

(32)

Summary

 벡터의 크기(norm)은 벡터의 내적으로 정의한다.

 벡터의 거리는 벡터의 차의 norm으로 정의한다.

 벡터의 내적이 0일 때, 두 벡터가 직교한다고 한다.

 피타고라스 정리는 두 벡터가 직교할 때, 각 벡터의 norm의 제곱의 합과 두 벡터의 합에 대한 norm의 제곱과 같다고 한다.

 부분공간 W의 직교 여공간은 W에 직교하는 모든 벡터의 집합이다.

 직교 기저(orthogonal basis)는 직교이면서 기저인 벡터의 집합이다.

 벡터는 직교기저의 벡터를 사용하여 유일하게 선형결합으로 표현될 수 있다.

 직교정사영(orthogonal projection)은 기준이 되는 벡터 방향의 성 분이다.

 정규 직교기저는 단위벡터인 정규직교 집합으로 구성된 기저이다.

 직교행렬은 정규직교 열벡터로 구성된 행렬이다.

 벡터의 부분공간에 대한 직교정사영은 부분공간에 가장 가까운 위 치에 해당한다.

참조

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