3.3 일차식의 뜻

문자와 식 3

3.0 간결하고 알기 쉽게 나타내기

3.1 ^{문자를 사용한 식} 3.2 ^{식의 값}

3.3 ^{일차식의 뜻}

3.4 일차식과 수의 곱셈, 나눗셈

3.5 일차식의 덧셈과 뺄셈

3.6 ^{방정식과 그 해}

3.7 ^{등식의 성질}

3.8 ^{일차방정식의 풀이}

우리는 주변에서 휴대 전화 아이콘, 공공 안내 표지판과 같이 전달하려는 내용을 한눈에 알아보기 쉽게 하기 위하 여 그림이나 기호 또는 문자로 나타낸 것을 볼 수 있다.

수학에서도 어떤 문제와 그 해결 과정을 간결하게 표현 하기 위해 옛날부터 많은 노력을 기울여 왔다. 디오판토스 (Diophantos, 200?~284?)는 계산에서 반복하여 사용되 는 개념이나 단어를 간단히 줄인 축약어를 사용하였다. 이 후 16세기의 비에트(Viᕖete, F., 1540~1603)를 비롯한 많 은 수학자들이 수학에 문자나 기호를 사용함으로써 문제를 더욱 명확하고 간결하게 표현할 수 있게 되었다.

이 단원에서는 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나 타내는 방법과 일차식의 계산 및 일차방정식의 풀이 방법 을 배운다. [출처: 우정호, 학교 수학의 교육적 기초 ]

다음을 를 사용한 식으로 나타내시오.

한 송이의 가격이 원인 카네이션 13송이의 가격

1 다음을 분배법칙을 이용하여 계산하시오.

⑴ [2.5- 72 ]\4 ⑵ 5

3\2.8+5 3\3.2

3

다음을 계산하시오.

⑴ 2+{-5} ⑵ {-4}-{+7}

⑶ 3\{-8} ⑷ {-12}_{-4}

2 _다음 안에 알맞은 수를 써넣으시오.

⑴ {-4}+ =0 ⑵ 1

3\ =1

4

간결하고 알기 쉽게 나타내기

30

어떤 뜻일까요? 위의 그림 문자가 나타내는 뜻은 ‘이 좌석은 나이 드신 분, 몸이 불편하신 분, 어린아이를 안고 계신 분, 임산부를 위한 자리입니다. 양보해 주세요.’입니다. 이와 같은 그림 문자는 안내 사항을 누구나 쉽고 빠르게 이해할 수 있다는 장점이 있어 공공장소나 국제 행사 등에서 언어를 대신하여 사용하고 있습니다.

이 외에도 교통안전 표지판, 일기도 기호, 악상 기호 등에서 다음과 같이 그림이나 기호 또 는 문자를 사용하는 것을 볼 수 있습니다.

rit.

직진 금지 황사 점점 느리게 연주한다.

이와 같이 일상생활에서 일정한 약속에 따라 그림이나 기호 또는 문자를 사용하면 말하고 자 하는 내용을 간결하고 명확하게 표현하여 알기 쉽게 전달할 수 있습니다.

● 다음은 공공장소에서 볼 수 있는 그림 문자이다. 각각의 의미를 말해 보자.

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

태도 및 실천

● 일상생활에서 일정한 약속에 따라 사용하고 있는 그림이나 기호 또는 문자를 찾아 보고, 그 의미 를 말해 보자.

[출처] •김현숙・서윤례・권현미, 바이엘 wink 음악공부 •국가기술표준원, 2016 •기상청, 2016

문자를 사용한 식

31

학│습│목│표

기부하는 건강 계단

‘기부하는 건강 계단’은 한 사람이 계단을 이용할 때마 다 10원씩 기부금이 적립되는 계단입니다. 한 사람이 한 번만 건강 계단을 이용한다고 할 때, 건강 계단 이 용자 수에 따라 적립되는 총 기부 금액을 어떻게 나타 낼지 생각해 봅시다.

건강 계단 이용자 수가 4명, 5명, 6명일 때, 적립된 총 기부 금액을 각각 구해 보자.

건강 계단 이용자 수를 △명이라고 할 때, 적립된 총 기부 금액을 △를 사용하여 나타 내 보자.

활동 1

활동 2

문자로는 보통 알파벳 문자 a, b, c, y, x, y, z를 사용한다.

수량이나 수량 사이의 관계를 문자를 사용하여 나타낼 수 있나요?

생각 열기에서 건강 계단 이용자 수가 1명, 2명, 3명, y일 때, 적립된 총 기부 금액은 각각

10\1=10(원), 10\2=20(원), 10\3=30(원), y 이다. 그러나 건강 계단 이용자 수는 변하므로 적립된 총 기 부 금액을 일일이 나열하기보다는

910\(건강 계단 이용자 수)0원 으로 나타내면 편리하다.

여기서 (건강 계단 이용자 수) 대신 문자 x를 사용하면 적립된 총 기부 금액을 {10\x}원

으로 간단히 나타낼 수 있다.

이와 같이 문자를 사용하면 구체적인 값이 주어지지 않은 수량이나 수량 사이의 관 계를 간단히 식으로 나타낼 수 있어 편리하다.

1

수학 사회

10\1 10\2 10\3 ⋮

건강 계단 이용자 수

3.1 문자를 사용한 식 75

다음을 문자를 사용한 식으로 나타내시오.

⑴ 1초마다 480`MB씩 자료를 전송할 때, x초 동안 전송한 자료의 용량

⑵ 음료수 1000`mL를 4명이 똑같이 x`mL씩 마셨을 때 남은 음료수의 양

1

문제

문자를 사용한 식 a_3은 나눗셈 기호 _를 쓰지 않고 간단히 a

3로 나타낼 수 있다.

| 참고 | a_3=a\1 3=1

3 a이므로 a 3 를

1

3 a로 나타내기도 한다.

일반적으로 문자를 사용한 식에서 나눗셈 기호 _를 쓰지 않고 간단히 나타낼 때, 다음과 같이 약속한다.

다음 식을 곱셈 기호 \를 생략하여 나타내시오.

⑴ y\6 ⑵ b\{-1}\a

⑶ x\y\y\x\x ⑷ {5-a}\2+0.1\b

2

문제

곱셈 기호 \와 나눗셈 기호 _가 있는 식을 간단히 나타낼 수 있나요?

문자를 사용한 식 2\x, 5\x\y는 곱셈 기호 \를 생략하여 간단히 2x, 5xy로 나타낼 수 있다. 또, 2\{-1}=-2와 같이 x\{-1}은 곱셈 기호 \와 1을 생략하 여 간단히 -x로 나타낼 수 있다.

일반적으로 문자를 사용한 식에서 곱셈 기호 \를 생략하여 간단히 나타낼 때, 다 음과 같이 약속한다.

1. 수와 문자의 곱에서 곱셈 기호 \는 생략한다.

•수는 문자 앞에 쓴다.

•수가 1 또는 -1일 때에는 1은 생략한다.

2. 문자와 문자의 곱에서 곱셈 기호 \는 생략한다.

•문자는 보통 알파벳 순서로 쓴다.

•같은 문자의 곱은 거듭제곱의 꼴로 나타낸다.

3. 괄호가 있는 식과 수의 곱에서 수는 괄호 앞에 쓰고 곱셈 기호 \는 생략한다.

곱셈 기호 \의 생략

예 ⑴ a\3=3a ⑵ x\{-2}=-2x

⑶ a\b\4\a=4a@b ⑷ {x+1}\3=3{x+1}

0.1\a는 0.a로 쓰지 않고 0.1a로 쓴다.

2

다음 식을 나눗셈 기호 _를 쓰지 않고 나타내시오.

⑴ 4_x ⑵ {a-6}_b

⑶ x_{y+8} ⑷ a_5-b_7

3

문제

다음을 곱셈 기호 \, 나눗셈 기호 _를 쓰지 않은 식으로 나타내시오.

⑴ 십의 자리의 숫자가 x, 일의 자리의 숫자가 y인 두 자리의 자연수

⑵ 시속 v`km의 일정한 속력으로 20`km의 거리를 이동할 때 걸리는 시간

4

문제 b=0은 ‘b는 0이 아닌 수’임 을 뜻한다.

a_1은 a

1 이고 a로 쓴다.

문자를 사용한 식에서 나눗셈 기호 _는 쓰지 않고 분수의 꼴로 나타낸다.

a_b= a

b (단, b=0) 나눗셈 기호 _의 생략

| 참고 | 나눗셈에서 특별히 밝히지 않아도 나누는 수는 0이 아닌 것으로 본다.

예 ⑴ {x+4}_y=x+4 y

⑵ a_{-2}= a

-2이고 a_{-2}=a\[-12 ]=a\1

2\{-1}=a

2\{-1}=-a 2이므로 a_{-2}= a

-2=-a 2이다.

우리 주변에서 식 500\x로 나타낼 수 있는 상황을 3가지 써 보고, 문자와 일상 언어로 나타낼 때의 공통점과 차이점을 찾아 문자를 사용한 식의 특징을 친구와 이야기해 보자.

의사소통 생각을 나누는

동료 평가

•친구는 문자를 사용한 식의 특징에 대해 적절히 이야기하였는가?

•친구는 나의 의견을 잘 경청하였는가?

3.1 문자를 사용한 식 77

이 시간에 배운 내용

스스로 해결하기

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ 수와 문자의 곱에서 곱셈 기호 \는 생략하고, 수는 앞에 쓴다.

⑵ 문자와 문자의 곱에서 곱셈 기호 \는 생략하고, 문 자는 보통 순서로 쓴다. 그리고 같은 문자 의 곱은 의 꼴로 나타낸다.

1

다음 식을 곱셈 기호 \, 나눗셈 기호 _를 쓰지 않고 나 타내시오.

⑴ y\{-3}\x ⑵ a+b_8

⑶ b\0.1_a ⑷ x_{-6}-x\{1_y}

2

오른쪽 그림과 같은 사다리꼴의

a b

h 넓이를 문자를 사용한 식으로

나타내시오.

4

다음을 문자를 사용한 식으로 나타내시오.

⑴ 4점짜리 문제 a개와 5점짜리 문제 b개를 맞혔을 때 의 점수

⑵ a원짜리 물건을 30`% 할인한 가격

⑶ a송이에 8000원인 장미 b송이의 가격

5

다음 보기에서 곱셈 기호 \, 나눗셈 기호 _를 쓰지 않고 옳게 나타낸 것을 모두 고르시오.

ㄱ. x\y_z=xy

z ㄴ. x_{y\z}=xz y ㄷ. x_y_z=x

yz ㄹ. x_{y_z}=xz y

보기

3

다음 그림과 같이 ‘ㅁ’자 모양을 세로로 한 번 자르면 2조 각, 두 번 자르면 4조각, 세 번 자르면 6조각이 된다. 이와 같이 ‘ㅁ’자 모양을 잘라 나갈 때, 물음에 답하시오.

y

⑴ ‘ㅁ’자 모양을 네 번 자르면 몇 조각이 되는지 구하 시오.

⑵ ‘ㅁ’자 모양을 n번 자르면 몇 조각이 되는지 n을 사 용한 식으로 나타내시오.

6 ^추론

오른쪽 표는 A 식품과 B 식품의 100`g당 칼륨 함량 을 나타낸 것이다. 보라가 A 식품 x`g과 B 식품 y`g 을 섭취하였을 때, 섭취한

칼륨량을 문자를 사용한 식으로 나타내고, 그 풀이 과정 을 쓰시오.

7 ^{과정을 다지는 문제}

식품 칼륨

(mg/100`g)

A 750

B 200

어느 공원에서는 쓰레기 없는 청결한 공원을 만들기 위 해 공원 내 쓰레기를 수거해 오면 쓰레기 1`g당 2포인트 씩 적립해 주는 제도를 실시하고 있습니다. 누적된 포인 트는 공원 시설을 이용하거나 상품을 받을 때 사용할 수 있습니다. 민정이가 공원 탐방 후 쓰레기를 수거해 왔을 때, 적립되는 포인트가 얼마인지 생각해 봅시다.

32

식의 값

학│습│목│표

•대입 학│습│요│소

그린 포인트 제도

민정이가 수거해 온 쓰레기의 양이 x`g일 때, 적립되는 포인트를 식으로 나타내 보자.

민정이가 수거해 온 쓰레기의 양이 400`g일 때, 적립되는 포인트를 구해 보자.

활동 1

활동 2

문자에 음수를 대입할 때에 는 괄호를 사용한다.

문자를 사용한 식에서 문자 대신 수를 넣어 그 값을 구할 수 있나요?

생각 열기에서 민정이가 수거해 온 쓰레기 1`g당 2포인트씩 적립되므로 수거해 온 쓰레기의 양이 x`g일 때, 적립되는 포인트는 2x포인트이다.

한편, 공원 탐방 후 쓰레기를 400`g 수거해 왔을 때,

2 2x

=2\400400

=800

x에 400을 대입

적립되는 포인트는 식 2x에서 x 대신 400을 넣어 다음 과 같이 구할 수 있다.

2\400=800(포인트)

이와 같이 문자를 사용한 식에서 문자 대신 수를 넣

는 것을 문자에 수를 대입한다고 한다. 이때 문자를 사용한 식에서 문자에 수를 대입 하여 계산한 결과를 그 식의 값이라고 한다.

예 a=-2일 때, 식 -a+4의 값을 구하면 다음과 같다.

-a+4={-1}\a+4={-1}\{-2}+4=2+4=6

1

수학 환경

[출처: 국립공원관리공단 그린 포인트 누리사랑방, 2011]

3.2 식의 값 79

a=3일 때, 다음 식의 값을 구하시오.

⑴ -2a+4 ⑵ a@+2a

1

문제

x=-3, y=4일 때, 다음 식의 값을 구하시오.

⑴ 3x-2y ⑵ x@+3xy

2

문제

온도를 나타낼 때, 우리나라에서는 섭씨온도(!C)를 사용하고 어떤 나라에서는 화씨온도 (!F)를 사용한다. 화씨온도 x`!F는 섭씨온도로 5

9{x-32}`!C일 때, 화씨온도 86`!F는 섭 씨온도로 몇 !C인지 구하시오.

3

문제

풀이│ ⑴ -5a+b=-5\{-1}+2=5+2=7

⑵ 4ab

a+b=4\{-1}\2 {-1}+2 =-8

1 =-8

⑴ 7 ⑵ -8 a=-1, b=2일 때, 다음 식의 값을 구하시오.

⑴ -5a+b ⑵ 4ab

a+b 예제1

이 시간에 배운 내용

스스로 해결하기

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

문자를 사용한 식에서 문자 대신 수를 넣는 것을 문 자에 수를 한다고 한다.

1

x=-2, y=3일 때, 다음 식의 값을 구하시오.

⑴ 4x+y ⑵ -7x+9y

⑶ 2y@

x ⑷ -3x@+xy

3

a=2일 때, 다음 식의 값을 구하시오.

⑴ a-5 ⑵ -6a+4

⑶ a@+3 ⑷ -a@-5a

2

a=-1일 때, 다음 식을 식의 값이 작은 것부터 차례대로 나열하시오.

a+3, 2-3

a, {-a}@, a#+a

4

기온이 x`!C일 때, 소리는 1초 동안 {0.6x+331} m를 이 동한다고 한다. 기온이 25`!C일 때, 소리가 1초 동안 이동 한 거리를 구하시오.

5

오른쪽 그림과 같이 가로의 길이, 세로의 길이, 높이가 각각 x`cm, y`cm, z`cm인 직육면체의 겉넓이를 S`cm@

라고 할 때, 물음에 답하시오.

⑴ 직육면체의 겉넓이 S를 x, y, z를 사용한 식으로 나 타내시오.

⑵ x=3, y=4, z=5일 때, ⑴의 식을 이용하여 직육 면체의 겉넓이를 구하시오.

6 ^추론

zAcm

y`cm xAcm

오른쪽 그림과 같은 도형의 넓 이를 x, y를 사용한 식으로 나 타낸 후, 그 식을 이용하여 x=6, y=8일 때 도형의 넓이를 구하 고, 그 풀이 과정을 쓰시오.

7 ^{과정을 다지는 문제}

y x

6

10

3.2 식의 값 81

일차식의 뜻

33

학│습│목│표

롤러코스터 기다리기

다음을 보고 롤러코스터는 정원을 모두 채워야 운행을 한다고 할 때, 건우 앞에 줄 서 있던 사람 의 수를 어떻게 나타낼 수 있는지 생각해 봅시다.

롤러코스터의 정원이 x명이라고 할 때, 건우 앞에 줄 서 있던 사람의 수를 x를 사용한 식으로 나타내 보자.

^활동1의 식에서 수와 문자의 곱으로 이루어진 부분과 수로만 이루어진 부분을 각각 말 해 보자.

활동 1

활동 2

•항, 상수항, 계수, 다항식, 단항식, 차수, 일차식 학│습│요│소

문자를 사용한 식과 관련된 용어는 어떤 것이 있나요?

식 3x+2는 3x와 2의 합으로 이루어진 식이다. 이때 수

3x+2

항

계수 상수항

또는 문자의 곱으로 이루어진 3x, 2를 각각 식 3x+2의 항 이라 하고, 2와 같이 수로만 이루어진 항을 상수항이라고 한다. 또, 3x와 같이 수와 문자의 곱으로 이루어진 항에서 수 3을 문자 x의 계수라고 한다.

두 식 3x+2, 2x와 같이 하나 이상의 항의 합으로 이루어진 식을 다항식이라 하고, 특히 다항식 중에서 2x와 같이 하나의 항으로만 이루어진 식을 단항식이라고 한다.

다항식에서 항을 말할 때에 는 계수까지 포함한다.

1

줄 선 것 봐.

롤러코스터가 인기가 많네.

우리도 빨리 줄을 서자.

기다리는 동안 롤러코스터 3대가

지나갔어.

이제 우리 앞에 2명밖에 없으니까 다음에 탈 수 있겠다.

건우

다음 다항식에서 x의 계수와 상수항을 각각 말하시오.

⑴ 2x-7 ⑵ -x+1

2

⑶ x

3-5 ⑷ 6x@-3x+4

1

문제

다음 다항식의 차수를 말하고, 일차식을 모두 고르시오.

⑴ -8x+5 ⑵ 3a-1

⑶ y

4 ⑷ 2b@-7b+6

2

문제

예 다항식 2x@+4x-3은 2x@+4x+{-3}이므로 항은 2x@, 4x, -3이고, 상수항은 -3이다.

또, x@의 계수는 2이고 x의 계수는 4이다.

식 2x와 3x@은 어떤 차이가 있나요?

식 2x와 3x@은 2x=2\x, 3x@=3\x\x이므로 2x에는 문자 x가 한 번 곱해져 있 고, 3x@에는 문자 x가 두 번 곱해져 있다. 이와 같이 문자를 포함

3x@ 차수

한 항에서 어떤 문자의 곱해진 개수를 그 문자에 관한 항의 차수 라고 한다. 즉, 문자 x에 관한 2x의 차수는 1이고, 3x@의 차수는 2이다.

한편, 다항식에서는 차수가 가장 큰 항의 차수를 그 다항식의 차수라고 한다. 특히, x+3과 같이 차수가 1인 다항식을 일차식이라고 한다.

예 ⑴ 다항식 x@+3x-2에서 문자가 포함되어 있는 항은 x@, 3x이고, 이 항의 차수는 각각 2, 1이다. 이때 차수가 가장 큰 항의 차수가 2이므로 다항식 x@+3x-2의 차수는 2이다.

⑵ 다항식 2x-5에서 문자가 포함되어 있는 항은 2x이고, 이 항의 차수는 1이므로 다항 식 2x-5는 일차식이다.

2

3.3 일차식의 뜻 83

이 시간에 배운 내용

스스로 해결하기

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ 4x와 같이 수와 문자의 곱으로 이루어진 항에서 수 4를 문자 x의 라 하고, 3과 같이 수로만 이 루어진 항을 이라고 한다.

⑵ 문자를 포함한 항에서 어떤 문자의 곱해진 개수를 그 문자에 관한 항의 라 하고, 차수가 1인 다항식을 이라고 한다.

1

다음 표의 빈칸에 알맞은 것을 써넣으시오.

다항식 항 상수항 x의 계수 다항식의

차수 -3x+9

x@+2!x-4

2

다음에서 일차식을 모두 고르시오.

-3

7x+5, 2x, 0.1x@-4, 10

3

다항식 5

2x@+3x-3

2에서 x@의 계수를 a, x의 계수를 b, 상수항을 c라고 할 때, a+b-c의 값을 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.

5 ^{과정을 다지는 문제}

다음은 민재가 다항식 a@-a+1을 설명한 것이다. 잘못된 부분을 찾아 바르게 고치시오.

4

민재

다항식 a@-a+1의 차수는 2이고, a의 계수와 상수항은 1로 같아.

왜 모르는 값은 주로 x를 사용하여 나타낼까?

우리는 식에서 모르는 값을 나타낼 때, 주로 문자 x를 사용한다. 문자 x는 프랑 스의 수학자 데카르트(Descartes, R., 1596~1650)가 처음 사용하였는데, 데카 르트는 모르는 값을 나타낼 때 문자 x, y, z를 사용하였다. y, z보다 x를 더 많이 사용한 것에 대해서는 몇 가지 주장이 있는데, 그중 한 가지는 프랑스어의 특징 때문이라고 한다. 프랑스어는 알파벳 x를 많이 사용하기 때문에 당시 인쇄소는 x 의 활자를 많이 갖추고 있어서 모르는 값을 나타낼 때 주로 x를 사용했다고 한다.

[출처] •박경미, 수학비타민 플러스

•C. B. Boyer・U. C. Merzbach (양영오・조윤동 역), 수학의 역사 하

일차식과 수의 곱셈, 나눗셈

34

• 일차식과 수의 나눗셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.

학│습│목│표

예원이가 x장의 종이를 사용하여 책을 만들었을 때, 펼쳐진 책의 넓이를 식으로 나타내 보자.

^활동1에서 펼쳐진 책의 넓이를 어떻게 구했는지 말해 보자.

활동 1

활동 2

병풍 모양의 책의 넓이

예원이는 세계 시민 의식을 쉽고 재미있게 이해할 수 있도록 ‘세계 시민 교육 공모 전’ 포스터 부문의 수상 작품을 모아 책을 만들었습니다. 이 책은 가로의 길이가 11`cm, 세로의 길이가 10`cm인 직사각형 모양의 종이 여

러 장을 겹치지 않게 빈틈없이 연결하여 병풍 모양을 만든 후, 각 면에 수상 작 품을 붙인 것입니다. 예원이가 만든 책 을 평평하게 펼쳤을 때, 펼쳐진 책의 넓 이를 생각해 봅시다.

• 곱셈의 교환법칙 a\b=b\a

• 곱셈의 결합법칙 {a\b}\c

=a\{b\c}

배웠어요!

중등

단항식과 수의 곱셈, 나눗셈은 어떻게 계산하나요?

생각 열기에서 펼쳐진 책의 가로의 길이는 11\x=11x {cm}이므로 펼쳐진 책의 넓이는 {11x\10}`cm@이다.

한편, 직사각형 모양의 종이 1장의 넓이는 11\10=110 {cm@}이고, 종이 x장이 펼 쳐져 있으므로 펼쳐진 책의 넓이는 110\x=110x {cm@}이다.

따라서 11x\10=110x임을 알 수 있는데, 이것은 다음과 같이 곱셈의 교환법칙과 결합법칙을 이용하여 계산한 것과 같다.

11x\10 =11\x\10

=11\10\x

={11\10}\x

=110x

곱셈의 교환법칙 곱셈의 결합법칙

1

수학 미술

3.4 일차식과 수의 곱셈, 나눗셈 85

이와 같이 단항식과 수의 곱셈은 수끼리 곱하여 수를 문자 앞에 쓴다. 또, 단항식 을 수로 나눌 때에는 수의 계산에서와 같이 나눗셈을 곱셈으로 고쳐서 계산한다.

예 ⑴ 4\{-5x}=4\{-5}\x=-20x

⑵ 3x_4=3x\1 4=3

4x

다음 식을 계산하시오.

⑴ 2a\4 ⑵ 6\[- 52x]

⑶ 8a_{-2} ⑷ -3y_[- 17 ]

1

문제

대수 타일은 타일의 넓이와 변의 길이를 이용하여 수식 을 계산하는 원리를 이해하 는 데 사용하는 도구이다.

분배법칙 a\{b+c}

=a\b+a\c 배웠어요!

중등

일차식과 수의 곱셈, 나눗셈은 어떻게 계산하나요?

오른쪽 그림에서 대수 타일 ㈎ 는 한 변의 길이가 1이고 넓

㈎ ㈏

1 x

이가 1인 정사각형이고, 대수 타일 ㈏ 는 가로의 길이가 x이 고 세로의 길이가 1, 넓이가 x인 직사각형이다.

다음은 대수 타일 ㈎ 2개와 ㈏ 2개를 이용하여 각각 두 개의 직사각형을 만든 것이다.

x 1 x 1 x 1 x 1 <그림 1> <그림 2>

<그림 1>의 2개의 직사각형의 넓이는 각각 x+1, x+1이므로 그 넓이의 합은 2{x+1}이고, <그림 2>의 2개의 직사각형의 넓이는 각각 2x, 2이므로 그 넓이의 합 은 2x+2이다. 따라서 2{x+1}=2x+2임을 알 수 있고, 이것은 다음과 같이 분배 법칙을 이용하여 계산한 것과 같다.

2{x+1}=2\{x+1}=2\x+2\1=2x+2

이와 같이 일차식과 수의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 일차식의 각 항에 그 수를 곱하여 계산한다.

또, 일차식을 수로 나눌 때에는 수의 계산에서와 같이 나눗셈을 곱셈으로 고쳐서 계산한다.

2

다음 식을 계산하시오.

⑴ 3{x+4} ⑵ {-y+8}\[- 34 ]

⑶ {14x-7}_{-7} ⑷ (-4y+10)_2 5

2

문제

다음은 수빈이가 식을 계산한 과정이다. 잘못된 부분을 찾아 바르게 고치고, 왜 그렇게 고쳤는지 말해 보자.

의사소통 생각을 나누는

-2{3x+1} =-2\3x+1

=-6x+1

풀이│ ⑴ 2{4x-1} =2\4x+2\{-1}=8x-2

⑵ {-6x+9}_3 ={-6x+9}\1 3 ={-6x}\1

3+9\1 3

=-2x+3 ⑴ 8x-2 ⑵ -2x+3 다음 식을 계산하시오.

⑴ 2{4x-1} ⑵ {-6x+9}_3

예제1

3.4 일차식과 수의 곱셈, 나눗셈 87

이 시간에 배운 내용

스스로 해결하기

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

일차식과 수의 나눗셈은 나눗셈을 으로 고쳐서 계산한다.

1

식 {9x-27}_[- 32 ]@을 계산하면 x의 계수는 a, 상수 항은 b일 때, a+b의 값을 구하시오.

4

다음 식을 계산하시오.

⑴ -3\6a ⑵ -9x\[- 43 ]

⑶ 15a_5

2 ⑷ -3

5 y_[- 910 ]

2

어떤 일차식을 -1

2 로 나누어야 할 것을 잘못하여 -1 2 을 곱했더니 4x-6이 되었다. 이때 바르게 계산한 식을 구하시오.

5 ^추론

다음 식을 계산하시오.

⑴ 1

3{9x-15} ⑵ {-4y+1}\{-5}

⑶ {12x+18}_6 ⑷ {6y-2}_[- 23 ]

3

다음에서 일차식과 수를 각각 한 개씩 골라 일차식에 수 를 곱하는 식과 일차식을 수로 나누는 식을 각각 만들고, 그 식을 계산하는 과정을 각각 써 보자.

6 ^{과정을 다지는 문제}

<일차식> -5x+15, -a+1 2, 3

2 y-6

<수> 2, 6, -5 3

진로 체험 활동

진로 체험 활동은 적성과 소질을 발견하고 자신 의 꿈을 구체화하여 행복한 미래를 설계할 수 있 도록 도와줍니다. 해경이네 반 학생 26명과 도경 이네 반 학생 28명이 진로 체험의 날을 맞이하여 진로 체험관을 견학하려고 합니다. 학생들이 지불 해야 할 입장료를 구하는 방법을 생각해 봅시다.

진로 체험관의 1인당 입장료가 x원일 때, 해경이네 반과 도경이네 반 학생들이 지불해 야 할 전체 입장료를 식으로 나타내 보자.

^활동1에서 전체 입장료를 어떻게 구했는지 말해 보자.

활동 1

활동 2

일차식의 덧셈과 뺄셈

35

•일차식의 덧셈과 뺄셈의 계산을 할 수 있다.

학│습│목│표

•동류항 학│습│요│소

다음 식에서 동류항을 말하시오.

⑴ -2a+6+5a ⑵ x+2-4x-7

1

문제 x와 x@은 차수가 다르므로 동류항이 아니다.

해경이네 반과 도경이네 반의 학생 수를 합하면 모두 54명이므로 해경이네 반과 도 경이네 반의 학생들이 지불해야 하는 전체 입장료는 54x원이다.

문자와 차수가 같은 항이 여러 개 있는 식을 간단히 할 수 있나요?

해경이네 반 학생 26명의 입장료는 26x원이고, 도경이네 반 학생 28명의 입장료는 28x원이다. 이때 두 식 26x와 28x는 문자와 차수가 각각 x와 1로 같음을 알 수 있다.

이와 같이 문자와 차수가 각각 같은 항을 동류항이라고 한다. 특히, 상수항은 모두 동류항이다.

예 다항식 3x+1-x+4에서 3x와 -x, 1과 4는 각각 동류항이다.

1

수학 진로

3.5 일차식의 덧셈과 뺄셈 89

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 3x+6x-5x ⑵ 2a-7a+a

⑶ 7x-6+5x ⑷ -y+4+8y-2

2

문제

또, 해경이네 반과 도경이네 반에서 지불해야 하는 전체 입장료는 두 반에서 각각 지불해야 하는 입장료의 합, 즉 {26x+28x}원과 같다.

따라서 26x+28x=54x임을 알 수 있는데, 이것은 다음과 같이 분배법칙을 이용하 여 계산한 것과 같다.

26x+28x=26\x+28\x={26+28}\x=54\x=54x

이와 같이 동류항끼리의 덧셈과 뺄셈은 분배법칙을 이용하여 간단히 하며, 동류항 이 있는 다항식은 동류항끼리 계산하여 식을 간단히 한다.

예 ⑴ 5x-7x={5-7}x=-2x

⑵ x+3+4x-1=x+4x+3-1={1+4}x+{3-1}=5x+2

일차식의 덧셈과 뺄셈은 어떻게 계산하나요?

오른쪽 그림과 같이 두 책상

1 x x x

1 B

1 x x A

A, B 위에 놓여 있는 대수 타 일을 각각 x를 사용한 식으로 나타내면 2x+1, 3x+2이다.

한편, 두 책상 A, B 위에 놓여 있는 대수 타일을 모두 모으면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

+

+

{2x+1}+{3x+2}

2x+1 ` 3x+2 =2x+1+3x+2

2x+3x 1+2 =2x+3x+1+2

5x+3 =5x+3 1

x

x

x

x

x x

x

x

x

x x

x

1

1

1 1

1 x x x

1

1

1

2

다음 식을 계산하시오.

⑴ {-5x+3}+{x-6} ⑵ {-a+4}-{-3+8a}

⑶ 3{3x-2}+4{5-x} ⑷ 2{-x-5}-3{1-2x}

3

문제

이와 같이 괄호가 있는 일차식의 덧셈은 먼저 괄호를 풀고, 동류항끼리 모아서 계 산한다. 또, 일차식의 뺄셈은 수의 뺄셈과 같이 빼는 식의 각 항의 부호를 바꾸어 더 한다.

분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다.

다음과 같이 식 x+2 3 -x-1

2 을 계산하였다. 계산 과정에서 잘못된 부분을 찾아 바르게 고치고, 왜 그렇게 고쳤는지 친구와 이야기해 보자.

의사소통 생각을 나누는

x+2 3 -x-1

2 =2x+4-3x+3

6 =-x+7 6 =6x

6 =x 풀이│ ⑴ {3x+4}+{2x-3} =3x+4+2x-3

=3x+2x+4-3=5x+1

⑵ 3{x-1}-{2x-4} =3{x-1}+{-2x+4}=3x-3-2x+4

=3x-2x-3+4=x+1 ⑴ 5x+1 ⑵ x+1 다음 식을 계산하시오.

⑴ {3x+4}+{2x-3} ⑵ 3{x-1}-{2x-4}

예제1

동료 평가

•친구는 잘못된 부분을 바르게 고쳤는가?

•친구는 내가 바르게 고 친 이유를 설명할 때 잘 경청하였는가?

3.5 일차식의 덧셈과 뺄셈 91

이 시간에 배운 내용

스스로 해결하기

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ 다항식에서 문자와 차수가 각각 같은 항을 이라고 한다.

⑵ 괄호가 있는 일차식의 덧셈은 먼저 괄호를 풀고, 끼리 모아서 계산한다.

1

다음 식을 계산하시오.

⑴ 4{3x-4}+2{-5x+6}

⑵ 1

2{4x-12}+2

5{10x+15}

⑶ 2{2x+8}-5{-3x+1}

⑷ 5x+2

3 -x-3 6

5

다음 식을 계산하시오.

⑴ {4x+1}+{2x-6}

⑵ {-5y+2}+{y-9}

⑶ {8x+3}-{7x+2}

⑷ {12-y}-{5y-3}

4

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ x+6x ⑵ 4a-2a-9a

⑶ 3y+4-5y ⑷ 3x-3

4-8x+7 4

3

다음 보기에서 두 항이 동류항인 것을 모두 고르시오.

ㄱ. x, x@ ㄴ. 3x, -2 ㄷ. -5a, a

3 ㄹ. 9y, 0.1y

보기

2

다음 그림과 같이 달력에서 모양으로 5개의 서로 다른 수를 선택하려고 한다. 이때 5개의 수를 어떤 곳에서 선택하든 그 수들의 합은 항상 가운데 있는 수의 a배와 같다. 자연수 a의 값을 구하시오.

일 토

6

4 5

1 2 3

28 29 30 31

월 화 수 목 금

13 12

7 8 9 10 11

27 26

21 22 23 24 25

20 19

14 15 16 17 18

6 ^추론

오른쪽 그림과 같은 도형의 넓이를 b를 사 용한 식으로 간단히 나타내고, 그 풀이 과 정을 쓰시오.

7 ^{과정을 다지는 문제}

{5b+3}`cm

{2b+1}`cm 12`cm

4`cm

동전 다시 쓰기!

저금통에 들어 있는 동전을 지폐로 교환하면 동전 제조 비용 과 자원의 낭비를 줄일 수 있습니다. 채윤이의 저금통에는 500원짜리 동전 2개와 100원짜리 동전 여러 개가 들어 있습 니다. 동전 지폐 자동 교환기를 이용하여 저금통의 동전을 모 두 지폐로 교환할 때, 채윤이가 교환한 금액을 어떻게 나타낼 지 생각해 봅시다.

저금통 안에 들어 있던 100원짜리 동전의 개수를 x개라고 할 때, 저금통 안에 들어 있 던 동전의 총금액을 x를 사용한 식으로 나타내 보자.

채윤이가 기계에 넣은 금액이 8000원이었을 때, ^활동1에서 세운 식과 기계에 넣은 금액 사이의 관계를 식으로 나타내 보자.

활동 1

활동 2

방정식과 그 해

36

학│습│목│표

•등식, 방정식, 미지수, 해, 근, 항등식 학│습│요│소

등호 ‘=’를 사용하여 식을 나타낼 수 있나요?

생각 열기에서 저금통 안에 들어 있던 동전의 금액과 채윤이가 기계에 넣은 금액은 같다. 따라서 채윤이가 기계에 넣은 금액은 저금통에 들어 있던 동전의 개수를 이용 하여 1000+100x=8000으로 나타낼 수 있다.

이때 식 1000+100x=8000과 같이 등호 ‘=’를 사용하여 두 수 또는 두 식이 같음 을 나타낸 식을 등식이라고 한다.

예를 들어 2+6=8은 등식이고, 4>2는 등식이 아니다.

| 참고 | 등식에서 등호의 왼쪽 부분을 좌변, 오른쪽 부분을 우변이라고 하며, 좌변과 우변을 통틀어 양변이라고 한다.

1

수학 사회

1000+100x=8000

양변

좌변 우변

3.6 방정식과 그 해 93

다음 중에서 등식을 모두 고르시오.

⑴ x-1 ⑵ 5+1=6

⑶ x=2x-3 ⑷ x-3<4

1

문제

다음 문장을 등식으로 나타내시오.

⑴ 한 변의 길이가 x`cm인 정사각형의 둘레의 길이는 20`cm이다.

⑵ 한 장에 x원인 입장권을 3장 사고 10000원을 냈을 때의 거스름돈은 400원이다.

2

문제

다음 방정식 중에서 해가 3인 것을 모두 찾으시오.

⑴ x-4=7 ⑵ 3+x=2x

⑶ 6-x=x-6 ⑷ 2x-1=3+2

3x

3

문제

등식이 참이 되는 경우를 어떻게 알 수 있나요?

x의 값이 0, 1, 2, 3일 때, 등식 3x+1=4를 참이 되게 하는 x의 값을 알아보기 위 해 x에 0, 1, 2, 3을 각각 대입하면 다음 표와 같다.

x 등식 3x+1=4

좌변의 값 우변의 값 참/거짓

0 3\0+1=1 4 거짓

1 3\1+1=4 4 참

2 3\2+1=7 4 거짓

3 3\3+1=10 4 거짓

위의 표에서 등식 3x+1=4는 x=1일 때 참이 되고, x=1일 때 거짓이 됨을 확인 할 수 있다.

이와 같이 x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 x에 관한 방정식이라고 한다. 이때 문자 x를 그 방정식의 미지수라 하고, 방정식을 참이 되게 하는 미지수 x의 값을 그 방정식의 해 또는 근이라고 한다. 또, 방정식의 해를 구하 는 것을 방정식을 푼다고 한다.

예 등식 2x=0은 x=0일 때 참이 되고 x=0일 때 거짓이 되므로 x에 관한 방정식이다.

또한, x=0은 이 방정식의 해(근)이다.

방정식 3x+1=4의 해가 1인 것을 ‘x=1’로 나타낸다.

2

다음 등식 중에서 항등식을 모두 고르시오.

⑴ x+2=0 ⑵ 5x-x=4x

⑶ 4x-5=7 ⑷ x-3=-3+x

4

문제

한편, 등식 x+2x=3x의 x에 0, 1, 2를 각각 대입하면 좌변의 값은 0, 3, 6이고, 우변의 값도 0, 3, 6으로 서로 같다. 마찬가지 방법으로 x에 0, 1, 2 이외의 다른 수 를 대입하여도 등식 x+2x=3x의 좌변의 값과 우변의 값은 서로 같으므로 등식 x+2x=3x는 항상 참이 된다.

이와 같이 미지수 x에 어떤 수를 대입하여도 항상 참이 되는 등식을 x에 관한 항등 식이라고 한다.

| 참고 | 등식의 좌변 또는 우변을 간단히 정리하였을 때, 양변이 같은 식이면 항등식이다.

다음을 보고, 혜림이는 범성이가 좋아하는 수를 어떻게 맞힐 수 있었는지 말해 보자.

의사소통 생각을 나누는

네가 좋아하는 수에 3을 곱한 후, 9를 더해.

마지막으로 그 수에서 3을 뺀 수를 말해 봐. 그 수가 바로

네가 좋아하는 수야.

범성아, 네가 좋아하는 수를 맞혀 볼게.

머릿속으로만 계산해 봐.

그래!

그 수에 다시 2를 곱한 후, 6으로

나눠 봐.

잠깐만 기다려 봐!

다 됐어.

어! 어떻게 알았지?

혜림

범성

3.6 방정식과 그 해 95

이 시간에 배운 내용

스스로 해결하기

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하 는 등식을 x에 관한 이라고 한다.

⑵ 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 그 방정식 의 또는 이라고 한다.

⑶ 미지수 x에 어떤 수를 대입하여도 항상 참이 되는 등식을 x에 관한 이라고 한다.

1

다음 보기에서 항등식인 것을 모두 고르시오.

ㄱ. 3+4x=7 ㄴ. 2x+5x=7x ㄷ. 5x-10=5{x-2}

ㄹ. -{3-x}+2=x+1

보기

5

x의 값이 1, 2, 3, 4일 때, 방정식 6x+5=23의 해를 구하 시오.

3

다음 문장을 등식으로 나타내시오.

⑴ 1`g당 9`kcal의 열량을 내는 지방 x`g이 내는 열량 은 450`kcal이다.

⑵ 어떤 수 x의 3배에 5를 더한 값은 x에서 2를 뺀 값 과 같다.

⑶ 한 자루에 600원인 볼펜 a자루와 한 개에 300원인 지우개 2개의 가격은 3000원이다.

⑷ 34명의 학생을 8개의 텐트에 x명씩 배정하면 2명이 남는다.

2

다음 보기에서 [ ] 안의 수가 주어진 방정식의 해인 것을 모두 고르시오.

ㄱ. -3x+2=-1 [-1]

ㄴ. 2+x=-x+2 [0]

ㄷ. -{2x-6}=x+3 [1]

ㄹ. 2x=4{x-1}+1 [2]

보기

4

x에 관한 방정식 2x-11=a의 해가 x=4일 때, 식 -3a+4의 값을 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.

6 ^{과정을 다지는 문제}

등식의 성질

37

•등식의 성질을 이용하여 방정식을 풀 수 있다.

학│습│목│표

•이항 학│습│요│소

<그림 1>의 접시저울이 모두 평형을 유지할 때, ㉠ 과정과 ㉡ 과정에서 알 수 있는 것 을 각각 말해 보자.

A ㉠

㉡

B A B

<그림 2>의 접시저울이 모두 평형을 유지할 때, ㉢ 과정과 ㉣ 과정에서 알 수 있는 것 을 각각 말해 보자.

A ㉢

㉣

A A 활동 1

활동 2

<그림 1>

<그림 2>

접시저울의 원리

오른쪽 그림과 같이 접시저울의 양쪽 접시 위에 선물 상자와 추 A를 각각 1개씩 올려놓았더니 평형을 이루었습니다. 양쪽 접시 위에 어떤 물건을 올려놓거나 양쪽 접시 위에서 어떤 물건을 내 려놓으려고 할 때, 접시저울이 계속 평형을 유지하려면 어떻게 해야 하는지 생각해 봅시다.

A

등식에는 어떤 성질이 있나요?

생각 열기에서 평형을 이루고 있는 접시저울의 양쪽 접시 위에 같은 무게의 물건을 올려놓거나 양쪽 접시 위에서 같은 무게의 물건을 내려놓아도 접시저울은 평형을 유 지한다. 또, 평형을 이루고 있는 접시저울의 양쪽 접시 위의 물건의 무게를 같은 비 율로 늘리거나 줄여도 접시저울은 평형을 유지한다.

1

수학 과학

3.7 등식의 성질 97

접시저울이 평형을 유지한다는 것은 양쪽의 무게가 같다는 것을 뜻하므로 두 수가 같음을 나타내는 등식에서도 이와 같은 성질이 성립한다.

일반적으로 등식에는 다음과 같은 성질이 있다.

1. 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다.

a=b이면 a+c=b+c

2. 등식의 양변에서 같은 수를 빼어도 등식은 성립한다.

a=b이면 a-c=b-c

3. 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다.

a=b이면 ac=bc

4. 등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.

a=b이면 a c=b

c (단, c=0) 등식의 성질

등식의 성질을 이용하여 다음 방정식을 푸시오.

⑴ x-3=6 ⑵ 3x+1=10

2

문제

다음에서 등식 ①을 등식 ②로 나타낼 때, 이용할 수 있는 등식의 성질을 말하시오.

⑴ x+2=5 yy`① ⑵ 2x=4 yy`① x=3 yy`② x=2 yy`②

1

문제 등식의 양변을 바꾸어도 등 식은 성립한다.

즉, a=b이면 b=a이다.

등식의 성질을 이용하여 방정식의 해를 구할 수 있나요?

방정식 x+4=3의 양변에서 4를 빼면 x+4-4=3-4

x=-1

이다. 이때 x=-1을 방정식 x+4=3에 대입하면 참이 된다.

따라서 x=-1은 x+4=3의 해이다.

이와 같이 미지수가 x인 방정식을 풀 때에는 등식의 성질을 이용하여 주어진 방정 식을

x=(수)

의 꼴로 나타내어 해를 구할 수 있다.

2

다음 방정식에서 밑줄 친 항을 이항하시오.

⑴ x+5T=-2 ⑵ 3x-7T=5

⑶ -4x=xT+6 ⑷ 3T+x=-2xT-1

3

문제

한편, 방정식 x+2=5의 양변에서 2를 뺀 후 좌변을 정리하면 x+2-2=5-2

x=5-2

이다. 이때 우변의 -2는 좌변에 있던 +2의 부호를 바꾸어 우변 으로 옮긴 것과 같다.

이와 같이 등식의 성질을 이용하여 등식의 어느 한 변에 있는 항의 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것을 이항이라고 한다.

예 방정식 3x=x+5에서 우변의 x를 좌변으로 이항하면 3x-x=5가 된다.

다음은 지원이와 민재가 등식의 성질을 이용하여 방정식을 푸는 과정의 일부이다. 잘못 된 부분을 각각 찾아 바르게 고치고, 왜 그렇게 고쳤는지 말해 보자.

의사소통 생각을 나누는

<지원이의 풀이>

8x-3=19 8x=19-3

<민재의 풀이>

-2x=14 x=14+2

x`+2`=`5+2`

x`=`5`-2-2

이항

3.7 등식의 성질 99

이 시간에 배운 내용

스스로 해결하기

등식의 성질을 이용하여 다음 안에 알맞은 것을 써 넣으시오.

⑴ a=b일 때, a+c=b+

⑵ a=b일 때, a =b

c (단, c=0)

⑶ 등식의 어느 한 변에 있는 항의 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것을 이라고 한다.

1

다음 방정식에서 밑줄 친 항을 이항하시오.

⑴ 6x+2T=17 ⑵ 5x=12-xT

⑶ -x-3T=4+6xT ⑷ 11x-4T=-8xT-1

4

다음 방정식을 푸시오.

⑴ x-6=5 ⑵ 7+2x=11

⑶ x

3-1=4 ⑷ -5x+4=29

5

a=2b일 때, 다음 보기에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. a+5=3b+5 ㄴ. 4-a=4-2b ㄷ. 1

2 a=b ㄹ. a 3=b

6

보기

2

다음 그림과 같이 접시저울의 양쪽 접시 위에 , , 를 올려놓았더니 모두 평형을 이루었다. 이때 ? 에 올려 놓은 것을 구하시오. (단, 모양이 같은 물건의 무게는 같다.)

?

6 ^추론

등식의 성질을 이용하여 다음 등식이 성립하도록 안 에 알맞은 수를 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.

3a+6=3{b-1}이면 a-1=b-

7 ^{과정을 다지는 문제}

오른쪽은 등식의 성질을 이용 하여 방정식 5x+3=-12를 푸는 과정이다. ⑴, ⑵에서 이용 한 등식의 성질을 보기에서 각 각 고르시오.

a=b이고 c는 자연수일 때

ㄱ. a+c=b+c ㄴ. a-c=b-c ㄷ. ac=bc ㄹ. a

c=b c

보기

3

5x+3=-12 5x=-15 x=-3

⑴

⑵

일차방정식의 풀이

38

•일차방정식을 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

학│습│목│표

•일차방정식 학│습│요│소

기념 동영상을 제작할 때, 필요한 사진 파일의 개수를 구해 보자.

^활동1에서 필요한 사진 파일의 개수를 어떻게 구했는지 말해 보자.

활동 1

활동 2

체육대회 기념 동영상 제작

민준이는 여러 개의 체육대회 행사 관련 사 진 파일과 60초 분량의 밴드 동아리 특별 공연 영상 파일을 이용하여 180초 분량의 체육대회 기념 동영상을 제작하려고 합니 다. 사진 파일 1개당 재생 시간을 3초로 설 정할 때, 기념 동영상 제작에 필요한 사진 파일의 개수를 구하는 방법을 생각해 봅시다.

일차방정식은 무엇인가요?

생각 열기에서 필요한 사진 파일의 개수를 x개라고 하면 밴드 동아리 특별 공연 영 상 파일의 재생 시간이 60초이고 사진 파일 1개당 재생 시간은 3초이므로 주어진 상 황은 x에 관한 방정식

3x+60=180

으로 나타낼 수 있다. 이때 우변에 있는 항 180을 좌변으로 이항하고 동류항끼리 정 리하면

3x+60-180=0, 3x-120=0

이다. 이와 같이 방정식의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때 (일차식)=0

의 꼴이 되는 방정식을 일차방정식이라고 한다.

| 참고 | 미지수가 x인 일차방정식을 x에 관한 일차방정식이라고 한다.

1

3.8 일차방정식의 풀이 101

다음 중에서 일차방정식을 모두 고르시오.

⑴ 3x+4=8 ⑵ 2x@-1=0

⑶ 2{x+2}=5x-3 ⑷ 6-y@=3{1+4y}

1

문제 일차방정식에서 미지수는 보 통 x로 나타내지만 다른 문 자를 사용할 수도 있다.

(좌변)=-3\3+5=-4 (우변)=11-5\3=-4

괄호가 있는 일차방정식은 먼저 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀어 정리한 후 푼다.

(좌변)=2\{6-3}=6 (우변)=12-6=6

풀이│ 괄호를 풀면 2x-6=12-x -x와 -6을 이항하면 2x+x=12+6 양변을 정리하면 3x=18 양변을 3으로 나누면 x=6

확인│ x=6을 주어진 방정식의 양변에 각각 대입하면 (좌변)=6, (우변)=6이므로

x=6은 해(근)이다. x=6

일차방정식 2{x-3}=12-x를 푸시오.

예제2

예 방정식 5x-1=2x+3은 우변에 있는 항 2x, 3을 모두 좌변으로 이항하고 동류항끼리 정 리하면 3x-4=0이므로 일차방정식이다.

다음 일차방정식을 푸시오.

⑴ 7x+10=-4 ⑵ 3-4x=x+18

2

문제

풀이│ -5x와 5를 이항하면 -3x+5x=11-5 양변을 정리하면 2x=6

양변을 2로 나누면 x=3

확인│ x=3을 주어진 방정식의 양변에 각각 대입하면 (좌변)=-4, (우변)=-4이므

로 x=3은 해(근)이다. x=3

일차방정식 -3x+5=11-5x를 푸시오.

예제1

일차방정식을 어떻게 풀 수 있나요?

일차방정식을 풀 때에는 보통 미지수를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항하고, 동류항을 정리하여 푼다.

2

다음 일차방정식을 푸시오.

⑴ 3{x-5}=9+x ⑵ -4{x+5}=24

⑶ -2x+5{x-1}=10 ⑷ -{8x-6}=7{2-x}

3

문제

다음 일차방정식을 푸시오.

⑴ 0.6x+3.5=-0.7 ⑵ 0.1-0.04x=0.03x+0.31

4

문제

계수에 소수가 있는 일차방정식은 양변에 10, 100, 1000, y 중에서 적당한 수를 곱하여 계수를 정수로 바꾸고, 계수에 분수가 있는 일차방정식은 양변에 분모의 최 소공배수를 곱하여 계수를 정수로 바꿔서 풀 수 있다.

(좌변) =0.5\{-11}+2

=-3.5

(우변) =0.2\{-11}-1.3

=-3.5

(좌변)=6 3-2=0 (우변)=6

2-3=0

풀이│ 양변에 10을 곱하면 10\{0.5x+2}=10\{0.2x-1.3}

괄호를 풀면 5x+20=2x-13 2x와 20을 이항하면 5x-2x=-13-20 양변을 정리하면 3x=-33

양변을 3으로 나누면 x=-11

확인│ x=-11을 주어진 방정식의 양변에 각각 대입하면 (좌변)=-3.5,

(우변)=-3.5이므로 x=-11은 해(근)이다. x=-11 일차방정식 0.5x+2=0.2x-1.3을 푸시오.

예제3

풀이│ 양변에 분모의 최소공배수 6을 곱하면 6\[x3-2]=6\[x2-3]

괄호를 풀면 2x-12=3x-18

3x와 -12를 이항하면 2x-3x=-18+12

양변을 정리하면 -x=-6

양변에 -1을 곱하면 x=6

확인│ x=6을 주어진 방정식의 양변에 각각 대입하면 (좌변)=0, (우변)=0이므로

x=6은 해(근)이다. x=6

일차방정식 x 3-2=x

2-3을 푸시오.

예제4

3.8 일차방정식의 풀이 103

다음 일차방정식을 푸시오.

⑴ 3

2x+1=2 5x- 1

10 ⑵ 5x+2

6 =x+10 3 -2

5

문제

일반적으로 일차방정식은 다음 순서로 풀 수 있다.

1. 계수에 소수나 분수가 있으면 양변에 적당한 수를 곱하여 계수를 정수로 바꾼다.

2. 괄호가 있으면 괄호를 푼다.

3. 미지수 x를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 각각 이항하여 정리한다.

4. 양변을 x의 계수로 나누어 x=(수)의 꼴로 나타낸다.

5. 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인한다.

일차방정식의 풀이

➊ 미지수 x 결정하기

➋ 일차방정식으로 나타내기

➌ 일차방정식 풀기

➍ 확인하기

일차방정식을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있나요?

일차방정식을 활용하여 문제를 해결할 때에는 문제 상황에서 무엇을 미지수로 놓 을지 결정하고, 등식의 관계가 있는 수량을 찾아 일차방정식으로 나타낸다.

주어진 문제를 다음 순서에 따라 해결해 보자.

3

연속하는 두 자연수의 합이 21일 때, 두 자연수를 구하시오.

➊ 문제의 뜻을 파악하고, 미지수 를 결정한다.

연속하는 두 자연수 중 작은 수를 x라고 하자.

➋ 등식 관계가 있는 수량을 찾아 일차방정식으로 나타낸다.

연속하는 두 자연수 중 큰 수는 x+1이고, 두 수의 합이 21이므로

x+(x+1)=21

➌ 일차방정식을 푼다. ➋에서 얻은 방정식을 풀면

2x+1=21, 2x=21-1, 2x=20, x=10 따라서 연속하는 두 자연수는 10, 11이다.

➍ 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인한다.

연속하는 두 자연수가 10, 11일 때, 두 자 연수의 합은 10+11=21이므로 ➌에서 구 한 해가 문제의 뜻에 맞는다.

둘레의 길이가 48`m이고, 가로의 길이가 세로의 길 이보다 6`m 긴 직사각형 모양의 울타리를 만들려 고 한다. 이때 세로의 길이를 구하시오.

6

문제

소은이가 집에서 공원까지 산책을 하는데 갈 때에는 분속 50`m로 걷고, 같은 길로 되돌 아올 때에는 분속 60`m로 걸었더니 모두 44분이 걸렸다. 이때 소은이네 집에서 공원까 지의 거리는 몇 m인지 구하시오.

7

문제

일차방정식 5 3+1

4x=7 4x+14

3 를 준서와 서영이의 방법으로 각각 풀어 보고, 두 사람의 풀이 방법을 비교하여 말해 보자.

의사소통 생각을 나누는

양변에 분모의 최소공배수 12를

곱하면 y.

7 4 x와 5

3 를 이항하여 동류항끼리 정리하면

y.

준서 서영

3.8 일차방정식의 풀이 105

이 시간에 배운 내용

스스로 해결하기

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

방정식의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때, (일차식)=0의 꼴이 되는 방정식을

이라고 한다.

1

x에 관한 일차방정식 7{x+4}+ax=26의 해가 x=-2 일 때, a의 값을 구하시오.

5

다음 일차방정식을 푸시오.

⑴ 1.3x-1.7=2.2

⑵ 2.2x-3=x+4.2

⑶ x 4-5

2=3 4+x

2

⑷ x+6

5 =3x-15 4

4

다음 일차방정식을 푸시오.

⑴ 8x+3=-21 ⑵ 5x+6=30-x

⑶ -3{2x+11}=5x ⑷ 2{x-4}=3{9-x}

3

다음 보기에서 일차방정식을 모두 고르시오.

ㄱ. 3-x=11 ㄴ. x+7=-{x-7}

ㄷ. 6x-4=5+2{1-3x}

ㄹ. 8+2x@=2x-5

보기

2

한 변의 길이가 a인 정사각형 10개를 다음 그림과 같이 길이가 서로 1씩 겹치도록 직사각형을 만들었다. 직사각 형의 둘레의 길이가 70일 때, a의 값을 구하시오.

1

a a

1 1 1

a a a

a

a y

6 ^추론

하민이와 민혁이는 종이를 접어 장미꽃을 만들기로 하였다. 하 민이는 10분에 장미꽃 4송이 를, 민혁이는 12분에 장미꽃 6송이를 만들 수 있다. 하민 이와 민혁이가 집에서 각각 장미꽃

16송이와 12송이를 미리 만들어 와서 동시에 장미꽃을 만들기 시작하였다. 두 사람의 장미꽃의 개수가 같아지는 것은 장미꽃을 만들기 시작한 지 몇 분 후인지 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.

7 ^{과정을 다지는 문제}

일차방정식의 다양한 풀이 방법

다음 대화를 보고, 선생님의 나이를 구하는 다양한 방법을 알아보자.

준서

선생님의 연세는 어떻게 되세요?

선생님

준서는 14세지? 내 나이의 절반보다 3세 적으면 준서의 나이와 같아.

[방법 1] 예상과 확인

먼저 선생님의 나이를 32세라고 하자. 그러면 32의 절반은 16이고, 16에서 3을 빼 면 13이므로 준서의 나이인 14세보다 적다.

선생님의 나이를 34세라고 하면 34의 절반은 17이고, 17에서 3을 빼면 14이므로 준서의 나이인 14세와 같다. 따라서 선생님의 나이는 34세이다.

[방법 2] 식 세우기

선생님의 나이를 x세라 하고 방정식을 세우면 x

2-3=14이다.

위의 방정식을 풀면 x

2=14+3, x

2=17, x

2\2=17\2, x=34이다.

이때 34를 2로 나눈 후, 3을 빼면 14와 같으므로 선생님의 나이는 34세이다.

[방법 3] 거꾸로 풀기

선생님 나이의 절반은 14세보다 3세 많은 나이이므로 17세이다. 따라서 선생님의 나이는 17세의 2배인 34세이다.

한 자루에 800원인 볼펜 몇 자루를 사서 3000원 하는 필통에 담았더니 가격이 9400원이었다.

물음에 답해 보자.

⑴ 위의 세 가지 방법 중에서 한 가지를 이용하여 필통에 담긴 볼펜이 몇 자루인지 구 해 보자.

⑵ 친구들에게 자신의 풀이 방법을 설명하고, 왜 그 풀이 방법을 선택하였는지 말해 보자.

확인

3.8 일차방정식의 풀이 107

3 ^{문자와 식}

x=-1

3, y=3일 때, 식 9x@-xy의 값을 구하시오.

03

이상적인 체중을 표준 체중이라고 한다. 키가 x`cm인 사 람의 표준 체중은 다음 식을 이용하여 구할 수 있다.

0.9{x-100}`kg

키가 170`cm인 사람의 표준 체중을 구하시오.

04

다음 보기에서 곱셈 기호 \, 나눗셈 기호 _를 쓰지 않고 옳게 나타낸 것을 모두 고르시오.

ㄱ. a\4=a$ ㄴ. 0.1\a=0.a ㄷ. a\b\b=ab@ ㄹ. a\{-1}=-a ㅁ. a_3_b=a

3b ㅂ. a+b_2=a+b 2

보기

01

어떤 식에서 5x-6을 빼어야 할 것을 잘못하여 더하였더 니 3x+4가 되었다. 이때 바르게 계산한 식을 구하시오.

(단, 풀이 과정을 자세히 쓰시오.)

08 ^서술형

다음 보기에서 다항식 x@

2+5x-8과 관련된 설명으로 옳 은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. 다항식의 차수는 1이다.

ㄴ. 항은 모두 3개이다.

ㄷ. 상수항은 8이다.

ㄹ. x의 계수는 5이다.

보기

05

다음 식을 계산하시오.

⑴ -1

2{6x-10}+3{-x+2}

⑵ 4x+1

5 -x-2 3

06

어느 옷 가게에서는 정가가 a원인 티셔츠를 20`% 할인하 여 판매한다. 이 가게에서 티셔츠 한 장을 사고 5만 원을 냈을 때의 거스름돈을 문자를 사용한 식으로 나타내시오.

02

식 2

5{10x+25}-{8x-12}_[- 43 ]를 계산하면 x의 계수는 a, 상수항은 b일 때, a+b의 값을 구하시오.

07

다음 x에 관한 두 일차방정식의 해가 같을 때, a의 값을 구하시오.

5 4x+1

3=7x+1

6 , 2{3x-a}=x

13

다음 보기의 방정식 중에서 해가 x=-2인 것을 모두 고 르시오.

ㄱ. x+3=5 ㄴ. 2x-4=5x ㄷ. 4x+7=-x-3 ㄹ. 3

2x=2x+1

보기

09

다음 보기에서 항등식인 것을 모두 고르시오.

ㄱ. 3x-2=2x ㄴ. 2x+4=3x+4-x ㄷ. -6x+4=-2{3x-2}

ㄹ. 5x+6=5{x-1}

보기

10

비례식 {x-2}`:`9=x+5

3 `:`4를 만족시키는 x의 값을 구하시오.

12

x에 관한 일차방정식 2{11-3x}=k의 해가 자연수일 때, 가능한 자연수 k의 값을 모두 구하시오.

16

일차방정식 3x-6=0.2{5x+10}+3의 해를 구하시오.

11

연속하는 세 짝수의 합이 66일 때, 세 짝수 중에서 가장 큰 수를 구하시오.

14

승호는 친구들과 공책을 공동으로 구매하여 나누어 갖기 로 하였다. 공책을 한 명에게 7권씩 나누어 주면 9권이 남 고, 8권씩 나누어 주면 마지막 한 명은 4권밖에 못 받는다 고 한다. 공동 구매에 참여한 학생 수와 구매한 공책의 권 수를 각각 구하시오. (단, 풀이 과정을 자세히 쓰시오.)

15 ^서술형

단원 마무리 109

자기

점검 항목 도달 정도

미흡 보통 우수

학습 내용

다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타낼 수 있는가?

식의 값을 구할 수 있는가?

일차식의 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있는가?

방정식과 그 해의 의미를 알고, 등식의 성질을 이해하였는가?

일차방정식을 풀 수 있고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있는가?

학습 태도

수업 시간에 성실히 참여하였는가?

문제를 풀 때 끈기 있게 도전하였는가?

복습과 예습을 꼼꼼히 하였는가?

친구의 의견을 존중하고 경청하였는가?

●이 단원을 공부하면서 알게 된 점과 어려웠던 점은 무엇인지 써 보자.

제호는 가족들과 함께 부산으로 여행을 갔다. 여행 비용 의 1

5 은 교통비로, 여행 비용의 1

4 은 숙박비로, 여행 비용 의 1

3 은 식사비로 사용하였고, 관광지의 입장료로 5만 2천 원을 사용하였다. 가져간 여행 비용을 남김없이 사용하였 을 때, 제호네 가족이 가져간 여행 비용은 얼마인지 구하 시오.

17

다음 그림과 같이 접시저울의 양쪽 접시 위에 , , , 를 올려놓았더니 모두 평형을 이루었다. 이때 ㉠ 에 올려놓을 수 있는 것을 보기에서 모두 고르시오.

(단, 모양이 같은 물건의 무게는 같다.)

㉠

ㄱ. ㄴ.

ㄷ. ㄹ.

보기

18

문제 해결 창의