제 2 절 합집합과 교집합

제 2 절 합집합과 교집합

정 의 3.14 A∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}라 정의하며, 집합 A와 B의

합집합(union)이라 한다. 즉, x ∈ A ∪ B ≡ x ∈ A ∨ x ∈ B이다.

그림 1 A∪ B

[[ 예 ]] 3.15 다음 두 명제가 동치임을 보여라.

[x ∈ A ∪ B] ≡ [x /∈ A → x ∈ B]

풀이.

x /∈ A → x ∈ B ≡ ∼ (x /∈ A) ∨ x ∈ B (3.1)

≡ ∼ [∼ (x ∈ A)] ∨ x ∈ B (3.2)

≡ x ∈ A ∨ x ∈ B (3.3)

≡ x ∈ A ∪ B (3.4)

참 고 3.16 앞으로는 증명의 과정에 자세한 이유를 표시하지 않으므로 위 예제와 같이 식번호가 주어졌을 때, 각각의 이유를 알아보면서 학습하기 바란 다. (3.8의 증명 참고)

정 의 3.17 A∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}라 정의하며, 집합 A와 B의

교집합(intersection)이라 한다. 즉, x ∈ A ∩ B ≡ x ∈ A ∧ x ∈ B이다.

A∩ B = ϕ일 때 집합 A와 B는 서로소(disjoint)라 한다.

A B

그림 2 A∩ B

[[ 예 ]] 3.18 A ={1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}일 때, A∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}이고 A ∩ B = {3, 4}이다.

[[ 예 ]] 3.19 U ={x | x는 지난 달 우리 정비소에 정비 의뢰한 자동차}

H ={x ∈ U | x는 H회사 제조 자동차}

D ={x ∈ U | x는 D회사 제조 자동차}

S ={x ∈ U | x는 배기량 1500cc 미만의 소형 자동차}

라 하면

H ∪ D = {x ∈ U | x는 H회사 또는 D회사 제조 자동차}, H ∩ D = ϕ,

H ∪ S = {x ∈ U | x는 배기량 1500cc 미만의 소형차이거나 H회사 자동차},

H ∩ S = {x ∈ U | x는 배기량 1500cc 미만의 H회사 자동차} 가 된다.

특히 집합 H와 D는 서로소이다.

예를 들어 x ∈ H ∩ S를 언어로 표시하면

“지난 달 우리 정비소에 정비 의뢰한 자동차 중 H회사에서 제조한 1500cc 미 만의 소형 자동차” 가 될 것이다. 이 둘을 비교해 볼 때 언어로 나타내면 복잡 한 개념도 수학적 기호를 사용해 나타내면 간단히 나타낼 수 있다는 사실을 알 수 있을 것이다. 이와 같이 수학적 기호로 간단히 내타낼 경우 그들 사이의 관 계를 파악하는 일이 훨씬 수월해 진다.

[[ 예 ]] 3.20

(1) I ∩ Z = {0, 1}, N ∩ I = {1}

(2) Z ∪ Q = Q, Z ∩ Q = Z

(3) I ∪ I = I, I ∩ I = I

정 리 3.21 (1) 항등원(identity) A∪ ϕ = A, A∩ X = A (2) 멱등법칙(idempotent law)

A∪ A = A, A∩ A = A

(3) 교환법칙(commutative law)

A∪ B = B ∪ A, A∩ B = B ∩ A

(4) 결합법칙(associative law) A∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (5) 분배법칙(distributive law)

A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

증명. (1)

A∪ ϕ = {x | x ∈ A ∨ x ∈ ϕ} (3.5)

= {x | x ∈ A} (3.6)

= A (3.7)

(2)

A∪ A = {x | x ∈ A ∨ x ∈ A} (3.8)

= {x | x ∈ A} (3.9)

= A (3.10)

(3), (4), (5) 생략

(5) 의 관계를 벤-다이어그램으로 표시하면 아래와 같다.

A

B C



제 3 절 차집합

정 의 3.22 A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B} = {x ∈ A | x /∈ B},

집합 A에서 B를 뺀차집합(difference)이라 한다. 어떤 전체 집합 U가 있을 때, U − A를 집합 A의 여집합(complement)이라 하고 A^′ 또는 A^c로 나타 낸다.

A

그림 3 A^c

[[ 예 ]] 3.23 U ={x | x는 지난 달에 우리 정비소에 정비 의뢰한 자동차}

H ={x ∈ U | x는 H회사 제조 자동차}

S ={x ∈ U | x는 배기량 1500cc 미만의 소형 자동차}

라 하면

H − S = {x ∈ U | x는 H회사 제조 자동차 중 배기량 1500cc 이상의 자동차},

S− H = {x ∈ U | x는 배기량 1500cc 미만의 H회사 제품이 아닌 자동차}, H^c ={x ∈ U | x는 H회사 제품이 아닌 자동차},

S^c ={x ∈ U | x는 배기량 1500cc 이상의 자동차}가 된다.

[[ 예 ]] 3.24 A− B = A ∩ B^c

풀이.

A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B} (3.11)

= {x | x ∈ A ∧ x ∈ B^c} (3.12)

= A∩ B^c (3.13)

정 리 3.25 (1) (A^c)^c= A (2) ϕ^c= U , U^c= ϕ

(3) A∩ A^c= ϕ, A∪ A^c = U (4) A⊆ B ⇐⇒ B^c ⊆ A^c

증명. (3) 분명히 ϕ ⊆ A ∩ A^c이다.

이제 A ∩ A^c ⊆ ϕ을 보이면 된다.

x∈ A ∩ A^c =⇒ x ∈ A ∧ x ∈ A^c (3.14)

=⇒ x ∈ A ∧ x /∈ A (3.15)

=⇒ x ∈ ϕ (3.16)

가정이 모순이면 모든 명제가 성립한다.

(4)

A ⊆ B ≡ [x ∈ A → x ∈ B] (3.17)

≡ [x /∈ B → x /∈ A] (3.18)

≡ [x ∈ B^c → x ∈ A^c] (3.19)

≡ B^c ⊆ A^c (3.20)



정 리 3.26 [드모르간 정리(De Morgan’s Theorem)]

(1) (A∪ B)^c= A^c∩ B^c

(2) (A∩ B)^c= A^c∪ B^c

증명. (1)

x∈ (A ∪ B)^c ≡ ∼ [x ∈ A ∪ B] (3.21)

≡ ∼ [x ∈ A ∨ x ∈ B] (3.22)

≡ ∼ (x ∈ A)∧ ∼ (x ∈ B) (3.23)

≡ x ∈ A^c∧ x ∈ B^c (3.24)

≡ x ∈ (A^c∩ B^c) (3.25)

∴ (A ∪ B)^c= A^c∩ B^c 

[[ 예 ]] 3.27 U ={x | x는 지난 달 우리 정비소에서 정비한 자동차}

H ={x ∈ U | x는 H회사 제조 자동차}

S ={x ∈ U | x는 배기량 1500cc 미만의 소형 자동차}

라 하면

(H ∪ S)^c ={x ∈ U | x는 소형 자동차이거나 H회사 제조 자동차}^c 의 집합의 의미를 곧장 알아보기 힘들지만

H^c ={x ∈ U | x는 H회사 제품이 아닌 자동차}, S^c ={x ∈ U | x는 배기량 1500cc 이상의 자동차}.

따라서 De Morgan 법칙에 의해 (H ∪ S)^c = H^c∩ S^c

={x ∈ U | x는 배기량 1500cc 이상의 H사 제품이 아닌 자동차}

가 되어 의미를 금방 파악하게 된다.

[[ 예 ]] 3.28 A∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C)

풀이.

(A∩ B) − (A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C)^c (3.26)

= (A∩ B) ∩ (A^c∪ C^c) (3.27)

= [(A∩ B) ∩ A^c]∪ [(A ∩ B) ∩ C^c] (3.28)

= [A∩ (B ∩ A^c)]∪ [A ∩ (B ∩ C^c)] (3.29)

= [A∩ (A^c∩ B)] ∪ [A ∩ (B ∩ C^c)] (3.30)

= [(A∩ A^c)∩ B] ∪ [A ∩ (B ∩ C^c)] (3.31)

= [ϕ∩ B] ∪ [A ∩ (B ∩ C^c)] (3.32)

= ϕ∪ [A ∩ (B ∩ C^c)] (3.33)

= A∩ (B ∩ C^c) (3.34)

= A∩ (B − C) (3.35)