제 4 절 비가산집합
정 리 6.46 실수의 개구간 (0, 1)은 비가산집합이다.
증명. 먼저 모든 실수 x ∈ (0, 1)를
0.x1x2x3. . .
와 같은 꼴의 무한소수로 전개한다. 여기서 각 n ∈ N에 대하여 xn ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}이다.
한가지 표현만을 사용하기 위해 예를 들어 1/2의 경우 0.5000 . . . 이 아니라 0.49999 . . .와 같이 0이 아닌 항이 무한히 나타나도록 표현하자.
이와 같이 나타내면 구간 (0,1)의 두 수는 각각의 소수전개에서 대응하는 숫자
들이 같을 때에만 이 두 수는 같아진다.
이제 구간 (0, 1)이 가부번이라 가정하자.
=⇒ ∃f : N → (0, 1) : 전단사이다.
따라서
f (1) = 0.a11a12a13. . . f (2) = 0.a21a22a23. . . f (3) = 0.a31a32a33. . . . . .
단 aij ∈ {0, 1, . . . 9}
와 같이 나타나게 된다.
이제 새로운 무한소수 z = 0.z1z2z3. . .를
zi =
5 (aii ̸= 5일 때), 1 (aii = 5일 때)
로 정의하면 소수점 이하 각 자리수가 1이거나 5이므로 분명히 z ∈ (0, 1)이 다.
그러나 ∀n ∈ N에 대해 zn ̸= ann이므로 z ̸= f(n).
즉, z ∈ (0, 1) − f(N)이다.
그러므로 f는 전단사가 아니다.
이것은 모순이다.
∴ (0, 1) : 비가산이다.
[[ 예 ]] 6.47 실수의 집합 R은 비가산이다.
풀이. R이 가부번이면 R ∼ N이다.
그런데 (0, 1) ∼ R이므로 (0, 1) ∼ N
따라서 (0,1)은 가부번이다.
이것은 모순이다.
∴ R : 비가산이다.
[[ 예 ]] 6.48 무리수의 집합 Q′은 비가산이다.
풀이. Q′가 가부번이라면
R = Q′∪ Q 은 가부번이다.
그러나 이것은 모순이다.
∴ Q′ : 비가부번이다. 즉, 비가산이다.
