정역과 환의 표수
Definition 0.1. R은 환이고 a, b ∈ R이라 하자. 만일 a 6= 0R 6= b이면서 ab = 0R 이면 a와 b를 영인자(zero divisors)라고 한다.
Example 0.2. 환 Z12에서 3 · 4 = 0이지만 3 6= 0 6= 4이다. 따라서 3, 4는 영인자이 다. 또한 2, 6이 영인자임을 알 수 있다.
Theorem 0.3. 환 Zn에서 n과 서로소가 아닌 수는 영인자이다.
Proof. m ∈ Zn, m 6= 0이고 gcd(m, n) = d 6= 1이라 하자. 그러면 m · n
d = m
d · n = 0
이므로 m은 영인자이다. 역으로 m이 영인자라 하자. 그러면 ms = 0이고 s 6= 0인 Zn의 원소 s가 존재한다. 따라서 n|ms이고 만일 gcd(m, n) = 1이면 n|s가 된다. 이 경우에 s = 0이므로 이것은 모순이다. 그러므로 gcd(m, n) 6= 1이다.
Corollary 0.4. p가 소수일 때 Zp는 영인자를 가지지 않는다.
Theorem 0.5. R이 환이라 하자. R이 영인자를 가지지 않을 필요충분 조건은 R 에서 곱셈에 대한 좌우소거법이 성립하는 것이다.
Proof. (⇐) ab = 0R이라 하자. 만일 a 6= 0R이면 ab = 0R = a0R에서 a를 소거하여 b = 0R이 된다. 같은 원리로 b 6= 0R 이면 a = 0R임을 알 수 있다.
(⇒) ab = ac, a 6= 0R이라 하자. 그러면 ab − ac = a(b − c) = 0R이 되고 a 6= 0R 이므로 b − c = 0R이다. 즉, b = c이다. 같은 원리로 ba = ca, a 6= 0R이면 b = c임을 알 수 있다.
Example 0.6. Z12에서 방정식 x2−5x+6 = 0의 해를 모두 구해보자. x2−5x+6 = (x − 2)(x − 3) = 0이므로 Z12의영인자들을 생각하면 방정식의 해를 모두 구할 수 있다.
Definition 0.7. 단위원을 가지는 가환환 R이 영인자를 가지지 않을 때 R을 정역 (integral domain)이라 한다.
Example 0.8. Z는 정역이다. 소수 p에 대해 Zp는 정역이다. n이 소수가 아니면 Zn은 정역이 아니다.
Example 0.9. R이 정역이라도 R을 성분으로 하는 행렬환은 정역이 아닐 수 있다.
예를 들면, Z는 정역이지만 M2(Z)는 정역이 되지 않는다.
k 0 0 0
! 0 0 m 0
!
= 0 0 0 0
!
Theorem 0.10. F 가 체이면 F 는 정역이다.
Proof. F 는 체이므로 단위원 1F을 가지는 가환환이다. 이제 F 는 영인자를 가지 지 않음을 보일 것이다. a, b ∈ F 에 대해 ab = 0F, a 6= 0F이라 하자. 그러면 a는 단원이므로 곱셈에 대한 역원 a−1이 존재한다. 따라서
0F = a−10F = a−1(ab) = (a−1a)b = 1Fb = b 이다. 결국 F 는 영인자를 가지지 않는다.
Theorem 0.11. D가 유한 정역이면 D는 체가 된다.
Proof. D = {0D, 1D, a1, · · · , an}이라 하자. 모든 ak가 단원임을 보이면 증명이 끝 난다. ak를 D의 모든 원소에 곱한 것들 ak0D, ak1D, aka1, · · · , akan 을 생각하자.
그러면 i 6= j일 때 akai 6= akaj 이다. 그리고 D는 영인자를 가지지 않는다. 따 라서 ak0D, ak1D, aka1, · · · , akan들은 서로 다른 D의 원소들이 된다. 이것은 D = {ak0D, ak1D, aka1, · · · , akan} 임을 의미한다. 결국 akai = 1D이 되는 ai가 존재한다. 즉, ak는 단원이다.
Corollary 0.12. p가 소수일 때 Zp는 체가 된다.
환 R의 원소 a와 양의 정수 n에 대해 n · a는 n개의 a를 더한 것을 의미한다.
Definition 0.13. 환 R의 모든 원소 a에 대해 n · a = 0R을 만족하는 양의 정수 n 이 존재할 때 이런 n중에서 최소 정수를 R의 표수(characteristic)라 하고 char R 이라 표기한다. 이러한 양의 정수가 존재하지 않으면 char R은 0으로 정의한다.
Example 0.14. 환 Z, Q, R, C들의 표수는 0이다. 반면에 환 Zn의 표수는 n이다.
Theorem 0.15. 환 R이 단위원 1R을 가질 때 char R = n이 되는 필요충분조건은 n이 n · 1R= 0R을 만족하는 최소 양의 정수가 되는 것이다.
Proof. (⇒) char R = n이면 모든 a ∈ R에 대해 n · a = 0R이므로 n · 1R = 0R이다.
(⇐) n · 1R= 0R이면 임의의 a ∈ R에 대해
n · a = a + · · · + a = a(1R+ · · · + 1R) = a(n · 1R) = a0R= 0R 이다.
<학생들이 도전할 문제>
1. 다음 환들의 표수를 구하여라.
(1) mZ (2) Z × Zn (3) Z6× Z15
2. 단위원을 가지는 환 R이 유한이고 영인자를 가지지 않으면 R은 나눗셈환임을 보여라.
(힌트) 유한 정역이 체가 됨을 증명하는 과정을 참고하자.
3. D가 정역이면 D의 표수는 0 또는 소수 p이다.
(풀이) char D = n이라 하자. 그러면 n은 n · 1D = 0R을 만족하는 최소 양의 정수 이다. 만일 n = mk이면 n · 1D = (mk)1D = (m · 1D)(k · 1D) = 0D이다. 그런데 D는 정역이므로 영인자를 가지지 않는다. 따라서 m · 1D = 0R이거나 아니면 k · 1D = 0R 이다. n의 최소성에 의해 m = k = 0이거나 m = 1, k = n 또는 m = n, k = 1 이어야 한다. 따라서 n = 0 또는 n은 소수이다.
4. R은 단위원을 가지는 환이고 U 는 R의 단원들 전체의 집합이다. 이 때 U 는 R 에서 곱셈 연산에 대해 군이 됨을 보여라.
(풀이) 1R ∈ U 이므로 U 는 공집합이 아니다. 이제 a, b ∈ U 라 하자. ab−1 ∈ U 임을 보이면 된다.
(ab−1)(ba−1) = a(b−1b)a−1 = a1Ra−1 = aa−1 = 1R, (ba−1)(ab−1) = b(a−1a)b−1 = b1Rb−1 = bb−1 = 1R 이므로 ab−1도 단원임을 알 수 있다.
