확률 기초(2)

확률 기초(2)

2018 박재희

시스템안전공학 04

학습목표

• 대표적 이산, 연속 확률분포 파악

• 확률분포의 pdf 와 E(X)의 파악

• 확률분포에서의 확률 계산 가능

• Excel을 이용한 확률분포 작성과 확률 계산

• App을 이용한 확률 계산

대표적 확률분포

• 이산확률분포

– 이산균등분포 – 포아송분포 – 이항분포

• 연속확률분포

– 연속균등분포 – 정규분포

– 지수분포 – 와이블분포

이산분포(1) 이산균등분포

• : 어떤 시행에서 동일한 확률로 나타나는 수

• ~(, )

•   =

^

()

•   = ∑

^

()

 

^{()}

()

•   = ∑

^

()

^



 

이산분포(1) 이산균등분포 예

• : 주사위 던질 때 눈의 수

• ~(1,6)

•   =

^



•   = ∑

^



 





• () = ∑

^



^



^



 

  

이산분포(1) 이산균등분포 예

X 1 2 3 4 5 6 ∑

P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

P(X≤x) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6

X·P(X=x) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 7/2

X²·P(X=x) 1/6 4/6 9/6 16/6 25/6 36/6 91/6

VAR 35/12

이산분포(2) 포아송분포

• : 단위 시간, 단위공간에서 발생하는 희귀사건의 수

• ~

_

•   =

^

^

!

•   = ∑

^

^

!

 

•   = λ

•   = λ

이산분포(2) 포아송분포 예

• : 안성시 1일 교통사고 건수 (평균 λ = 2건)

• ~

_

•   =   =  =

^

^

!

•   = (X≤ )=∑

^ _ ^

_! ^

• () = 2

• () = 2

이산분포(2) 포아송분포 예

X 0 1 2 3 4 5 6 7 … ∑

P(X=x) 0.14 0.27 0.27 0.18 0.09 0.04 0.01 0.00 … P(X≤x) 0.14 0.41 0.68 0.86 0.95 0.98 1.00 1.00 …

X·P(X=x) 0.00 0.27 0.54 0.54 0.36 0.18 0.07 0.02 … 2 X²·P(X=x) 0.00 0.27 1.08 1.62 1.44 0.90 0.43 0.17 … 6

VAR 2

이산분포(3) 이항분포

• : 1회 시도 성공확률 p일 때, n회시도에서 성공 회수

• ~b (, ) : 시도회수 : 1회 시도의 성공확률

•   = 

 

^

^

•   =∑ 

 

^

^

 

• ()=

• ()=(1 − )

이산분포(3) 이항분포 예

• : 평균타율 0.3 선수가 5타석 중 안타 회수

• ~ (5, 0.3)

•   = 5

 

^

^

•   =∑ 

 

^

^

 

• ()==5 × 0.3 = 1.5

• ()= 1 −  = 5 × 0.3 × 0.7 = 1.05

이산분포(3) 이항분포 예

X 0 1 2 3 4 5 ∑

P(X=x) 0.17 0.36 0.31 0.13 0.03 0.00

P(X≤x) 0.17 0.53 0.84 0.97 1.00 1.00

X·P(X=x) 0.00 0.36 0.62 0.40 0.11 0.01

1.50

X²·P(X=x) 0.00 0.36 1.23 1.19 0.45 0.06

3.30

VAR

1.05

연속분포(1) 연속균등분포

• : 어떤 구간에서 동일한 확률로 나타나는 수

• ~(, )

•   =

^

()

•   = ∫

^

()

^







•   = ∫

_() ^

^

()

^

 =

^







연속분포(1) 연속균등분포 예

• : 5분간격 지하철 탑승까지 대기시간

• ~(0,5)

•   =

^



•   = ∫

^ _

^







• () = ∫

^



^

()

^

0 =

^







연속분포(1) 연속균등분포 예

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

0 2 4 6

pdf

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

0 2 4 6

pdf cdf

연속분포(2) 정규분포

• : 정규분포하는 수

• ~(, 

^

^

•   =

^

 

^

()

 , −∞ ≤  ≤ ∞

•   = Ф  = Ф

^



_ ^{ } _

^

•   = 

연속분포(2) 정규분포 예

• : 한국인 남성 20대의 평균 키

• ~(175, 5

^

•   =

^

 

^

( )

∙ , 0 ≤  ≤ ∞

•   = Ф  = Ф

^



_ ^ _ ^

^

•   = 175

연속분포(2) 정규분포 예

0.00 0.05 0.10

145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205

pdf

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205

pdf cdf

연속분포(2) 표준정규분포

• : 표준정규분포하는 어느 수

• ~(0, 1

^

^

•   =

^



^

•   = Ф  = Ф  = ∫

^



^





•   = 0

연속분포(2) 표준정규분포

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

-6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

pdf

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

-6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

pdf cdf

표준정규분포를 이용한 확률계산

•  =

^



•   ≤  = 

^



^



^



• X~(175, 5

^

•   ≤ 180 = 

^{}



^{ }



연속분포(3) 지수분포

• : 지수분포하는 어느 수

• ~ (λ)

^



•   = λ

^

•   = ∫

_ ^

^

^

•   =

^



 

연속분포(3) 지수분포의 예

• : 부품의 수명

• ~ (0.5)

^



•   = 0.5

^{.}

•   = ∫

_ ^

^{.}

^{.}

•   =

^

.

 

연속분포(3) 지수분포의 예

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60

0.0 5.0 10.0 15.0

pdf

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

0.0 5.0 10.0 15.0

pdf cdf