5-4 전단력 F와 모멘트 M과의 관계
c요소의 평형
a요소
같은 보에서 하중이 없는 구역의 미소요소 dx를 a
dx F dM =
)
0
( x dx w
dF = − ,
0 )
( + =
+
−
⋅
− F dx M M dM
b요소
분포하중이 있는 구역의 미소요소 dx를 b
,
0 ) (
) ( :
0
0∑ Py = F − w x dx − F + dF =
∑ Mmm = 0 : − F ⋅ dx − M + w 2
0 ( dx )
2 + ( M + dM ) = 0
dx F
dM =
(미소량의 2차 항을 무시) )0(
2 2
x dx w
M
d
= −F = ∫ − w
0( x ) dx + C
1∫∫
− ⋅ + +=
w
0(x
)dx dx C
1x C
2M
집중하중 직하점의 요소 dx를 c
F와 M사이의 관계는 M의 극치조건을 제시 dM/dx=F=0 인 곳에서 Mmax 위치, 크기 계산
[그림 5-10]
[예제 5-1] 외팔보 상에 집중하중 P1, P2 이 작용시 SFD, BMD ?
① P1
만이 있을 때(제1도) P
F
1= − Px M = −
(상수)
(x의 1차식)
② P2만이 있을 때(제2도)
③ P1과 P2가 같이 있을 때(제3도) 길이 b의 외팔보라 가정
→ ①과 동일
①과 ②를 중첩
[그림 1]
④ 구간별로 F와 M에 관한 일반식을 구함(제4도)
1
1
P
F = −
)
(
1 11 1
1
P x x a M P a
M = − = 에서
C= −
BC구간
AC구간
F
2= − P
1− P
2) (
22 2 1
2
P x P x a
M = − − −
a P M
a
x
2= :
C= −
1b P l P M
l
x
2= :
A= −
1−
2[예제5-2] SFD와 BMD를 그려라
① 전단력(원점을 자유단에 둔다) BC구간 0≤
x
1 ≤l
−a
:F
1= w
0x
1AC구간
l − a ≤ x
2≤ l : F
2= w
0( l − a )
A 지점의 반력R
A= w
0( l − a ) = F
2[그림 2]
② 굽힘모멘트
BC구간
0 ≤ x
1≤ l − a :
2
2 1 0 1
x
M = − w
(포물선):
1
= 0 x
1
l a : x = −
2
l a : x = −
: l x =
2
l : x
a
l − ≤ ≤
1
= 0 M
2 )
(
20 ,
1
a l M
C= − w −
AC구간
)
)( 2
(
20 2
a x l
a l w
M = − − − −
2 ) ( 2
0 ,
2
a l M
Cw
−−
=
2
) ( 2 2
0 ,
2
a l
M
Aw
−−
=
(직선)
③ 고정단 모멘트
) 2 (
) (
max 2
2
0
l a M
M
Aw
− ⋅ ⋅⋅ =−
=
[예제 5-3] [그림 3]처럼 외팔보의 자유단에 모멘트가 작용하는 기본형 의 경우 SFD와 BMD를 그려라
[그림 3]
자유단에서 가 되는 위치에서 FBD를 도시하면 [그림(a)]와 같다. 이 때 는 이 경우에는 없다. 왜냐하면 작용력이 없고 M0만 작용하기 때문 이다.따라서 SFD도 없고 BMD선도가 (b)처럼 된다.
고정단모멘트(fixing moment) : MB=M0
풀이
[예제 5-4]
∑ MA = : 0 − 10 R
D + 2 × 8 × 11 + 32 = 0
kN R
D= 20 . 8
∑ P
y = :0R
D +R
A −2×8−(5+2)24 = 0kN R
A= 30 − 20 . 8 = 9 . 2 전체 FBD에서
5
0 ≤ x ≤
∴ F = − 2 x ( kN ) F
x=0 =0,F
x=5= − 10 )
2
(
m kN x
M = − ⋅
∴ M
x=0= 0 , M
x=0 = −258
5 ≤ x
1≤ R
D− F
1− 2 x
1= 0
∴F
=R
D −2x
1(kN
)F
x=5 =10.88 .
8
= 4
=
F
x2 0 2
) 5
( − +
1+
1⋅
1=
− x
x M
x R
D) (
) 5
(
1 121
R x x kN m
M =
D− − ⋅
∴ M
x1=5= − 25
6 .
8 1
1= = −
M
x각 구간의 전단력과 모멘트의 일반식과 SFD, BMD ?
[그림 4]
11
8 ≤ x
2≤ R
D− F
2− 16 = 0 ∴ F
2= R
D− 16 = 4 . 8 ( kN ) 0
) 4 (
16 )
5
(
2− +
2+ ×
2− =
− R
Dx M x
) )(
4 (
16 ) 5
( 2 2
2
R x x kN m
M
= D − − − ⋅∴
M
x2=8= − 1 . 6
8 .
11
12
2=
= M
x4
0 ≤ x
3≤
2 9.2 83
3 2
3 + −
=
x x
F
ABF
x=0= − 9 . 2 8 .
4
= 4
=
F
x2 8 . 9
3 2 3 3 3
x x x
M
AB= − − M
x=0= 0 8 .
4
= 12
=
M
xM
max= 0
AB
F F
958 .
= 2
x M
B) (
2 .
max 15
kN m
M
= ⋅전단력이 0이 되는 곳
식에서 이 되는 대입
[예제 5-5] 양단지지보에 5ton의 하중 가 점에서 점까지 이동할 때,
(a) 지지점 , 의 반력은 어떻게 변화하는가?
(b) 점의 굽힘모멘트는 어떻게 변화하는가?
이동하중 W가 A점보다 x거리에 올 때
풀이
kgf kgf kgf
kgf
kgf [그림 5]
[예제 5-6] 보의 위에 이동하는 차가 있다. 차에 걸리는 하중 가 있을 때, 차가 어느 위치에 올 때 최대굽힘모멘트가 생기는가?
① W1
의 밑에서 M
max이 생기는 경우
이므로 식 RA 에 x값을 대입하여 정리하면 [그림 6]
[예제 5-6] 보의 위에 이동하는 차가 있다. 차에 걸리는 하중 가 있을 때, 차가 어느 위치에 올 때 최대굽힘모멘트가 생기는가?
① W2
의 밑에서 M
max이 생기는 경우
이므로
MC와 MD의 대소관계를 비교한다.
이면
5-5 굽힘응력
두 개의 동일한 크기의 집중하중 P가 작용하는 1-2구간
전단력이 존재하지 않고 균일한 굽힘모멘트만 존재함
◈ 순수굽힘(Pure bending)
: 같은 크기의 굽힘모멘트만이 작용하고
전단력이 없는 경우
[그림 5-11(a)] 굽힘응력(사각형 단면의 예)
▷보내에서의 굽힘응력의 해 ◁
⇒ 순수굽힘하에 다음과 같은 가정을 두어 해를 구함
(1) 균일단면의 곧은 보의 문제만 취급한다.
(2) 정하중을 받는 경우만 생각한다.
(3) 보의 단면은 하중면에 대해서 대칭이다.
(4) 보의 재료는 균질이다.
(5) 탄성한계 이하에서 취급한다.
(6) 인장이나 압축의 탄성계수는 동일하다.
(7) 변형은 작아서 항상 원래의 치수를 그냥 사용한다.
(8) 굽히기 전의 보의 횡단면은 굽히고 난 후에도 평면이다.
1-2구간에서 dx의 미소부분의 평형관계를 생각.
이 때 보는 아래가 인장, 위는 압축이 되며 그 중간에 nn축은 인장도 압축 도 아닌 길이의 변화가 없는 곳이 있게 되는데 이면을 중립면이라 한다.
이 중립면(中立面)상의 한 점을 원점 O로 하는 좌표축을 생각한다.
굽히고 난 후의 AB, DC단면은 n-n과는 수직이고 평면인 채로 약간 경사 지게 됨
mm′-m′m′′만큼 늘어나고 처음 길이는 dx이므로 m′m′′/ dx= εx
(5-1)
미지수 ρ가 있어 σx 의 성질은 알 수 있어도크기는 알 수 없음
(5-2)
⇒ 이 식은 Z축에 관한 면적모멘트가 0이므로 Z축은 도심을 지나는 축이 된다.
(5-3)
(5-4)
(5-5)
(5-6)
관성모멘트(moment of inertia)
굽힘강성(flexual rigidity)
⊙ 굽힘강성 : 단위의 곡률변화를 주는데 필요한 굽힘모멘트 (GIp : 비틀림 강성, AE : 축 강성에 대응하는 식임)
(5-7)
여기서 Iz는 단면 2차 모멘트(second moment of area) 또는 단면의 관성모멘트(moment of inertia)라 한다.
(첨자 z는 z축에 의한 관성모멘트라는 뜻)
(5-8)
(5-9)
Z
1, Z
2: 단면계수(section modulus)
(5-10)
σ
max→ σ
al[예제 5-7] [그림 7]과 같은 차축이 12톤(W)의 하중을 받을 때 허용굽 힘응력 σB=4.7kgf/mm2으로 하여 축의 직경을 구하라.
풀이
[그림 7]
[예제 5-8] [그림 8]과 같은 외팔형 크랭크축에서 핀(pin)에 W=1,800kgf 의 수직하중이 걸릴 때 크랭크 핀의 직경 d와 길이 l 을 구하라.
단 l/d=1.5이고 허용굽힘응력 σb=6kgf/mm2이다.
