가늘고 긴 부재가 압축하중을 받는 경우

제 11 장 기둥

11.1 소개

구조해석시 고려사항 -강도 (strength) -강성 (stiffness) -처짐(변위)

-변형률, 응력 -안정성(Stability)

가늘고 긴 부재가 압축하중을 받는 경우

 횡방향 굽힘발생

 압축강도에 도달하기 전에 굽힘에 의해 파괴

 좌굴 (Buckling)

11.2 좌굴과 안정성

좌굴모델 : 이상화된 구조물

스프링에 의한 모멘트 : 봉을 원래 위치로 돌아가게 하는 경향 : 복원모멘트 축방향 압축력: 횡방향 변위를 증가시키려는 경향

 두 힘의 비교에 의하여 구조물의 안정(stable)/불안정(unstable)이 결정됨.

 임계하중

안정상태와 불안정상태의 경계에 해당하는 하중  임계하중 (critical load) P

복원 모멘트: M

 2  

하중에 의한 모멘트:

2 P   L 

 

 

평형방정식: 0

B

2

M  P     L     ^ 2 0

R

2

 PL 

   

 

 

i)   0 (보가 완전하게 곧은 상태) ii) 4

P

L

  _;  의 크기에 무관

P  P

; 구조물은 안정 (복원 모멘트가 하중에 의한 모멘트보다 더 큼)

P  P

; 구조물은 불안정 (하중에 의한 모멘트가 복원 모멘트보다 더 큼)

 요약

1) 0   P P

2) P  P

조금만 건드려도 좌굴이 일어남 3) P  P

11.3 양단이 핀으로 지지된 기둥

이상적인 상태의 기둥으로 가정 - 처음에 완전하게 곧은 모양 - 기둥은 결함이 전혀 없음

- 하중은 단면 도심에 정확히 작용

0   P P

; 곧은 위치로 안정평형

P  P

_{; 중립평형상태}

P  P

_; 불안정평형상태  아주 작은 교란에도 좌굴이 발생함

 기둥좌굴에 대한 미분방정식

기둥이 왼쪽으로 좌굴될 경우

자유물체도의 평형에서 M  Pv  0  M   Pv

기둥이 오른쪽으로 좌굴될 경우

( ) 0

M   Pv  _ M   Pv (왼쪽의 경우와 동일)

굽힘모멘트 방정식 EIv   M   Pv

 EIv   Pv  0

Note: 9/10 장의 경우와 동일한 미분방정식

하지만, 좌굴해석시 M 은 처짐 v 의 함수

 미분방정식의 해

2

P

k  EI 로 정의하면 미분방정식은

2

0

v   k v 

이 식의 일반해는 v  C

sin kx C 

cos kx

경계조건 v (0)  0 _ C

 0

경계조건 v L ( )  0 _ C

sin kL  0

해-1) C

 0 ; 자명한 해 (trivial solution)  곧은 위치에서 평형상태에 있는 이상기둥 해-2) sin kL  0  kL  0, ,   2 , 

kL  0 은 자명한 해 이므로 kL  n  n  1, 2, 3, 

즉

2 2

2

1, 2, 3, n EI

P n

L

    , 이때 처짐곡선식은

sin n x 1, 2, 3,

v C n

L

   

 임계하중

1

n  일 때 가장 작은 값 (임계하중)

2 cr 2

P EI

L

  , 이때의 모드형상 (좌굴형상)은

sin x v C

L

 

Note

1. C

은 기둥 중앙점에서의 처짐을 나타냄 2. C

의 값은 작은 값이나, 불확정적임.

3. 양단핀지지인 기둥의 1 차 모드  기둥좌굴의 기본형 4. 이상형 탄성기둥에 대한 임계하중  Euler 하중

5. 고차모드 좌굴은 일반적으로관심대상이 아님 6. 우측 그림의 B 점 아래에서 안정.

 일반적 유의사항

- 임계하중은 EI 에 비례, 길이의 제곱에 반비례 - E 혹은 I 를 증가시키면 임계하중 증가

- Euler 하중은 비례한도/항복하중과 무관

(선형 탄성상태일 경우의 좌굴하중)

- I

 I

_이면 1-1 평면에서 좌굴발생

- 이 경우 I

(작은 값)을 계산에 사용함

 임계응력

2 2

2 2

( / )

cr cr

P EI E

A AL L r

 

    _,

여기서 I

r  A _{로 정의함}

회전반경(radius of gyration)

세장비 (slenderness ratio) = L r

- 세장비는 기둥의 치수에만 좌우됨.

- 임계응력: 하중이 임계치에 도달하는 순간의 평균압축응력

- 임계응력 vs 세장비의 그래프 구성 가능

이 그래프는 비례한도보다 작은 경우에서만 사용함

 큰 처짐, 결함 및 비탄성 거동의 영향

- Hooke 의 법칙을 따르는 완벽한 기둥의 경우  임계하중의 식을 사용

- 이상기둥의 이론은 v 에 대한 선형화된 식을 사용하였음  작은 처짐에만 사용 가능 - 곡률에 대한 정확한 식 (9-2 절의 식 9-13)을 사용하면 임계하중은 곡선 B 를 따름.

- 초기 결함을 가지는 기둥 (곡선 C _{를 따름)}

o 초기부터 곡률, 처짐이 발생 o 처음에는 직선 A 에 접근함 o 나중에는 B 에 접근함

- 비례한도를 초과하는 응력이거나 Hook 의 법칙을 따르지 않는 재료 o 곡선 D 를 따라 움직임

(처음에는 C 를 따라 움직이나,

나중에는 비탄성 거동 곡선을 따름.)

 기둥의 최적형상

- 굽힘모멘트가 크게 발생하는 부분만 보강하여 재료를 절약할 수 있다.

- 같은 크기의 재료인 경우 단면적의 형상에 따라 임계하중이 다름

- 최적의 단면은 정삼각형 (원형의 경우에 비하여 21% 더 큰 임계하중) : 회전반경의 차이

 예제 11-1

문제

기둥 ABC ; 양단 핀 지지 그림의 평면에 중간 지지점 B

29 10 ksi

E   , 

 42 ksi WF(W8 28)  _강철, L  25 ft

안전계수 n  2.5 를 사용하여 P

_구하기

풀이

부록 E-1 에서 WF(W8 28)  _{의 단면특성}

4 4 2

1

98.0 in ,

21.7 in , 8.25 in

I  I  A 

a) 그림의 평면 내에서 좌굴이 생기는 경우 (2-2 축 방향의 굽힘) 이 경우는 횡지지점 사이의 거리가 L / 2 12.5 ft  가 됨.

2 2 2 3 4

2 2

2 2 2

4 4 (29 10 ksi)(21.7 in )

276 k ( / 2) [(25 ft)(12 in/ft)]

cr

EI EI

P L L

   

   

b) 그림의 평면에 대해 수직으로 좌굴이 생기는 경우 (1-1 축 방향의 굽힘)

이 경우는 중간 지지점 B 의 영향이 없으며 횡지지점 사이의 거리는 L  25 ft 가 됨.

2 2 3 4

1

2 2

(29 10 ksi)(98.0 in )

312 k [(25 ft)(12 in/ft)]

cr

P EI

L

  

  

- 기둥의 임계하중은 P

 276 k (두 값 중 작은 값)

- 더 큰 임계하중에 대한 응력은

312 k

37.8 ksi<

8.25 in

cr cr

P

  A    ; 비례한도 이내이므로 O.K.

- 허용하중은

276 k

110 k 2.5

P

P  n  