Bearing-only Localization of GNSS Interference using Iterated Consider Extended Kalman Filter
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(2) 균 가우시안 잡음 시퀀스로 Eq. (3)을 맊족핚다. 와 측정잡음 측정잡음 는 는 각각 각각 측정치 공붂산이 태변수에 대핚 비선형 측정식이며, 시스템 잡음 상태천이행렬, (인 와 는 공붂산이 ,, 인 태변수에 대핚 비선형 측정식이며, 시스템 잡음 여기서, 대핚 는 비선형 상태변수 벡터,시스템 는 잡음 벡터, 는 태변수에 측정식이며, ] 맊족핚다. ] 와 측정잡음 ] 각각 공붂산이 , 인 [ [ [ Eq. (3)을 균 가우시안 잡음 시퀀스로 ] ] 는 각각 공붂산이 , 인 [ [Eq. 때문 방위각 도래각의 측정식은 센서의 위치와 교란원의 위치에균 비선형함수로 표현되기 가우시안 잡음 태변수에 대핚 비선형 측정식이며, 시스템[ 잡음] 와 측정잡음 균대핚 가우시안 잡음 시퀀스로 시퀀스로 Eq. (3)을 (3)을 맊족핚다. 맊족핚다. 칼맊필터로 위치를 경우 기본적으로 확장칼맊필터(Extended Kalman EKF)로 균 가우시안 잡음Filter, 시퀀스로 Eq.구 (3)을 맊족핚다. 여기서, 는 Kronecker delta JPNT 9(3), 221-227 (2020) 222 추정하는 [함수이다. 여기서, 는 Kronecker delta [함수이다. ]]] ]]] ]]] [[[ [[[ [ 하며, EKF는 상태변수와 오차공붂산의 초기값으로부터 연속된Eq. 측정치에 대핚 측정치 갱싞을 (1)의 선형 시스템모델에 대핚 칼맊필터의 시갂젂파는 Eqs. (4-5)와 같다 (Simon 2006). Eq. (1)의 선형 시스템모델에 Eqs.[ (4-5)와 ] ] 같다 (Simon 2006). [ 대핚] 칼맊필터의[ 시갂젂파는 여기서,큰 차이가 는Kronecker Kronecker delta비선형 함수이다. 해 위치를 추정하는데, 상태변수의 초기값이 실제 교란원의 여기서, 위치와 나는 경우 는 delta 함수이다. 는 Kronecker ̂ ̂ delta 함수이다. (4) 여 모델링하는 경우 최적필터로 설계가 가능하다.여기서, 그러나 상태변 ̂ 시갂젂파는 ̂ 칼맊필터의 Eq. (1)의는 선형 시스템모델에 대핚 칼맊필터의 시갂젂파는Eqs. Eqs.(4-5)와 (4-5)와같다 같다(Simon (Simon2006) 2006) 정식에 대핚 선형화오차에 의해 위치 추정오차가 크게 발생하거나 필터가 발산핛 수 있다 Eq. (1)의 선형 시스템모델에 대핚 여기서, Kronecker delta(Tully 함수이다. Eq. (1)의 선형 시스템모델에 대핚 칼맊필터의 시갂젂파는 Eqs. (4-5)와 같다 (Simon 2006) 수의 크기가 매우 커져 구현하기에 부적절한 경우, 또는 가관측 al. 2008). 특히, 도래각 기반의 위치추정 정확도는 측정치의 정확도와 교란원 및 센서들갂의 배 대핚 칼맊필터의 시갂젂파는 Eqs. (4-5)와 같다 (Simon 200 (1)의 선형 시스템모델에. (5) 성이 낮아 추정이 거의 되지 않는 상태변수나 항법오차 Eq. 추정성 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 형상에 따른 Dilution Of Precision (DOP)에 따라상태변수가 결정되기 있는 때문에 (Dempster 능 향상에 미치는 영향이 미미한 경우에는 차 2006), DOP이 큰 위 추정치에 대핚 오차 공붂산, 그리고 위첨자 여기서, ̂ 는 상태변수 추정치, 는 상태변수 ̂ ̂ ̂ 측정식에서 는구상태변수 추정치, 는 상태변수 대핚 오차 공붂산, 위첨자 와 여기서, 여기서, 추정치,추정치에 추정치에 대한 그리고 오 에 존재하는 교란원인 경우준최적 EKF가칼만필터로 발산핛 수설계한다. 있다. 이와 같이 비선형 상태변수의 초 x̂ k는 상태변수 Pk는 상태변수 수가 감소된 준최적 칼만필터를 는 각각 시갂젂파 및 측정치 갱싞된 변수를 의미핚다. 성하는 방법으로 불필요 상태변수를 단순히 차수 감 대해 공분산, 그리고변수를 위첨자의미핚다. -와 +는 각각 시간전파 및 측정치 갱신 는 각각측정치에 시갂젂파 및차 측정치 갱싞된 값 오차가 큰 경우 발생하는 EKF의 발산을 억제하기 위해제거하는 동일핚 측정치 갱싞을 ̂는 는비선형 상태변수 추정치, 대핚 는 상태변수 상태변수 추정치에 대핚 오차 공붂산, 그리고 위첨자 여기서, Eq. (2)의 측정모델에 EKF의 측정치 갱싞은 Eqs. (6-8)과 같다그리고 (Simon위첨자 2006). ̂ 상태변수 추정치, 는 추정치에 대핚 공붂산, 여기서, 소필터(pure reduced order filter)와 불필요 상태변수를 추정하 된 변수를 의미한다. ̂ 는Extended 상태변수 추정치, 는 상태변수 추정치에 대핚 오차 공붂산, 여기서, Eq. (2)의 비선형 측정모델에 대핚 EKF의 측정치 갱싞은 Eqs.오차 (6-8)과 같다그리고 (Simon 위첨자 2006). 복하여 선형화 오차에 의핚 영향을 감소시키는 반복확장필터(Iterated Kalman Filter, 는 각각 시갂젂파 및 측정치 갱싞된 변수를 의미핚다. 지는 않지만 오차특성을 공분산 계산에 반영하는는 반영칼만필터 Eq. (2)의 비선형 측정모델에 대한 EKF의 측정치 갱신은 Eqs. 각각 시갂젂파 시갂젂파 및 측정치 측정치 갱싞된 변수를 변수를 의미핚다. ̂ 는 상태변수 추정치, 는 상태변수 추정치에 대핚 오차 공붂산, 그리고 위첨자 는 여기서, 각각 및 갱싞된 의미핚다. KF)를 적용핛 수 있다(Havlik & Straka 2015). [ 2006). ] 갱싞은 Eqs. (6-8)과 같다 (Simon 2006). (Consider Kalman Filter, CKF)가 있다 (Brown & Hwang 1997). (6-8)과 같다 (Simon Eq. (2)의 비선형 측정모델에 대핚 EKF의 측정치 [ ] 갱싞은 Eq. (2)의 비선형및 측정모델에 대핚변수를 EKF의 의미핚다. 측정치 Eqs. (6-8)과 (6-8)과 같다 같다 (Simon (Simon 2006). 2006). 는Eq. 각각 시갂젂파 측정치 갱싞된 (2)의 비선형 측정모델에 대핚 EKF의 측정치 갱싞은 Eqs. 칼맊필터는 대상 시스템의 특성과 오차 요소를 모두 포함하여 모델링하는 경우 최적필터로 센서의 도래각 측정치에는 잡음오차 뿐만 아니라 바이어스형태 Eq. (2)의 비선형 측정모델에 대핚 EKF의 측정치 갱싞은 Eqs. (6-8)과 같다 (Simon 2006) (̂ )) ̂ ̂ ( (̂ ))] (6) ̂ ̂ 계가 가능하다. 의 그러나 크기가바이어스오차는 매우 커져 구현하기에 부적젃핚 가관측성. 오차가상태변수의 포함될 수 있는데, 가관측하지만 거의 경우, 또는 [[[ ( ]] 추정이 되지 않기 때문에 필터 상태변수에서 제외하고 칼만필터 낮아 추정이 거의 되지 않는 상태변수나 항법오차 추정성능 향상에 미치는 영향이 미미핚 상태 [ [ (]] [[ (̂ ))] ]] [̂ )) (7) ̂̂ ̂ ̂ )) 의 측정잡음에 특성을 반영하는 차수 감소 EKF 및 IEKF로 구현. (( ((̂ ̂ ̂ 수가 있는 경우에는 차수가 감소된 준최적 칼맊필터로 설계핚다. 준최적 칼맊필터를 구성하는 할 수 있지만, 단순 차수 감소필터는 상태변수 추정치와 ( 는 칼맊이득이며, ̂ 는 [비선형 측정식 자코비얶 행렬이 여기서, 칼만필 ( )) ̂ 로 1차 선형화핚 자코비얶 ̂ ̂ )를 ( 는order 칼맊이득이며, 는[상 비선형 측정식 행렬이 여기서, 법으로 불필요 상태변수를 단순히 제거하는 차수 감소필터(pure reduced filter)와 불필요 ]]] [[[ ( )를 ̂]]] 로 1차 선형화핚 [ 터 공분산이 일치하지 않는 필터의 일관성(consistency)이 깨지. (8) 변수를 추정하지는 않지맊 오차특성을 반영칼맊필터(Consider Kalman [ ] (] ) [ 는 문제가 발생할 수 있다. 공붂산 계산에 반영하는 는칼맊이득이며, 칼맊이득이며, 는 는비선형 비선형측정식 로 1차선형화핚 선형화핚자코비얶 자코비얶행렬이 행렬이 여기서, 는 ( ) | (( )를 [측정식 ])를̂̂ 로 여기서, [ ] | ( )를 ̂ 는 칼맊이득이며, 는 비선형 측정식 로 1차 1차 여기서, ter, CKF)가 있다 (Brown & Hwang 1997). 센서의 도래각 측정치에는 잡음오차 뿐맊 아니라 바이 ̂ 여기서, Kk는 칼만이득이며, Hk는 비선형 측정식 (xk선형화핚 )를 x̂ k-로 1자코비얶 행렬이 본 논문에서는 교란신호의 방위각 도래각을 이용한 위치추 h ̂ ( )를 ̂ 로 1차 선형화핚 자코비얶 행렬 는 칼맊이득이며, 는 비선형 측정식 여기서, 정 포함될 기법으로 나쁜 경우에 큰 초기가관측하지맊 위치오차에 의한 EKF추정이 차 선형화한 자코비언 행렬이다. ( ) 스형태의 오차가 수DOP이 있는데, 바이어스오차는 거의 되지 않기 때문 ( ) 2.2 Iterated EKF [ | ( ) ]] 2.2 Iterated 의 발산을 억제하고 도래각 측정치에 잡음오차 뿐만 아니라 EKF 바 [[ || ̂] 필터 상태변수에서 제외하고 칼맊필터의 측정잡음에 특성을 반영하는 차수 감소 EKF 및 IEKF ( ) ̂ ̂ 이어스 형태의 오차가 포함되는 경우에 바이어스 오차의 특성을. ] (9) | 젂개했을 ( )를 테일러 [급수로 EKF는 공붂산이 비선형 측정식인 때 1차항맊 고려하기 때문에 구현핛 수 있지맊, 단순 차수 감소필터는 상태변수 추정치와2.2 칼맊필터 일치하지 (않는 ̂ Iterated EKF )를 EKF는 비선형 측정식인 테일러 급수로 젂개했을 때 1차항맊 고려하기 때문에 측 2.2 Iterated Iterated EKF 필터 공분산 계산에 반영할 수 있는 Iterated Consider Extended 2.2 EKF 의 선형화 오차가 큰 경우 식의 비선형 특성이 매우 크거나 상태변수의 추정오차가 커져서 터의 일관성(consistency)이 문제가 발생핛 수 있다. 식의 의 선형화 오차가 큰 경우 추 특성이 크거나 상태변수의 추정오차가 커져서 Kalman Filter깨지는 (ICEKF)를 설계하고 시뮬레이션을 통해 ICEKF와 2.2비선형 Iterated EKF 매우 ( )를 EKF는 비선형 측정식인 테일러 급수로 젂개했을 때 1차항맊 고려하기 때문에 성능이 매우 저하되거나 필터가 발산하는 경우가 발생핛 수 있다 (Park &Park고려하기 2017). IEKF는 ( )를 EKF는 비선형 측정식인 테일러 급수로 젂개했을 때 1차항맊 때문에 본 논문에서는 교란싞호의 방위각 도래각을 이용핚 위치추정 기법으로 DOP이 나쁜 경우에 2.2 Iterated 차수 감소 EKF 및 IEKF의 성능을 위치추정 정확도와 필터 일관 ( EKF )를 테일러 EKF는 비선형 측정식인 급수로 젂개했을 1차항맊 때문에 성능이 매우 저하되거나 필터가 발산하는 경우가 발생핛 수 있다 때 (Park &Park고려하기 2017). IEKF는 시 의1차항맊 선형화 오차가큰 큰 경우 식의동일핚 비선형 특성이 매우 크거나칼맊필터의 상태변수의 추정오차가 커져서 에서 측정치를 이용하여 측정치 갱싞을 반복적으로 수행함으로써 측정모 ( )를 성 관점에서 분석하였다. 의 선형화 오차가 경우 식의 비선형 특성이 매우 크거나 상태변수의 추정오차가 커져서 EKF는 비선형 측정식인 테일러 급수로 젂개했을 때 고려하기 때문 초기 위치오차에 의핚 EKF의 발산을 억제하고 도래각 측정치에 잡음오차 뿐맊 아니라 바이어 의 선형화 오차가 큰 경우 식의 비선형 특성이 매우 크거나 상태변수의 추정오차가 커져서 에서 동일핚 측정치를 이용하여 칼맊필터의 측정치 갱싞을 반복적으로 수행함으로써 측정모델 성능이 매우 저하되거나 저하되거나 필터가 발산하는 경우가 발생핛 있다 전개했을 (Park추정성능을 &Park IEKF는 EKF는 비선형 측정식인 )를 테일러수 급수로 때 2017). 12017). h(x추정오차가 k감소시켜 비선형 특성에 의핚 자코비얶 행렬 계산 오차를 상태변수의 향상시키는 성능이 매우 필터가 발산하는 경우가 발생핛 있다 &Park IEKF는 선형화 오차가 큰경 식의 비선형 특성이 매우 크거나 상태변수의 커져서 형태의 오차가 포함되는 경우에 바이어스 오차의 특성을 비선형 필터 공붂산 계산에 반영핛 수 있는 성능이 매우 저하되거나 필터가 발산하는 경우가 발생핛 수 수 있다 (Park (Park의 &Park 2017). IEKF는 특성에 의핚 자코비얶 행렬 계산 오차를 감소시켜 상태변수의 추정성능을 향상시키는 차항만 고려하기 때문에 측정식의 비선형 특성이 매우 크거나 상 에서 동일핚 측정치를 이용하여 칼맊필터의 측정치 갱싞을 반복적으로 수행함으로써 측정모 법이다 (Havlik & Straka 2015). 에서 동일핚 측정치를 이용하여 측정치 갱싞을 반복적으로 측정모 성능이 매우 필터가 발생핛 수 있다 (Park수행함으로써 &Park 2017). IEKF는 rated Consider Extended Kalman Filter (ICEKF)를 설계하고 시뮬레이션을 통해 ICEKF와 차수칼맊필터의 감발산하는 경우가 에서 동일핚 측정치를 이용하여 칼맊필터의 측정치 갱싞을오차가 반복적으로 수행함으로써 측정모 법이다 (Havlik &저하되거나 Straka 2015). 태변수의 추정오차가 커져서 선형화 큰 경우 추정 H k의 2. ITERATED EXTENDED KALMAN FILTER 비선형 특성에 의핚 자코비얶 행렬 계산 오차를 감소시켜 상태변수의 추정성능을 향상시키 IEKF의 측정치 갱싞을 위해 먼저 상태변수의 초기값을 Eq. (10)과 같이 시갂 젂파된 상태 비선형 특성에 의핚 자코비얶 행렬 계산 오차를 감소시켜 상태변수의 추정성능을 향상시키는 에서 동일핚 측정치를 이용하여 칼맊필터의 측정치 갱싞을 반복적으로 수행함으로써 측정 EKF 및 IEKF의 성능을 위치추정 정확도와 필터 일관성 관점에서 붂석하였다. 비선형 특성에 의핚갱싞을 자코비얶 오차를 감소시켜 상태변수의 추정성능을 향상시키는 IEKF의 측정치 위해행렬 먼저계산 상태변수의 초기값을경우가 Eq. (10)과 시갂 젂파된 상태변 성능이 매우 저하되거나 필터가 발산하는 발생할같이 수 있다 WITH CONSIDER STATE 법이다 (Havlik & Straka 2015). 추정치로 설정핚다 (Simon 2006). 행렬IEKF는 법이다 (Havlik & 2015). 비선형 특성에 의핚 자코비얶 계산 오차를 감소시켜 상태변수의 추정성능을 향상시키 (Park &Park 동일한 측정치를 이용하여 k시점에서 법이다 (Havlik & Straka Straka 2015). 추정치로 설정핚다 (Simon 2006).2017). ITERATED2.1 EXTENDED KALMAN FILTER WITH CONSIDER STATE IEKF의 측정치 갱싞을 위해 먼저 상태변수의 초기값을 Eq. (10)과 같이 시갂 젂파된 상태 상태 Extended Kalman Filter IEKF의 측정치 갱싞을 위해 먼저 상태변수의 초기값을 Eq. 같이 법이다 (Havlik & 칼만필터의 Straka 측정치 반복적으로 수행함으로써 측정모델의 IEKF의 측정치 갱싞을2015). 위해 먼저갱신을 상태변수의 초기값을 Eq. (10)과 (10)과 같이 시갂 시갂 젂파된 젂파된 상태 추정치로 설정핚다 (Simon 2006). 비선형 특성에 의한 자코비언 행렬 계산 오차를 Eq. 감소시켜 추정치로 설정핚다 (Simon 2006). IEKF의 측정치 갱싞을 위해 먼저 상태변수의 초기값을 (10)과상태변 같이 시갂 젂파된 상 Extended Kalman Filter 추정치로 설정핚다 (Simon 2006). 본 논문에서는 정지된 전파교란원에 대해 방위각 도래각을 이. 수의 추정성능을 향상시키는 기법이다 (Havlik & Straka 2015).. 추정치로 설정핚다 (Simon 2006). 용한 위치추정 문제를 다루고 있기 때문에도래각을 Eqs. (1-2)와 같이위치추정 이 IEKF의다루고 측정치 갱신을 위해 먼저 상태변수의 초기값을 Eq. 본 논문에서는 정지된 젂파교란원에 대해 방위각 이용핚 문제를. 산시간에같이 대한이산시갂에 선형 시스템 대핚 모델과 비선형 측정모델을 (10)과정의핚다. 같이 시간 전파된 상태변수 추정치로 설정한다 (Simon 기 때문에 Eqs. (1-2)와 선형 시스템 모델과 정의한다. 비선형 측정모델을 2006).. (1). (1). ( ). ̂ ̂((( )))̂ ̂(10) ̂ ̂. (2) (2) ( ) (( )) () ( ̂ ̂추정치 라고 정의하면, ̂ 로 측정치 갱싞을 반복 수행하여 번째 상태변수 추정치를 (2) 계산된 측정치 갱싞을 반복 수행하여 계산된 번째 상태변수 추정치를 측정치 갱신을 반복 수행하여 계산된 상태변수 i번째 ( ) 라고 정의하면, ̂( ̂ ̂ 라고 정의하면, 측정치 갱싞을 반복 수행하여 계산된 번째 상태변수 추정치를 (i) )( (( )) )는 ) (선형화된 )) 기서, 는 상태변수 는 벡터, 상태천이행렬, 는 측정치 벡터, 상 x̂ k(i()로 여기서, ×1 상태변수 m 행렬 를 정의하면, 자코비언 행렬 과(11-13)과 칼만이같이 xk는 n벡터, Φk 는 n×n 상태천이행렬, zk는 x̂ k(i()라고 Hk(11-13)과 형화된 자코비얶 과 칼맊이득 , ((상태변수 추정치는 Eqs. 계산된다. 형화된 자코비얶 행렬 같이 계산된 ( ) 과 칼맊이득 ) , 상태변수 추정치는 Eqs. 형화된 자코비얶 행렬 칼맊이득 , 상태변수 Eqs. (11-13)과 같이 계산된다 ( (i), )는 서, 는 대핚 비선형 상태변수 벡터, 상태천이행렬, 벡터,득 상 ×1 측정치 벡터, h(x는 상태변수에 비선형는측정식이며, 시공붂산이 추정치는 Eqs. (11-13)과 추정치는 같이 계산된다. K 와 측정잡음 는 측정치 각각 인과 영평 변수에 측정식이며, 시스템 잡음 대한 k)는 k 상태변수 ( )(( )) 와공분산이 측정잡음Q, R는 각각 공붂산이 , (인 수에 대핚 비선형 측정식이며, 시스템 잡음 잡음 w 측정잡음 인 영평균 가 ) (( )영평 vk는 각각 ) k와(3)을 가우시안 잡음 스템 시퀀스로 Eq. 맊족핚다. [ [ (| ) | ( ) ] ( ) ] () [ | ̂ ̂̂(( ))] 우시안 잡음 시퀀스로 Eq. (3)을 만족한다. (11) 우시안 잡음 시퀀스로 Eq. (3)을 맊족핚다.. (. [. ]. ( ). [. ). ]. [. ]. ( ) (( )) (). (3). ̂. ( ) (( )) ( ) (( )) ( ) (( )) (*) * ( ) (). + + (3) ] ] ] [ [ [. (3) (12) * + 기서, 는 Kronecker delta 함수이다. ( ) )) ( ) (( )) ( ) (( )) () ( ) (( )) 서, Eq.는 Kronecker deltaδ함수이다. ̂ ̂ ̂ ̂((( 2006). (̂ (̂)((( )))) ((̂) (̂ ̂ ̂)+ *( ) * delta 함수이다. ij는 Kronecker (1)의 선형여기서, 시스템모델에 대핚 칼맊필터의 시갂젂파는 Eqs. (4-5)와 같다 (Simon ) ( ) )+ (13) ̂ ̂ )+ ̂ (̂ ) (̂ * Eq. (1)의 선형 대한 칼만필터의 시간전파는 q. (1)의 선형 시스템모델에 대핚시스템모델에 칼맊필터의 시갂젂파는 Eqs. (4-5)와 같다 (Simon 2006). ̂ 2006). ̂ (4) Eqs. (4-5)와 같다 (Simon IEKF의 측정치 갱신은 다음과 같이 연속된 두 개 작거나, 추정치의 차사젂 IEKF의 측정치 갱싞은 다음과 같이 연속된 두개 차이가 사젂 정의된 최대 IEKF의 측정치 갱싞은 다음과 같이 연속된 두 추정치의 개 추정치의 차이가 작거나, 정의된 최 IEKF의 측정치 갱싞은 다음과 같이 연속된 두 개 추정치의 차이가 작거나, 사젂 정의된 최 ̂ ̂ (4) 이가 작거나, 사전 정의된 최대 반복 횟수에 도달할 때까지 Eq. 횟수에 도달핛 때까지 Eq.Eq. (11)에서 Eq.Eq. (13)을 반복적으로 수행핚다. 횟수에 도달핛 때까지 (11)에서 (13)을 반복적으로 수행핚다. (5) Eq. (13)을 반복적으로 수행핚다. 횟수에 도달핛 때까지 Eq. (11)에서 (5) ( () ) ( ) ( ) ‖̂ ‖̂(( ))̂ ̂‖(( ))‖ 추정치, 는 상태변수 추정치에 대핚 오차 공붂산, 그리고 위첨자 와 기서, ̂ 는 상태변수 https://doi.org/10.11003/JPNT.2020.9.3.221 ̂ ‖ ‖̂ ̂ 는 상태변수 는 상태변수 추정치에 대핚 오차 공붂산, 그리고 위첨자 와 서, 각각 시갂젂파 및 추정치, 측정치 갱싞된 변수를 의미핚다. 여기서, 은 사용자가 정의하는 임계값이다. 마지막 번째 반복 추정 결과로부터 최종 측정치 여기서, 은 사용자가 정의하는 임계값이다. 마지막 번째 반복 추정 결과로부터 최종 측정 각 Eq. 시갂젂파 및 측정치 갱싞된 변수를 의미핚다. (2)의 비선형 측정모델에 대핚 EKF의 측정치 갱싞은 Eqs. 여기서, (6-8)과 같다 (Simon 2006). 은 사용자가 정의하는 임계값이다. 마지막 번째 반복 추정 결과로부터 최종 측정 된 IEKF의 상태변수 추정치 및 오차 공붂산은 Eqs. (15-16)과 같다..
(3) ̂ 과 칼맊이득. , 상태변수 추정치는 Eqs. (11-13)과 같이 계산된다. ] [ ] [ () (12) + ( () ) ( () ) ( () ) ] [ ] [ (12) (12) ++ ( *) * () [ ] [ ] [ ] (11) | ( ) ( ()) () () () ] [ ] [ ̂ * ̂ ̂ )+ ̂ (̂ ) (̂ (13) Park & Kiwon Song Bearing-only Youngbum Localization 223 (( )) ( () ) ( () ) ( () ) ( () ) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (13) ̂ ̂ )+)+ ̂ ((̂ )) ((̂ (13) ** Eq. (19)의 를 Eqs. (20-21)에 대입하면, [ ] [ ] () () () () (12) * 연속된 두 개 추정치의 + KF의 측정치 갱싞은 다음과 같이 차이가Eq. 작거나, 정의된 최대 반복대입하면, Eqs. (20-21)에 (19)의사젂를 의측정치 측정치갱싞은 갱싞은다음과 다음과같이 같이연속된 연속된두 두개 개추정치의 추정치의차이가 차이가작거나, 작거나,사젂 사젂정의된 정의된최대 최대반복 반복. (23) (11)에서 (13)을 반복적으로 수에 도달핛 때까지 Eq.Eq. (11)에서 Eq. (13)을(수행한다. 반복적으로 수행핚다. ( ) () () ) ( ) (19)의 를 Eqs. (20-21)에 대입하면, Eq. ̂ Eq. ̂ )+ (̂ ) (̂ (13) * 도달핛때까지 때까지̂Eq. Eq.(11)에서 (11)에서 Eq.(13)을 (13)을 반복적으로 수행핚다. 도달핛 반복적으로 수행핚다. [ ] ( ) (). (24). ̂ ‖ (14) [ ] (14) ‖̂ ( ) ( ) ( ) () (14) 의 측정치 갱싞은 다음과 같이‖‖ 연속된 두 반복 ̂̂개‖‖추정치의 차이가 작거나, 사젂 정의된 최대(14) ̂̂ Eqs. (23-24)를 살펴보면 의 공붂산 와 와[ 사이의 공붂산 가 값에 관계없이 ] + 여기서, 정의하는 임계값이다. 마지막 번째 반복 Eqs. (23-24)를 살펴보면 와 와 xc 사이의가공 값에 관계없이 ϵ은 사용자가 iEqs. xf의 공분산 Pff 와 xf공붂산 에 도달핛 Eq.정의하는 (11)에서 Eq. (13)을 반복적으로 수행핚다. 기서, 은 때까지 사용자가 임계값이다. 마지막 번째 반복 추정 결과로부터 최종 측정치 갱싞 의 공붂산 와 사이의 (23-24)를 살펴보면 +갱싞 을추정치 볼 수및최종 있다. 즉, 0으로 설정하더라도 와 에는 의 오차특성이 반영된다. 결 ,은 은사용자가 사용자가정의하는 정의하는 임계값이다. 마지막 번째 반복추정 추정결과로부터 결과로부터 최종측정치 측정치 임계값이다. 마지막 번째 반복 갱싞 분산 P를 추정 결과로부터 최종공붂산은 측정치 갱신된 IEKF의 상태변수 fc 가 Kc값에 관계없이 결정됨을 볼 수 있다. 즉, Kc를 0으로 IEKF의 상태변수 추정치 및 오차 Eqs. (15-16)과 같다. 을 볼 수 있다. 즉, 를 0으로+ 설정하더라도 와 에는 의 오차특성이 반영된다. ( ) () + 살펴보면 의(14) 공붂산 와 x와 사이의필터의 공붂산 가 유지됨을 값에 관계없이 결 ̂ ̂ 의 실제 오차 추정특성이 적젃히 반영되어 일관성이 알수있 ‖ ‖(15-16)과 설정하더라도 오차특성이 반영된다. 결과적으 오차 공분산은 Eqs. 같다. Pff 와 에 Pfc 에는 F의 상태변수추정치 추정치 및오차 오차공붂산은 공붂산은 Eqs. (15-16)과 같다. Eqs.로(23-24)를 의 상태변수 및 Eqs. (15-16)과 같다. c의 로 의 실제 오차 추정특성이 에 적젃히 반영되어 필터의 일관성이 유지됨을 알 수 있 () 로 의 실제 오차 추정특성이 에 적절히 반영되어 필터의 일관 x P 을 볼 수 있다. 즉, 를 0으로 설정하더라도 와 에는 의 오차특성이 반영된다. 결과 f ff CKF는 Eq. (19)에서 로 유지하고 나머지 오차 공붂산 ̂ ̂ (15) 으로 설정하여 ( () ) CKF는최종 Eq.성이 (19)에서 으로 로 유지하고 나머지 오차 공붂산 (15) ̂̂ ̂̂ 임계값이다. (15) 유지됨을 알에수 있다.설정하여 (15) 서, 은 사용자가 정의하는 마지막 번째 반복 추정 측정치 갱싞 로 결과로부터 의 실제 오차 추정특성이 적젃히 반영되어 필터의 일관성이 유지됨을 로유 (23)과 (24)를 통해 측정치 갱싞을 수행핚다. 상태변수에 대핚 측정치 갱싞은 ̂알 수̂있다. + () () () () ((23)과 ) ( )(24)를 통해CKF는 Eq. (19)에서 =0으로 설정하여 = 로 유지하고 K P P ̂ 로 측정치 갱싞을 수행핚다. 상태변수에 대핚 측정치 갱싞은 ̂ c cc cc KF의 상태변수 추정치 및 오차 공붂산은 Eqs. (15-16)과 같다. (16) + * + * CKF는 Eq. (19)에서 으로 설정하여 로 유지하고 나머지 오차 공붂산은 의 초기값을 알 수 없기 때문에 ) 대핚 갱싞을 Eq. (25)와 같이 수행하며, 일반적으로 ( () ) ( () ) ( () ) ( () ) ( () ) ( ()에 (16) 공분산은 나머지 오차 Eqs. (23)과 (24)를 통해 측정치 갱신을 수 ++ ** ++ ** 에(16) 대핚 갱싞을 Eq. (16) (25)와 같이 수행하며, 일반적으로 의 초기값을 알 수 없기 때문에 ̂ 로 유지 (23)과 (24)를 통해 측정치 갱싞을 수행핚다. 상태변수에 대핚 측정치 갱싞은에̂ + ( ) ̂ 이므로 는 생략된다. () 행한다. 상태변수에 대한 측정치 갱신은 = 로 유지하고 ̂ ̂ x x xf 3 Iterated EKF with Consider State ̂ ̂ (15) c c 이므로 (̂ ) 는 생략된다. ated EKFwith withConsider ConsiderState State 에 대핚 갱싞을 Eq. (25)와 같이 수행하며, 의 초기값을 알 수 없기 때문에 ̂ ted EKF 대한 갱신을 Eq. (25)와 같이 일반적으로 수행하며, 일반적으로 xc의 초기값을 3.1 Consider Kalman filter 0 ( )) ̂ ̂ ̂ ̂ ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.3 Iterated State 알 수 없기(16) 때문에 x̂ c = 0 이므로 h(x̂ c ) 는 생략된다. 이므로 (̂ ) 는 생략된다. + Consider * + * EKF with (̂ )) onsider Kalmanfilter filter ̂ ̂ ( (̂ ) nsider Kalman. 된 자코비얶 행렬. (). () * ( () ). (). CKF는 가관측성이 낮은 상태변수를 추정하지는 않지맊 오차특성을 공붂산consider 계산에 EKF 반영하는 2.3.2 Iterated 2.3.1 Consider Kalman filter (̂ )) (25) ̂ erated EKF with Consider State ( (̂ ). KF는 가관측성이 낮은 상태변수를 추정하지는 않지맊오차특성을 오차특성을 공붂산 계산에 반영하는 2.3.2 Iterated consider EKF̂ F는 가관측성이 낮은 상태변수를 추정하지는 않지맊 공붂산 계산에 반영하는 법으로 상태변수 추정치와 칼맊필터 공붂산이 유사하여 필터 일관성을 확보핛 수 있다 (Hough IEKF에수 대해서도 가관측성이 낮은 상태변수를 추정하지는 않고 오차특성을 공붂산 로상태변수 상태변수 추정치와 칼맊필터공붂산이 공붂산이유사하여 유사하여필터 필터일관성을 일관성을확보핛 확보핛 수 있다(Hough (Hough 로 추정치와 칼맊필터 있다 Consider Kalman filter 2.3.2경우를 Iterated consider EKF 11). 본 연구에서는 측정치에 바이어스 형태의 오차가추정하지는 포함되는 가정하여 Eq. (1)에서 상 2.3.2 Iterated consider EKF상태변수를 추정하지는 않고 오차특성을 공붂산 CKF는 가관측성이 낮은 상태변수를 않지만 오 IEKF에 대해서도 가관측성이 낮은 반영하여 필터의 일관성을 본연구에서는 연구에서는측정치에 측정치에바이어스 바이어스형태의 형태의오차가 오차가포함되는 포함되는경우를 경우를 가정하여 Eq.(1)에서 (1)에서 상 유지하는 ICEKF를 구현핛 수 있다. ICEKF에서 상태변수에 대 본 가정하여 Eq. 상 차특성을 계산에 반영하는 기법으로 상태변수 추정치 변수 를 Eq. (17)과 같이공분산 정의핚다. 반영하여 필터의 ICEKF를 구현핛 수 있다. ICEKF에서 상태변수에 대 CKF는 가관측성이 낮은 상태변수를 추정하지는 않지맊 오차특성을 공붂산 계산에일관성을 반영하는유지하는 IEKF에 대해서도 가관측성이 낮은 상태변수를 추정하지는 않고 오차특성을 공붂산 계 Eq. (26)과 같이 초기화 핚다. 치 갱싞은 를Eq. Eq.(17)과 (17)과같이 같이 정의핚다. 를 정의핚다. 와 칼만필터 공분산이 유사하여 필터 일관성을 확보할 수 있다 에 대해서맊 IEKF에 수행되므로 대해서도 가관측성이 낮은 상태변수를 추정하지는 않 에 대해서맊 수행되므로 Eq. (26)과 같이 초기화 핚다. 치 갱싞은 으로 상태변수 추정치와 칼맊필터 공붂산이 유사하여 필터 일관성을 확보핛 수 있다 (Hough 반영하여 필터의 일관성을 유지하는 ICEKF를 구현핛 수 있다.일관성을 ICEKF에서 상태변수에 대핚 (Hough 2011). 본 연구에서는 측정치에 바이어스 형태의 오차가 고 오차특성을 공분산 계산에 반영하여 필터의 유지하 (17) [ ] 본 연구에서는포함되는 측정치에 바이어스 형태의 오차가 포함되는 경우를 가정하여 Eq. (1)에서 상 (17) [ ] (17) [ ] 경우를 가정하여 Eq. (1)에서 상태변수 x를 (17)과 같에 대해서맊 는 ICEKF를 구현할 Eq. 수 있다. ICEKF에서 상태변수에 수행되므로 (26)과 같이 초기화 핚다. 대한 측정치 치Eq. 갱싞은 기서, 는(17)과 추정하고자 하는 상태변수이고 는 오차 특성맊 반영하고자 하는 상태변수이다. 이 갱신은 xf에 대해서만 수행되므로 Eq. (26)과 같이 초기화 한다. 수 를 Eq. 정의핚다. 이같이 정의한다. , 는 는추정하고자 추정하고자하는 하는상태변수이고 상태변수이고 는 는오차 오차특성맊 특성맊반영하고자 반영하고자하는 하는상태변수이다. 상태변수이다.이 이 ( ) 부터 와 는 Eq. (18)과 같이 표현핛 수 있다. ((̂ ()) )( )̂ ̂ ̂ ( 와 는 는Eq. Eq.(18)과 (18)과 같이표현핛 표현핛수 수있다. 있다. [ (̂̂ ) ̂ ̂ 와 ̂ ̂(26) (17) ] (17) 같이. 서,. ̂. ̂. (26). 반복 수행되는 측정치 갱싞식은 Eqs. (27-29)와 같다. 반복 수행되는 갱싞식은 Eqs. (27-29)와 같다. 반복 수행되는 측정치 갱싞식은 Eqs. (27-29)와 같다. 는 추정하고자 하는 오차 특성맊 반영하고자 하는 상태변수이다. 이 반복 수행되는 측정치 갱싞식은 Eqs. (27-29)와 같다. 반복 수행되는 측정치 갱싞식은 Eqs. (27-29)와 같다. 여기서, 추정하고자 하는 는 상태변수이고 오차 특성만 반측정치 반복 수행되는 측정치 갱싞식은 Eqs. (27-29)와 같다. xf는상태변수이고 xc는 반복 수행되는 측정치 갱신식은 Eqs. (27-29)와 같다.. 터 와. 영하고자 하는 상태변수이다. 는 Eq. (18)과 같이 표현핛 수 있다.이로부터 P와 H는 Eq. (18)과 같이 표현할 수 있다.. ( ) () () () ( ) ( ) () () ( ) (( ))(( ) ) (( ))() |) (( ())() () ) **(( ()())) ( ) ((( ()))+) ( +) (( ()) ) ([ ) [((|( ))() |)] +++ + ||| | ]]] ] ] (27) *** * [[[ [ ||̂|( ) | ̂]]( ]) ] ] [( ) ( )[[|[ [ [(](27) (()) ̂̂̂( )̂( ). (. () (18) (18) (18) ( )( ) (18) () ( )(18) () () (28) [ ( ) ] (( ())[) ( ) ] (( ()) ) ( ) ( )[ () () ] (( ()) ) ( )[(( ()) ) ( ) (( ()) ) ( ) ( [[[ [ ]]] ] ] [[[ [(([))](]]) ] ][[[ [ [ ]]] ] (28) ] - T ( )( ) 측정치 잔차 공분산을 = + 로 정의하고 Eq. (6)의 칼 C HP H R 측정치 잒차 공붂산을 로 정의하고 Eq. (6)의 칼맊이득과 Eq. (8)의 측정치 갱 측정치 잒차 공붂산을 로로 정의하고 Eq. (6)의 칼맊이득과 Eq. (8)의 측정치 갱(갱 측정치 잒차 공붂산을 정의하고 Eq. (6)의 칼맊이득과 Eq. (8)의 측정치 잒차 공붂산을 로 정의하고 Eq. (6)의 칼맊이득과 Eq. (8)의 측정치 갱 ( ) 측정치 ) () () () ̂ ̂ )+ (̂ ) (̂ (29) 측정치 잒차 공붂산을 로 정의하고 Eq. (6)의 칼맊이득과 측정치 갱 * 만이득과 Eq. (8)의 측정치 갱신된 오차 공분산을 분할된 형태로 Eq.̂(8)의 ( ) 편의상 아 () () () () 된 오차 공붂산을 붂핛된 형태로 표현하면 Eq. (19)와 같다 (Zanetti & D’Souza 2013). ((̂ )() ) 편의상 ((아 )) ) ( *) ((̂ )) ) ( )) (( ()) ) ( ( ((̂ )) ) ( )+ 오차 공붂산을 붂핛된 형태로 표현하면 Eq. (19)와 같다 (Zanetti && D’Souza 2013). 아 된 오차 공붂산을 붂핛된 형태로 표현하면 Eq. (19)와 같다 (Zanetti D’Souza 2013). 편의상 ̂ ̂ ( ) ) ) ( ( ( ( 된 오차 공붂산을 붂핛된 형태로 표현하면 Eq. (19)와 같다 (Zanetti & D’Souza 2013). 편의상 아 ̂̂̂2013). ̂̂편의상 ( ̂ ̂)+ 표현하면 (19)와 표현하면 같다 (Zanetti D’Souza 2013). 편의상 된 오차 공붂산을 붂핛된Eq. 형태로 Eq.&(19)와 같다 (Zanetti & 아래 D’Souza ̂ ̂ 아*** * ((̂ (̂̂()̂)) ) ((̂ (̂̂(̂ ̂̂̂ )+ )+ )+ (29) 마지막 번째 반복 추정 결과로부터 최종 측정치 갱싞된 ICEKF의 상태변수 추정치 및 오차공붂산 첨자 k는 생략하였다. 자 k는 생략하였다. 첨자 k는 생략하였다. 첨자 k는 생략하였다. 첨자 k는 생략하였다. 첨자 k는 생략하였다. 마지막 번째 반복 추정 결과로부터 최종 측정치 갱싞된 ICEKF의 상태변수 추정치 및 오차공 은 Eqs. (30-31)과 같다. 마지막 번째 반복 추정 결과로부터 측정치 갱싞된 ICEKF의 상태변수 추정치 및 마지막 번째 반복 추정 결과로부터 최종 측정치 갱싞된 ICEKF의 상태변수 추정치 및 오차공붂 마지막 반복 추정 결과로부터 최종 측정치 갱신된 i 번째최종 마지막 번째 반복 추정 결과로부터 최종 측정치 갱싞된 ICEKF의 상태변수 추정치 및 오차 마지막 번째 반복 추정 결과로부터 최종 측정치 갱싞된 ICEKF의 상태변수 추정치 및오차공붂 오차공 ) ))) ( ((( 은 Eqs. (30-31)과 같다. ((19) ). (19) ICEKF의 상태변수 추정치 및 오차공분산은 Eqs. (30-31)과 같다. ) ] ]]] 은 (19) [ [[[ ] ]]] [ [[[( Eqs. (30-31)과 같다. (19) 은 Eqs. (30-31)과 같다. ̂(19) Eqs. (30-31)과 같다. ̂ (30) Eqs. (30-31)과 같다. ) ))) ] 은 은 (19) [ ] ( [((( ( ) () ((̂ )) ) ( )( ) ( ) () () () () (31) ] [ ] [ (̂ ̂̂̂̂̂ ̂̂̂ (30) ( (20) [ [[[ ] ]]] [ [[[ ] ]]] (20). (20) (20) (20) ( ) INTERFERENCE () () () [ ] [ ] (20) ( ) ( ) OF GNSS 3. BEARING-ONLY LOCALIZATION (). ( [[[ [ [ (( ()) ) ((()())])]]( ]) ][[[ [ [ (( ()) ) ((()())])]]( ]) ] (( ()) ) ( )(( ()) )(31). [ [[[ [. [ [[[ [. ] ]]] ]. [ [[[ ] ]]] [ [[[ ] ]]] ] [ ] [. [ [[[ ] ]]] [ [[[ ] ]]] [ ] [ ]. 를 Eqs. (20-21)에 대입하면, (19)의 를를 Eqs. (20-21)에 19)의 Eqs. (20-21)에 를 Eqs. (20-21)에 대입하면, ..(19)의 (19)의 Eq. (19)의대입하면, K대입하면, f를 Eqs. (20-21)에 대입하면, 를 Eqs. (20-21)에 대입하면, (19)의 [ [[[ ] ]]] [ ]. ] (18) ]]] ]. (). () (( ()) ) ( ). 2장에서 제시된 ICEKF를 방위각 도래각을 이용핚 GNSS 젂파교란원의 2차원 위치추정에 적. BEARING-ONLY LOCALIZATION OF GNSS INTERFERENCE (21) (21) (21) 3. BEARING-ONLY LOCALIZATION OF GNSS INTERFERENCE 3.3.3. BEARING-ONLY LOCALIZATION OF GNSS INTERFERENCE (21) (21) 3. BEARING-ONLY LOCALIZATION OF GNSS INTERFERENCE BEARING-ONLY GNSS INTERFERENCE 용하여 성능을 비교하였다.LOCALIZATION 교란원은 정지된 상태에서OF GNSS 교란싞호를 송출하는 것으로 가정하 (21) 3. BEARING-ONLY LOCALIZATION OF 여러 센서들이 였고 센서는제시된 배열안테나 기반 싞호처리를 통해 교란싞호의 방위각을 측정하고 고 2장에서 ICEKF를 방위각 도래각을 이용핚 GNSS 젂파교란원의 2차원 위치추정 2장에서 제시된 ICEKF를 방위각 도래각을 이용핚 GNSS 젂파교란원의 2차원 위치추정에 2장에서 제시된 ICEKF를 방위각 도래각을 이용핚 GNSS 젂파교란원의 2차원 위치추정에 2장에서 제시된 ICEKF를 방위각 도래각을 이용핚 GNSS 젂파교란원의 2차원 위치추정 2장에서 제시된 ICEKF를 방위각 도래각을 이용핚 GNSS 젂파교란원의 2차원 위치추정에 GNSS INTERFERENCE 정된 위치에 일정 갂격으로 이격 배치되어 측정된 다수의 방위각 정보를 이용하여 교란원의 위치 (22) (22). (22) 용하여 성능을 비교하였다. 교란원은 정지된 상태에서 GNSS 교란싞호를 송출하는 것으로 가 (22) 정지된 용하여 성능을 교란원은 상태에서 GNSS 교란싞호를 송출하는 것으로 가정 용하여 성능을 비교하였다. 교란원은 정지된 상태에서 GNSS 교란싞호를 송출하는 것으로 가정 성능을 (22)비교하였다. (22) 용하여 비교하였다. 교란원은 정지된 상태에서 GNSS 교란싞호를 송출하는 것으로 용하여 성능을 비교하였다. 교란원은 정지된 상태에서 GNSS 교란싞호를 송출하는 것으로 가 를 추정하는 것으로 가정하였다. 였고 센서는 배열안테나 기반 싞호처리를 통해 교란싞호의 방위각을 측정하고 여러 센서들 2장에서 제시된 ICEKF를 방위각 도래각을 이용한 GNSS 전파 여러 였고 센서는 배열안테나 기반 싞호처리를 통해 교란싞호의 방위각을 측정하고 센서들이 였고 센서는 배열안테나 기반 싞호처리를 통해 교란싞호의 방위각을 측정하고 여러 센서들이 였고 센서는 배열안테나 기반 싞호처리를 통해 교란싞호의 방위각을 측정하고 여러 센서들 였고 센서는 배열안테나 기반 싞호처리를 통해 교란싞호의 방위각을 측정하고 여러 센서들이 3.1 Measurement Model for Bearing-only Localization 정된 위치에 일정 갂격으로 이격 배치되어 측정된 다수의 방위각 정보를 이용하여 교란원의 교란원의 2차원 위치추정에 적용하여 성능을 비교하였다. 교란 정된 위치에 일정 갂격으로 이격 배치되어 측정된 다수의 방위각 정보를 이용하여 교란원의 정된 위치에 일정 갂격으로 이격 배치되어 측정된 다수의 방위각 정보를 이용하여 교란원의 위 정된 위치에 일정 갂격으로 이격 배치되어 측정된 다수의 방위각 정보를 이용하여 교란원의 정된 위치에 일정 갂격으로 이격 배치되어 측정된 다수의 방위각 정보를 이용하여 교란원의위 원은 정지된 상태에서 GNSS 교란신호를 송출하는 것으로 가정 를 추정하는 것으로 가정하였다. ] [ 으로부터 센 교란싞호의 방위각 도래각을 Fig. 1과 같이 정북 기준으로 교란원 (23) 를 것으로 가정하였다. 를 추정하는 것으로 가정하였다. (23) (23) 를 추정하는 것으로 가정하였다. 를추정하는 추정하는 것으로 가정하였다. (23) (23) ] 에 도달하는 각으로 [ 서 정의하면 번째 센서의 도래각 는 Eq. (32)와 같이 표현핛 (24) (24) (24) 3.1 Measurement Model for Bearing-only Localization (24) 3.1 Model for Localization 3.1 Measurement Model for Bearing-only Localization 수Measurement 있다. 3.1 Model for Bearing-only Localization http://www.ipnt.or.kr (24) 3.1Measurement Measurement Model forBearing-only Bearing-only Localization. ]으로부터 으로부 교란싞호의 방위각 도래각을 Fig. 1과 같이 정북 기준으로 교란원 [[ [ (32) 방위각 도래각을 Fig. 1과 같이 정북 기준으로 교란원 (23-24)를 살펴보면 의의 의 공붂산 와와 와 와와 와 사이의 사이의 공붂산교란싞호의 가 값에 값에 관계없이 결정됨 교란싞호의 방위각 도래각을 Fig. 1과 같이 정북 기준으로 교란원 (23-24)를 살펴보면 공붂산 공붂산 가교란싞호의 관계없이 결정됨 s. 살펴보면 공붂산 사이의 공붂산 가 값에 관계없이 결정됨 ] 으로부 방위각 도래각을 Fig. 같이 정북 기준으로 교란원 [ [ ]]]으로부터 으로부터 교란싞호의 방위각 도래각을 Fig. 1과1과 같이 정북 기준으로 교란원 s.s.(23-24)를 (23-24)를 살펴보면 의 공붂산 와 와 사이의 공붂산 가 값에 관계없이 결정됨 s. (23-24)를 살펴보면 의 공붂산 와 와 사이의 공붂산 가 값에 관계없이 결정됨 ]에에 서 오차특성이 도달하는 각으로 정의하면번째 번째 센서의 도래각 는 는Eq. Eq. (32)와 같이 표 ]반영된다. [[ [ [ 반영된다. ]반영된다. 볼 수 있다. 즉, 를를 를 0으로 설정하더라도 와와 와 에는 에는 의 의 결과적으 서 에 각으로 정의하면 센서의 도래각 (32)와 같이 표현 서 도달하는 각으로 정의하면 번째 센서의 도래각 (32)와 같이 표현 볼볼 수수 있다. 즉,즉, 0으로 설정하더라도 오차특성이 결과적으 있다. 0으로 설정하더라도 에는 의 오차특성이 결과적으 ] 도달하는 서 에 도달하는 각으로 정의하면 번째 센서의 도래각는 Eq. 는 Eq. (32)와 같이.
(4) 바이어스 오차를 있지맊, 정지상태 교란원에 대핚 측정치의 바이어스 오차는 거 포함핛 수수 있지맊, 정지상태 교란원에 대핚 측정치의 바이어스 오차는 거의 [ 오차를 ] 포함핛 (27) 교란원의 위핚 칼맊필터의 상태변수로 교란원의 위치와 도래각 측정치에 ] 바이어스 | 위치추정을 ( ) () 되지 않기 때문에 측정치의 바이어스 오차를 제외하고 교란원의 위치맊 상태변수로 정 교란원의 위치추정을 위핚 칼맊필터의 상태변수로 교란원의 위치와 도래각 측정치에 [ ] (27) | 되지 않기 때문에 측정치의 바이어스 오차를 제외하고 교란원의 위치맊 상태변수로 정의 되지 않기 때문에 측정치의 바이어스 오차를 제외하고 교란원의 위치맊 상태변수로 정의하 () 바이어스 오차를 포함핛 수 있지맊, 정지상태 교란원에 대핚 측정치의 바이어스 오차는 거 ̂ 수감소 필터를 설계핛 있다. 바이어스 오차를 포함핛 수 있지맊, 정지상태 교란원에 대핚 측정치의 바이어스 오차는 거의 ( ) 수감소 수감소 필터를 설계핛 수 있다. 설계핛 수 있다. ( )필터를 되지 않기 때문에 측정치의 바이어스 오차를 제외하고 교란원의 위치맊 상태변수로 정의 () () ] [( ) 않기 [ ( ) (2020)( ) ] [( ) ( ) ] 되지 ]로 [ 상태변수를 로정의하면, 정의하면, 정지상태 교란원에 대핚 위치추정이므로 Eq 때문에 측정치의 바이어스 오차를 제외하고 교란원의 위치맊 상태변수로Eq. 정의하 224 JPNT 9(3), 221-227 ](28) [ 상태변수를 [ 정지상태 교란원에 대핚 위치추정이므로 Eq. ] 로 상태변수를 정의하면, 정지상태 교란원에 대핚 위치추정이므로 (1) 수감소 () () () ] 필터를 설계핛 수 있다. (28) [ () ] [ ( )] [ 스템 모델은 Eq.(35)와 (35)와 같다. 수감소 필터를 설계핛 수 있다. 스템 모델은 스템 모델은 Eq.Eq. (35)와 같다. [ 같다.] 로 정의하면, 정지상태 교란원에 대핚 위치추정이므로 Eq. ( 상태변수를 ( ) () () () () ] (29) [ 로 정의하면, 정지상태 교란원에 대핚 위치추정이므로 Eq. ( ̂ ̂ ̂ )+ 상태변수를 (̂ ) (̂ * ( ) () () () ( ) 스템 모델은 Eq. (35)와 같다. (35) ̂ ̂ ̂ )+스템 모델은 Eq. (35)와 같다.(29) (̂ ) (̂ * (). (). *. *. (). (). +. +. (). [. [. (. ). |. |. (). ̂]. 마지막 번째 반복 추정 결과로부터 최종 측정치 갱싞된 ICEKF의 상태변수 추정치 및 오차공붂산 그리고 번째 센서에 대핚 Eq.(2)의 (2)의 비선형 측정모델과 Eq.(9)의 (9)의 자코비얶 행렬은 Eqs. 그리고 센서에 대한 Eq. (2)의 비선형 측정모델과 Eq. (9) i번째 그리고 번째 센서에 대핚 Eq. 비선형 측정모델과 자코비얶 행렬은 번째 센서에 Eq. (2)의 비선형 측정모델과 Eq.Eq. (9)의 자코비얶 행렬은 Eqs.Eqs. (36-( 막 번째 반복 추정 결과로부터 최종 측정치 갱싞된 ICEKF의그리고 상태변수 추정치 및대핚 오차공붂산 은 Eqs. (30-31)과 같다. 의 자코비언 행렬은 Eqs. (36-37)과 같이 표현할 수 있다. 같이 표현핛 수 있다. 같이 표현핛 수 있다.대핚 Eq. (2)의 비선형 측정모델과 Eq. (9)의 자코비얶 행렬은 Eqs. (3 같이 표현핛 수 있다. 그리고 번째 센서에 qs. (30-31)과 같다. 그리고 번째 센서에 대핚 Eq. (2)의 비선형 측정모델과 Eq. (9)의 자코비얶 행렬은 Eqs. (3 () 같이 표현핛 수 있다. ̂ ̂ (30). (36) ( )( () ) () 같이 표현핛 수 있다. ̂ ̂ (30) ( (31) ) () () () () () () + * ] [ ] [. + +*+‖ *‖*‖‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ + ‖ ‖+ (37) ( ) * * () () () () () () (31) ] [ ] [ + *‖ ‖ + *State Fig. 1. Definition of bearingOF measurement. BEARING-ONLY LOCALIZATION GNSS3.3INTERFERENCE ‖ ‖ 3.3ICEKF ICEKF Model with Consider 3.3 Model with Consider State ICEKF Model with Consider State 3.3 ICEKF Model + *‖ State + * with Consider ‖ ‖ ‖ BEARING-ONLY LOCALIZATION OF GNSS INTERFERENCE. 3.3 ICEKF Model with Consider State 2장에서 제시된 ICEKF를 방위각 도래각을 이용핚 GNSS 젂파교란원의 2차원 위치추정에 적의핚 측정치의 바이어스 오차에 의핚 영향을 칼맊필터의 공붂산 계산에 반영하는ICEKF 측정치의 바이어스 오차에 영향을 칼맊필터의 공붂산 계산에 반영하는ICEKF의 바이어스 오차에 의핚 영향을 칼맊필터의 공붂산 계산에 반영하는ICEKF의 상 3.3측정치의 ICEKF Model with Consider 센서는 배열안테나 기반이용핚 신호처리를 통해 교란신호의 방2차원 측정치의 바이어스 2장에서 제시된하였고 ICEKF를 방위각 도래각을 GNSS 젂파교란원의 위치추정에 적 State오차에 의한 영향을 칼만필터의 공분산 계 용하여 성능을 비교하였다. 교란원은 정지된 상태에서 GNSS 교란싞호를 송출하는 것으로 가정하 측정치의 바이어스 오차를 포함하여 Eq. (38)과 같이 정의 수는 교란원의 위치와 개 센서 측정치의 바이어스 오차를 포함하여 (38)과 같이 정의된 수는 교란원의 위치와 개 센서 수는 교란원의 센서 측정치의 바이어스 오차를 포함하여 Eq. (38)과 같이 정의된다 위각을 측정하고 여러 센서들이 고정된 위치에 일정 간격으로 이 위치와 산에 개 반영하는ICEKF의 상태변수는 교란원의 위치와 N개Eq. 센서 측정치의 바이어스 오차에 의핚 영향을 칼맊필터의 공붂산 계산에 반영하는ICEKF의 여 성능을 비교하였다. 교란원은 정지된 상태에서 GNSS 교란싞호를 송출하는 것으로 가정하 였고 센서는 배열안테나 기반 싞호처리를 통해 교란싞호의 방위각을 측정하고 여러 센서들이 고 측정치의 바이어스 오차에 의핚 영향을 칼맊필터의 공붂산 계산에 반영하는ICEKF의 격 배치되어 측정된 다수의 방위각 정보를 이용하여 수는 교란원의 위 측정치의개바이어스 오차를 포함하여 (38)과포함하여 같이 정의된다. 바이어스Eq. 오차를 Eq. (38)과 같이 정의된 교란원의 위치와 센서 측정치의 센서는 배열안테나 기반 싞호처리를 통해 교란싞호의 방위각을 측정하고 여러 센서들이 고 [ [ [ ] ]] 정된 위치에 일정치를 갂격으로 이격 배치되어 측정된 다수의 방위각 정보를 이용하여 교란원의 위치 추정하는 것으로 가정하였다. 측정치의 바이어스 오차를 포함하여 Eq. (38)과 같이 정의된 수는 교란원의 위치와 개 센서 위치에 일정 갂격으로 이격 배치되어 측정된 다수의 방위각 정보를 이용하여 교란원의 ] (38) 하는위치 를 추정하는 것으로 가정하였다. 여기서, 추정하고자 상태변수[ [ [ [ ] 는 는교란원의 교란원의 위치이고 오차 특성맊 반 ] ]는 여기서, 추정하고자 하는 상태변수 위치이고 오차 특성맊 반영 여기서, 추정하고자 하는 상태변수 교란원의 위치이고 오차 특성맊 반영하 ] [ 3.1 Measurement Model for Bearing-only 추정하는 것으로 가정하였다. 하는 상태변수 [ [ [ 는방위각 방위각 측정치의 바이어스 오차이다. 시스템 모 ] ]는 하는 상태변수 측정치의 바이어스 오차이다. 시스템 모델 ] 는 하는 상태변수 방위각 바이어스 오차이다. 시스템 모델은 ]xf는 [ 측정치의 여기서, 추정하고자 하는추정하고자 상태변수 교란원의 위치이고 오차 특성맊 반영 1 MeasurementLocalization Model for Bearing-only Localization 여기서, 하는 상태변수 = [px 위치 py]T는 교란원의 [있다. (34-35)로부터 Eq.(39)와 (39)와 같이 표현핛 수 있다. ] 는 교란원의 위치이고 여기서, 추정하고자 하는 상태변수 오차 특성맊 반영 Measurement Model for Bearing-only Localization (34-35)로부터 같이 표현핛 수 (34-35)로부터 Eq.Eq. (39)와 같이 표현핛 수 이고[오차 특성만 하는 상태변수바이어스 xc = [b1 ⋯ 오차이다. bN]T는 방 시스템 모델 ]반영하고자 하는 상태변수 는 있다. 방위각 측정치의 ] [으로부터 센] 는 방위각 교란싞호의 방위각 도래각을 Fig. 1과 같이 기준으로 교란원 하는 상태변수 측정치의 바이어스 오차이다. 시스템 모델 측정치의 바이어스 교란신호의 방위각 도래각을 Fig.정북 1과 같이 정북 기준으로 교란 [ Eq.위각 (34-35)로부터 (39)와 같이 표현핛 수오차이다. 있다. 시스템 모델은 Eqs. (34-35)로 ] 으로부터 센 [ 교란싞호의 방위각 도래각을 Fig. 1과 같이 정북T 기준으로 교란원 T ] [ 서 도달하는 각으로센서 정의하면 센서의 각으로 도래각 는 Eq. Eq. (32)와 같이 표현핛 원에 ] 에 도달하는 정의하 p =[ px py] 으로부터 si = [sxi syi번째 부터 Eq.같이 (39)와 같이 표현할 수 있다. (34-35)로부터 (39)와 표현핛 수 있다. ] 에 [ 각으로 번째 같이 센서의 도래각 는 Eq. (32)와 같이 표현핛 ⁄ 면 도달하는 i번째 센서의 도래각정의하면 표현할 수 있다. θi는 Eq. (32)와 ⁄ 수 있다. ⁄. 있다.. ⁄ [ [ [] ] ] ⁄ ]⁄ ⁄] ] [ [ [(32) ⁄ (39) (32) [ ] ⁄] [ 센서에서바이어스 측정된 도래각에 오차 b이 잡음오 경우 도래각 측정치 [ ] ⁄] [ i와포함되는 잡음오차 센서에서 측정된 도래각에 형태의 바이어스 오차 와형태의 차 η이 포함되는 경우 도래각오차 측정치와zi는 Eq. (33)과이같이 표현된 경우 도래각 측정치 잡음오차 포함되는 에서 측정된 도래각에 바이어스 형태의 는 Eq. (33)과 같이 표현된다. 그리고 i번째 센서에 대한 Eq. (18)의 xf 와 xc에 대한 자코비언 Eq. (33)과 같이다. 표현된다. 행렬은 Eq.(18)의 (40)과 와 에 대핚 자코비얶 행렬은 Eq. (40)과 같다. 그리고 번째 센서에 대핚 Eq. (33)같다.. (33) (33) 와 에 대핚 자코비얶 행렬은 Eq. (40)과 같다. 그리고 번째 센서에 대핚 Eq. (18)의 [ ] (40) + *‖ ‖ ‖ ‖ 도래각 측정치의 바이어스 오차 b는 Eq. (34)와 같이 상관시간 [ ] + *‖ ‖ ‖ ‖ 측정치의 바이어스 오차 는 Eq. (34)와 이고 평균제곱 오차가 인Eq. 1차(18)의 이 τ이고 평균제곱 오차가 인 1차상관시갂이 마코프 오차로 모델링 하였다 ICEKF의 측정잡음은 센서의 잡음오차로만 정의되므로 Eq. 같다. σb2같이 ICEKF의 측정잡음은 센서의 잡음오차로맊 Eq. (41)과행렬은 같다. Eq. (40)과 와정의되므로 에 대핚 자코비얶 그리고 번째 센서에 대핚. ,. (32). Hwang& 1997). 오차로 모델링(Brown 하였다&(Brown Hwang 1997).. 의 붂산. ̇. 2 여기서,⁄w이다. b의 분산 qb =2σb ⁄ τ이다.. . (. (41)과센서의 같다. 잡음오차로맊 정의되므로 Eq. (41)과 같다. ICEKF의 측정잡음은 ( [ ] + *‖ ‖ ‖ ‖ (34) (34). (41) 3.4 Kalman Filter Initialization ICEKF의 측정잡음은 센서의 잡음오차로맊 정의되므로 Eq. (41)과 같다. 3.4 Kalman Filter Initialization 칼맊필터로 교란원의 위치를 반복 추정하기 위해서는 상태변수와 오차 공붂산의 초기값 설 3.4 Kalman Filter Initialization. 칼맊필터로 교란원의 위치를 반복 추정하기 위해서는 상태변수와 오차 공붂산의 초기값 이 필요하다. 상태변수의 초기값을 임의의 값으로 설정하는 경우 실제 교란원의 위치와 임의값 duced-order EKF IEKF Model EKF and IEKF Model 3.2and Reduced-order 3.4 Kalman Filter Initialization 이 필요하다. 상태변수의 초기값을 임의의 값으로 설정하는 위치와 임 차이가 크면 측정식의 비선형특성에 의해 필터가 수렴하지 않을경우 수도실제 있기교란원의 때문에 상태변수의 칼만필터로 교란원의 위치를 반복 추정하기 위해서는 상태변 란원의 위치추정을 위핚 칼맊필터의 상태변수로 교란원의기값을 위치와 도래각 측정치에 포함된 차이가 크면 측정식의 비선형특성에 의해 필터가 수렴하지 않을 수도 있기 때문에 센서에서 측정핚 방위각초기값 도래각을 이용하여 설정핚다. Fig.초기값 1에서 센서 상태변수 로부터 교란원의 위치추정을 위한 칼만필터의 상태변수로 교란원의 수와첫번째 오차 공분산의 설정이 필요하다. 상태변수의 칼맊필터로 교란원의 위치를 반복 추정하기 위해서는 상태변수와 오차 공붂산의 초기값 스 오차를 포함핛 수 있지맊, 정지상태포함된 교란원에 대핚오차를 측정치의 바이어스 오차는 거의 위치와 도래각 측정치에 바이어스 포함할 수 있지 을 임의의 값으로(LOB)라 설정하는 경우 실제 교란원의 위치와 임의값의 기값을 센서에서 측정핚 첫번째 방위각 도래각을 이용하여 Fig. 1에서 센서 로부 란원 로의 직선을 Line Of 추정 Bearing 하면, 센서 에서 설정핚다. 측정되는 LOB의 단위벡터는 이 필요하다. 상태변수의 초기값을 임의의 값으로 설정하는 경우 실제 교란원의 위치와 임의 않기 때문에 측정치의 바이어스 오차를 제외하고 위치맊 상태변수로 차이가 크면 측정식의(LOB)라 비선형특성에 않을 만, 정지상태 교란원에 대한 측정치의교란원의 바이어스(42)와 오차는 거의 추 직선을 란원 로의 Of차Bearing 하면,의해 센서필터가 에서수렴하지 측정되는 LOB의 단위벡터 같다 (Grabbe et정의하는 al.Line 2013). 차이가교란원 크면 측정식의 비선형특성에 의해 필터가 수렴하지 않을측정한 수도 있기 때문에 상태변수 정되지 않기 때문에 측정치의 바이어스 오차를 제외하고 수도 있기 때문에 상태변수의 초기값을 센서에서 첫번째 필터를 설계핛 수 있다. (42)와 같다 (Grabbe et al. 2013). 측정핚 이용하여 설정핚다. Fig. 1에서 센서 로부( ] 1에서 [도래각을 방위각 첫번째 도래각을방위각 이용하여 설정한다. Fig. 센서 s로부터 교 의 위치만 상태변수로 정의하는 차수감소 필터를 기값을 설계할 센서에서 수있 ] 로 정의하면, 정지상태 교란원에 대핚 위치추정이므로 Eq. (1)의 시 [ 태변수를 란원 로의 직선을 Line Of Bearing (LOB)라 하면, 센서 에서 측 p s 다. 란원 로의 직선을 Line Of Bearing (LOB)라 LOB의 단위벡터는 [ 하면, 센서 ] 에서 측정되는 i 모델은 Eq. (35)와 같다. 와 로 측정되는 두 개의 LOB는 교란원 에서 교점을 형성하기 때문에 Eq. (43)의 센서 대한 상태변수를 x = [px py]T로 정의하면, 정지상태 교란원에 정되는 LOB의 단위벡터는 Eq. (42)와 같다 (Grabbe et al. 2013). (42)와 같다 (Grabbe et al. 2013). 위치추정이므로 Eq. (1)의 시스템 모델은 Eq. (35)와 같다. 센서 와 로 측정되는 계를 맊족핚다. (35) 두 개의 LOB는 교란원 에서 교점을 형성하기 때문에 Eq. (4 ] (42) [. 계를 맊족핚다. ( 번째 센서에 대핚 Eq. (2)의 비선형 측정모델과 Eq. (9)의 자코비얶 행렬은 Eqs. (36-37)과 센서 와 로 측정되는 두 개의 LOB는 교란원 에서 교점을 형성하기 때문에 Eq. (43 표현핛 수 있다. https://doi.org/10.11003/JPNT.2020.9.3.221 여기서, 와 는 센서와 교란원 사이의 거리이며, Eq. (43)으로부터 Eq. (44)와 같이 구해짂다. 계를 맊족핚다. 사이의 거리이며, Eq. (43)으로부터 Eq. (44)와 같이 구해짂다 여기서, 와 는 센서와 교란원 ( ) [ (36)] ] [ ] [ (.
(5) 리고 번째 센서에 대핚 Eq. (18)의. 와. 에 대핚 자코비얶 행렬은 Eq. (40)과 같다.. Youngbum Park & Kiwon Song Bearing-only Localization. 와대핚에자코비얶 대핚 자코비얶 행렬은 Eq. (40)과 같다. 번째 센서에 대핚 Eq. (18)의 고그리고 번째 센서에 대핚 Eq. (18)의 [ 행렬은 Eq. (40)과 ] 같다. + *‖ ‖ 와‖ 에 ‖. [ + * [ ] + *‖ 잡음오차로맊 ‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ 정의되므로 EKF의 측정잡음은 센서의 Eq. (41)과 같다.. ICEKF의 측정잡음은 잡음오차로맊 정의되므로 Eq. (41)과 KF의 측정잡음은 센서의센서의 잡음오차로맊 정의되므로 Eq. (41)과 같다. 같다.. 4 Kalman Filter Initialization. ]. 225. (40). Table 1. Comparison of drms error and STD of Kalman filter for interference J2 and J6. (40). (40). Interference at J2 drms STD of Kalman filter (41) EKF (m) 30.8 8.0 IEKF (m) 30.8 8.0 ICEKF (m) (41) 30.5 (41) 27.3 Filter. Interference at J6 drms STD of Kalman filter 12021.1 44.1 152.2 41.1 142.7 135.4. 3.4 Kalman Filter Initialization alman Filter Initialization 칼맊필터로 교란원의 위치를 반복 추정하기 위해서는 상태변수와 오차 공붂산의 초기값 설정. 정오차를 0.7도로 가정하고 6개 지점에 대해 각각의 교란원 위. 필요하다. 상태변수의 초기값을 임의의 값으로 설정하는 경우 실제 교란원의 위치와 임의값의 칼맊필터로 교란원의 반복 추정하기 위해서는 상태변수와 오차 공붂산의 치에서의 타원오차를 칼맊필터로 교란원의 위치를위치를 반복 추정하기 위해서는 상태변수와 오차 공붂산의 초기값초기값 설정 설정Fig. 2에 나타 내었다. 각각에 대한 위치 추 이가 크면 측정식의 비선형특성에 의해 필터가 수렴하지 않을 수도 있기 때문에 상태변수의 초 root mean square (drms)는 J2가 40.3 m, J3 정오차의 distance 이 필요하다. 상태변수의 초기값을 설정하는 경우교란원의 실제 교란원의 임의값의 필요하다. 상태변수의 초기값을 임의의임의의 값으로값으로 설정하는 경우 실제 위치와위치와 임의값의 154.6로부터 m, J5가교 24.8 m, J6가 205.5 m로 센서에서 거리가 멀수록 값을 센서에서 측정핚 첫번째 방위각 도래각을 이용하여 설정핚다. Fig.있기 1에서 가 센서 크면 측정식의 비선형특성에 의해 필터가 수렴하지 않을있기 수도 상태변수의 초 가차이가 크면 측정식의 비선형특성에 의해 필터가 수렴하지 않을 수도 때문에때문에 상태변수의 초 위치 추정오차가 커지며 J6와 같이 센서들의 기저선과 교란원의 원기값을 로의 센서에서 직선을 Line Of Bearing (LOB)라 하면, 센서 에서 측정되는 LOB의 단위벡터는 Eq. 도래각을 이용하여 설정핚다. Fig. 1에서 센서 로부터 을 센서에서 측정핚측정핚 첫번째첫번째 방위각방위각 도래각을 이용하여 설정핚다. Fig. 1에서 센서 로부터 교 각이교 LOB가 이루는 작아질수록 오차가 커지는 것을 알 수 있다. 2)와 같다 (Grabbe et al. 2013). Fig. Error ellipse of(LOB)라 bearing-only localization 3 sensors for each 란원 로의 직선을 Line Of Bearing (LOB)라 하면,with 센서 에서 측정되는 Eq. 로의 직선을 Line2. Of Bearing 하면, 센서 에서 측정되는 LOB의LOB의 단위벡터는 Eq. 위치 특히 단위벡터는 J6의 경우 추정값이 길쭉한 타원상에 형성되기 때문에 interference location. (42)와 같다 (Grabbe et al. 2013). 실제 위치와 추정위치의 차이가 크게 발생할 수 있으며 이로 인 와 같다 (Grabbe et al. 2013). ] [ (42) 해 측정식의 비선형특성에 의한 영향을 많이 받게 됨을 유추할. 센서. 와. ] [ LOB는 ]에서 [ 두 개의 (42) 관(42) 센서 si 와 sj두 로 개의 측정되는 교란원 교점을 때문에 수 있다. p에서 로 측정되는 LOB는 교란원 교점을 형성하기 Eq. (43)의. 때문에 Eq. (43)의 관계를 만족한다. 차수감소 EKF와 IEKF 및 ICEKF의 성능을 비교하기 위해 몬 를 맊족핚다. 와형성하기 로 측정되는 두LOB는 개의 LOB는 에서 교점을 형성하기 Eq. (43)의 관 와 로 측정되는 두 개의 교란원교란원 에서 교점을 형성하기 때문에때문에 Eq. (43)의 관 센서 센서 테칼로 시뮬레이션을 수행하였다. 방위각 도래각 측정치의 1차 계를 맊족핚다. 맊족핚다. 마코프 바이어스 (43)오차 σ 는 0.5도, τ는 1000초로 가정하고 잡음 (43) b. 오차는 0.5도로 가정하였다. 교란원은 DOP이 좋은 위치인 J2와. (43) (43) 센서와 r교란원 사이의 거리이며, Eq. (43)으로부터 Eq. (44)와 같이DOP이 구해짂다. 기서, 와 는 여기서, 나쁜 위치인 J6에 있는 것으로 가정하고 각각의 교란원 i 와 rj는 센서와 교란원 사이의 거리이며, Eq. (43)으로부 터 Eq. (44)와 같이 구해진다.. 에 대해 몬테칼로 시뮬레이션을 100회 수행하여 위치 추정오차의. 는 센서와 거리이며, Eq. (44)와 같이 구해짂다. 와 는와 센서와 교란원 사이의 거리이며, Eq. Eq. (44)와 같이 구해짂다. 서,여기서, [ 교란원 ] 사이의 ] (43)으로부터 [ Eq. (43)으로부터 ] [ (44) drms와 칼만필터에서 계산한 오차 공분산을 비교하였다.. [ ][ [] ( ) [ ] [ qs. (43-44)로부터 교란원의 위치는. Figs. 3과 4는 각각 ] [] ] (44) (44)교란원이 J2와 J6에 있는 경우에 대해 EKF (44) 로 계산될 수 있으며, 이 값을 칼맊필터 상태. 와 IEKF, ICEKF의 위치 추정 결과를 나타낸 것이고 Table 1은 마. 수의 정의핚다. Eqs. (43-44)로부터 ( ) 위치는 p(0) s수 지막 3개 필터의 추정오차와 칼만필터 공분산을 비 Eqs.초기값으로 (43-44)로부터 교란원의 로=계산될 수계산될 있으며, 이칼맊필터 값을 시점에서의 칼맊필터 i + r있으며, i u i로 ( )교란원의 (43-44)로부터 교란원의 위치는위치는 로 계산될 이 값을 상태 상태 칼맊필터의 위치 상태변수에 대핚 오차공붂산의 초기값은 계산된 상태변수 초기값의 오차 특 수 있으며, 이 값을 칼만필터 상태변수의 초기값으로 정의한다. 교한 것이다. 위치 추정오차 관점에서 교란원이 J2에 있는 경우 초기값으로 정의핚다. 의변수의 초기값으로 정의핚다. 칼만필터의 위치 상태변수에 대한 오차공분산의 초기값은 계 에는 추정오차가 을 적젃히 반영하여야 일반적으로 위치탐지 오차는 교란원과 센서들갂의 기하학적 배치크지 않아 측정식의 비선형특성에 의한 영향이 칼맊필터의 위치 핚다. 상태변수에 대핚 오차공붂산의 초기값은 상태변수 초기값의 칼맊필터의 위치 상태변수에 대핚 오차공붂산의 초기값은 계산된계산된 상태변수 초기값의 오차 특오차 특 산된 상태변수 초기값의 오차 특성을 적절히 반영하여야 한다. 일 작기 때문에 3개 성능이 거의 유사한 반면, 교란원이 J6에 정의되는 DOP와 측정오차의 곱으로 정의되기 때문에오차는 (Dempster 2006) 오차공붂산의 초기값을필터의 성을 적젃히 반영하여야 핚다. 일반적으로 위치탐지 교란원과 센서들갂의 기하학적 배치 적젃히 반영하여야 핚다. 일반적으로 오차는 교란원과 기하학적 반적으로 위치탐지 오차는위치탐지 교란원과 센서들간의 기하학적센서들갂의 배치로 있는 경우 배치 큰 추정오차로 인해 측정식의 비선형특성 영향이 커져 q. 로 (45)와 같이 정의하였다. 정의되는 측정오차의 곱으로 정의되기 때문에 (Dempster 2006) 오차공붂산의 초기값을 정의되는 DOP와 측정오차의 곱으로 정의되기 때문에 (Dempster EKF는 발산하는 경우가 생기지만 IEKF와 ICEKF는 발산하지 않 정의되는 DOP와DOP와 측정오차의 곱으로 정의되기 때문에 (Dempster 2006) 오차공붂산의 초기값을 Eq. (45)와 같이 정의하였다. 2006) 오차공분산의 초기값을 Eq. (45)와 같이 정의하였다. 고 교란원의 위치를 45)와 같이 정의하였다. ] ( ) [ (45) 추정함을 볼 수 있다. 한편, 위치 추정오차와. 기서,. 칼만필터 공분산에 대한 필터의 일관성 관점에서 살펴보면 측정. ](45) (45) 측정잡음에 반영한 차수감소 EKF와 IEKF [( ) 구해짂 ][ ( )앞에서 (45) 오차를. 치의 계산되며 바이어스 는 Eq. (37)의 자코비얶 행렬로 상태변수 초기값을 이용하여. 는 실제 추정오차에 비해 칼만필터 공분산이 더 작게 계산되어 도래각 측정오차이다. Eq. (37)의 자코비얶 행렬로 앞에서 구해짂 상태변수 초기값을 이용하여 계산되며 서,여기서, 는 Eq. 는 (37)의 자코비얶 초기값을 이용하여 계산되며 여기서, (37)의 앞에서 자코비언구해짂 행렬로상태변수 앞에서 구해진 상태변수 H는 Eq.행렬로 필터의 일관성을 확보하지 못하는 반면, ICEKF는 칼만필터에서 는 도래각 측정오차이다. 초기값을 이용하여 계산되며 σθ는 도래각 측정오차이다. 계산된 공분산이 실제 추정오차와 거의 유사한 값으로 계산되어 래각 측정오차이다. 필터의 일관성이 확보되는 것을 확인할 수 있다.. IEKF와 ICEKF의 실제 추정오차를 비교해 보면 거의 유사한. 4. SIMULATION AND RESULTS. 것을 볼 수 있다. 이는 칼만필터에서 연속적인 측정치 갱신을 통 해 잡음오차에 의한 영향은 필터링되어 감소되지만, 바이어스 오. 시뮬레이션 성능 분석을 위해 3개의 센서를 Fig. 2와 같이 x축. 차에 의한 영향은 그대로 남아 위치 추정오차에 반영되기 때문이. 상에 2 km 간격으로 배치하고 교란원은 센서의 전방에 존재하는. 다. 반면, IEKF와 ICEKF의 공분산을 비교해 보면 IEKF의 공분산. 것으로 가정하였다. 각각의 센서는 GPS L1 주파수의 반파장 간격. 은 실제 추정오차 보다 훨씬 작게 계산된다. 이는 IEKF에서 측정. 으로 5개의 안테나 소자가 선형으로 배치된 배열안테나로 방위. 치의 바이어스 오차가 측정잡음에 포함됨으로써 필터 관점에서. 각 도래각을 측정하는 것으로 가정하였다. 먼저 도래각 기반 위. 는 측정잡음이 필터링되어 위치 추정오차가 작아진 것으로 계산. 치추정의 오차 특성을 확인하기 위해 교란원의 위치에 따른 타. 되었기 때문이다. ICEKF는 바이어스 오차의 공분산이 위치 오차. 원오차를 계산하였다. Eq. (45)로부터 타원오차의 크기는 공분산. 공분산 계산에 반영되기 때문에 실제 추정오차와 필터의 공분산. 행렬 고유값의 제곱근, 방향은 고유벡터로 정의되며, 도래각 측. 이 유사하게 계산된다.. http://www.ipnt.or.kr.
(6) 226. JPNT 9(3), 221-227 (2020). (a) Reduced-order EKF. (a) Reduced-order EKF. (b) Reduced-order IEKF. (b) Reduced-order IEKF. (c) ICEKF. (C) ICEKF. Fig. 3. Localization error for J2 (Gray line: each 100 runs, thick line: drms error, dotted line: STD of Kalman filter).. Fig. 4. Localization error for interference at J6 (Gray line: each 100 runs, thick line: drms error, dotted line: STD of Kalman filter).. 5. CONCLUSIONS. 에 포함된 바이어스 오차의 특성을 반영하는 ICEKF를 설계하고 시뮬레이션을 통해 EKF, IEKF와 성능을 비교하였다. CKF는 가. 본 논문에서는 방위각 도래각을 이용하여 GNSS 교란원의 위. 관측성이 낮거나 시스템 성능에 영향을 미치지 않는 상태변수를. 치를 추정하는 기법으로 도래각 측정식의 비선형특성과 측정치. 추정하지 않고 그 오차특성만 필터의 공분산 계산에 반영하는 필. https://doi.org/10.11003/JPNT.2020.9.3.221.
(7) Youngbum Park & Kiwon Song Bearing-only Localization. 터이다. 그리고 IEKF는 상태변수 초기값의 큰 오차에 의해 비선 형 도래각 측정치의 선형화 오차가 커져 EKF가 발산하는 것을 방 지하기 위해 동일한 측정치로 측정치 갱신을 반복하는 기법이다. ICEKF는 CKF를 IEKF에 적용한 것으로 선형화 오차에 의한 필터 의 발산 억제와 추정 성능 향상 및 추정치와 필터 공분산이 일치 하는 필터의 일관성을 확보하는 장점을 가진다. 지상기반 2차원 위치추정에 대한 시뮬레이션을 수행하여 도래각 측정치에 포함 된 바이어스 오차의 특성을 필터 공분산 계산에 반영한 ICEKF의 성능이 EKF 및 IEKF에 비해 향상됨을 확인하였다.. AUTHOR CONTRIBUTIONS Conceptualization, Y. Park and K. Song; methodology, Y. Park and K. Song; validation, Y. Park; writing-original draft preparation, Y. Park; writing-review and editing, K. Song.. 227. Park, Y. B. & Park, C. G. 2017, Mitigation of vision measurement nonlinearity effect on lunar descent navigation using underweighting, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 40, 2366-2373. https://doi.org/10.2514/1. G002729 Simon, D. 2006, Optimal State Estimation: Kalman, H Infinity, and Nonlinear Approaches (New Jersey: John Wiley & Sons) Tully, S., Moon, H., Kantor, G., & Choset, H. 2008, Iterated filters for bearing-only SLAM, in 2008 IEEE International Conference on Robotics and Automation, 19-23 May 2008, Pasadena, CA. https://doi.org/10.1109/ ROBOT.2008.4543405 Zanetti, R. & D’Souza, C. 2013, Recursive implementations of the Schmidt-Kalman ‘consider’ filter, The Journal of the Astronautical Sciences, 60, 672-685. https://doi. org/10.1007/s40295-015-0068-7. CONFLICTS OF INTEREST The authors declare no conflict of interest.. REFERENCES Brown, R. G. & Hwang. P. Y. C. 1997, Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering, 3rd ed. (New York: John Wiley & Sons) Dempster, A. G. 2006, Dilution of precision in angle-ofarrival positioning systems, Electronics Letters, 42, 291292. https://doi.org/10.1049/el:20064410 Grabbe, M. T., Hamschin, B. M., & Douglas, A. P. 2013, A measurement correlation algorithm for line-of-bearing geo-location, in IEEE Aerospace Conference, 2-9 March 2013, Big Sky, MT, USA. https://doi.org/10.1109/ AERO.2013.6496828 Havlik, J. & Straka, O. 2015, Performance evaluation of iterated extended Kalman filter with variable steplength, Journal of Physics: Conference Series, 659, 1222. https://doi.org/10.1088/1742-6596/659/1/012022 Hough, M. E. 2011, Orbit determination with improved covariance fidelity, including sensor measurement biases, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 34, 903-911. https://doi.org/10.2514/1.53053 Hoye, G. 2010, Analyses of the geolocation accuracy that can be obtained from shipborne sensors by use of time difference of arrival (TDOA), scanphase, and angle of arrival (AOA) measurements, Forsvarets forsknings institutt Norwegian Defence Research Establishment (FFI), FFI-raport 2010/00737.. Youngbum Park received the Doctor’s degree in Aerospace engineering from Seoul National University in 2017. Since 2001, he has been working for Agency for defense development. His research interests include estimation, localization, and integrated navigation system. Kiwon Song received the Doctor’s degree in Electronics engineering from Chung-nam National University in 2002. His research interests include design of satellite navigation system architecture, GNSS signal generation processing, and integration optimal filter of INS/GPS.. http://www.ipnt.or.kr.
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