초등 수학 내용 전문성 향상 과정 (초5~6학년군)
- 자료의 가능성 영역의 내용과 배경지식 탐구 -
평균과 가능성
여러 가지 그래프
1
평균과 가능성목차
1. 동기유발 2. 학습 목표
3. 2015 개정 수학과 교육과정 성취기준 살펴보기(평균과 가능성) 4. 평균의 개념과 지도 방법
5. 가능성의 개념과 지도 방법
1. 2015 개정 수학과 교육과정 성취기준 살펴보기(평균과 가능성)
2015 개정 수학과 교육과정 5-6학년군 평균과 가능성 단원과 관련한 성취기준을 살펴보 면 다음과 같다.
2015 개정 수학과 교육과정
성취기준
□1 평균
[6수05-01] 평균의 의미를 알고, 주어진 자료의 평균을 구할 수 있 으며, 이를 활용할 수 있다.
□3 가능성
[6수05-05] 실생활에서 가능성과 관련된 상황을 '불가능하다', '~아 닐 것 같다', '반반이다', '~일 것 같다', '확실하다' 등 으로 나타낼 수 있다.
[6수05-06] 가능성을 수나 말로 나타낸 예를 찾아보고, 가능성을 비 교할 수 있다.
[6수05-07] 사건이 일어날 가능성을 수로 표현할 수 있다.
교수‧학습 방법 및 유의사항으로는 다음과 같다.
· 평균을 구하는 방법뿐만 아니라 그 의미를 직관적으로 파악하게 한다.
· 복잡한 자료의 평균을 구할 때 계산기를 사용하게 할 수 있다.
· 가능성을 수로 표현할 때 0, ½, 1등 직관적으로 파악되는 경우를 다룬다.
· 자료와 가능성 영역의 문제 상황에서 문제 해결 전략 비교하기, 주어진 문제에서 필요 없는 정보나 부족한 정보 찾기, 조건을 바꾸어 새로운 문제 만들기, 문제 해결 과정의 타당성 검토하기 등을 통하여 문제 해결 능력을 기르게 한다.
평가 방법 및 유의사항으로는 ‘평균을 구하는 것뿐만 아니라 평균이 사용된 상황에서 그 의미를 파악하는 지 평가한다.’ 이다.
단원학습의 계열은 다음과 같다.
평균과 가능성 단원학습 계열, 수학5-2교사용지도서, p.302 2. 평균의 개념과 지도방법
가. 자료의 대푯값과 평균의 개념
일련의 수들 중에서 중심 또는 가운데를 기술하기 위해 사용되는 수를 그 수들의 대푯값이 라고 한다. 대푯값에는 여러 가지 형태가 있으나, 초등학교와 중학교에서는 일반적으로 최빈 값(가장 빈번하게 나타나는 수), 중앙값(순서대로 열거한 자료에서 중앙에 위치한 값), 산술 평균(포함된 모든 자료를 더한 후, 자료의 수로 나누어서 구하며, 학생들은 산술평균이 대푯 값의 유일한 형태가 아님을 인식 하는 것이 중요함)을 다루는데, 우리나라 초등학교 수학과 교육과정에서 다루어지는 평균의 개념은 산술평균의 개념이다.
초등학교에서는 평균을 구하는 알고리즘에 초점을 맞추지 말고 비형식적이고 직관적인 개념 을 토대로 평균의 의미에 대해 탐구하도록 하는 것이 중요하며, 평균을 시각적으로 이해하 기 쉽게 하기 위해서는 점수의 평균을 구할 때, 각 점수를 종이띠로 나타내어 모두 이어 붙 인 다음 같은 길이가 되도록 접어 본다든지, 고리 던지기의 성적이 1회 3개, 2회 4개, 3회 3 개, 4회 6개인 경우에 이를 막대 로 나타내고 막대의 높이를 모두 같게 해 보는 것 등이 도 움이 될 수 있다. 초등학교에서 평균의 지도는 기능 개발 이상에 목표를 두어야 한다. 평균 을 구하는 방법도 알아야 하지만, 그러한 수치가 무엇을 말하는지를 아는 것이 중요하다.
나. 지도방법
평균을 지도함에 있어서 평균에 대한 개념을 바탕으로 실생활 상황에서 나타난 자료들의 평균을 구하고 평균을 통해 자료를 예측해 보도록 하며, 평균을 통해 알 수 있는 사실을 파 악하도록 해야 한다.
이에 맞추어 교과서에서는 학생들은 실생활의 예를 통해 여러 개의 자료를 대표할 수 있 는 값을 무엇이라고 할지 생각해 보게 하여 평균의 의미와 필요성을 인식하게 된다. 그리고 각 자료의 값을 고르게 되도록 미리 평균을 예상하여 구체물을 옮기는 조작활동을 통해 평 균을 구해보게 한 후, 모든 수를 더한 후 자료의 개수로 나누어 구하는 산술평균의 방법으 로 옮겨가게 된다. 평균을 구하는 방법을 배운 후에는 평균을 여러 가지 방법으로 구해보고, 실생활에 어떻게 이용되는지 배우게 된다.
먼저 평균의 개념을 이해하는 활동을 교과서로 살펴보면,
평균의 의미와 필요성 5-2 교과서 p. 124~125
실생활 속의 친숙한 소재를 통해 평균의 개념을 파악하고 이해하도록 지도하여야 한다.
클립을 세어보는 상황으로 대푯값에 대한 생각을 유도하고, 투호에서 넣은 화살수를 통해 대푯값으로써 평균의 의미와 필요성을 정리하게 된다. 이를 지도함에 있어 교과서의 상황을 그대로 수업으로 진행해도 되지만, 실제적인 물건이나 자료를 가지고 학생들이 실제적인 조 작활동을 한다면 더욱 효과적인 배움이 이루어질 수 있다.
다음으로는 단순히 평균을 구하는 연산 활동이 아닌 다양한 조작활동을 통해 평균의 의미 를 파악하여 구할 수 있도록 한 지도해야 한다. 이를 위해 교과서에서는 산술평균을 구체물 활동(준비물을 활용한 활동)을 통해 모든 자료를 더한 후 자료의 개수로 나누어서 구한다는 것과 그 이외에 여러 방법들을 생각해 보도록 지도할 수 있도록 다음과 같이 제시하고 있 다.
산술평균 배우기(5-2 교과서 p.216~217) 여러 방법 생각하기(5-2 교과서 p.218~219) 마지막으로는 학생들이 생활하는 학교에서 도서 대출과 열량이라는 주제로 실생활에서 평 균을 이용하여 자료를 해석하고 문제를 해결할 수 있도록 지도한다. 이 내용을 교과서에서 는 아래와 같이 제시하고 있다.
평균을 이용한 문제해결(5-2 교과서 p.130~131) 3. 가능성의 개념과 지도방법
가능성에서는 일이 일어난 가능성을 말로 표현하고, 가능성을 이해하는 내용을 지도하고 있지만 초등수학에서는 가능성을 수로 표현할 때 0, ½, 1등 직관적으로 파악되는 경우를 다 루는 정도로 그친다.
가. 가능성의 개념: 확률의 기초
확률(사건이 일어날 가능성)은 우연한 현상의 결과인 여러 가지 사건이 일어날 것으로 기 대되는 정도를 수량화한 것을 말하며, 어떤 것이 일어날 가능성을 예측하기 위해 사용되고, 경우의 수나 확률 은 사건의 결과가 사전에 정해질 수 없는 상황에 적용된다. 확률의 중요 하고 기본적인 기능은 유용성에 있으며, 확률에 대한 아이디어는 자료 수집, 자료 기술, 자 료 해석의 기초가 된다. 확률은 관련된 개념에 따라 다른 종류로 분류되는데, 초·중등 수학 과에서는 수학적 확률과 통계적 확률의 내용이 다루어진다. 먼저, 특정 사건이 일어날 수학 적 확률은 같은 조건 아래 여러 번 반복할 수 있는 어떤 시행에서 각각의 사건 이 일어날 가능성이 모두 같을 때, 일어날 수 있는 모든 경우의 수가 n, 특정 사건이 일어날 수 있는 경우의 수가 a일때 a/n로 정의한다. 이와 같은 수학적 확률은 주사위를 던졌을 때 6이 나올 확률처럼 어떤 시행을 실제로 해 보기 이전에 확률 계산이 가능하다는 점에서 선험적 확률 이라고도 한다. 다음으로, 통계적 확률은 어떤 시행을 무한히 반복하였을 때 얻게 되는 확률 값, 즉 시행 횟수에 대한 사건의 상대도수의 극한값을 확률로 정의한다. 이와 같은 통계적 확률은 실제로 비가 내렸던 경우를 나타내는 과거 일기 예보의 강수 확률처럼 경험에 따라 확률값을 얻게 된다는 점에서 경험적 확률이라고도 한다.
이처럼 확률은 추상적인 개념으로서 초등학교 저학년에서는 확률을 비형식적으로 다루어 야 하지만, 그럼에도 불구하고, 모든 단계의 수업에서는 정확한 용어를 사용해야 한다. 학생 들은 경험에 비추어서 어떤 사건이 확실하게 일어난다(예 내일 동쪽에서 해가 뜬다.)면 그 사건이 일어날 가능성이 높다고 인식하고, 어떤 사건이 절대로 일어날 수 없다(예 내일 서 쪽에서 해가 뜬다.)면 그 사건이 일어날 가능성은 없다고 판단할 수 있을 것이다. 더욱이 동 전 한 개를 던졌을 때 앞면이 나올 가능성 은 반반이 될 것으로 짐작할 수 있을 것이다.
이를 수치로 나타내면, 확률에서는 사건이 일어날 가능성에 0에서 1 사이의 수를 지정하 며, 모든 확률은 0과 1 사이에 있다. 확실하게 일어나는 사건의 가능성은 '1'로, 불가능한 사
건이 일어날 가능성은 ' 0 ' 으로 , 그리고 일어날 가능성이 반반인 경우는 ' 1/2 ' 로 표현 할 수 있다 .
확률의 학습은 사건의 확률을 알 수 있는 상황에서 시작하여 학년이 올라갈수록 시뮬레이 션이나 표본을 활용하여 불확실한 사건의 가능성을 수량화하는 상황으로 이동해야 하며, 이 후 학년에서 확률을 분수에서 소수, 또는 백분율로 바꿀 수 있어야 한다. 특별한 사건의 확 률을 계산하기 전에 확실한, 불확실한, 불가능한, 있음 직한, 있음 직하지 않음과 같은 용어 (불가능하다, ~아닐 것 같다, 반반이다, ~일 것 같다, 확실하다)를 소개하고 논의하는 것이 중요하다. 학생들은 확률의 용어를 사용해서 사건의 가능성과 관련된 질문에 답을 하도록 요구하는 활동을 탐구하는 많은 기회를 가지는 것이 필요하다.
초등학교 수학의 자료와 가능성 영역에서 다루어지는 내용은 학생들이 앞으로 인터넷, 신 문, 방송 등에서 보고되는 국가 경제, 사회 통계, 여론 조사, 의학 자료, 산업 자료 등의 자 료를 해석하고, 이를 바탕으로 의사 결정을 하는 데 많은 도움을 준다. 따라서 실생활에서 통계가 활용되는 상황을 알아보고, 어떤 사실에 대해 목적에 따라 자료를 수집하고, 수집된 자료를 분류하고 정리하여 표로 만들 고, 그 자료의 특성을 잘 나타내는 그래프로 표현하고 해석하는 일련의 과정을 경험하게 하는 것이 중요하며, 비율이나 평균 등에 의해 집단의 특 성을 수로 표현하고, 이것을 해석하며 이용할 수 있는 지식과 능력을 기르도록 하는 것이 필요하다.
이와 같은 확률을 지도할 때에 교사는 현실적인 과제, 실생활에서 생기는 구체적인 자료 를 소재로 선택하여 가능한 다양한 실험이나 관찰을 통해 학생들이 이해할 수 있도록 해야 한다. 또 자료 수집과 분류, 정리 등의 활동 목적, 실험이나 관찰 등 조작 활동의 목적 및 고찰의 관점을 명확하게 해야 하며, 통계 지식을 활용하는 것은 수학 내부보다 오히려 수학 외부에 있으므로, 다른 교과와 통합적으로 지도해야 한다.
나. 지도방법
가능성을 지도할 때는 '확률'이라는 용어 대신 '일이 일어날 가능성'이라는 용어를 사용하 도록 지도한다. 지도의 순서는 제일 먼저 가능성에 대해 먼저 이해하도록 하는 것이다. 이에 교과서에서는 예상활동을 통해 가능성을 이해하는 활동을 먼저 제시하고 있다.
그리고 활동을 통해 가능성의 의미를 제시하고 말로 표현해 보는 활동을 할 수 있도록 하 고 있다.
가능성의 의미를 이해하고, 말로 표현할 수 있다면 여러 실생활 예시를 가능성을 이해하 고 비교해 봄으로써 가능성을 판단하고 비교하며 문제해결력 및 추론능력을 향상시킨다. 교 과서에 제시하고 있는 가능성 비교활동은 다음과 같다.
가능성의 비교 활동(5-2 교과서 p.134~135)
가능성 비교활동이 끝나면 학생들의 자연스럽게 말로 표현했던 것을 수치로 표현할 수 있도록 해야 한다. 단, 초등학교에서는 0, 1/2, 1 등과 같이 구체적인 수치의 경우에만 학생 들이 이해하도록 한다.
교과서에서는 이와 관련하여 실생활 상황, 동전, 주사위등 다양한 활동을 다음과 같이 제 시하고 있다.
가능성 수치로 표현하기(5-2 교과서 p.136~139)
2
여러 가지 그래프목차
1. 동기유발 2. 학습목표
3. 자료의 정리와 관련한 2015 개정 수학과 교육과정 성취기준 4. 그림그래프와 비율그래프의 개념
5. 여러 가지 그래프 단원의 지도방법
1. 2015 개정 수학과 교육과정 성취기준 살펴보기
2015 개정 수학과 교육과정 5-6학년군 여러 가지 그래프 단원과 관련한 성취기준을 살펴 보면 다음과 같다.
2015 개정 수학과 교육과정
성취기준
[6수05-02] 실생활 자료를 그림그래프로 나타내고, 이를 활용할 수 있다.
[6수05-03] 주어진 자료를 띠그래프와 원그래프로 나타낼 수 있다.
[6수05-04] 자료를 수집, 분류, 정리하여 목적에 맞는 그래프로 나 타내고, 그래프를 해석할 수 있다.
교수‧학습 방법 및 유의사항으로는 다음과 같다.
⦁띠그래프와 원그래프를 지도할 때 신문, 인터넷 등에 있는 표나 그래프를 소재 로 활용할 수 있게 한다.
⦁원그래프를 그릴 때에는 눈금이 표시된 원을 사용하게 한다.
⦁복잡한 자료의 평균이나 백분율을 구할 때 계산기를 사용하게 할 수 있다.
⦁막대그래프, 꺾은선그래프, 그림그래프, 띠그래프, 원그래프의 특성을 비교하여 목적에 맞는 그래프로 나타내게 한다.
단원학습의 계열은 다음과 같다.
2. 그림그래프와 비율그래프의 개념 가. 그림그래프의 개념
그림그래프(pictograph)는 조사한 수량을 그림이나 기호를 사용하여 나타낸 그래프를 말한 다. 일반적으로 그림그래프는 권역에 따라 조사된 수량적 정보들을 지도에 직접 간단한 그 림으로 나타내는데 권역별 분포를 한눈에 쉽게 파악할 수 있다는 장점이 있다. 이런 장점으 로 자료를 직관적으로 쉽게 파악할 수 있게 하는 신문이나 보고서 등에서 자주 활용된다.
나. 비율그래프의 개념
초등학교에서 다루는 비율 그래프는 전체를 100 %로 보고 각 부분을 띠 모양이나 원 모양, 사각형 모형으로 나타내는 것을 다루고 있다.
띠그래프는 전체에 대한 각 부분의 비율을 띠 모양으로 나타낸 것으로, 그리기 쉽고 길이 감각을 이용하여 자료의 크기를 비교하기 쉬운 장점이 있다.
표에서 각 항목별 배열의 순서가 의미 있는 경우에는 그 순서에 따라 그래프로 나타내고, 의미가 없는 경우에는 비율이 높은 순서대로 왼쪽에서 오른쪽으로 배열하며 기타 항목은 가 장 나중에 나타낸다.
원그래프는 중심각의 크기를 이용하여 전체에 대한 각 부분의 비율을 원 모양으로 나타낸 것으로 전체와 부분, 부분과 부분 사이의 비율을 한눈에 알아보기 쉽다. 그러나 원그래프는 중심각의 크기를 100등분해야 하므로 띠그래프에 비해 그리기가 어렵다. 이에 초등학교에서 는 눈금이 있는 원을 제시하여 학생들이 원그래프를 그리도록 하고 있다. 원그래프로 나타 낼 때 계열이나 습관성의 문제가 없을 경우에는 비율이 높은 것부터 순서대로 나타내고, 기 타 항목은 가장 나중에 나타내는 것이 보통이다.
이 단원에서는 제시하고 있지 않은 사각형 그래프는 정사각형의 각 변을 10등분 한 모눈 100칸을 이용하여 전체에 대한 각 부분의 비율을 사각형 모양으로 나타낸 것으로 100등분
한 모눈이 이미 주어져 있으므로 그리기가 매우 수월하다.
자료의 크기를 넓이 감각 이용하여 비교하면 비교하기 쉽 다.
3. 여러 가지 그래프의 지도 방법 가. 그림그래프의 지도 방법
여러 가지 그래프를 지도하기 전에 『수학 3-2』에서 학습 했던 그림그래프에 대한 이해 수준을 확인이 필요하다. 이 에 수학익힘책의 선수학습에서 3-2학기에 배웠던 그림그래
프와 관련된 선수학습을 살펴보고 있다. 선수학습 확인을 통해 조사한 자료를 정리하여 표 로 나타내는 활동을 해 보고, 백분율을 구하는 방법을 확인하여 이번 단 원에서 학습할 내 용에 대한 선행 조직자를 형성하고 있다.
3-2학기에 배운 그림그래프와 6-1학기에서 배우는 그림그래프의 차이점은 3-2학기에는 그림그래프의 의미를 파악하고 두 자리나 세 자리 수 범위의 수량을 다뤘다면 6-1학기의 그 림그래프에서는 큰 수의 자료를 다룬다. 또 3학년은 표의 형태에 줄기 잎그래프와 같은 그 래프의 모습 보였다면, 6학년은 지도상 위치에 그래프를 표시하여 지도상의 위치에서 정보 를 해석할 수 있도록 하고 있다.
주어진 자료 그림그래프의 내용을 살펴보고, 표를 그림그래프로 나타내봄으로써 자료의 처 리 방법에 대한 능력을 높인다.
나. 비율그래프의 지도방법
그림그래프를 배우고 나서는 비율그래프인 띠그래프와 원그래프를 이해하기, 나타내기의 순으로 배우게 된다. 띠그래프와 원그래프 중에는 띠그래프를 먼저 배우게 된다.
먼저 주어진 자료를 정리하고, 자료를 표로 나타냈을 때와 띠그래프로 나타냈을 때 각각 어떤 점이 좋은지 학생들이 느끼고 말하게 한다. 띠그래프의 의미를 배우고 나서는 자료를 띠그래프로 그려보는 활동을 하게 되는데 이때, 학생들이 주어진 자료를 백분율을 구하고 그 합이 100%가 됨을 확인하고, 백분율을 이용하여 띠그래프를 그려보게 된다.
띠그래프 나타내기 활동을 할 때 근삿값으로 백분율을 구했을 경우, 백분율의 합계가 100
%가 되지 않거나 100 %를 넘는 경우가 생긴다. 실제 자료 조사를 할 경우 반드시 그 합이 100 %가 되지 않는 경우가 있으므로 이 또한 자연스러운 현상임을 알고, 왜 그런 결과가 나오는지 생각해 본다. 또 백분율을 구하거나 그래프 그리기에 치중하기보다는 그래프를 보 고 이해하는 활동에 중점을 두어야 한다.
띠그래프를 배우고 나서는 원그래프를 배우게 된다. 현재 교과서에서는 구현하고 있지 않지 만 띠그래프와 원그래프와의 연결성을 강조하는 활동을 한다면 학생들이 비율그래프를 이해 하는데 도움을 줄 수 있을 것이다.
다음은 ‘초등교사를 위한 수학과 교수법’(박성선외, 2017)에 나온 내용으로 띠그래프와 원그 래프의 연결을 위해서 다음과 같은 활동을 예시로 제시하고 있다.
예를 들어 20명의 학생을 대상으로 좋아하는 과일을 조사했다고 하자. 이때 수박을 좋아하 는 학생 5명을 초록색 카드 5장으로, 딸기를 좋아하는 학생 8명을 분홍색 카드 8장으로, 바
나나를 좋아하는 학생 5명을 노란색 카드 5장으로, 포도를 좋아하는 학생 2명을 보라색 카 드 2장으로 나타낼 수 있다. 그리고 각 과일을 나타내는 서로 다른 색의 카드를 줄로 연결 하여 띠그래프로 나타낼 수 있다. 다시 띠그래프로 나타낸 줄을 묶어서 연결하면 원그래프 를 만들 수 있다.
현재 교과서에서는 원그래프의 지도방법은 띠그래프와 동일 활동 순서를 따르고 있는데, 주 어진 자료를 정리하고 그것을 원그래프로 정리하였을 때 어떤 점이 좋은지, 그리고 띠그래 프와의 공통점 차이점을 찾아보게 한다. 원그래프를 나타내는 활동에서는 주어진 자료의 백 분율을 구하고 그것을 이용하여 원그래프를 그려본다.
원그래플 배울 때 교과서의 방법이 아닌 보다 학생들의 직접적인 활동을 통해 원그래프를 배울 수 있도록 하고 있다. 구체적으로 시각화하는 방법으로 20명의 학생들이 원으로 둘러 선 후 줄로 원그래프의 부채꼴을 나타낼 수 있다. 아래의 활동으로 비율을 쉽게 어림하거나 읽을 수 있다. 또한 앞에서 띠그래프를 연결하여 만든 원그래프에 100cm 종이띠를 둘러놓 으면 색깔별 카드와 띠에 표시된 눈금을 비교함으로써 %를 쉽게 읽을 수 있다.
띠그래프와 원그래프의 이해하기와 나타내기가 끝나면 두 비율그래프를 해석해보는 활동을 하게 되는데 이것은 2009개정 교육과정에서 각 비율그래프를 배우고 각각 해석하는 활동을 했던 것과는 차이를 보이고 있다. 이는 두 비율그래프의 연계성을 강조하기 위한 차시 구성 으로 볼 수 있다.
비율그래프의 해석 활동을 끝나고 나면 2015개정 교육과정이 이전 교육과정과 가장 큰 차 이점을 보이는 활동인 지금까지 배웠던 그래프들을 한 활동에서 해석해보고 그것들을 비교 해 보는 것이다. 이 활동은 지금까지의 교육과정에서 그래프들의 각각의 개별적인 교육으로 마무리되었던 것을 2015 개정 교육과정에서는 그래프를 종합적으로 생각하고 각각의 공통 점과 차이점을 학생 스스로 인식하게 하여, 여러 가지 그래프의 특징을 알고 상황에 따라 어떤 그래프를 선택하여 표현하는 것이 가장 좋은 방법인지 학생에게 스스로 결정할 수 있 는 기회를 제공한다.
또한 여러 가지 그래프를 지도함에 있어서 학생들 스스로 자료를 수집, 분류, 정리하고 목적 에 맞는 그래프를 선택하고 표현할 수 있도록 하며, 동일한 자료를 그래프로 나타내는 여러 가지 방법을 탐구할 수 있는 기회를 제공하여 학생 스스로 그래프를 그리는 능력을 향상 시 켜주어야 한다.
